ENDSTR T MHENDSL BLM SSTEM SMLASYONU DERS YARIYIL SONU SINAV YANITLARI 24/05/2006 Soru 1. Soruda belirtilen retim sistemi seri imalat yapmaktadr. Bu nedenle simlasyon modellerinin sonlanmayan modeller olduunu kabul edebiliriz. Gei dnemlerini belirlemek amacyla her iki yerleim dzeni seeneinde paralarn sistemde kal sresi verilerinin grafii, hareketli ortalama grafii ile birlikte verilmitir. ekil 1a ve ekil 2a grafiklerine baklarak gei dnemlerine karar verebiliriz. I. Seenekte gei dnemi 200, II. Seenekte ise 100 olarak belirlenmitir. Gei dnemi atldktan sonra kalan deerlerin korelogramlar ekil 1b ve ekil 2bde verilmitir. I. Seenekte paralarn kal srelerinin kendisinden 10 sonraki paraya kadar korelasyonlu olduu grlmektedir. Daha sonra korelasyon dmektedir. Bu durumda ilk seenek iin korelasyonun snmlendii noktay m1=10 olarak belirleyebiliriz. II. Seenekte korelasyonun snmlendii nokta benzer yolla m2=20 bulunur. Kme byklkleri korelasyonun snmlendii noktann en az 10 kat olacana gre srasyla 100 ve 200 olarak hesaplanr. Tablo 1de her iki seenek iin gei dnemi atlm ve kalan veriler kme byklklerine gre gruplandrlmtr. Tablo 1. Kmeler I. Seenek
Para No 1-50 51-100 101-150 151-200 201-250 251-300 301-350 351-400 401-450 451-500 501-550 551-600 601-650 651-700 701-750 751-800 801-850 851-900 901-950 951-1000 Ortalama 16.3 21.6 26.3 29.7 33.0 29.9 29.0 32.1 27.8 29.7 31.4 33.1 29.4 28.9 28.7 30.1 31.2 30.8 30.3 31.9 1-50 51-100 101-150 151-200 201-250 251-300 301-350 351-400 401-450 451-500 501-550 551-600 601-650 651-700 701-750 751-800 801-850 851-900 901-950 951-1000
II. Seenek
Para No Ortalama 22.9 27.4 27.5 27.4 27.0 26.9 26.8 27.0 28.1 28.2 28.0 26.6 27.8 27.4 28.3 26.3 27.6 30.4 27.4 26.6
Kme byklkleri farkl olduundan I. Seenek iin 8, II. Seenek iin 4 kme olumutur. Her satr 50 parann kal sresi ortalamasn verdiine gre 100 ve 200 paradan oluan bu kmelerin ortalamasn kmeye giren 50 paralk ortalamalardan hesaplayabilir. rnein II. Seenein ilk grubunun ortalamas aadaki gibi hesaplanabilir.
x1II =
50(27.5) + 50(27.4) + 50(27.0) + 50(26.9) = 27.2 200
1/7
Bu ilem aadaki 50 paral 4 grubun ortalamas alnarak basitletirilebilir.
x1II =
27.5 + 27.4 + 27.0 + 26.9 = 27.2 4
Her iki seenein kme ortalamalar bulunmu ve Tablo 2de verilmitir. Tablo 2. Kmelerin ortalama kal sreleri Kme No Seenek I Seenek II 1 2 3 4 5 6 7 8 Ortalama Standart Sapma Varyans 31.45 30.55 28.75 32.25 29.15 29.40 31.00 31.10 30.46 1.23 1.52 27.200 27.525 27.450 28.150
27.581 0.40 0.16
ki seenein ortalamalar arasnda fark olup olmadn test etmemiz istenmektedir. Soruda simlasyon modellerinin ayr ayr oluturulduu ve altrld sylenmektedir. Seenekler arasnda korelasyon olmadna gre iki rnekli t testi uygulamamz gerekmektedir. ki rnekli t testi kme varyanslarnn eit olup olmamasna gre farkllamaktadr. Bu nedenle ilk ilem olarak varyanslarn eitlii test edilmelidir.
2 H 0 : I2 = II 2 H1 : I2 II
F=
s I2 1.52 = = 9 .5 2 s II 0.16
2
Deer 1den byk ktna gre tablodan Fn 1, n 1,1 I II 0.20).
= F7,3,0.90 deerine bakmamz gerekmektedir ( =
F7,3,0.90 = 5.266
Varyanslarmzn oran 9.5 > 5.266 olduuna gre bo hipotez ret edilir. Bu durumda varyanslarn eit olmad iki rnekli t testi kullanlmaldr.
H 0 : I = II H 1 : I II
Varyanslar eit olmadna gre her kmenin varyans ayr olarak yar gven aral hesabna katlacaktr. Fakat t dalm iin bir serbestlik derecesi belirlememiz gerekir. Aada serbestlik derecesi 9.29 bulunmutur. Bu deeri dk tamsayya yuvarlayarak serbestlik derecesini 9 olarak buluruz.
2/7
1.52 0.16 + 4 8 = = 9.29 = 2 2 2 22 s I2 s II 1.52 0.16 n n 8 + 4 I II + 8 1 4 1 nI 1 nII 1
Ortalamalar arasndaki farkn gven aral aadaki ekilde hesaplanabilir.
2 s I2 s II + n I n II
2
2
x I x II = 30.46 27.581 = 2.879
= 0.05
serbestlik derecesi = 9 t ,1 2 = t9,0.975 = 2.262 h = t ,1
2 2 s I2 s II 1.52 0.16 + = 2.262 + = 1.08 8 4 nI nII
GA = [2.879 1.08,2.879 + 1.08] = [1.799,3.959]
Gven aralnn iinde 0 bulunmamaktadr. Paralarn sistemde kal srelerinin ortalamas iki yerleim dzeni iin farkldr. I. Seenein ortalamasndan II. Seenein ortalamasn kartarak gven araln oluturduumuza gre I. Seenein deerleri II. Seenekten daha byktr. Sistemde kal sresinin dk olmas isteneceine gre karar vericiye II. Seenek yerleim dzenini kullanmas nerilir. Soru 2. a) Simlasyon tablosunu hazrlamadan nce geliler aras srelerin gen dalma uygunluunun belirlenmesi gerekmektedir. Soruda ardk be talebin geli zamanlar verilmiti. Bu geli zamanlarn birbirinden kararak be adet geliler aras sre deeri bulunur. Be deerle 2 testi yapmak olanakl deildir. Dalm srekli olduuna ve parametreleri de verildiine gre Kolmogorov-Smirnov (KS) testi uygulayabiliriz. KS testinde teorik birikimli olaslklarn bulunmas gerekmektedir. gen dalmn F ( x) fonksiyonu aada verilmitir (gen dalmn ters dnm denkleminden elde edilebilir).
( x a )2 a x b (b a )(c a ) F ( x) = 2 b < x c 1 (c x ) (c b )(c a ) (x 20)2 20 x 30 250 F ( x) = 2 30 < x 45 1 (45 x ) 375
KS hipotez testinin hipotezleri aada belirlenmitir. H0: Taleplerin geliler aras sresi en kk deeri 20, en byk deeri 45 ve en olas deeri 30 dakika olan gen dalmdan gelmektedir. H1: Taleplerin geliler aras sresi yukardaki dalmdan gelmemektedir.
3/7
Tablo 3. KS tablosu
Gzlenen Birikimli Olaslk No 1 2 3 4 5 Veri 25.6 31.1 33.8 36.4 39.3 Alt 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 st 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Teorik Birikimli Olaslk 0.13 0.48 0.67 0.80 0.91 Fark Alt 0.13 0.28 0.27 0.20 0.11 st 0.07 0.08 0.07 0.00 0.09 0.28
En byk fark deeri 0.28 bulunmutur. Serbestlik derecesi veri saysna eittir. = 0.05 iin KS tablosundan kritik deer 0.565 olarak bulunur. 0.28 0.565 olduundan bo hipotezi ret edecek yeterli veri bulunamamtr. Taleplerin geliler sresi aras sylenen gen dalma uymaktadr. b) Simlasyon tablosunu oluturmadan nce ters dnm denklemlerini belirleyelim. sembol en yakn aa tamsayya yuvarlama ilemi gstermektedir. Tablo 4. Ters dnm denklemleri Ama Dalm Talep geliler aras sresi 20-30-45 dakika gen Ters Dnm Denklemi 20 + 250RS RS 0.4 x= 45 375(1 RS ) RS > 0.4
Talep miktar
Ortalamas 30, standart sapmas 10 adet normal dalm 20-50 km aras dzgn dalm
x = 30 + 10 RNS + 1
Talebin depoya uzakl
x = 20 + 30 RS
Bu denklemleri kullanarak aadaki simlasyon tablosu oluturulabilir. Tablo 5. Simlasayon tablosu
RS 0.560 0.251 0.333 0.020 0.569 GAS 32.2 27.9 29.1 22.2 32.3 GZ 32.2 60.1 89.2 111.4 143.7 RNS 0.94 0.40 -0.57 0.25 -1.38 Talep 40 35
2
Kamyon Tipi B B K1 B K1
RS 0.537 0.193 0.397 0.014 0.543
Talep Uzakl 36.1 25.8 31.9 20.4 36.3
Sre 54.2 38.7 47.9 30.6 54.5
Kalk Dn 32.2 86.4 89.2 125.1 143.7 86.4
1
Toplam Bekleme 0 920.5 0 452.1 0
125.1 137.1 155.7 198.2
25 33
3
17
Aklamalar
1
2
Kamyon 32.2de hareket etmitir. Talebin uzakl 36.1 km dir. Kamyon 60 dakikada 80 km yaptna gre talep noktasna (36.1 / 80) x 60 = 27.075 dakikada ular. Ykleme ve boaltma sreleri dikkate alnmayacak kadar kktr. Ayn srede kamyonun depoya dneceini dnrsek, kamyon kalkndan 2 x 27.075 = 54.2 dakika sonra depoya dnm olacaktr. 60.1 annda gelen ikinci talep 30 adetten fazla olduundan byk kamyonla tanmak zorundadr. Byk kamyon ilk talebi tadktan sonra depoya 86.4te dnmektedir. 35 adet rn 60.1 anndan 86.4e kadar depoda bekleyecektir. Toplam bekleme sresi 35 x (86.4 60.1) = 920.5 dakika olacaktr.
4/7
3
111.4te gelen drdnc talep de byk kamyonu beklemektedir. Toplam bekleme sresi 33 x (125.1 111.4) = 452.1 dakika olacaktr.
rn bana ortalama bekleme sresi,
920.5 + 452.1 = 20.2 35 + 33
olarak bulunur. c) Gven aral Tablo 5 yardmyla hesaplanmtr. Tablo 5.
Koum No 1 2 3 4 5 Ortalama Std. Sapma Ortalama Bekleme 25.2 14.6 26.8 16.8 20.2 20.7 5.25
x = 20.7 s ( x) = 5.25
= 0.05
t n1,1 2 = t 4,0.975 = 2.776 h = t n1,1
2
s ( x) 5.25 = 2.776 = 6.52 n 5
Gven aral d)
[20.7 6.52,20.7 + 6.52] = [14.18,27.22] olarak bulunur.
Hipotez testi Bekleme sresi ynnnn ortalamas irket ynetiminin syledii gibi 15 ise veriler aadaki bo hipotezi desteklemelidir.
H 0 : = 15 H1 : 15
Eer bo hipotez doruysa, t = ( x ) s ( x )
(
n
)
istatistii 0.95 olaslkla t n 1,
2
ile t n 1,1
2
deerleri
deerleri tablodan elde edilebilir ( t dalm simetrik olduundan t 4, 0.025 = t 4, 0.975 ).
arasnda kalmaldr. Bu deerler srasyla aadaki gibi bulunur. t 4, 0.025 = 2.776 ve t 4, 0.975 = 2.776
t=
(x ) s(x ) n
=
20.7 15 = 2.43 5.25 5
5/7
-2.776 2.43 2.776 olduuna gre sfr hipotezini ret edecek yeterli veri bulunmamaktadr. rn bana bekleme srelerinin ortalamasnn 15 olduu dnlebilir. Anlamllk testi Eer sfr hipotezi doruysa yukarda bulunan 2.43 deeri serbestlik derecesi 4 olan t dalmdan gelmektedir. Serbestlik derecesi 4 olan t dalmnda 2.43 deerinden daha yksek deer kma olasl Excel ya da tablo yardmyla 0.036 olarak bulunur. ift kuyruk testi yapldna gre 2 x 0.036 = 0.072 anlamllk deeri bulunur. 0.072 deeri 0.05ten kk olmadna gre sfr hipotezini ret edecek yeterli veri yoktur. (c) kknda bulunan gven araln kullanarak 15 deeri 14.18,27.22 gven aralnda kaldna gre H0: = 15 sfr hipotezini ret edecek yeterli veri yoktur.
[
]
Soru 3. Soruda statik bir simlasyon modeli sorulmutur. Sistem durum deikenleri arasnda zaman iinde iliki bulunmamaktadr. Tek rastsal girdi deikeni bir saat iinde gelen mteri saysdr ve 10 ile 20 arasnda dzgn dalma uymaktadr. Ters dnm denklemi aadaki gibi belirlenebilir.
x = 10 + 10 RS + 1
Soruda 22 faktriyel tasarm istenmektedir. Faktrlerimiz sat danman says ile sat danmanlarnn yetkinlik dzeyidir. Her iki faktrn dk ve yksek deerlerini Tablo 6daki gibi belirleyelim. Tablo 6. Faktr dzeyleri
Dzeyler Faktr Sat danman says Sat danman yetkinlii 4 + 6
= -1.6, C = 30
= -2.0, C = 40
22 faktriyel tasarmda 4 deney eleman bulunacaktr. Her deney eleman iin 3 koum yaplmas istenmitir. Koumlarda mteri says rastsal olarak belirlenecek ve soruda verilen saatlik kar fonksiyonunda yerine konacaktr. rnein her iki faktrn de dzeyi iin denklem aadaki duruma gelir.
S = N e
d
C d = 30 N 0.75 e 1.6 4 30(4) = 20.11N 0.75 120
Benzer ekilde dier deney elemannn formlleri elde edilir ve her deney eleman iin 3 rastsal say atlarak bulunan mteri saylar formllerde yerine konulursa Tablo 7 elde edilebilir. Tablo 7. 22 faktriyel deney tasarm sonular
Faktrler Sat danman says + + Yetkinlik dzeyi + + RS 0.312 0.319 0.748 0.239 Koum 1 Mteri says (N) 14 14 18 13 Kar 25.5 -28.3 20.8 -92.8 RS 0.202 0.398 0.987 0.902 Koum 2 Mteri says (N) 13 14 20 20 Kar 17.7 -28.3 37.3 -36.7 RS 0.878 0.330 0.143 0.806 Koum 3 Mteri says (N) 19 14 12 19 Kar 63.0 -28.3 -31.9 -44.4
Soruda iki faktrn birlikte etkisi olup olmad istenmektedir. Birlikte etki deeri e12 aadaki ekilde hesaplanabilir.
6/7
e12 =
( R4 R2 ) ( R3 R1 ) 2
koumun deerleri aada hesaplanmtr.
e12(1) = e12( 2) e12(3)
(92.8 (28.3)) (20.8 25.5) = 29.9 2 (36.7 (28.3)) (37.3 17.7) = = 14.0 2 (44.4 (28.3)) (31.9 63.0) = = 39.4 2
koum sonucunda bulunan birlikte etki deerlerini kullanarak gven aral hesaplayabiliriz. Tablo 8. Birlikte etki deerleri Koum e12 1 -29.9 2 -14.0 3 39.4 -1.5 Ortalama 36.3 Std. sapma
e12 = 1.5 s (e12 ) = 36.3
= 0.05
n=3 t n1,1 2 = t 2,0.975 = 4.303 h = t n1,1
2
s (e12 ) 36.3 = 4.303 = 90.2 3 n
Gven aral 1.5 90.2,1.5 + 90.2 = 91.7,88.7 olarak bulunur. Gven aral iinde sfr deeri olduuna gre faktrlerin birlikte etkileri bulunmamaktadr. Fakat gven aral ok geni kmtr. Bunun nedeni koum saysnn yetersiz olmasdr. Daha yksek sayda koum yaparak dar bir gven aral ile karar vermek daha doru olacaktr.
[
][
]
7/7