3 Captulo Herramientas de Algebra Lineal
3.1. Vectores y Matrices
Los elementos b sicos en teora de sistemas lineales son vectores n 1 (columna) o a 1 n (la) y matrices n m con elementos reales, es decir, v Rn , A Rnm . Denotamos el elemento i del vector v como vi , y el elemento i j de una matriz A como ai j o [ A]i j . v1 a11 a12 . . . a1m v2 a a . . . a2m T v = . = v1 v2 . . . vn , A = 21 22 . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . anm vn En M ATLAB: vectores v = [v1;v2;...;vn] y matrices A=[a11,a12,...,a1m;a21,a22,...,a2m;...].1 El producto de dos matrices A Rmn y B Rrs solo est denido si n = r. En particular a para vectores v Rn , w Rm , tenemos vwT Rnm . Escribimos la matriz n m con todos sus elementos cero como 0nm , simplemente 0 si las dimensiones (M ATLAB [n,m]=size(A)) son claras del contexto. Para matrices cuadradas, m = n, la matriz nula es 0n y la matriz identidad In o simplemente I (M ATLAB I=eye(n)). Asumimos las operaciones de suma y producto de matrices familiares. Lo interesante del producto de matrices es que en general es no conmutativo, es decir, AB y BA no son siempre lo mismo. Denicion 3.1 (Matriz Nilpotente). Si A es cuadrada, para cualquier entero k 0 la po k tencia A est bien denida, con A0 = I. Si existe un k > 0 tal que Ak = 0 decimos que A a es nilpotente. Denicion 3.2 (Traza de una matriz). Para una matriz cuadrada n n, la traza es la suma de los elementos de su diagonal (en M ATLAB trace(A)) tr A =
1
i =1
aii .
n
Ojo con la transpuesta en M ATLAB cuando se trabaja con vectores o matrices complejos; representa la transpuesta conjugada, la transpuesta sin conjugar es ..
19
3. Herramientas de Algebra Lineal Si A y B son tales que AB es cuadrada, entonces tr[ AB] = tr[ BA].
Notas de CAUT2 - 20
Denicion 3.3 (Determinante de una matriz). El determinante es otra familiar funcion es calar de una matriz cuadrada, det A (M ATLAB det(A)). El determinante puede evaluarse recursivamente mediante la expansi n de Laplace: Sea ci j el cofactor del elemento ai j , o sea o i+ j el producto de (1) por el determinante de la submatriz (n 1) (n 1) obtenida de eliminar en A la la i y la columna j. Entonces para cualquier i jo, 1 i n, det A =
ai j ci j .
j=1
n
(3.1)
Esta es la expansion sobre la la i. Una expresion an loga existe para la expansion sobre a una columna j. Vemos de (3.1) que el determinante no es m s que la suma de productos de los elemena tos de la matriz, por lo que es una funcion matricial diferenciable todas las veces que uno quiera. Si A y B son matrices n n, entonces det( AB) = det( A) det( B) = det( BA). Denicion 3.4 (Inversa de una matriz). La matriz cuadrada A tiene una inversa, A1 , 1 AA = A1 A = I, sii det A = 0. En M ATLAB, la inversa se calcula inv(A). Una formula comun para A1 se basa en los cofactores de A. Denicion 3.5 (Adjunto de una matriz). El adjunto de A, adj A, es la matriz cuyo elemento i j es el cofactor ji de A o sea, la transpuesta de la matriz de cofactores. Usando el adjunto, la formula de la inversa es A 1 = adj A det A
La inversa del producto de dos matrices cuadradas no singulares cumple ( AB)1 = B1 A1 . Otra formula muy util en teora de sistemas lineales es el lema de inversi n de matrices. o Lema 3.1 (Inversion de Matrices). Dadas matrices R, S, U, V de dimensiones compatibles, donde R y S son cuadradas y no singulares, entonces
( R US1 V )1 = R1 + R1 U ( S VR1 U )1 VR1 .
3.2.
Bases y Ortonormalizacion
El conjunto de todos los vectores de Rn puede verse como un espacio vectorial lineal con las operaciones est ndar de suma de vectores y producto por numeros reales. Las matrices a m n (o n m si consideramos vectores la) son operadores lineales denidos sobre estos espacios.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 21
Denicion 3.6 (Independencia lineal). Dos vectores x1 e x2 en Rn son linealmente indepen dientes (LI) si la unica combinacion lineal de ellos que da el vector nulo, 1 x1 + 2 x2 = 0, es la trivial, 1 = 0, 2 = 0. Sino son linealmente dependientes. El concepto se extiende a un conjunto de cualquier numero de vectores. Si el conjunto de vectores { x1 , x2 , . . . , xm } es linealmente dependiente, entonces existe un conjunto de escalares {1 , 2 , . . . , m } donde al menos uno es distinto de cero, digamos 1 = 0, y 1 x1 + 2 x2 + + m xm = 0 . Entonces podemos escribir x1 como combinacion lineal de los restantes vectores, x1 = 1 (2 x2 + + m xm ). 1
Denicion 3.7 (Dimension de un espacio lineal). La dimensi n de un espacio lineal es el o m ximo numero de vectores LI en ese espacio; n en Rn . a Denicion 3.8 (Base de un espacio lineal). Un conjunto de vectores LI en Rn es una base de Rn si todo vector de Rn se puede escribir como una combinacion lineal unica de los vectores del conjunto. Dada una base {q1 , q2 , . . . , qn } de Rn , todo vector x Rn puede expresarse en forma unica como x = 1 q1 + 2 q2 + + n qn 1 2 = q1 q2 . . . qn . = Q x , . . n donde x = [1 , 2 , . . . , n ]T es la representaci n del vector x con respecto a la base (o en las o coordenadas) {q1 , q2 , . . . , qn }. La matriz Q es no singular por denicion, y sirve para obtener n la representacion de cualquier vector de R en la base {q1 , q2 , . . . , qn }, x = Q1 x. En particular, siempre existe la base formada por los versores e1 = [1, 0, . . . , 0]T , e2 = [0, 1, . . . , 0]T , etc. En ese caso Q = I. Ejemplo 3.1. Consideremos los vectores q1 = [3, 1]T y q2 = [2, 2]T . Como son LI, forman una base en R2 . La representacion del vector x = [1, 3]T en las coordenadas {q1 , q2 } es T [1, 2] , que se obtiene de x = q1 q2
1 1
1 3 1 3 1 3
= =
3 2 1 2
1/2 1/2 1/4 3/4 1 = , 2 o sea que x puede escribirse como x = q1 + 2q2 .
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 22
1
x
q2
1
2
q1
1
0
1
0
1
Figura 3.1: Cambio de coordenadas.
Figura 3.2: Bola unitaria en R2 en normas 1, 2 e .
3.2.1.
Norma de vectores
El concepto de norma de un vector es una generalizacion de la idea de magnitud. Denicion 3.9 (Norma de un vector). La norma de un vector x Rn , denotada x , es una funcion de Rn en R+ (los reales positivos m s el 0) que cumple con las siguientes tres a 0 propiedades: 1. 2. 3. x 0 para todo x, y x = 0 sii x = 0. x = | | x , para todo escalar . x1 + x2 x1 + x2 para todo x1 , x2 (desigualdad triangular). Dado un vector x = [ x1 x2 . . . xn ]T , tres normas tpicas en Rn son x x x
1 2
in=1 | xi | xT x = m a x | xi |
i
norma-1 in=1 | xi |2 norma-2 o eucldea norma-
En M ATLAB calculamos estas normas con norm(x,1), para la norma 1, norm(x,2) = norm(x), para la norma 2, y norm(x,inf) para la norma . El conjunto de vectores de norma no mayor que la unidad, B1 = { x Rn : x 1}, se llama bola unitaria, que no necesariamente es una bola esfrica; la forma de la bola e unitaria depende de la norma (ver Figura 3.2). La norma 2, tambi n llamada eucldea, es e efectivamente la longitud del vector medida desde el origen (que no es el caso de las otras normas). A menos que aclaremos lo contrario, vamos a trabajar siempre con la norma 2.
Un vector x de Rn est normalizado si x = xT x = 1. Dos vectores x1 y x2 son ortogoa T T nales si x1 x2 = x2 x1 = 0. Un conjunto de vectores xi , i = 1, 2, . . . , m, es ortonormal si
xiT x j = 0 1 si i = j , si i = j .
3.2.2.
Ortonormalizacion
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 23
Dado un conjunto de vectores LI { p1 , p2 , . . . , pm }, podemos obtener un conjunto ortonormal de vectores {q1 , 12 , . . . , 1m } usando el procedimiento de ortonormalizaci n de Schmidt, o u1 u2 um ... p1
T p2 (q1 p2 )q1 T p m m1 ( q k p m ) q k k =1
q1 q2 qm ...
u1 / u1 , u2 / u2 , um / um .
Si Q = [q1 q2 . . . qm ] es una matriz n m, m n, con todas sus columnas ortonormales, entonces QT Q = I. Qu puede decirse entonces de QQT ? e
3.3. Ecuaciones Lineales Algebraicas
Consideremos el conjunto de ecuaciones lineales algebraicas Ax = y (3.2)
donde A Rmn e y Rm son una matriz y un vector dados como datos, y x Rn es el vector incognita a resolver. Este es un problema de m ecuaciones y n incognitas escalares, donde puede que m sea menor, igual o mayor que n. La existencia de solucion depender de a la imagen de A. Denicion 3.10 (Imagen y rango de una matriz). El espacio imagen, o simplemente ima gen, de A es el espacio generado haciendo todas las posibles combinaciones lineales de las columnas de A. La dimension de la imagen de A es el rango de A. Denicion 3.11 (Vector nulo y kernel de una matriz). Un vector x se llama vector nulo de A si Ax = 0. El espacio de todos los vectores nulos de A se llama el kernel o espacio nulo de A. En M ATLAB orth(A) da una base ortonormal de la imagen de A, rank(A) da el ran go, y null(A) da una base ortonormal del kernel. Una relacion importante que cumplen siempre la dimension del kernel y el rango de una matriz A es la siguiente: dimension de ker( A) = numero de columnas de A rango( A) Ejemplo 3.2. Sea la matriz 0 1 1 2 A = 1 2 3 4 2 0 2 0 (3.3)
[ a1 a2 a3 a4 ] .
El rango de A es 2, ya que a1 y a2 son LI pero a3 y a4 son combinacion lineal de a1 y a2 . Podemos tomar entonces el conjunto { a1 , a2 } como una base de la imagen de A. La ecuacion (3.3) implica que la dimension del kernel de A es 2, y puede vericarse que los vectores n1 = 1 1 1 0
T
y
n2 = 0 2 0 1
T
son vectores nulos de A (An1 = 0 = An2 ). Como n1 y n2 son LI, {n1 , n2 } es una base del kernel de A.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 24
Hemos denido el rango de A como el numero de columnas LI de A, pero como tambi n e es igual al numero de las LI de A, necesariamente tenemos la relacion rango( A) mn(m, n) . Con las deniciones de rango y kernel de una matriz, volvemos al problema de obtener la solucion de la ecuacion algebraica (3.2). Los siguientes dos teoremas resumen todos los casos posibles. Teorema 3.1 (Existencia de solucion). Dada una matriz A Rmn y un vector y Rm , 1. Existe una solucion x Rn de la ecuacion Ax = y sii y pertenece a la imagen de A, o sea, rango( A) = rango([ A y]) donde [ A y] Rm(n+1) . 2. Existe una solucion x de Ax = y para todo y Rm sii rango( A) = m (A es de rango la pleno). Teorema 3.2 (Parametrizacion de todas la soluciones). Dada una matriz A Rmn y un m vector y R , sea x p una solucion de Ax = y y sea k n rango( A) la dimension del kernel de A. Entonces 1. Si k = 0 (A tiene rango columna pleno), entonces la solucion x p es unica. 2. Si k > 0 sea {n1 , n2 , . . . , nk } una base del kernel de A. Entonces para cualquier con junto de k numeros reales {i , i = 1, 2, . . . , k} el vector x = x p + 1 n1 + 2 n2 + + k nk es tambi n solucion de Ax = y. e Ejemplo 3.3. Consideremos la ecuacion Ax = y x1 0 1 1 2 4 1 2 3 4 x2 = 8 . x3 2 0 2 0 0 x4
T
(3.4)
Puede verse f cilmente que y est en la imagen de A y que x p = [ 0 4 0 0 ] es una solua a cion. Con la base {n1 , n2 } del kernel de A obtenida en el Ejemplo 3.2 podemos expresar la solucion general de (3.4) como x = x p + 1 n1 + 2 n2 0 1 0 1 2 4 = + 1 + 2 , 1 0 0 1 0 0 donde 1 y 2 pueden tomar cualquier valor en R.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 25
A veces podemos encontrar el problema formulado en t rminos de vectores la, xA = e y, donde x, y son 1 n y 1 m. Este problema puede tratarse de igual forma al caso columna considerando el problema transpuesto equivalente AT xT = yT . En M ATLAB la solucion de Ax = y puede obtenerse como x = A\y. El smbolo \ denota division matricial por izquierda. Para el caso xA = y usamos la division matricial por derecha x = y/A. Para el caso de sistemas con matriz A cuadrada (que vamos a encontrar con frecuencia) la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas (3.2) se reduce a las condiciones dadas en el siguiente corolario. Corolario 3.1 (Sistemas cuadrados). Sea Ax = y donde A es cuadrada. Entonces 1. Si A es no singular existe una solucion unica para cada y, dada por x = A1 y. En particular la unica solucion de Ax = 0 es x = 0. 2. La ecuacion homog nea Ax = 0 tiene soluciones no nulas sii A es singular. El numero e de soluciones LI es igual a la dimension del kernel de A.
3.4.
Transformaciones de Semejanza
Ax = y . (3.5)
Una matriz cuadrada A mapea vectores de Rn en Rn ,
Si representamos los vectores de R con respecto a una nueva base {q1 , q2 , . . . , qn } Q, sabemos de 3.2 que tenemos las relaciones x = Q x e y = Q y. As, la ecuacion (3.5) puede alternativamente escribirse como Ax = y
AQ x = Q y
( Q1 AQ) x = y
La matriz A ( Q1 AQ) es la representacion de A con respecto a la base {q1 , q2 , . . . , qn }. La transformacion A = Q1 AQ A = Q AQ1 se llama transformaci n de semejanza, y las matrices A y A se dicen semejantes. o Recordemos que dada una base {q1 , q2 , . . . , qn }, todo vector x de Rn puede escribirse en forma unica como x = Q x, donde Q [q1 , q2 , . . . , qn ], y x es la representaci n de x en esa base. o En particular, si consideramos la base canonica {e1 , e2 , . . . , en } (formada por los versores unitarios), entonces la columna i de una matriz A no es m s que la representacion del vector a = Q1 AQ de Aei con respecto a la base canonica {e1 , e2 , . . . , en }. Escribiendo la relacion A la forma AQ = Q A
A q1 q2 . . . qn = Q a1 a2 . . . an Aq1 Aq2 . . . Aqn = Q a1 Q a2 . . . Q an
concluimos que la columna i de A es la representacion de Aqi en la base {q1 , q2 , . . . , qn }.
3. Herramientas de Algebra Lineal Ejemplo 3.4. Consideremos la matriz 3 2 1 A = 2 1 0 4 3 1 Calculamos
Notas de CAUT2 - 26
y la base
0 1 4 2 Q = 0 0 1 1 3
0 0 17 A = Q1 AQ = 1 0 15 0 1 5
0 0 1
Podemos comprobar, por ejemplo, que el vector, digamos z = Aq1 = A la ecuacion z = Q a1 = Q
=
{ q 1 , q 2 , . . . , q n }.
0 1 0
1 0 1
verica
, es decir que a1 es la representacion del vector z en la base
3.5.
3.5.1.
Forma Diagonal y Forma de Jordan
Autovalores y autovectores
Los autovalores y autovectores de una matriz juegan un rol clave en el estudio de siste mas lineales estacionarios en ecuaciones de estado. En esta seccion repasamos sus denicio nes e introducimos las formas canonicas asociadas y otras que utilizaremos m s adelante a en el an lisis de estabilidad y el c lculo de controladores por realimentacion de estados a a para estos sistemas.
Camille Jordan (1838-1922)
Denicion 3.12 (Autovalores, autovectores y espectro de una matriz cuadrada). Un nume ro C es un autovalor de la matriz A Rnn si existe un vector no nulo v Rn tal que Av = v. Este vector v es un autovector (por derecha) de A asociado al autovalor . El conjunto de todos los autovalores de una matriz A se llama el espectro de A. Los autovalores de A se encuentran resolviendo la ecuacion algebraica
(I A)v = 0 .
(3.6)
Esta es un sistema de ecuaciones lineales algebraicas, que como vimos en 3.3, admite soluciones no nulas si la matriz (I A) es singular (es decir, tiene determinante nulo).
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 27
Denicion 3.13 (Polinomio caracterstico). El polinomio caracterstico de la matriz cuadrada A es ( ) = det(I A) . Notar que el polinomio ( ) es monico, es decir que el coeciente del t rmino de mayor e orden es 1, de grado n, y de coecientes reales. Para cada raz de ( ) la matriz (I A) es singular y, por lo tanto, la ecuacion algebraica (3.6) admite al menos una solucion no nula. Concluimos que toda raz de ( ) es un autovalor de A; y como ( ) tiene grado n, la matriz A necesariamente tiene n autovalores (aunque no necesariamente todos distintos; puede haber repetidos). En M ATLAB los autovalores de la matriz A se calculan con la funcion r = eig(A), T donde r = [1 , . . . , n ] es un vector con todos los autovalores de A; la funcion poly(r) da el polinomio caracterstico de A.
3.5.2.
Forma Companion
En general, el c lculo del polinomio caracterstico de una matriz requiere la expansion a de det(I A). Sin embargo, para ciertas matrices el polinomio caracterstico es evidente. Estas son las matrices en la forma companion, (M ATLAB A = compan(p), donde p es un polinomio) 0 0 0 4 1 2 3 4 1 0 0 3 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 4 3 2 1 4 0 0 0 con el mismo polinomio caracterstico ( ) = 4 + 1 3 + 2 2 + 3 + 4 . Otro caso en que los autovalores (y el polinomio caracterstico) son particularmente obvios es cuando la matriz A es diagonal, 1 0 0 0 0 2 0 0 A = 0 0 3 0 . . . . .. . . . . . . . . . . 0 0 0 n Aqu los autovalores de A son directamente los elementos de su diagonal. Pero, podemos siempre representar A en forma diagonal? No siempre, depende de si A tiene: Caso 1. autovalores todos reales y distintos Caso 2. autovalores complejos y distintos Caso 3. autovalores repetidos Analizamos cada caso por separado en la siguiente seccion.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 28
3.5.3.
Forma de Jordan
La forma de Jordan de una matriz A es la forma diagonal en bloques m s simple a la que a puede llevarse la matriz A mediante transformaciones de semejanza. Una matriz diagonal en bloques es una matriz que tiene matrices cuadradas no nulas en la diagonal, y ceros fuera de ella, por ejemplo 0 0 0 0 A= . 0 0 0 0 0 0 Vemos la forma de Jordan en los tres casos enumerados al nal de la seccion anterior. Caso 1: autovalores de A todos reales y distintos En este caso los autovectores correspondientes son LI. Usamos el conjunto de autovec tores, {v1 , v2 , . . . , vn }, como base. Sea A la representacion de A en esta base. La columna 1 es la representacion de Av1 = 1 v1 en la base nueva, de A Av1 = 1 v1 = [ v1
v2 ... vn
]
1 0 0
. . .
y concluimos que la columna 1 de A es [1 0 . . . 0]T . La columna 2 es la representacion de T Av2 = 2 v2 con respecto a la base nueva, o sea [0 2 0 . . . 0] . Siguiendo este procedimiento, llegamos a que 1 0 0 0 2 0 A=. . .. .. . . . . . . . 0 0 n Concluimos que toda matriz con autovalores distintos tiene una representaci n en forma diagonal o (es diagonalizable). Caso 2: autovalores de A complejos y distintos Cuando todos los autovalores son distintos, pero algunos son complejos, no podemos llevar A a una forma diagonal real (aunque si compleja). Siendo A real, los autovalores complejos aparecen siempre en pares conjugados = j, y dan lugar a pares de autovectores tambi n complejos conjugados v = u jw. e En este caso no se puede llevar A a una forma diagonal real, pero s a una forma dia gonal en bloques real. Para esto, la nueva base debe armarse con los autovectores reales, las partes reales de los autovectores complejos, y las partes imaginarias de los autovectores complejos. Ejemplo 3.5 (Forma block-diagonal real de una matriz con autovalores complejos). Supongamos que la matriz A tiene dos autovalores reales y dos pares de autovalores complejos, {1 , 2 , 1 + j1 , 1 j1 , 2 + j2 , 2 j2 }
3. Herramientas de Algebra Lineal con autovectores
Notas de CAUT2 - 29
{v1 , v2 , u1 + jw1 , u1 jw1 , u2 + jw2 , u2 jw2 }. Formamos entonces la base {v1 , v2 , u1 , w1 , u2 , w2 } . En esta base la matriz A tiene la representacion 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 . A= 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2
Vemos que hay un bloque de 2 2 por cada par de autovalores complejos conjugados. Caso 3: autovalores de A repetidos Este es un caso especial. Cuando A tiene autovalores repetidos puede que no podamos llevarla a una forma diagonal. Sin embargo, siempre se puede llevar a una forma triangular o diagonal en bloques. Ilustramos el procedimiento para un caso concreto. Supongamos que A Rnn tiene un autovalor con multiplicidad n, es decir, un solo autovalor repetido n veces. Para simplicar consideremos n = 4. Sabemos que la matriz ( A I ) es singular. Ahora, caben las posibilidades de que el kernel (espacio nulo) de ( A I ) tenga dimension 1, 2, 3 o 4. Si el kernel de ( A I ) tiene dimension 4, entonces sabemos, del Teorema 3.2, que hay cuatro soluciones independientes (no nulas, pues la nula es la solucion particular en este caso), correspondientes a una base del kernel {n1 , n2 , n3 , n4 }. 1 2 ( A I ) x = 0 x = n1 n2 n3 n4 . 3 4 En este caso hay 4 autovectores independientes, y A es diagonalizable usando la base { n 1 , n 2 , n 3 , n 4 }. Veamos ahora el otro caso extremo, el kernel de A tiene dimension 1. En este caso solo podemos encontrar una solucion independiente. Necesitamos tres vectores independientes m s para armar una base. Una forma de lograrlo es usando el concepto de autovalores a generalizados. Denicion 3.14 (Autovector generalizado). Sea A Rnn y un autovalor de A. Un vector v es un autovector generalizado de A de grado n asociado al autovalor si
( A I )n v = 0 y ( A I )n1 v = 0
Si n = 1 el problema se reduce al caso reci n visto. Para n = 4 denimos los vectores e v4 v3 v2 v1 v
( A I )v4 = ( A I )v ( A I )v3 = ( A I )2 v ( A I )v2 = ( A I )3 v .
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 30
Los vectores v1 , v2 , v3 , v4 forman una cadena de autovectores generalizados de longitud 4, y cumplen las propiedades ( A I )v1 = 0, ( A I )2 v2 = 0, ( A I )3 v3 = 0 y (I A)4 v4 = 0. Estos vectores son LI por denicion, y adem s cumplen con las relaciones a Av1 Av2 Av3 Av4
= v1 = v1 + v2 = v2 + v3 = v3 + v4 .
de A con respecto a la base {v1 , v2 , v3 , v4 } 0 0 1 0 . (3.7) 1 0
A partir de estas relaciones, la representacion resulta 1 0 J= 0 0 0 0
Es f cil chequear que las columnas de J son la representacion de Avi , i = 1, 2, 3, 4, en la a base {v1 , v2 , v3 , v4 }. Esta matriz triangular es un bloque de Jordan de orden 4. Si el kernel de ( A I ) tiene dimension 2, entonces hay dos cadenas de autovectores generalizados cuya longitudes sumadas dan 4. Pueden ser {v1 , v2 } y {u1 , u2 }, {v1 } y {u1 , u2 , u3 }, {v1 , v2 , v3 } y {u1 }. En este caso la base se forma con los vectores de las dos cadenas. Igualmente, si el kernel de ( A I ) tiene dimension 3, entonces hay tres cadenas de autovectores generalizados, etc. En el primer caso visto, en que el kernel de ( A I ) tiene dimension 4, tenemos cuatro cadenas triviales de longitud 1. En resumen, si A R44 tiene un autovalor con multiplicidad 4, existe una matriz no singular Q tal que la matriz semejante A = Q1 AQ tiene una de las siguientes formas de Jordan 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 1 0 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 La forma general a la que podemos llevar una matriz va a ser diagonal en bloques, donde los bloques pueden ser de 1 1 para autovalores reales distintos, 2 2 para pares de autovalores complejos conjugados, y bloques de Jordan para autovalores multiples. La forma de Jordan puede usarse para establecer propiedades generales de matrices. Por ejemplo, det A = det( Q1 AQ) = det Q det Q1 det A. Como A es triangular, det A es el producto de los autovalores, det A =
i ( A ) ,
i =1
n
de lo que concluimos que A es no singular sii no tiene autovalores nulos. Terminamos esta seccion con una propiedad util de los bloques de Jordan, que es la de nilpotencia de la matriz ( J I ). Denicion 3.15 (Matriz Nilpotente). Una matriz A es nilpotente si existe algun k N tal que Ak = 0.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 31
Por denicion del bloque de Jordan J en (3.7), la matriz ( J I ) es nilpotente con k = 4, ya que 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 , ( J I )2 = 0 0 0 1 , ( J I )3 = 0 0 0 0 , ( J I ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( J I )4 = 0 0 0 0 . 0 0 0 0 En M ATLAB podemos usar [q,d] = eig(A) para calcular los autovalores y la base de autovectores si A es diagonalizable. Si A no es diagonalizable, Chen (1999) menciona la funcion [q,d] = jordan(A), que puede usarse para matrices de dimension moderada, pero disponible solamente en las versiones de M ATLAB con el symbolic toolbox).
3.6.
3.6.1.
Funciones de Matrices Cuadradas
Polinomios
Vimos que para cualquier entero k = 0 la potencia Ak est bien denida. Dado un a m m1 polinomio f ( ) = + a1 + + am denimos f ( A) como f ( A ) = A m + a 1 A m1 + + a m I . Si A es diagonal en bloques, digamos A = Ak = Ak 0 1 0 Ak 2
A1 0 0 A2
es f cil vericar que a f ( A1 ) 0 . 0 f ( A2 )
y tambi n e
f ( A) =
Dada la transformacion de semejanza A = Q1 AQ o A = Q1 AQ, como Ak = ( Q AQ1 )k = Q AQ1 QAQ1 = Q Ak Q1 , tenemos que f ( A ) = Q f ( A ) Q 1 o f ( A ) = Q 1 f ( A ) Q .
Un resultado importante en el c lculo matricial es el Teorema de Cayley-Hamilton, que a establece que toda matriz su satisface propio polinomio caracterstico. Teorema 3.3 (Cayley-Hamilton). Sea ( ) = det(I A) = n + 1 n1 + + n1 + n el polinomio caracterstico de A. Entonces ( A ) = A n + 1 A n1 + + n1 A + n I = 0 . (3.8)
El teorema de Cayley-Hamilton implica que An se puede escribir como una combina cion lineal de las potencias de A de 0 a n 1. Si multiplicamos (3.8) por A obtenemos que An+1 se puede escribir como combinacion lineal de { A, A2 , . . . , An }, que a su vez se puede n1 escribir en t rminos de { I, A, . . . , A }. e En conclusion, todo polinomio f ( A) puede expresarse, para apropiados i , como una combinacion lineal de las potencias de A de 0 a n 1. f ( A ) = 0 I + 1 A + + n1 A n1 .
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 32
3.6.2.
Polinomio mnimo
El teorema de Cayley-Hamilton establece que toda matriz satisface su polinomio caracterstico, es decir, si ( ) = det(I A), entonces ( A) = 0. Pero, podr A satisfacer a un polinomio de grado menor al de ( )? La respuesta depende de la multiplicidad de los autovalores de A. Cuando los autovalores son todos de multiplicidad 1 (todos distintos), entonces el polinomio caracterstico es el polinomio de menor grado que A satisface (polinomio mnimo), o sea n en este caso. Cuando hay autovalores con multiplicidad mayor que 1 (repetidos), el polinomio mni mo podr ser de grado menor que n. El polinomio mnimo se puede expresar como a ( ) =
( i )n ,
i
i
donde ni es la dimension del bloque de Jordan m s grande asociado al autovalor i . Como a el autovalor i puede tener m s de un bloque de Jordan asociado, concluimos que ni n. a Ejemplo 3.6. En la matriz 1 1 0 1 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 2
El autovalor 1 tiene multiplicidad 3, y dos bloques de Jordan asociados: ordenes 2 y 1. El autovalor 2 tiene multiplicidad 1. ( ) = ( ) =
( i )n ( i )n
i i
i
= ( 1 )3 ( 2 ) , = ( 1 )2 ( 2 ) ,
polinomio caracterstico polinomio mnimo .
i
El polinomio mnimo es siempre factor del polinomio caracterstico. Como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton vimos que para todo polinomio f ( ), el polinomio matricial f ( A) se puede expresar como una combinacion lineal de las n1 potencias de A, { I, A, . . . , A }. Si el polinomio mnimo se conoce (y por lo tanto los ni ), en realidad f ( A) se puede expresar como una combinacion lineal de un conjunto menor, ni 1 { I, A, . . . , A }, que es aun mejor.
3.6.3. Evaluacion de funciones matriciales
Una forma de calcular f ( A) (con ( ) si se conoce, y sino con ( )) es mediante la formula de division de polinomios: f ( ) = q( )( ) + h( ) , donde q( ) es el polinomio cociente y h( ) el polinomio resto. Tenemos f ( A) = q( A)( A) + h( A) = q( A)0 + h( A) = h( A) , o sea que todo se reduce a determinar los coecientes del polinomio h( ) = n1 n1 + + 1 + 0 .
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 33
La division de polinomios es util si el grado de f ( ) no es mucho mayor que el de ( ). De lo contrario es mejor determinar los coecientes de h( ) evaluando f ( ) en los autovalores de A y planteando un sistema de ecuaciones algebraicas. Si los autovalores i de A son todos distintos, los i de h( ) se pueden resolver del sistema de n ecuaciones con n incognitas f ( i ) = q ( i ) ( i ) + h ( i ) = h ( i ) , para i = 1, 2, . . . , n .
Si A tiene autovalores repetidos, hay que derivar f ( ) = q( )( ) + h( ) hasta obtener las ecuaciones faltantes. Ejemplo 3.7. Queremos calcular A100 con A= 0 1 . 1 2
Planteamos el problema como el c lculo de f ( ) = 100 evaluado en A. El polinomio caraca 2 terstico de A es ( ) = ( + 1) . Sea h( ) = 1 + 0 . En el espectro de A (dos elementos iguales en este caso, = 1) tenemos f (1) = h(1) f (1) = h (1)
(1)100 = 1 + 0
100 (1)99 = 1 ,
y as concluimos que 1 = 100, y 0 = 99, o sea, h( ) = 100 99. Finalmente, A100 = 1 A + 0 I
= 100 =
0 1 1 0 99 1 2 0 1
99 100 . 100 101
Resumimos el resultado que usamos en el ejemplo en un teorema. Teorema 3.4 (Evaluacion de una funcion matricial). Sean dados f ( ) y una matriz A n n con polinomio caracterstico ( ) = im 1 ( i )ni , donde im 1 ni = n. Sea h( ) = = = n1 n1 + + 1 + 0 el polinomio de orden n 1, con coecientes i a determinar, tal que f ( A) = h( A). Entonces los coecientes i pueden calcularse resolviendo el sistema de n ecuaciones algebraicas f (k) ( i ) = h (k) ( i ) , donde f (k) ( i ) para k = 0, 1, . . . , ni 1, y i = 1, 2, . . . , m, dk h( ) d k
dk f ( ) d k
y
= i
h (k) ( i )
.
= i
3.6.4. Funciones matriciales no necesariamente polinomiales
Dada una funcion f ( ) m s general, una forma de denir f ( A) es usando el Teorea ma 3.4. Es decir: calculamos el polinomio h( ) de orden n 1 igualando f ( ) = h( ) en el espectro de A, y as denimos f ( A) = h( A).
3. Herramientas de Algebra Lineal Ejemplo 3.8. Queremos calcular e At para A =
0 0 2 0 1 0 1 0 3
Notas de CAUT2 - 34 . El polinomio caracterstico de A es
( ) = ( 1)2 ( 2). Sea h( ) = 2 2 + 1 + 0 . Aplicando el Teorema 3.4 tenemos que 2 f (1) = h(1) f (1) = h (1) f (2) = h(2)
et = 2 + 1 + 0 tet = 22 + 1 e2t = 42 + 21 + 0 .
Haciendo las cuentas obtenemos 0 = 2tet + e2t , 1 = 3tet + 2et 2e2t , y 2 = e2t et tet . Finalmente e At = h( A) = (e2t et tet ) A2 + (3tet + 2et 2e2t ) A + (2tet + e2t ) I t 2e e2t 0 2et 2e2t . et 0 = 0 2t t 2t t e e 0 2e e Ejemplo 3.9. Consideremos el bloque de Jordan de orden 4 1 1 0 0 0 1 1 0 A= 0 0 1 1 . 0 0 0 1 Su polinomio caracterstico es simplemente ( ) = ( 1 )4 . Si en vez de seleccionar h( ) = 3 3 + 2 2 + 1 + 0 , elegimos h( ) = 3 ( 1 )3 + 2 ( 1 )2 + 1 ( 1 ) + 0 , La condicion f ( ) = h( ) en el espectro de A da las expresiones 0 = f (1 ) , 1 = f (1 ) , 2 = f (2) ( 1 ) , 2! 3 = f (3) ( 1 ) . 3!
La propiedad de nilpotencia de ( A I ) cuando A es un bloque de Jordan,
(1 I A) =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
, (1 I A)2 =
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
, (1 I A)3 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
, (1 I A)4 =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
en este ejemplo permite obtener la expresion general para f (1 ) f (1 )/1! f (2) (1 )/2! 0 f (1 ) f (1 )/1! f ( A) = 0 0 f (1 ) 0 0 0
f ( A) f (3) (1 )/3! f (2) (1 )/2! . f (1 )/1! f (1 )
As, por ejemplo, para la funcion exponencial matricial f ( ) = et , tenemos t e 1 te1 t t2 e1 t /2! t3 e1 t /3! 0 e 1 t te1 t t2 e1 t /2! . e At = 0 0 e 1 t te1 t 0 0 0 e 1 t
2
Ojo que la diferenciacion en la segunda lnea es con respecto a , no t.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 35
3.6.5.
Series de Potencias
Otra forma de denir una funcion matricial f ( A) es a trav s de la serie de potencias de e f ( ). Supongamos que f ( ) se puede representar por f ( ) =
i =0
i i
con radio de convergencia . Si todos los autovalores de A tienen magnitud menor que , entonces podemos denir f ( A) como f ( A) =
i =0
i Ai .
(3.9)
Esta denicion es en realidad equivalente a la anteriormente vista en el Teorema 3.4. No lo probamos, pero mostramos un caso particular. Ejemplo 3.10. Consideremos otra vez el bloque de Jordan del Ejemplo 3.9, A=
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
.
Supongamos que f ( ) tiene el siguiente desarrollo en serie de potencias alrededor de 1 f ( ) = f (1 ) + f (1 )( 1 ) + Entonces f (1 ) ( 1 )2 + 2!
f (1 ) ( A 1 I )2 + 2! Por la propiedad de nilpotencia del bloque de Jordan, (I A)k = 0 para k n = 4, la serie de potencias se reduce inmediatamente a la expresion que sacamos en el Ejemplo 3.9. f ( A) = f (1 ) I + f (1 )( A 1 I ) +
3.6.6.
Diferenciacion e Integracion Matricial
t
Se dene elemento a elemento, A( )d,
0
d A(t) dt
t
son respectivamente
0
ai j ( )d,
d ai j ( t ) . dt
Con estas deniciones no es difcil probar que vale la propiedad d [ A(t) B(t)] = A(t) B(t) + A(t) B(t) , dt el teorema fundamental del c lculo, a d dt y la regla de Leibniz d dt
g(t) f (t) t
A( )d = A(t) ,
0
A(t, )d = A(t, g(t)) g(t) A(t, f (t)) f(t) +
g(t) f (t)
A(t, )d . t
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 36
3.6.7.
La Exponencial Matricial
Una funcion de particular inter s en este curso es e At . Como la serie de Taylor et = e 2 t2 n tn 1 + t + 2! + + n! + converge para todo y t nitos, tenemos que e At = I + tA +
k t2 t A + = Ak . 2! k! k =0
(3.10)
En M ATLAB e A se calcula con la funcion expm(A),3 que implementa la expansi n de Pad. o e Usando (3.10) es f cil probar las siguientes dos propiedades de e At a e0 = I , e A(t1 +t2 ) = e At1 e At2 , e At
1
= e At .
(Como probamos la tercera?) Notar que en general e( A+B)t = e At e Bt (por qu ?). e Diferenciando t rmino a t rmino (3.10) obtenemos e e
d At t k 1 e = Ak dt (k 1)! k =1
=A
tk k (k)! A k =1 tk k (k)! A k=1 A,
=
as tenemos que
d At e dt
= Ae At = e At A.
3.7.
Ecuacion de Lyapunov
AM + MB = C , (3.11)
Es la siguiente ecuacion matricial donde A y B son matrices constantes, respectivamente de dimensiones n n y m m. Las matrices C y la inc gnita M son n m. o La ecuacion (3.11) es lineal en M y puede escribirse como sistema de ecuaciones algebraicas en la forma est ndar Ax = y. Ve moslo para n = 3 y m = 2: a a a11 a12 a13 m11 m12 m11 m12 c11 c12 a21 a22 a23 m21 m22 + m21 m22 b11 b12 = c21 c22 b21 b22 a31 a32 a33 m31 m32 m31 m32 c31 c32 Haciendo las cuentas y expresando M y C como vectores apilando sus columnas, llegamos a a11 + b11 a12 a13 b12 0 0 m11 c11 a21 m21 c21 a22 + b11 a23 0 b12 0 a31 a32 a33 + b11 0 0 b12 m31 c31 = b21 0 0 a11 + b22 a12 a13 m12 c12 0 b21 0 a21 a22 + b22 a23 m22 c22 0 0 b21 a31 a32 a33 + b22 m32 c32
3
Ojo no confundir con exp(A), que da la matriz de las exponenciales de los elementos de A.
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 37
es decir A M = C, donde A es la matriz (n m) (n m) de la ecuacion anterior, y M y C 4 son las matrices M y C convertidas en vectores (n m) 1. Como A es cuadrada, por el Corolario 3.1, esta ecuacion tiene solucion unica si la matriz A es invertible, es decir si no tiene ningun autovalor nulo. Puede probarse que si i y i son respectivamente los autovalores de A y B, los autovalores de A son i + j , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m. En consecuencia, la ecuacion de Lyapunov tendr solucion unica a si no existen i, j tales que i + j = 0. En M ATLAB la ecuacion (3.11) se resuelve con lyap(A,B,-C).
3.8. Formas Cuadraticas
Dada una matriz M Rnn , la funcion escalar xT Mx, donde x Rn , es una forma cuadr tica. Sin p rdida de generalidad se puede tomar M como simtrica, M = M T , ya que a e e xT ( Q + QT ) x = 2xT Qx, para todo x Rn .
Los autovalores de una matriz sim trica son todos reales, ya que para todo autovalor con e T autovector v de M = M , 1. el escalar v Mv (donde v denota la transpuesta conjugada de v) es real (sea v real o no), (v Mv) = v M v = v Mv, y as 2. debe ser real, dado que v Mv = v v = (v v) .
Toda matriz real sim trica M es diagonalizable, es decir, el orden de su mayor bloque de e Jordan es 1. Si no lo fuera, es decir, si existiera un autovector generalizado v de orden mayor que 1 asociado a algun autovalor repetido , tendra que vericarse que
(I M)k v = 0, (I M)
Pero entonces
k 1
para algun k > 1, y
(3.12) (3.13)
v = 0.
(I M)k1 v
(I M)k1 v = v (I M )k1 (I M)k1 v = v (I M)2k2 v = v (I M)k2 (I M)k v
(3.14)
debera ser nulo por (3.12) y no nulo por (3.13). Una contradiccion que prueba que M = M T no puede tener bloques de Jordan de orden mayor que 1, y por lo tanto debe ser semejante a una matriz diagonal: existe una matriz Q Rnn no singular tal que M = QDQ1 , donde D Rnn es diagonal. Notar que como M es sim trica y D diagonal, e M = QDQ1 = ( QDQ1 )T = ( Q1 )T DQT , que implica que QT = Q1 y QQT = I. Toda matriz no singular Q con esta propiedad se llama ortogonal, y sus columnas son vectores ortonormales.
4
A puede escribirse en forma compacta como A = Imm A + B Inn (: producto de Kronecker).
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 38
Teorema 3.5. Para toda matriz real sim trica M existe una matriz ortogonal Q tal que e M = QDQT o D = QT MQ ,
donde D es una matriz diagonal con los autovalores de M, que son todos reales, en la diagonal. Una desigualdad importante para una matriz sim trica M es la desigualdad de Rayleighe Ritz, que dice que para cualquier x Rn mn xT x xT Mx max xT x , donde mn y max son respectivamente el menor y mayor autovalor de M.
3.8.1.
Matrices denidas y semi-denidas positivas
Denicion 3.16 (Matriz denida y semi-denida positiva). Una matriz sim trica M se e T dice denida positiva, que denotamos M > 0, si x Mx > 0 para todo vector x Rn no nulo. Es semi-denida positiva, que denotamos M 0, si xT Mx 0 para todo vector x Rn no nulo. Si M es denida positiva, entonces xT Mx = 0 sii x = 0. Si M es semi-denida positiva, entonces existe algun x no nulo tal que xT Mx = 0. Existen tests para determinar si una matriz es denida o semi-denida positiva basados en las propiedades del signo de los determinantes de diversas submatrices. Uno de estos tests se basa en los menores principales. Denicion 3.17 (Menores principales). Sea una matriz sim trica M Rnn con entradas e {mi j }. Entonces dados los enteros p = 1, . . . , n y {i1 , i2 , . . . , i p }, con 1 i1 i2 i p n, denimos los menores principales de la matriz M como mi1 ,i1 mi1 i2 mi1 i p m mi2 i2 mi2 i p . M(i1 , i2 , . . . , i p ) = det i2 ,i1 mi p ,i1 mi p i2 mi p i p Los escalares M(1, 2, . . . , p), p = 1, 2, . . . , n, que son simplemente los determinantes de las submatrices de la esquina superior izquierda de M, M(1) = m11 , M(1, 2, 3) = det son los primeros menores principales de M. Teorema 3.6 (Matriz denida (semi-denida) positiva). Una matriz sim trica M es denie da positiva (semi-denida positiva) sii cualquiera de las siguientes condiciones se satisface: 1. Cada uno de sus autovalores es positivo (no negativo). 2. Todos sus primeros menores principales son positivos (todos su menores principales son no negativos).
m11 M(1, 2) = det [ m21 m11 m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33 m12 m22
],
,
3. Herramientas de Algebra Lineal
Notas de CAUT2 - 39
3. Existe una matriz no singular N Rnn (una matriz singular N Rnn , o una matriz N Rmn , con m < n) tal que M = N T N. Una matriz sim trica M es denida negativa (semi-denida negativa ) si M es denida e positiva (semi-denida positiva). Ejemplo 3.11. La matriz sim trica e M= m11 m12 m12 m22
es denida positiva si y solo si m11 > 0 y m11 m22 m2 > 0. Es semi-denida positiva si y 12 solo si m11 0, m22 0, y m11 m22 m2 0. 12
3.9.
La Descomposicion en Valores Singulares (SVD)
Consideremos una matriz A Rmn y denamos M = AT A. Claramente M es n n, sim trica, y semi-denida positiva. Sus autovalores i son no negativos. Como e det(Im AAT...