Carti www.cartiaz.ro si articole online gratuite de la A la Z
BAZELE ELECTROTEHNICII
INTRODUCERE Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este format prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare, diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice, generatoare electrice si altele. Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor circuite fizice. Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric alcatuit din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit. Un element de circuit modeleaza un singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si curentii bornelor. Daca elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t) si are tensiunea u(t) intre borne atunci: - rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv,
- bobina ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv, - condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv, Orice model (circuit electric), este o aproximatie a circuitului fizic. De exemplu o bobina realizata pe un tor de ferita (la care efectul inductiv predomina in raport cu cel rezistiv si cu cel capacitiv) se poate modela printr-o bobina ideala. Daca rezultatele teoretice obtinute in urma analizei circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor facute asupra circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. Comportarea unui dispozitiv electric poate fi aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile de lucru (semnale mari sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama temperaturilor de functionare etc.). De exemplu un tranzistor bipolar are modele diferite pentru semnale mari sau semnale mici si pentru frecvente de ordinul kilohertzilor sau megahertzilor.
unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t).
Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in vid c=3 108 m/s. Fie un semnal sinusoidal s(t,x)=Asin2 f(t-x/c) de frecventa f care se propaga cu viteza c dupa directia x. Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a circuitului fizic introduce o intarziere t=dmax/c. Daca t este neglijabil fata de cea mai mica 1
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z perioada Tmin=1/fmax (fmax -frecventa maxima) a unui semnal de interes practic, este evident ca efectul de propagare poate fi neglijat. In acest caz se poate considera ca semnalele se propaga instantaneu (cu viteza infinita) si un astfel de model se numeste circuit electric cu parametri concentrati. Conditia t<<1/fmax este echivalenta cu dmax<<
min
unde
min
=c/fmax este
lungimea de unda corespunzatoare frecventei maxime de interes practic. Daca efectul de propagare nu se poate neglija (dmax nu se poate neglija fata de
min
) circuitul fizic se modeleaza
cu un circuit electric cu parametri distribuiti. Intr-un circuit cu parametri distribuiti curentii si tensiunile sunt functii de timp si de variabile spatiale; comportarea circuitului este influentata de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Intr-un circuit cu parametri concentrati, admitand ca propagarea se face instantaneu, curentii si tensiunile sunt functii numai de timp nu si de variabile spatiale; un astfel de model nu tine seama de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Fiind mai simplu, modelul de circuit cu parametri concentrati este de preferat atunci cand poate fi utilizat.
Fie, de exemplu, un cablu cu lungimea L=1Km format din doua conductoare. Daca prin cablu trece un curent i cu f=250KHz rezulta =1,2Km L si se adopta un model cu parametri distribuiti. In acest caz, daca x este distanta masurata de la un capat al cablului, i(t,x)=Isin2 f(t-x/c)=Isin(2 ft-2 x/ ) si la acelasi moment t i are valori diferite in functie de x (de exemplu i(t,0)=Isint2 ft si i(t, /2)=Isin(2 ft- )). Daca prin cablu trece un curent de frecventa industriala f1=50Hz rezulta =6000Km>>L si i(t,x)=Isin2 f1 t nu depinde de x. Teoria prezentata in continuare se refera numai la circuitele cu parametri concentrati.
Teoria circuitelor include analiza calitativa si cantitativa a comportarii circuitelor. In consecinta, instrumentele acestei teorii sunt matematice si conceptele si rezultatele utilizate sunt exprimate prin variabile de circuit si ecuatii de circuit care leaga intre ele aceste variabile. Teoria circuitelor nu se ocupa de fenomenele fizice care au loc in interiorul unui element de circuit. Capitolul 1 trateaza axiomele teoriei circuitelor (teoremele lui Kirchhoff si teorema transferului de putere pe la bornele unui multipol), consecinte ale acestora valabile in orice regim de functionare si elemente de topologie a circuitelor. Capitolul 2 se ocupa de circuitele rezistive incluzand elementele de circuit, ecuatiile circuitelor, teoreme si metode de analiza ale circuitelor rezistive. Capitolul 3 contine o prezentare a elementelor dinamice de circuit, proprietatile acestora,
2
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z studiul circuitelor de ordinul intai si doi, ecuatiile si metodele de rezolvare a circuitelor dinamice in domeniul timpului; se definesc regimurile de functionare ale circuitelor. Capitolul 4, dedicat regimului periodic, se ocupa de regimul sinusoidal al circuitelor liniare (circuitele de curent alternativ monofazat si trifazat) si de regimul nesinusoidal. Capitolul 5 abordeaza, cu ajutorul transformatei Laplace, regimul variabil ca timp al circuitelor liniare. Cursul este conceput avand in vedere specificul facultatii de automatica si calculatoare. Se utilizeaza concepte din teoria sistemelor (ecuatii de stare, planul fazelor, excitabilitate si observabilitate a modurilor circuitului, etc.) si se prezinta aplicatii specifice (circuite cu amplificatoare operationale, oscilatoare, circuite cu comportare haotica, etc.). CAPITOLUL 1 TEOREMELE LUI KIRCHHOFF 1.1. Elementele de circuit Comportarea unui element de circuit este descrisa de relatiile intre curentii bornelor (terminalelor) si tensiunile intre aceste borne. Conditiile in care se pot defini bornele unui dispozitiv electromagnetic astfel incat comportarea acestuia sa fie descrisa de aceste relatii se formuleaza in teoria campului electromagnetic. Elementele de circuit se simbolizeaza astfel:
Daca elementul de circuit are n borne (terminale), el se numeste n-pol (cu 2 borne - dipol, cu 3 borne - tripol, cu 4 borne - cuadripol). Un curent al unui terminal are un sens de referinta simbolizat printr-o sageata; o tensiune intre doua borne are un sens de referinta simbolizat prin alta sageata. De exemplu la elementul dipolar curentul i intra in borna 1 si iese din borna 2 iar tensiunea u intre bornele 1 si 2 este u=v1-v2 unde v1 si v2 sunt potentialele bornelor 1 si 2. La npoli tensiunile se considera fata de un punct de referinta arbitrar (de regula borna n). Atunci cand sagetile curentului si tensiunii ies din aceeasi borna u si i sunt asociate dupa regula de la receptoare. Daca sagetile curentului si tensiunii nu ies din aceeasi borna, u si i sunt asociate dupa regula de la generatoare. 3
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z
Orice element de circuit este caracterizat de ecuatia de functionare Fk(i1,i2,. . .,in-1,u1,u2 , . . . ,un-1)=0, k=1, . . . ,n-1 care reprezinta dependenta dintre marimile la borne (curenti si tensiuni). Ecuatiile Fk()=0 pot fi algebrice sau diferentiale in functie de fenomenul fizic modelat. Elementele rezistive de circuit sunt caracterizate de ecuatii algebrice, iar elementele dinamice de circuit sunt caracterizate de ecuatii diferentiale. Fk pot fi functii liniare sau neliniare. Exista multipoli la care bornele pot fi grupate in perechi astfel incat o pereche de borne (care formeaza o poarta) este parcursa de acelasi curent. Daca toate bornele sunt grupate in porti multipolul este un multiport. Ecuatia de functionare a multiportului este de forma Fk(i1,i2,. . . .,in,u1,u2 , . . . . ,un)=0 , k=1 , . . . . ,n.
Daca ecuatiile Fk()=0 sunt algebrice multiportul este rezistiv, iar daca cel putin o ecuatie este diferentiala multiportul este dinamic. Intr-un circuit fizic bornele dispozitivelor sunt conectate intre ele prin conductoare de legatura. Un circuit electric este format dintr-o multime de elemente de circuit ale caror borne sunt conectate direct intre ele. Desi de regula acest model nu tine seama de caracteristicile conductoarelor de legatura, atunci cand este necesar si aceste conductoare pot fi modelate prin elemente de circuit. Locul in care sunt conectate cel putin doua borne este un nod; orice borna izolata este considerata nod. Teoria circuitelor se ocupa de analiza circuitelor electrice admitand ca sunt valabile teoremele lui Kirchhoff, teorema transferului de putere pe la bornele elementelor de circuit si relatiile intre tensiunile si curentii unui element de circuit. Aceste teoreme si relatii, considerate ca axiome in teoria circuitelor electrice, pot fi demonstrate in teoria campului electromagnetic.
4
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z
1.2.Teoremele lui Kirchhoff
Teorema lui Kirchhoff referitoare la tensiuni (Teorema II) Intru-un circuit cu n noduri se alege in mod arbitrar un nod de referinta al carui potential se
considera nul (vn=0). Potentialele vk ale nodurilor 1,...,n-1 sunt functii de timp. Tensiunile intre nodurile 1, ..., n-1 si nodul n sunt u1n = V1 , u2 n = V2 , ... , un 1n = Vn1. Circuitul se conside-
ra conex (plecand dintr-un nod arbitrar se poate ajunge la oricare alt nod parcurgand o cale care trece numai prin elemente de circuit). Conform primei forme a teoremei lui Kirchhoff referitoare la tensiuni, tensiunea ukj(t) dintre nodul k si nodul j este diferenta tensiunilor ukn ( t ) si u jn ( t ) ukj (t) = ukn (t) -u jn (t) Rezulta imediat ca ujk (t) = ujn (t) - ukn (t)= - ukj (t). Fie o multime de noduri care incepe si se sfarseste cu acelasi nod. Parcurgand aceasta multime prin treceri succesive de la un nod la vecinul acestuia se poate defini. Aceasta multime se numeste o cale inchisa care contine toate nodurile multimii multime de tip B. De exemplu in multimea de tip B {1,2,3,..., k, 1} calea inchisa care pleaca din nodul 2 este {2,3,...,k,1,2}. Conform Teoremei a II-a a lui Kirchhoff se poate scrie: u12 = u1n - u2n , u23 = u2n - u3n , ..., uk-1, k = uk-1n - u kn , u k 1 = ukn - u1n Daca adunam aceste relatii se obtine: u1 2 + u2 3 + ... + uk - 1,k + uk1 0 Generalizand se obtine o alta forma a teoremei a II-a a lui Kirchhoff: Suma algebrica a tuturor tensiunilor care corespund caii inchise care contine toate nodurile unei multimi de tip B este nula, pentru orice t. (1)
u (t) = 0 kB k
tensiunile orientate in sens contrar acestuia.
(2)
In aceasta suma se iau cu + tensiunile orientate in sensul de parcurgere a buclei si cu De exemplu, pentru multimea de tip B {1,2,3,4,1} din figura : u12 + u23 - u43 -u14 = 0
5
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z
Am aratat mai inainte ca forma (1) implica forma (2). Se poate arata ca si forma (2) implica forma (1). Fie multimea de noduri de tip B {p,q,r,p} pentru care upq +uqr+urp=0. Daca se alege vr=0 , tinand seama ca urp=upr ,rezulta upr=uqr. Deci formele (1) si (2) ale teoremei a II-a a lui Kirchoff sunt echivalente.
Teorema lui Kirchhoff referitoare la curenti (Teorema I) Suma algebrica a curentilor care intra si ies dintr-o suprafata inchisa S este nula, pentru
orice t.
i (t) = 0 kS k
In aceasta suma se iau cu + curentii care ies din S si cu - curentii care intra in S. O suprafata inchisa S poate contine in interior unul sau mai multe noduri. De exemplu:
Cele doua teoreme ale lui Kirchhoff conduc la ecuatii algebrice liniare si omogene cu coieficienti de valorile 0, 1, -1. 1.3.Elemente de topologie a circuitelor Topologia circuitelor se refera la modul de conectare a elementelor de circuit. Unui circuit electric i se ataseaza un graf constituit dintr-o multime de noduri (1,2,...,N) legate intre ele prin laturi (l1 , l2 ,...,lL). Daca laturile sunt orientate (au sens de referinta), graful este orientat. Graful circuitului contine toate informatiile despre interconectarea elementelor de circuit, dar nu contine informatii asupra dependentelor dintre uk (t) si ik (t). Orice element de circuit poate fi reprezentat printr-un element al grafului: -un dipol se reprezinta printr-o latura a grafului conectata intre cele doua noduri,
6
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z
-un tripol si, generalizand, un n-pol se reprezinta astfel
Graful radial cu n noduri si n-1 laturi care reprezinta un n-pol contine numai laturi ale caror tensiuni si curenti sunt marimi liniar independente intre ele. De exemplu, pentru tripol u12 = u13 u23 si i3 = -i1 -i2 iar tensiunea u12 si curentul i3 nu sunt asociate nici unei laturi din graf. Modul de conectare a unui element multiport cu celelalte elemente de circuit este descris exclusiv cu ajutorul variabilelor uk(t), ik(t), k=1,...,n deci graful multiportului este multiplu conex (vezi figura). Un circuit care contine astfel de elemente poate avea un graf multiplu conex.
Asa cum se va vedea in continuare scrierea sistematica a ecuatiilor date de teoremele lui Kirchhoff este formulata pentru circuite cu grafuri conexe. Este deci utila transformarea unui graf multiplu conex intr-un graf conex pastrand aceleasi expresii pentru ecuatiile date de teoremele lui Kirchhoff. Modul in care se face aceasta transformare este ilustrat printr-un exemplu. In figura de mai jos
7
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z graful transformatorului (care este un diport) este desenat cu linie ingrosata. Tensiunile si curentii raman aceiasi daca in graful circuitului se adauga latura 12 (desenata cu linie punctata); in acest fel graful circuitului devine conex. Curentul prin aceasta latura fiind nul, nodurile 1 si 2 se pot suprapune. Graful circuitului se obtine reprezentand toate elementele de circuit prin grafuri interconectate intre ele la fel ca elementele carora le corespund. Acesta descrie proprietatile de interconexiune ale circuitului si, daca este orientat, arata si sensurile curentilor si tensiunilor. Exemplu Circuitului din figura ii corespunde graful alaturat. Sagetile de pe laturi indica sensurile de
referinta ale curentilor si tensiunilor, uk si ik fiind asociate dupa regula de la receptoare. Graful are N=5 noduri si L = 7 laturi. Intr-un graf G cu N noduri si L laturi se definesc urmatoarele multimi de laturi: 1. O bucla este o multime de laturi care formeaza o cale inchisa; fiecare latura intra o singura data in aceasta cale. In exemplul precedent B1={1,5,4} si B2={5,6,7} sunt bucle. Nodurile buclei formeaza o multime de tip B. Scrisa pe o bucla, teorema a doua a lui Kirchhoff este
u (t) = 0 . k bucla k
2. Un arbore A este o multime de laturi care conecteaza intre ele toate nodurile din G fara sa formeze bucle. In exemplul precedent A = {1, 3, 5, 6} este un arbore. Un graf poate avea mai multi arbori. Un arbore are N-1 laturi (rezulta din definitia arborelui). O latura a arborelui se numeste ramura. 3. Un coarbore C este format din multimea laturilor grafului care nu sunt continute in arborele corespunzator A. n exemplul precedent coarborele C = {2, 4, 7} corespunde arborelui A = {1, 3, 5, 6}. Numarul coarborilor este acelasi cu al arborilor. Un coarbore contine L-N+1 laturi ( L-(N-1) ). O latura a coarborelui se numeste coarda.
8
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z 4. Sistemul fundamental de bucle este multimea buclelor obtinute atasand la o coarda calea din arbore care uneste nodurile coardei respective. Deci numarul buclelor fundamentale este L-N+1 (acelasi cu numarul coardelor). 5. Sectiunea este o multime de laturi intersectate de o suprafata inchisa care are in interior cel putin un nod. 1={1,3,5,7} sau 2={7,6}sunt doua sectiuni in exemplul precedent. Teorema
intai a lui Kirchhoff se scrie: k sec tiune i k (t ) = 0
6. Sistemul fundamental de sectiuni este multimea sectiunilor pentru care fiecare suprafata k intersecteaza cate o singura latura a arborelui . Deci numarul sectiunilor fundamentale dintr-un graf este N-1 (acelasi cu numarul ramurilor) . In exemplul precedent sistemul fundamental de bucle in raport cu arborele {1,3,5,6} este format din L-N+1=3 bucle ({1,4,3}, {3,2,5}, {5,6,7} ) si sistemul fundamental de sectiuni este format din N-1=4 sectiuni ({1,4}, {2,3,4}, {2,5,7}, {6,7}).
Se cauta un sistem de bucle pentru care ecuatiile k bucla u k ( t ) = 0 date de teorema a II-a a
lui Kirchhoff sa fie liniar independente. Din definitiile anterioare se observa ca sistemul de bucle fundamentale corespunde acestui deziderat: fiecare bucla contine cate o coarda restul laturilor fiind ramuri, deci tensiunea corzii ce determina bucla respectiva apare doar in ecuatia scrisa pentru acea bucla. Deci prin scrierea teoremei a II-a a lui Kirchhoff pentru un circuit cu L laturi si N noduri se obtin L-N+1 ecuatii liniar independente. In exemplul precedent (L= 7, N= 5) am ales arborele A={1,3,5,6} si sistemul de bucle fundamentale este format din L-N+1=3 bucle si anume: B1={1,3,4}, B2={3,5,2}, B3={5,6,7}. Ecuatiile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (alegand drept sens de parcurgere al buclei sensul corzii din bucla) sunt: u4 +u1+u3=0 , u2+u5+u3=0 si u5 + u6+u7=0. Se poate arata ca orice ecuatie scrisa pe alta bucla este o combinatie liniara a ecuatiilor scrise pe buclele fundamentale, deci numarul maxim al ecuatiilor liniar independente este L-N+1. La fel ca in cazul teoremei a II-a a lui Kirchhoff se pune problema determinarii unui sistem
de sectiuni astfel incat ecuatiile ksec tiune i k ( t ) = 0 date de teorema I a lui Kirchhoff sa fie liniar
independente intre ele. Din definitiile anterioare se observa ca sistemul de sectiuni fundamentale corespunde acestui deziderat deoarece fiecare sectiune fundamentala difera de celelalte printr-o ramura pe care o contine n exclusivitate. Deci prin scrierea teoremei I a lui Kirchhoff pentru un circuit cu L laturi si N noduri se obtin N-1 ecuatii liniar independente.
9
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z Exemplu: pentru graful din figura (L=7, N=5) si pentru A = {1,3,5,6} sistemul de sectiuni fundamentale este: 1= {1,4}, 2 = {4,3,2}, 3 = {2,5,7}, 4= {7,6}. Ecuatiile date de teorema I
a lui Kirchhoff sunt (considerand sens pozitiv pentru latura care iese din suprafata inchisa k si sens negativ pentru latura care intra in k): i1 -i4 =0 , -i2 -i3 +i4 =0 , i2+i5-i7 =0 , i7-i6=0. Se poate arata ca ecuatia scrisa pe orice alta sectiune este o combinatie liniara a ecuatiilor scrise pe sectiunile fundamentale. 1.4. Scrierea matriceala a teoremelor lui Kirchhoff Pentru scrierea matriceala a ecuatiilor date de teoremele lui Kirchhoff se defineste matricea A de incidenta a laturilor la noduricare este o matrice cu L coloane si N-1 linii. Un element din linia i si coloana j poate avea valoarea:
0 - daca latura j nu este conectata la nodul i, +1 - daca latura j iese din nodul i, -1 - daca latura j intra in nodul i.
Teorema I a lui Kirchhoff se scrie matriceal A I = 0 unde I este vectorul curentilor laturilor grafului It =[I1 , I 2 , . . . ,IL ]. Pentru exemplul precedent:
1 2 1 + 1 3 1 4 1 + 1 + 1 1 1 + 1 5 6 7 1+ 1 =2 3 4
A
Considerand vectorul U al tensiunilor laturilor grafului (U t = [U1 , ... ,U L ]) in care tensiunea Uk este asociata dupa regula de la receptoare cu curentul Ik, teorema a II-a a lui Kirchhoff in forma (1) se scrie U=At V unde V este vectorul potentialelor primelor N-1 noduri (Vt=[V1,...,VN-1]) si VN=0. 1.5. Teorema lui Tellegen
10
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z Fie doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf orientat G cu N noduri si L laturi (sensurile tensiunii si curentului se asociaza dupa regula de la receptoare pentru toate laturile). Daca [I](1) = [i1,i2,...,il]t este vectorul curentilor din laturile circuitului 1 care satisfac teorema I a lui Kirchhoff si [U](2) = [u1,u2,...,ul]t este vectorul tensiunilor laturilor circuitului 2 care satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff, atunci:
L u ( 2) ( t ) i (1) ( t ) = 0 k k =1 k
Demonstratie: Teorema lui Tellegen este o consecinta a teoremelor lui Kirchhoff . Trebuie sa aratam ca [ U ](2)T [ I ](1) = 0. Daca [I](1) si [U](2) satisfac teoremele lui Kirchhoff, atunci avem: AI (1) = 0 si U (2) = At V (2) Rezulta: [U(2)]T[I(1)] = [At V (2)]t I (1)= V (2) t A I(1). Dar AI (1) = 0 deci U (2) t I(1) =0. Q.E.D. Am demonstrat ca existenta celor doua teoreme ale lui Kirchhoff implica teorema lui Tellegen. Se poate demonstra ca oricare dintre teoremele lui Kirchhoff impreuna cu teorema lui Tellegen implica cealalta teorema a lui Kirchhoff si anume: - daca tensiunile satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff ([C b l ] [U] = 0 ) si este satisfacuta teorema lui Tellegen ([U]T[I] = 0), atunci curentii I satisfac teorema I-a a lui Kirchhoff; - daca curentii satisfac teorema I a lui Kirchhoff ([C l ] [I] = 0) si este satisfacuta teorema lui Tellegen ([U]T [I] = 0), atunci tensiunile U satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff. Demonstratiile acestor doua teoreme sunt similare cu demonstratia teoremei lui Tellegen. 1.6. Transferul de putere pe la bornle unui multipol Fie un n-pol cu marimile la borne: potentialele vk(t) (k=1,2,...,n-1), vn(t)=0, curentii ik(t) si
tensiunile uk(t) considerate ca in figura. Se observa ca uk(t) si ik(t) (k=1,2,...,n-1) sunt asociate dupa regula de la receptoare. Puterea instantanee absorbita de n-pol la momentul t este n 1 p( t ) = u k ( t ) i k ( t ) k =1 11
www.cartiaz.ro Carti si articole online gratuite de la A la Z
In cazul unui dipol puterea absorbita este pa(t)=u(t)i(t) u si i fiind asociate dupa regula de la receptoare. Evident puterea debitata de acelasi dipol va fi pd(t)= -pa(t)=-u(t)i(t)=u(t)i(t), unde u(t)= - u(t) este tensiunea asociata cu i(t) dupa regula de la generatoare. Puterea absorbita de un n-port cu bornele 1,1,2,2,...,n,n se poate exprima numai in functie de uk si ik. Intr-adevar daca vn=0, pa(t)=v1(t)i1(t) + v1(t)[-i1(t)]+ ... +vn(t)in(t)=
n uk ( t )i k ( t ) k=1
Intr-un circuit care contine elemente dipolare, multipolare si multiport produsul uk(t) ik(t) reprezinta puterea p(t) absorbita sau debitata de latura k a grafului la momentul t. Separand puterile debitate de laturile grafului care corespund unor surse (cu u k si ik asociate dupa regula de la generatoare) de cele absorbite de laturile grafului care corespund unor consumatori (cu u k si ik asociate dupa regula de la receptoare), teorerma lui Tellegen se poate scrie
pd ( t ) = p a ( t ) toate toti sursele consumatori
Aceasta relatie se numeste bilantul puterilor instantanee si reprezinta principiul conservarii puterilor (principiul I al termodinamicii).
12
CIRCUIT FIZIC masurari
modelare
MODEL DE CIRCUIT analiza
REZULTATE
REZULTATE
Din punct de vedere al vitezei de propagare a undelor electromagnetice exista doua tipuri de circuite electrice: -circuite cu parametri concentrati pentru care se considera ca undele electromagnetice se propaga cu o viteza infinita (instantaneu), -circuite cu parametri distribuiti (modele ale liniilor din sistemul electroenergetic sau ale conexiunilor din circuitele integrate) la care curentii si tensiunile sunt variabile nu numai in timp dar si in spatiu (se tine seama de faptul ca undele electromagnetice se propaga cu o viteza finita).
acestui circuit este unica daca sunt satisfacute urmatoarele conditii: i) orice bucla formata din rezistoare controlate in curent contine cel putin un rezistor strict crescator, ii) orice sectiune formata din rezistoare controlate in tensiune contine cel putin un rezistor strict crescator. Observatii: i) restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si la sectiunea formata numai din surse de curent sunt cazuri particulare ale conditiilor i) si ii), ii)teorema nu asigura existenta solutiei, de exemplu circuitele din fig.1.a. si fig.2.a. satisfac condiriile teoremei dar nu au solutie iii) daca un circuit satisface conditiile ambelor teoreme el are o solutie unica; de exemplu un circuit format din rezistoare strict crescatoare (care pot fi considerate de tip U si controlate atat in tensiune cat si in curent) si surse independente satisface conditiile ambelor teoreme daca sunt satisfacute restrictiile cu privire la bucla formata numai din surse de tensiune si sectiunea formata numai din surse de curent 2.4.3. Teoreme de echivalenta ale circuitelor liniare 2.4.3.1.Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Un dipol rezistiv liniar contine rezistoare liniare, surse independente si surse comandate liniar si are bornele (polii) A si B. Se considera ca doi dipoli rezistivi sunt echivalenti daca au aceeasi comportare la borne descrisa de relatia intre uAB si iAB. Teoremele generatoarelor echivalente determina dipolii cu structura cea mai simpla echivalenti unui dipol dat. Teorema (Thevenin) Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol rezistiv liniar este format dintr-o sursa cu tensiunea electromotoare egala cu tensiunea UAB0 intre bornele dipolului la mersul in gol
in serie cu rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele dipolului pasivizat. 37
Demonstratie: Din sistemul de ecuatii algebrice liniare ale circuitului se elimina toate necunoscutele cu exceptia UA B si IA B.. Se obtin astfel ecuatiile liniare: UAB = RABIAB , aUAB + bIAB = c (A)
b c I AB = . a a
unde a, b, c sunt constante in raport cu UAB si IAB . Daca a 0 rezulta: UAB + Daca IAB = 0 (mersul in gol la bornele AB) atunci U AB = UAB0 = mersul in gol). Ecuatia devine: UAB +
b IAB = UAB0 a
c (tensiunea intre A si B la a
Daca circuitul este pasivizat (fiecare sursa independenta de tensiune se inlocuieste cu un rezistor cu R=0 si fiecare sursa de curent se inlocuieste cu un rezistor cu R= , iar sursele comandate raman nemodificate), atunci UAB0=0 si
U AB b = R AB 0 = unde RAB0 este rezistenta echivalenta I AB a
intre bornele A si B a circuitului pasivizat (rezistenta de intrare intre bornele A si B). Rezulta UAB+ RAB0IAB =UAB0 , care este ecuatia de functionare a circuitului echivalent din enuntul teoremei. Q.E.D. Daca circuitul pasivizat este format din rezistoare conectate in serie si in paralel RAB0 se determina foarte simplu aplicand formulele din paragraful 2.3.1.1. Daca acest circuit nu este serieparalel si/sau contine surse comandate, pentru calculul lui RAB0 se aplica intre A si B o tensiune de
1V, se calculeaza curentul corespunzator I cu o metoda oarecare si R AB 0 = curent de 1 A si se calculeaza tensiunea corespunzatoare U si R AB 0 =
U 1
1 , sau se aplica un I
Observatii: i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza a 0 deci generatorul echivalent de tensiune exista daca RAB0 are o valoare finita; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei solutii unice pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de curent cu valoare Is arbitrara,
38
ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un rezistor liniar cu rezistenta RAB ); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de tensiune raman aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar, iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de tensiune al partii liniare. 2.4.3.2. Generatorul echivalent de curent al unui dipol Teorema (Norton) Generatorul echivalent de curent al unui dipol rezistiv liniar are curentul electromotor egal cu curentul IABsc de scurtcircuit al dipolului si rezistenta interna egala cu rezistenta echivalenta RAB0 intre bornele dipolului pasivizat.
Demonstratia este similara cu cea a teoremei generatorului echivalent de tensiune. Observatii: i) demonstratia se bazeaza pe ipoteza b 0 (din ecuatia A) deci generatorul echivalent de tensiune exista daca RAB0 are o valoare nenula; o conditie echivalenta cu aceasta este existenta unei solutii unice pentru dipolul la ale carui borne este conectata o sursa independenta de tensiune cu valoare E arbitrara, ii) ecuatia de functionare a circuitului echivalent a fost obtinuta fara a utiliza dependenta intre UAB si IAB pentru circuitul conectat la bornele dipolului (considerat pentru simplitate un rezistor liniar cu rezistenta RAB ); rezulta ca parametrii generatorului echivalent de curent raman aceiasi pentru orice circuit liniar sau neliniar conectat intre bornele dipolului liniar, iii) din observatia ii) rezulta ca un circuit care contine un singur rezistor dipolar neliniar se poate rezolva ca in paragraful 2.3.1.2.2. utilizand generatorul echivalent de curent al partii liniare. Aplicatie: echivalenta intre o sursa reala de tensiune si o sursa reala de curent.
39
Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne R i, Ri pozitive si de valoare finita. Aplicand teorema generatorului echivalent de curent sursei reale de tensiune rezulta Ri=Ri si IS =
E . Daca Ri=0 sursa de tensiune nu se poate transforma in sursa de curent Ri
(rezulta Is= ), iar daca Ri= sursa de curent nu se poate transforma in sursa de tensiune (rezulta E= ). Generatoarele echivalente nu exista pentru orice circuit. Iata cateva exemple. -circuitul
are la borne U=0 si I=0 deci are RAB0=0/0 si nu admite nici unul dintre generatoarele echivalente; acest circuit admite ca pereche tesiune curent numai {U=0, I=0} si se numeste nulator -daca RAB0=0 exista numai generatorul echivalent de tensiune format din sursa ideala de tensiune UAB0 si care nu poate fi transformata intr-un generator de curent. -daca RAB0= exista numai generatorul echivalent de curent, format din sursa ideala de curent IABSC si care nu poate fi transformata intr-un generator de tensiune. Pentru a evita calculul inutil al UAB0 sau IABSC este preferabil sa se calculeze mai intai RAB0. Daca RAB0=0 se calculeaza apoi UAB0 iar daca RAB0= se calculeaza IABSC. Daca 0< RAB0< se poate calcula UAB0 sau IABSC. Exemplu: pentru circuitul din figura de mai jos sa se calculeze elementele unui generator echivalent
n raport cu bornele A si B (RAB=2 ). RAB0 se calculeaza pentr circuitul pasivizat. RAB0=1/I, rezulta I1 =-1A, I2=7/2A, I=9/2A si RAB0 =2/9 . Calculul lui UAB0 se face in circuitul:
40
rezulta 3I1=5-6I1, I1=5/9 si UAB0=5 -5/9=40/9V. Deci generatorul echivalent este:
si curentul prin rezistorul de 2 se poate calcula astfel: I AB =
40 / 9 = 2A 2/9+ 2
2.4.3.3. Schemele echivalente ale diportilor Fie diportul liniar N la portile caruia sunt conectati uniportii N' si N", in general neliniari.
Daca circuitul
are o solutie si numai una pentru orice valori is1, is2 ale parametrilor surselor independente conectate la porti, atunci aceasta solutie contine si pe u1 si u2. Rezulta ca u1 si u2 pot fi explicitate ca functii de is1, is2, sursele independente din N si ceilalti parametri ai circuitului N. Din paragraful 2.3.2.1. se stie ca daca sursele independente din N sunt pasivizate atunci u1=r11i1+r12i2 si u2=r21i1+r22 i2 unde i1=is1, i2=is2. Daca se considera si sursele independente din N, N fiind liniar, conform teoremei superpozitiei avem: u1=r11i1+r12i2+e1,
u2=r21i1+r22i2+e2 unde e1 si e2 reprezinta contributiile surselor independente din N. Aceste relatii corespund urmatoarei scheme echivalente:
41
Similar se poate arata ca daca circuitul liniar N are o solutie si numai una pentru orice e1 si e2 atunci
exista urmatoarea schema echivalenta a lui N.
care corespunde relatiilor i1=g11u1+g12u2+is1, i2=g21u1+g22u2+is2 Daca circuitul liniar N are o solutie si numai una
pentru orice valori e1 si is2 atunci exista schema echivalenta
corespunzatoare relatiilor i1=h11u1+h12i2+is1, u2=h21u1+h22i2+e2. Observatii: i) un circuit oarecare poate avea toate aceste scheme echivalente sau numai unele dintre ele, ii) schemele echivalente ale aceluiasi circuit sunt echivalente intre ele, iii) aceste scheme au un numar minim de elemente si se utilizeaza cand este nevoie de un circuit cat mai simplu. 2.4.4. Teorema transferului maxim de putere
42
Se considera o sursa de tensiune cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna Ri, care debiteaza pe un rezistor cu rezistenta R. Se cere valoarea lui R astfel incat rezistorul sa absoarba puterea maxima.
Curentul prin circuit este: I =
E E2 . Puterea debitata de sursa este: Pdeb = EI = R + Ri R + Ri
2
Puterea absorbita de rezistor este PR = RI =
RE 2
( R + Ri ) 2
PR E2 E2 2 = ( Ri R ) = 0 are solutia pozitiva R=Ri. ( R + Ri ) 2 R( R + Ri ) = Ecuatia R ( R + Ri ) 2 ( R + Ri )
[
]
R=Ri este un punct de maxim deoarece pentru R<Ri demonstrat deci urmatoarea
PR PR >0 si pentru R>Ri <0. Am R R
Teorema O sursa de tensiune cu parametri E si Ri transfera o putere maxima unui rezistor cu rezistenta R conectat la bornele ei daca R=Ri. In acest caz: Pdeb =
PR = 0,5 . Pdeb
E2 2R2
si PR =
E2 iar 4R
randamentul transferului de putere este = Observatii:
i) daca R, atunci 1 dar PR0, ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii I s si Ri, rezistorul absoarbe puterea maxima tot daca R=Ri. 2.4.5. Teorema reciprocitatii Teorema Fie un circuit rezistiv liniar N (fig.1) format din rezistoare dipolare cu R>0 si o singura sursa independenta de tensiune in latura k si fie curentul i(1)j prin latura j. Daca singura sursa
43
de tensiune electromotoare E se conecteaza in latura j (fig.2) atunci i(1)j = i(2)k Demonstratie: Se scrie teorema lui Tellegen pentru cele doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf. Daca curentii ik(1) satisfac teorema I a lui Kirchhoff in 1 si tensiunile uk(2) satisfac teorema a II-a a
L (1) ( 2) L ( 2) (1) lui Kirchhoff in 2 atunci i k u k = 0 si similar i k u k = 0 sau k= 1 k= 1
(1) E i( 2) k + 0 i ( 2) j + u q i ( 2) q = 0 q 0 i (1) k + E i(1) j + u(2) q i (1)q = 0 q
(1) (2)
dar u(1) q = Rqi (1) q si u(2)q = Rqi (2)q si deci u(1) qi ( 2)q = Rqi (1)qi ( 2)q = u( 2) qi (1)q Daca se scade relatia (1) din relatia (2) se obtine Observatii: i)se pot demonstra proprietati similare considerand in loc de sursa de tensiune o sursa de curent si/sau in loc de curentul printr-o latura cu R=0 tensiunea la bornele unei laturi cu R= ii)considerand E=1 rezulta simetria conductantelor de transfer (gjk=gkj) iii)conform obsevatiilor i) si ii) rezulta simetria rezistentelor de transfer, a factorilor de amplificare in tensiune (h21) sau in curent (h12). 2.4.6. Teorema conservarii puterilor In paragraful 1.6 s-a aratat ca pentru orice circuit suma puterilor debitate de toate sursele este egala cu suma puterilor absorbite de toti consumatorii. Cum intr-un circuit rezistiv consumatorii de putere sunt rezistoare rezulta Teorema Intr-un circuit rezistiv pentru orice moment de timp puterile se conserva:
i (1) j =i ( 2) k
Q.E.D.
pd ( t ) = pa ( t ) toate toate . sursele rezistoarele
Puterea absorbita de un rezistor este pR=u(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la
receptoare. Puterea debitata de o sursa de tensiune este pE(t)=u(t) i(t)=es(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare. Puterea debitata de o sursa de curent este p I(t)=u(t) i(t) =u(t) Is(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare. 44
Observatii: i)demonstratia fiind facuta pe baza teoremei lui Tellegen, puterile se conserva atat in circuitele liniare cat si in cele neliniare ii)orice solutie a unui circuit rezistiv satisface relatia de conservare a puterilor (bilantul puterilor); in consecinta bilantul puterilor este un instrument de verificare a solutiei problemei analizei unui circuit. 2.5. Analiza circuitelor rezistive 2.5.1. Introducere Cu notatiile din paragraful 1.4 ecuatiile unui circuit rezistiv al carui graf are N noduri si L laturi sunt:
Uc + Ua = 0, ( L N + 1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff)
I a TI c = 0, ( N 1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff)
fk ( u k , i k ) = 0,
(L ecuatii constitutive ale rezistoarelor si surselor independente)
deci in total 2L ecuatii. Problema analizei unui circuit rezistiv (formulata in paragraful 2.2) se rezolva cu urmatorul algoritm: 1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curentii din laturi 2. Se determina sensul tensiunii la bornele fiecarei laturi prin asociere cu sensul curentului dupa regula de la generatoare (pentru surse) sau dupa regula de la receptoare (pentru rezistoare ) 3. Se scriu ecuatiile circuitului 4. Se rezolva ecuatiile circuitului 5. Se face verificarea solutiei cu bilantul puterilor Exemplu Sa se faca analiza circuitului din figura si sa se verifice solutia cu bilantul puterilor
45
Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent (vezi paragraful 4.3.2).
Rezulta ecuatiile
I1 ' (1 + j + 2 j + 1) + I 2 ' (1 + 2 j) = 2 j jI 3 + jI 2 + jI1 jI 2 I1 = I1 ' I2 = I2 ' I = I ' I ' 12 3 I 2 ' (1 j + 2 j + j) + I1 ' (1 + 2 j) = 1 jI 3 + jI1 + jI1 jI 2
deci 5 ecuatii cu necunoscutele I 1 ' , I 2 ' , I 1 , I 2 , I 3 . Deci algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici este: se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent in surse de tensiune si ale comenzilor in tensiune in comenzi in curent se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie plasate in coarbore considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:
I 1, I 2 ,. . . ., I B
(curentii ciclici), se aleg
I ' R k + I ' Rk = i k B k B j i i kB E k k B i j
si ecuatiile suplimentare 4.8. Teoreme ale circuitelor de curent aternativ Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui circuit liniar de curent continuu (vezi paragraful 4.7.1). Din acest motiv enunturile teoremelor sunt asemanatoare cu cele din paragraful 2.8 si demonstratiile nu vor fi reluate. 4.8.1. Teoremele impedantelor echivalente
118
Legarea in serie a impedantelor:
n Zes = Z . k= 1 k
Deoarece Zes = Res + jXes si Zk = Rk + jXk rezulta
n R es = R k k= 1
si
n Xes = X k k= 1 n n Yep = Y k , deci G ep = G k k= 1 k= 1
si
Legarea in paralel a impedantelor:
n Bep = Bk k= 1
4.8.2. Teorema superpozitiei Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E1, ... , El, Is l+1,..., Ism. Orice curent (sau tensiune) din circuit se
,
poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare sursa independenta separat, celelalte surse independente fiind pasivizate. De exemplu
m I1 = I1k k=1
unde I1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta din latura k,
celelalte surse independente fiind pasivizate. Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. Sursele comandate nu se pasivizeaza. 4.8.3. Teoremele generatoarelor echivalente Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B.
Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de tensiune UAB0 in serie cu o impedanta ZAB0 unde UAB0 este tensiunea de mers in gol masurata la bornele A si B (impedanta Z fiind scoasa din circuit) si ZAB0 este impedanta echivalenta intre
bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza). Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea lui ZAB0 se poate face cu regulile din paragraful 4.7.1. Daca circuitul contine surse comandate sau nu este un circuit serie -
119
paralel, atunci se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune de valoare 1V ( sau o sursa independenta de curent de valoare 1A) si ZAB0 rezulta in urma determinarii lui I sau U.
Aplicatie. Sa se calculeze
Z AB 0 ( Z AB = 1)
e1 ( t ) = 2 2 cos 2 t e 2 ( t ) = 2 sin( 2 t i s ( t ) = 2 cos( 2 t
4
) )
4
Bobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand impedantele 2 j 2 j = circuitul capata o forma mai simpla. Se conec- teaza intre A si B o sursa de echivalente j j = 0, 2j 2j tensiune cu E =1V si rezulta
6j 1+ 6j 1 1 1 + 3j 1 += Z AB0 = = = 6j 2 6j I 1 + 3j 10 Generatorul echivalent de curent al unui dipol Fie un dipol liniar cu bornele A si B I=
Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de curent IABsc in paralel cu o impedanta ZAB0 unde curentul IABsc corespunde scurtcircuitului intre bornele A si B.
120
Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari (vezi paragraful 2.4.3.3.) se inlocuiesc rezistentele cu impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale diportilor de c.a... 4.8.4. Teorema transferului maxim de putere activa Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Z , la bornele careia se leaga o impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Z si ZAB astfel incat pentru un E dat puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.
i
i
Fie Z
i
= R + jX
i
i
E si Z = R + jX . Curentul din circuit este I = R + R + j ( X + X ) si deci puterea activa i i
RE 2 ( R + Ri ) 2 + ( X + X i ) 2
2 absorbita de Z este P = RI =
Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -X i . Valoarea acestui maxim este
RE 2 (R + R i ) 2
P ( R ,X i ) = PM ( R ) =
. Maximul functiei
PM ( R)
are loc pentru R=Ri (vezi teorema
transferului de putere in curent continuu - paragraful 2.4.4.). Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina este maxima daca Z = Zi
*
*
(teorema transferului maxim de putere activa). puterea activa Pd cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si Ri deci
Daca Z = Zi
randamentul circuitului este =P/ Pd=0,5. Observatii i) daca R si/sau X atunci 1 dar P0 ii) daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Zi impedanta de sarcina Z absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Zi
,
*
ii) deoarece generatoarele de curent alternativ au o impedanta interna inductiva, rezulta ca pentru a absorbi o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv. 4.9. Rezonanta dipolilor 4.9.1. Definitii si exemple Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se utilizeaza la circuitele electronice. Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula,
121
adica Qabs=UI sin = 0. Deci la rezonanta defazajul dintre U si I este nul (sin = 0 = 0). Daca impedanta echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI comportare rezistiva la borne. Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta.. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I( ) are maxime si minime. Exemplu
=0 X = 0 deci la rezonanta reactanta echivalenta este nula si dipolul are o
- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile 1 , 2 , 3 , 4, 5 - in cazul maximelor de curent ( 1 , 3 , 5 ) avem rezonanta de tensiune, - in cazul minimelor de curent ( 2 , 4) avem rezonanta de curent. Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y ( ) are aceeasi alura cu I ( ). b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta.. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U( ) are maxime si minime. Exemplu
- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile 1 , 2 , 3 , 4, 5 - in cazul minimelor de tensiune ( 1 , 3 , 5) avem rezonanta de tensiune, - in cazul maximelor de tensiune ( 2 , 4) avem rezonanta de curent. Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z( ) are aceeasi alura cu U( ). Observatii i) cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta ii) rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y( ) are maxime locale si deci Z( )=1/ Y( ) are minime locale
122
iii) rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y( ) are minime locale si deci Z( )=1/ Y( ) are maxime locale. Exemple. a)
U U I = I1 + I 2 = + jCU = R + jL R 2 + 2 L2
R + j C R 2 + 2 L2 L
(
)
Se calculeaza puterea aparenta complexa S = UI* si se anuleaza puterea reactiva obtinandu-se pulsatiile de
1 CR 2 1 LC L
rezonanta dupa definitia 1: atunci
Z 2 ( ) =
2
1,2
=
; se observa ca daca R0
1 . Se calculeaza minimele si maximele lui I( ) respectiv ale lui Z( ) LC
2 1+ 2 C R 2 2 2 si Z = 0 are solutiile 2 L 1 1,2 = R R 2 + L 2 LC C L
2
1 2C 2
R 2 + 2 L2
(daca R0 atunci
1 ). Pulsatiile de rezonanta obtinute dupa cele doua definitii nu sunt aceleasi. LC 1 ) . Rezulta C
b) Impedanta complexa a circuitului RLC serie este Z = R + jX = R + j ( L
Z 2 ( ) = R 2 + ( L
12 ) . Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci C
= 0
1 Z 2 () . Dupa a doua definitie, se calculeaza = 0 si se obtine aceeasi valoare pentru LC
0.
Daca U=ct in raport cu , la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima Z( 0)=R.. Pentru acest circuit Uc( 0)=|Xc|I= UL( 0)=|XL|I si Uc( 0)= -UL( 0) deci U( 0)=UR( 0) +UC( 0) + UL( 0)=UR( 0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta U C si UL sa aiba valori mai
L= C= mari decat tensiunea U a sursei de alimentare. Se noteaza cu Q0 = factorul de calitate UR UR R C U U 1 L
123
al circuitului unde UL, UC, UR se considera la rezonanta. Daca Q0 > 1 ( condensatorului depasesc tensiunea sursei de alimentare.
L R ), tensiunea bobinei si cea a C
c) Circuitul RLC paralel are propietati selective in frecventa duale celui RLC serie.
Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit 0 =
1 1 1
1 . La LC
rezonanta Y (0 ) = R + j (0 C L ) = R deci Y are valoarea minima. Daca U=ct in raport cu , la 0 rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit Ic( 0)=U/|Xc|= IL( 0)=U/|XL| si Ic( 0)= -IL( 0) deci I( 0)=IR( 0) +IC( 0) + IL( 0)=IR( 0). Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta IC si IL sa aiba valori mai mari decat curentul I prin sursa de alimentare. Se noteaza cu Q0 factorul de calitate Q0 = L = C = R unde IL, IC, IR se considera la rezonanta. Daca Q0 > 1 ( IR IR L
C1 ),curentul bobinei si al condensatorului depasesc curentul total. LR
4.9.2. Aplicatii tehnice ale rezonantei
I I C
a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice la capatul careia este conectat consumatorul inductiv (asa cum sunt majoritatea consumatorilor energetici) din figura a..
124
Curentul
absorbit
de
consumator
este
:I =
U U + R jL
deci
I =U
1 1 + 2 2 L2 si R
cos
=
P = UI
U2 RU 2 1 1 + 2 2 L2 R
=
L R 2 + 2 L2 .
Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul astfel incat L =
1 (circuitul b). In C
acest caz avem un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R si curentul absorbit de receptor este I ' =
U I . Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv in paralel cu R
condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de rezistenta r ) vor fi minime : Plinie = rI
2
< Plinie= rI2. In acest caz factorul de putere cos =1 si avem o compensare totala a
factorului de putere. Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cos =0,92). In acest caz calculul capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel: diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsin si cea absorbita de consumatorul compensat partial Q=UIsin este absorbita de condensator (QC= CU2). Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptg , Q=Ptg ) rezulta C = U nu se modifica prin conectarea condensatorului.
b) Montaje Boucherot
Ptg Ptg ' ; in acest calcul se considera ca U2
Se considera cele doua circuite din figura de mai jos. Daca parametrii bobinei si condensatorului indeplinesc conditia de rezonanta ( 2 LC = 1) atunci curentul prin impedanta Z are valoarea U/ L pentru primul circuit si U C pentru al doilea circuit, deci este independent de valoarea lui Z .
Aceasta proprietate se poate verifica foarte usor. c)Circuite de rezistenta constanta
Impedanta de intrare intr-un astfel de circuit nu depinde de frecventa, desi circuitul contine si elemente reactive. Cele doua circuite din figura de mai jos au Z=R atunci cand parametrii
125
indeplinesc conditia: R2 = L/C. Verificarea acestei propietati este un exercitiu simplu.
126
CAPITOLUL 3 CIRCUITE DINAMICE 3.1. Introducere. Comportarea circuitelor rezistive, formate din surse independente si rezistoare multipolare este descrisa, asa cum s-a aratat n Capitolul 2, de un sistem de ecuatii algebrice. n acest capitol se va introduce o clasa noua de elemente de circuit a caror comportare este descrisa de ecuatii diferentiale. Aceste elemente de circuit se numesc elemente dinamice. Cele mai simple elemente din aceasta clasa sunt doua elemente dipolare: condensatorul liniar si bobina liniara. Ecuatia de functionare a condensatorului liniar este i ( t ) = C
du( t ) unde u(t) este tensiunea la bornele condensatorului, i(t) dt
este curentul prin condensator si C este o constanta numita capacitatea condensatorului. Ecuatia de functionare a bobinei liniare este u ( t ) = L bobinei. Un circuit care contine cel putin un element dinamic se numeste circuit dinamic. Elementele dinamice ideale sunt, spre deosebire de rezistoare, elemente fara pierderi adica ele nu disipa energia ci o acumuleaza. Energia acumulata la un moment dat de un astfel de element poate fi ulterior cedata circuitului n care este conectat elementul respectiv. 3.2. Elementele dinamice de circuit 3.2.1. Condensatorul ideal. Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre sarcina q a unui corp si curentul absorbit de acesta este i=dq/dt. Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa
t perechea {u(t), i(t)}, si de sarcina electrica q(t) definita de relatia. q( t ) = q( t 0 ) + i( )d n care t 0
di ( t ) unde L este o constanta numita inductivitatea dt
t 0 q( t 0 ) = i( )d este sarcina in momentul t0.
Condensatorul ideal este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile {q(t), u(t)} poate fi reprezentata n planul q-u printr-o curba de ecuatie f(q,u)=0. Aceasta
59
curba este caracteristica q-u a condensatorului si ecuatia f(q,u)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f(q,u)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, condensatorul este invariant n timp.
Marimea
Cd =
dq du u
= tg u 0
0
se numeste capacitatea dinamica a condensatorului la tensiunea u0. Daca
caracteristica condensatorului este o dreapta care trece prin origine condensatorul este liniar iar marimea Cd este constanta n raport cu q si u si se numeste capacitatea condensatorului liniar .
q C= u
Unitatea de masura a capacitatii este faradul (
1F =
1C ), n practica folosindu-se submultiplii sai 1V
microfaradul (1 F = 10-6 F) , nanofaradul (1nF = 10-9 F) si picofaradul (1pF = 10-12F). Daca caracteristica condensatorului nu este o dreapta care trece prin origine atunci condensatorul este neliniar. Un condensator este controlat n tensiune daca ecuatia sa constitutiva
poate fi scrisa ca o functie q = q ( u) si este controlat n sarcina daca exista functia u = u( q ) .
Comportarea acestui element de circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f(q,u)=0 la care se adauga ecutia i =
dq . n unele cazuri se poate explicita dependenta dintre curent si derivata tensiunii n raport dt
cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a condensatorului. De exemplu:
dq -pentru un condensator liniar invariant n timp : q = Cu si i = = C du dt dt
-pentru un condensator neliniar controlat n tensiune : i =
dq dq du = = C du dt du dt d dt
60
Condensatorul ideal modeleaza un efect capacitiv. n continuare sunt date doua exemple: Condensatorul cu armaturi plane si paralele este format din doua placi conductoare dreptunghiulare separate de un dielectric. Daca aria fiecarei placi este A , distanta dintre placi este d si permitivitatea dielectrica a izolantului este , se stie din teoria campului electromagnetic ca daca placa superioara se ncarca cu sarcina q, atunci cea inferioara se incarca cu sarcina -q, iar capacitatea condensatorului este
q C = u = A . Acest condensator este invariant n timp si liniar. d
Daca una dintre placi se misca ramanand paralela cu cealalta, atunci condensatorul este variabil n
A dq( t ) timp si liniar avand capacitatea C( t ) = d ( t ) . Derivand pe q ( t ) in raport cu timpul rezulta i( t ) = dt
adica expresia legii conservarii sarcinii electrice pentru o suprafata inchisa care contine o armatura a condensatorului. Dioda varactoare este o jonctiune p-n alimentata n conductie inversa la care apare efectul capacitiv de bariera. n jurul suprafetei de separatie intre semiconductorul de tip p si cel de tip n se formeaza n conductie inversa (i<0) o zona de largime variabila n functie de u, numita zona de bariera care actioneaza ca un izolant plasat intre cele doua zone conductoare de tip p si de tip n.
61
Dependenta dintre sarcina q acumulata n zona p si tensiunea aplicata este neliniara, condensatorul fiind controlat n tensiune pentru numai u<U0. Capacitatea dinamica nu este definita decat pentru u<U0 . Pentru u>U0 dispozitivul se comporta rezistiv. Dioda varactoare are multe aplicatii practice ca de exemplu reglajul frecventei n receptoarele de radio si TV.
3.2.2. Bobina ideala Din teoria campului electromagnetic se stie ca relatia intre fluxul magnetic (t) al unei bobine si tensiunea u(t) la bornele acesteia este u(t)=d (t)/dt. Ca urmare un element dipolar de circuit poate fi caracterizat, pe langa perechea {u(t), i(t)}, si de fluxul magnetic (t) definit de relatia.
t ( t ) = ( t 0 ) + u( )d n care ( t ) = t 0 0
t 0 u( )d este fluxul magnetic in momentul t0.
O bobina este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile { (t), i(t)} poate fi reprezentata n planul -i printr-o curba de ecuatie f( ,i)=0. Aceasta curba este caracte-
ristica -i a bobinei si ecuatia f( ,i)=0 este ecuatia sa constitutiva. Daca f( ,i)=0 este aceeasi pentru orice moment de timp, bobina este invarianta n timp. Marimea
Ld = d dt i = tg i 0 0
se numeste inductivitatea dinamica a bobinei la curentul i0. Daca
caracteristica bobinei este o dreapta care trece prin origine bobina este liniara si marimea Ld devine
62
constanta n raport cu si i si se numeste inductivitatea bobinei liniare L =
i . Unitatea de masura a
inductivitatii este 1 henry (1H= 1Wb/1A); n practica se folosesc submultiplii milihenry (mH) si microhenry ( H).
Daca caracteristica bobinei nu este o dreapta care trece prin origine atunci bobina este neliniara. O bobina este controlata n curent daca ecuatia sa constitutiva poate fi scrisa in forma
= (i ) si este controlata n flux daca exista functia i = i () . Comportarea acestui element de
circuit este descrisa de ecuatia constitutiva f( ,i)=0 la care se adauga ecutia u =
d . n unele cazuri dt
se poate explicita dependenta dintre tensiune si derivata curentului n raport cu timpul; aceasta dependenta este ecuatia de functionare a bobinei. De exemplu:
d -pentru o bobina liniara invarianta n timp : = Li si u = = L di dt dt
-pentru o bobina neliniara controlata n curent : u =
d d di = = L di dt di dt d dt
Bobina ideala modeleaza un efect inductiv. n continuare se prezinta trei exemple. Bobina toroidala liniara este formata dintr-un conductor bobinat pe un tor izolant. Aria transversala a torului este A, circumferinta medie a torului este l, 0 = 4 10-7 H/m este permeabilitatea magnetica a
63
torului si bobina are N spire. Se stie din teoria campului electromagnetic ca fluxul magnetic S prin orice suprafata S care se sprijina pe un contur inchis care urmareste conturul conductorului si linia tensiunii la borne este legat de curentul i prin relatia S =Li unde L = 0
N2A este inductivitatea l
bobinei. L este o constanta n raport cu S si deci aceasta bobina este invarianta n timp. si liniara. Daca una dintre bornele bobinei este legata la un contact mobil, astfel incat numarul de spire variaza cu pozitia contactului, atunci bobina este variabila n timp si liniara avand inductivitatea
L( t ) = 0
N 2 (t ) A d . Derivand pe (t)= S (t) in raport cu timpul rezulta u = adica expresia legii l (t ) dt
inductiei electromagnetice pentru curba inchisa . Bobina toroidala neliniara. Daca miezul bobinei din exemplul precedent este construit din fier moale atunci caracteristica S (i) este neliniara, bobina fiind controlata n curent.
Jonctiunea Josephson este formata din doua supraconductoare separate de un strat izolant (oxid de beriliu). n fizica supraconductoarelor se arata ca dependenta dintre i si este sinusoidala i=I0 sink unde k este o constanta n raport cu i si . Acest dispozitiv se comporta ca o bobina invarianta n timp neliniara si controlata n flux. 3.2.3. Proprietati ale condensatoarelor si bobinelor. 64
3.2.3.1. Memoria. La un rezistor dipolar controlat n tensiune curentul i(t) depinde numai de tensiunea din acelasi moment (i(t) = f1 (u(t)) ) iar la un rezistor controlat n curent u(t)=f2 (i(t)) ceeace insemna ca rezistoarele nu au memorie. La orice condensator sarcina q(t) depinde de valorile curentului intr-un interval de timp [t0,.t] si
t de sarcina q(t0) [q(t)=q(t0)+ i ( ) d ]. Similar, fluxul magnetic prin bobina (t) depinde de (t0 ) t0 t si de valorile tensiunii bobinei n intervalul [t0,.t] [ (t)= (t0 ) + u( ) d ]. Aceasta inseamna ca t0
bobina si condensatorul sunt elemente de circuit cu memorie, spre deosebire de rezistor. 3.2.3.2. Continuitatea lui uC si iL Fie condensatorul din figura de mai jos prin care trece curentul iS(t) care are discontinuitati
t 1 finite. Rezulta ca daca uC (0)=0 atunci uC (t)= C i ( ) d si uC (t) este o functie continua. Pe baza 0
proprietatii de continuitate a integralei unei functii cu discontinuitati finite rezulta:
a)daca curentul iC(t) printr-un condensator liniar invariant n timp este marginit si are un numar finit de discontinuitati n intervalul [t0, tp] atunci tensiunea condensatorului uC(t) este continua n acest interval; b)daca tensiunea uL(t) pe o bobina liniara invarianta n timp este marginita si are un numar finit de discontinuitati n intervalul [t0, tp] atunci curentul prin bobina iL(t) este continuu n acest interval. Daca iC(t), respectiv uL(t), nu sunt marginite atunci uC(t), respectiv iL(t) nu sunt marimi continue. De exemplu daca condensatorul din figura de mai jos este alimentat cu tensiunea e(t) (e(t) 65
este o functie continua de timp), atunci iC(t) va avea discontinuitati finite. Daca 0 atunci e(t) devine
functia treapta unitate care are o discontinuitate n t=0 si iC(t) nu mai este marginit. Cand 0 dreptunghiul isi mentine aria unitara latimea sa tinzand catre zero si inaltimea sa spre infinit. Semnalul obtinut astfel se numeste impuls unitar sau impuls Dirac si se noteaza (t).
Functia (t) are o singularitate n t=0 si este nula pentru t 0. Se poate arata usor ca pentru orice
1
+2 ( t ) dt = 1 1
si
2
strict pozitivi.
3.2.3.3. Caracterul nedisipativ (fara pierderi) Energia pe care o primeste un rezistor liniar cu R>0 n intervalul de timp [t1, t2 ] este:
t2 t2 t2 WR [ t1 , t 2 ] = p( t ) dt = u( t )i ( t ) dt = Ri 2dt t1 t t1 1
. Evident W[t1, t2] 0 indiferent de semnul lui i(t). Daca
rezistorul este neliniar si pasiv [u(t)i(t) 0] rezultatul este acelasi: Rezistorul pasiv primeste energie din circuitul n care este conectat si aceasta energie se transforma n mod ireversibil n caldura (se disipa). Spunem ca rezistorul pasiv este un element de circuit disipativ (cu pierderi). Energia absorbita de un condensator liniar n intervalul de timp [t1, t2 ]este
2 WC [ t1 , t 2 ] = u( t )i ( t ) = t 1 t t u ( t2 ) 2 du( t ) 2 C2 C dt u( t ) dt = Cudu = 2 [ u ( t 2 ) u ( t1 )] t u( t1) 1
Daca u(t) este periodica de perioada T si t2=t1+T, atunci WC[t1, t2]=0 si energia medie absorbita de condensator intr-o perioada este nula. Aceasta inseamna ca puterea absorbita este pozitiva numai pe anumite subintervale din perioada T, n celelalte subintervale puterea absorbita fiind negativa. Deci 66
condensatorul nu disipa energia ci o acumuleaza si apoi o reda circuitului n care este conectat. Un astfel de element de circuit este nedisipativ (fara pierderi). Pentru un condensator controlat n sarcina [u=u(q)] rezultatul este similar
t2 t2 q ( t2 ) dq ( t ) WC [ t1 , t 2 ] = u( t )i ( t ) = u[ q ( t )] dt = u( q ) dq = 12 , unde A12 este aria din figura. dt t1 t1 q ( t1)
Daca q(t2) =q(t1 + T ) atunci A12 = 0 si WC [t1, t2] = 0. Similar se poate arata ca o bobina liniara si o bobina neliniara controlata n flux sunt nedisipative. Pentru bobina liniara
t i ( t2 ) 2 2 di ( t ) L W L [ t1 , t 2 ] = u( t )i ( t ) dt = L i ( t ) dt = Lidi = [i 2 ( t 2 ) i 2 ( t 1 )] dt 2 t t i ( t1) 1 1 t
si pentru bobina neliniara controlata n flux cu caracteristica i=i( )
t ( t2 ) 2 2 d( t ) L W L [ t1 , t 2 ] = u( t )i ( t ) dt = i[ ( t )] dt = i ( ) d = [i 2 ( t 2 ) i 2 ( t1 )] = 12 dt 2 t t ( t1) 1 1 t
Din aceaste relatii rezulta ca n regim periodic (u(t) si i(t) sunt functii periodice de perioada T) la un element de circuit fara pierderi tensiunea si curentul trec prin valoarea zero la momente de timp diferite. Altfel produsul u(t)i(t) ar fi tot timpul pozitiv sau negativ si W[t1, t2] ar fi nenula pe o perioada. De exemplu, n regim sinusoidal tensiunea unui condensator liniar este u(t)=U sin t si curentul este i(t)=C cos t=C sin( t + /2) deci u(t) si i(t) trec prin zero la momente de timp distantate cu t = /2 . Fie un condensator liniar cu capacitatea C>0 care in momentul t1 este conectat la un circuit .
67
Stiind ca u(t1)=U, energia absorbita de condensator este WC=[t1,t2]=
u ( t2 ) < U
C2 [ u ( t 2 ) U 2 ] . Daca 2
, atunci WC [t1, t2 ] < 0 si condensatorul cedeaza energie circuitului la care este conectat.
CU 2 . Deoarece 2
Daca u(t2) = 0 condensatorul va ceda valoarea maxima a energiei WCmax [t1, t2 ]=
aceasta este valoarea maxima a energiei ce se poate extrage din condensator este normal sa spunem ca energia acumulata intr-un condensator liniar de capacitate C incarcat la tensiunea U este EC =
CU 2 Q2 . Similar se poate arata ca energia acumulata intr-o bobina liniara de inductivitate L = 2 2C
prin care trece curentul I este E L = LI = . 2 2L Pentru un condensator neliniar controlat n sarcina a carui caracteristica u=u(q) trece prin origine energia acumulata este EC = u ( q ) dq =
0 Q
2
2
Pentru o bobina neliniara controlata n flux a carei caracteristica i = i( ) trece prin origine energia
acumulata este E L ( ) = i ( )d = 0
3.2.4 Bobinele cuplate 68
Bobinele cuplate se utilizeaza in circuitele de comunicatii si in echipamentele de masura. Transformatoarele electrice construite cu bobine cuplate au o importanta deosebita in transmiterea energiei electrice intre generatoare si utilizatori. Motoarele si generatoarele electrice se modeleaza prin bobine cuplate cu parametri variabili in timp.
Se considera un tor din material feromagnetic (ferita sau tole dintr-un otel special). Pe acest tor exista doua infasurari obtinandu-se astfel un diport. Daca la bornele de intrare 1,1' se conecteaza un generator si bornele de iesire 2,2' sunt in gol (i2=0), in infasurarea 1 apare curentul i1(t) care determina un camp magnetic in tor (variabil in timp daca tensiunea aplicata este variabila in timp), respectiv un flux magnetic variabil in timp. Conform legii inductiei electromagnetice, acest flux va determina aparitia unei tensiuni u2(t) intre bornele 2 si 2. Doua bobine cuplate magnetic se reprezinta astfel
Un model liniar al acestui dispozitiv este dat de un sistem de ecuatii liniare care leaga curentii i1, i2 si fluxurile 1,
2
prin bobinele 1 si 2. Acest sistem reprezinta ecuatia constitutiva a
bobinelor liniare cuplate:
1 = L11 i1 Mi2
2
= L22i2 Mi1.
unde L11 si L22 sunt inductivitatile proprii ale celor doua infasurari si M este inductivitatea mutuala dintre infasurari. Termenii L11 i1 si L22i2 reprezinta fluxurile proprii ale bobinelor 1 si 2 iar termenii Mi2 si Mi1 reprezinta fluxurile mutuale. In teoria campului electromagnetic se arata ca fluxul propriu si fluxul mutual sau se aduna in ambele bobine, sau se scad in ambele bobine. Ca urmare semnele atasate 69
lui M sunt sau amandoua + sau amandoua -. De exemplu pentru bobina 1 din figura, cu sensurile date pentru i1 si i2 fluxul propriu L11 i1 si fluxul mutual M i2 sunt orientate n acelasi sens si deci M se considera cu semnul +. Daca i2 are sensul invers celui din figura, atunci fluxul mutual este orientat invers fata de cel propriu si M se considera cu semnul -. Pentru a preciza semnul lui M se foloseste reprezentarea bobinelor cu borne polarizate: daca cei doi curenti i1 si i2 ataca la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne), atunci in ecuatii se considera +M, iar daca i1 si i2 ataca in mod diferit aceste borne (un curent intra prin borna polarizata si celalalt curent iese prin borna polarizata) atunci in ecuatii se considera -M. Ecuatia constitutiva a bobinelor cuplate se scrie matriceal [ ] = [L][I]
L11 unde L = M
M este matricea inductivitatilor. L22
d 1 d 2 si u2 = aceste relatii reprezentand ecuatia de dt dt
Tensiunile u1 si u2 sunt date de u1 =
functionare a bobinelor cuplate. Utilizand ecuatia constitutiva a bobinelor liniare rezulta:
di di u1 ( t ) = L11 1 M 2 dt dt di di u2 ( t ) = L22 2 M 1 dt dt
sau, matriceal, [ U ] = [ L][ I ] Daca nodurile 1' si 2' sunt legate intre ele atunci se poate obtine un diport echivalent cu trei bobine necuplate. Deoarece i=i1+i2, calculand u1(t) n diportul echivalent rezulta: u1 ( t ) = L11
di 2 di di1 di di di dil1 di M 1 + M ( 1 + 2 ) = L11 + M 2 . Similar rezulta u (t ) = L +M 1. 2 22 dt dt dt dt dt dt dt dt
70
Similar cu elementele dipolare, pentru a calcula energia acumulata se considera conditii initiale nule (i1(0)=0 si i2(0)=0, respectiv 1(0)=0 si 2(0)=0). Se calculeaza energia absorbita de bobine intr-un interval de timp T:
T T di di di di W M = [ u1 ( t )i1 ( t ) + u 2 ( t )i 2 ( t )]dt = [ L11 1 i1 + M 2 i1 + L22 2 i 2 + M 1 i 2 ]dt dt dt dt dt 0 0 1 2 2 = [ L11i1 ( T ) + L22 i 2 ( T ) + 2 Mi1 ( T )i 2 ( T )] 2
Energia acumulata n bobine la momentul T poate fi calculata ca energia cedata de bobine n transformarea de la starea initiala la starea finala i1(T)=I1, i2(T)=I2.
1 2 22 W M ( I 1 , I 2 ) = [ L11 I 1 + L22 I 2 ] + MI 1 I 2 2
Din considerente fizice energia magnetica acumulata WM(I1, I2) este pozitiva pentru orice I1, I2 0. Rezulta ca L este pozitiv definita, deci minorii principali ai matricei L sunt pozitivi adica L11 0, L11L22 -M2 0. Inductivitatea mutuala se poate defini in functie de coeficientul de cuplaj k = L11L22 M2 rezulta ca
k
M . Din L11 L22
<1. Valoarea k=0 corespunde bobinelor necuplate, iar valoarea k=1
corespunde cuplajului perfect. n cazul mai multor bobine cuplate se obtin ecuatii similare. De exemplu trei bobine liniare cuplate au ecuatia de functionare
u1 ( t ) L11 u (t = M 2 12 u 3 ( t ) M 13
M 12 L22 M 23
M 13 di1 ( t ) / dt M 23 . di 2 (t ) / dt L33 di 3 ( t ) / dt
In teoria campului electromagnetic se demonstreaza relatia Mjk=Mkj (proprietatea de simetrie a matricei inductivitatilor). 71
uk =
d k dt
Ecuatia de functionare a unui sistem de bobine neliniare cuplate se obtine din relatiile si ecuatiile constitutive.
72
IN = I1 + I2 + I3 unde Y 1 =
1 1 1 1 ,Y 2 = ,Y 3 = ,Y N = Z1 Z2 Z3 ZN
Prin operatii elementare asupra acestor ecuatii rezulta:
U N0 =
U 10 Y 1 + U 20 Y 2 + U 30 Y 3 Y1 + Y 2 + Y 3 + Y N
Expresia de mai sus este cunoscuta sub numele de formula lui Millman sau formula de calcul a deplasarii punctului neutru. Deci algoritmul de analiza a acestui circuit este foarte simplu: 1. Cunoscand tensiunile de faza de alimentare si admitantele receptorului se calculeaza UN0 2. Se calculeaza tensiunile de faza la receptor U1N, U2N, U3N 3. Se calculeaza I1 , I2 , I3 si IN Daca tensiunile de alimentare formeaza un sistem simetric ( U 10 = U f , U 20 = a 2 U f , U 30 = aU f ) si 1 YU (1 + a 2 + a ) j f receptorul este echilibrat ( = Y = Ye ), atunci U N 0 = = 0 si tensiunile de faza si curentii Z 3Y + ( Y N ) de faza formeaza sisteme simetrice:
U 1N = U 10 = U f
U 2 N = U 20 = a 2 U
I 1 = U1N Y =
f
U
f e j = I e j f Y
Uf Y e e j = a2I e f j
I 2 = U 2N Y = a 2 I 3 = U 3N Y = a
U 3 N = U 30 = aU f
Uf Y
j
= aI f e
j
si I N = I 1 + I 2 + I 3 = 0 . Se observa ca la receptorul echilibrat in stea alimentat cu tensiuni simetrice U l = 3U f , I l = I f . 5.4.1.2. Receptorul in triunghi fara cuplaje mutuale
134
Sunt cunoscute tensiunile de linie U12, U23 , U31 si impedantele receptorului Z 12, Z 23, Z 31 Se calculeaza curentii de linie: I1 , I2 , I3 si curentii din fazele receptorului: I12 I23 , I31 . In total sunt sase necunoscute de determinat. Din aplicarea legii lui Ohm si a teoremei I a lui Kirchhoff rezulta:
,
I 12 =
U 12 U 23 U 31 , I 23 = , I 31 = , I = I I , I = I 23 I 12 , I 3 = I 31 I 23 . Z 12 Z 23 Z 31 1 12 31 2
O alta metoda de a obtine curentii de linie I1 , I2 , I3 este prin transfigurarea triunghi-stea si aplicarea algoritmului din paragraful precedent. Daca receptorul in triunghi este echilibrat ( Z 12 = Z 23 = Z 31 = Ze j ) si este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni (
j2 j2 3 , U = Ue 3 ) atunci curentii din fazele receptorului sunt: U12 = U, U 23 = Ue 31
I 12 =
U j e Z
2 2 U j( + 3 ) si U j( 3 ) I 23 = e I 31 = e Z Z
si formeaza un sistem trifazat simetric defazat cu fata de tensiunile U12, U23 , U31 . Curentii de linie sunt:
U j 1 3 e [1 ( + j )] = Z 2 2 j ( +) j j 6 6 = I f 3e e =I e l j ( +2 ) 63 I2 =I e l j ( ++2 ) 63 I3 =I e l I1 =
si formeaza tot un sistem simetric. Se observa ca in cazul receptorului echilibrat in triunghi alimentat cu tensiuni simetrice: U f = U l siI l = 3I f . Deci pentru receptoarele echilibrate in stea sau triunghi alimentate cu tensiuni simetrice este suficient sa se faca analiza pentru o faza, marimile celorlalte faze rezultand din proprietatile de simetrie. 5.4.1.3 Receptorul echilibrat in stea cu elemente cuplate magnetic Fie receptorul din figura
135
pentru care curentul prin firul neutru este IN = I1 + I2 + I3 . Se scrie teorema a II-a a lui Kirchhoff pe o bucla formata din cate o faza si firul neutru tinand cont de faptul ca I2 + I3 = IN - I1 etc. si rezulta:
U 10 = Z I 1 + Z m I 2 + Z m I 3 + Z N I N = ( Z Z m ) I 1 + ( Z N + Z m ) I N
U 20 = Z I 2 + Z m I 1 + Z m I 3 + Z N I N = ( Z Z m ) I 2 + ( Z N + Z m ) I N
U 30 = ZI 3 + Z m I 1 + Z m I 2 + Z N I N = ( Z Z m )I 3 + ( Z N + Z m )I N
Ecuatiilor de mai sus le corespunde urmatoarea schema echivalenta de receptor echilibrat fara cuplaje magnetice.
In cazul in care nu exista firul neutru : I 1 + I 2 + I 3 = 0 si
U 1N = ZI 1 + Z m I 2 + Z m I 3 = ( Z Z m ) I 1 U 2 N = (Z Z m ) I 2 U 3N = ( Z Z m ) I 3
Schema echivalenta fara cuplaje magnetice este tot un receptor echilibrat.
5.4.1.4. Receptorul echilibrat in triunghi cu elemente cuplate magnetic Fie receptorul de mai jos cu impedantele proprii Z si impedantele de cuplaj magnetic Zm Se scrie ecuatia de functionare pentru fiecare faza:
.
U 12 = Z I 12 + Z m I 23 + Z m I 31 = Z I 12 + Z m ( I 23 + I 31)
U 23 = Z I 23 + Z m ( I 12 + I 31 )
136
U 31 = Z I 31 + Z m ( I 12 + I 23 )
Deoarece receptorul este echilibrat, curentii de faza
formeaza un sistem simetric cu proprietatea
I 12 + I 23 + I 31 = 0 si deci U 12 = ( Z Z m ) I 12 , U 23 = ( Z Z m ) I 23 , U 31 = ( Z Z m ) I 31 . Aceste ecuatii
corespund urmatoarei scheme echivalente fara cuplaje magnetice:
5.4.2. Analiza circuitelor trifazate complexe Circuitele trifazate complexe sunt formate din mai multe generatoare si receptoare cu conexiune in stea sau in triunghi conectate intre ele prin linii electrice. Analiza automata a unui astfel de circuit se poate face cu ajutorul unor programe generale de analiza a circuitelor care folosesc ecuatiile date de teoremele lui Kirchhoff in complex si ecuatiile de functionare ale elementelor de circuit; sistemul de ecuatii liniare se rezolva cu eficienta maxima utilizand metode numerice pentru matrice rare. Pentru rezolvarea unor probleme de proiectare si in scop didactic se pot face si calcule manuale. Aceste calcule se simplifica considerabil daca se utilizeaza: transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea, analiza pe o singura faza, descompunerea necunoscutelor problemei in componente simetrice. 5.4.2.1. Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea Stea-triunghi Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedantele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului echivalent.
137
Se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 in ambele circuite si se calculeaza impedanta echivalenta intre bornele 1 si 2 (Ze12) care trebuie sa fie aceeasi:
Ze12 = Z 1 +
1 1 1 Z2 + Z3 Z2Z3 1 1 = + + = Z 12 Z 23 deci Ze Z2 + Z3 Z 12 Z 31 Z 1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 1 Z 3 12
In mod asemanator se obtin relatiile:
1 Z 12 1 Z 12
+
1 Z 23 1 Z 23
=
Z1 + Z 3 Z1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z1Z 3 1 Z 31
1 Z 23
+
1 Z 31
=
Z1 + Z 2 Z1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z1Z 3
Se aduna cele trei ecuatii si se simplifica cu 2:
+
+
=
Z1 + Z 2 + Z 3 Z1Z 2 + Z 2 Z 3 + Z1Z 3
Din relatia de mai sus se scade pe rand fiecare din ecuatiile initiale si se obtin:
Z Z + Z 2 Z 3 + Z1Z 3 Z Z + Z 2 Z 3 + Z1Z 3 Z Z + Z 2 Z 3 + Z1Z 3 Z 12 = 1 2 Z 23 = 1 2 Z 31 = 1 2 Z3 Z1 Z2
Daca steaua este echilibrata de impedanta ZY pe fiecare faza, atunci triunghiul echivalent este si el echilibrat de impedanta Z = 3ZY. Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea se procedeaza similar, considerand pe rand cate o borna in gol.
Z e12
3gol
=
Z 12 ( Z 23 + Z 31 ) Z 12 + Z 23 + Z 31
Y Z e12 = Z1 + Z 2 3gol
s.a.m.d.
Se obtine: Z 1 =
Z 12 Z 31 Z 23 Z 12 Z 31 Z 23 , Z2 = , Z3 = Z 12 + Z 23 + Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31
Z 3
Un triunghi echilibrat de impedanta Z are o stea echivalenta echilibrata de impedanta ZY=
5.4.2.2. Analiza circuitelor trifazate formate din receptoare echilibrate alimentate cu tensiuni simetrice Un circuit trifazat in care tensiunile electromotoare ale fiecarui generator formeaza un sistem simetric, impedantele fazelor fiecarui generator sunt egale intre ele si toate receptoarele sunt echilibrate functioneaza in regim simetric. In acest regim tensiunile si curentii formeaza sisteme simetrice si deci este suficient sa se determine marimile corespunzatoare unei singure faze a fiecarui receptor, marimile celorlalte doua faze deducandu-se din proprietatile de simetrie. Pentru a obtine o structura echivalenta mai simpla se inlocuiesc toate receptoarele cu cuplaje magnetice prin circuite echivalente fara cuplaje si se inlocuiesc toate elementele terminale cu conexiune in triunghi cu
138
elemente echivalente conectate in stea. Dupa efectuarea acestor transformari toate elementele terminale trifazate vor avea punct neutru. Toate punctele neutre vor avea acelasi potential (pentru un receptor echilibrat in regim simetric avem UN0 = 0) si deci pot fi unite printr-un fir neutru fictiv de impedanta nula. Mersul calculului este exemplificat in continuare pentru circuitul din figura .
Acest circuit poate fi analizat doar pentru o singura faza cu urmatorul circuit echivalent:
5.4.2.3. Analiza sistemelor trifazate formate din receptoare dezechilibrate Daca un receptor dezechilibrat in triunghi este alimentat printr-o linie cu impedanta nenula se va transfigura triunghiul in stea obtinandu-se un receptor echivalent in stea.
139
Pentru sistemele mai complicate se aplica transfigurari succesive stea-triunghi si triunghi-stea. In exemplul din figura de mai jos se transfigureaza receptorul 2 din stea in triunghi si prin conectarea celor doua triunghiuri in paralel se reduce problem ala cea din exemplul precedent.
140
4.1.7. Analiza circuitelor de curent alternativ 4.1.7.1. Introducere Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele: N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchoff (vezi paragraful 4.4) L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff (vezi paragraful 4.4) L ecuatii date de legaturile intre Uk si Ik pentru fiecare latura a grafului (vezi paragrafele 2.2 si 4.3) Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar de c.c. deoarece: - teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma - in ecuatiile de legatura intre Uk si Ik, Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc. La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk avand coeficienti reali. La circuitele de c.a. Ik si Uk sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk avand coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt aceleasi cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in continuare insistandu-se asupra particularitatilor circuitelor de c.a.. 4.1.7.2. Formularea problemei si metoda de rezolvare Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel: se cunosc: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck Mk, ek(t), isk(t)) si modul de interconectare a elementelor de circuit, se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii. Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si determinarea solutiei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L). Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape: 1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele echivalente in complex ale elementelor de circuit 2) Se scriu ecuatiile acestui circuit 3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si tensiunilor, (Uk, Ik, k = 1, ... , L) de forma Uk = Ukej
k
,
4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe 5) Se determina valorile instantanee de forma uk(t) = Uk Exemplu Fie circuitul din figura a cu e(t) = 30
2 sin( t + k).
-1
2 sin t si is (t) = 2 sin ( t+ /4) unde =100 s
. Circuitul
echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b. Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff: I1 + I2 = 1+j , 10 I1 -20j I2 = 30, 20j I2 , 20j (1+j) - U = 0
114
Solutiile acestui sistem sunt: I1 = 1 , I2 = j si U = - 20j. Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe:
toate sursele toate impedantele
S kd = E I * + U I * = 30 1 + (-20j) (1-j) = 10 -20j 1 s
S ka = R I 2 + Lj I 2 - 1 j I 2 = 10 1 + 20j 1- 20j 2 = 10 - 20j 1 2 s C
2 sin t, i2 = 2 sin( t+ /2) si u(t) = 20 2 sin( t- /2)
Valorile instantanee sunt: i1 (t) =
4.1.7.2. Scrierea ecuatiilor potentialelor nodurilor si curentilor ciclici 4.1.7.2.1. Metoda potentialelor nodurilor Asa cum s-a aratat in paragraful 2., se prefera comanda in tensiune deoarece marimea de comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate (vezi paragraful 4.3) nu este potrivit pentru scrierea ecuatiilor metodei nodale. Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu surse de curent comandate in tensiune. In acest scop se rezolva ecuatiile de functionare ale bobinelor cuplate: U1=j L1I1j MI2 , U2=j L2I2j MI1 in raport cu necunoscutele I1 si I2 .
115
u1 ( t ) = U n 2 sin( n t + ) n 1 T u 2 ( t ) = U n 2 sin[ n ( t ) + ] n 3 1 2T u 3 ( t ) = U n 2 sin[( n ( t ) + ] n 3 1
Cu T=2 / si considerand n=0 rezulta:
2 4 u1( t ) = U n 2 sin n t , u2 ( t ) = U n 2 sin( n t n ) , u3 ( t ) = U n 2 sin( n t n ) 3 3 1 1 1
In conformitate cu definitiile din capitolul 5 rezulta urmatoarele proprietati: - armonicele de ordin n = 3k, (3,6,9,12,...) ale u1, u2, u3 sunt in faza si alcatuiesc un sistem simetric homopolar - armonicele de ordin n = 3k+1, (1,4,7,10,...) ale u1, u2, u3 alcatuiesc un sistem simetric direct - armonicele de ordin n = 3k-1, (2,5,8,11) ale lui u1, u2, u3 alcatuiesc un sistem simetric invers. Particularizand pentru cazul undelor electrotehnice numai cu armonici impare rezulta ca: - armonicele 1,7,13,... formeaza un sistem direct - armonicele 5,11,17,... formeaza un sistem invers - armonicele 3,9,15,... formeaza un sistem homopolar Tinand seama de aceste particularitati, in retelele trifazate echilibrate in regim simetric (cu tensiuni si curenti nesinusoidali simetrici) apar anumite efecte legate de modul de conexiuni. In continuare vor fi date cateva exemple: i) La generatorul in stea fara fir neutru tensiunile de linie u 12, u23, u31 nu contin armonicele 3,9,15,... (U12(3)=U10(3)-U20(3), dar U10(3), U20(3) si U30(3) formeaza un sistem homopolar si deci U12(3)=0, s.a.m.d.). 2 2 2 Valoarea efectiva a tensiunii de faza este: U f = U f 1 + U f 3 + U f 5 +... 2 2 Valoarea efectiva a tensiunii de linie este: U l = 3 U f 1 + U f 5 +... si deci U l 3U f . Formele undelor de tensiune de faza si de linie sunt diferite. ii) In cazul unui receptor in stea cu fir neutru curentul prin firul neutru este nenul numai pentru armonicele de ordin multiplu de 3 IN = 2 2 2 I3 + I9 + I15 +...
iii) In receptoarele in stea fara fir neutru nu apar curenti de armonicele 3,9,15,...si tensiunea UN0 contine numai armonicele 3,9,15,...
iv) La receptoarele in triunghi I l 3I f datorita lipsei armonicelor multiple de 3 din curentii de linie. Forma undei de curent de faza difera de cea a curentului de linie. 6.5. Regimul deformant in sistemul electroenergetic 6.5.1. Producerea regimului deformant Asa cum s-a aratat in capitolul 4 sistemul electroenergetic este format din generatoare cu tensiuni electromotoare sinusoidale de aceeasi pulsatie si receptoare. Daca toate elementele de circuit sunt liniare atunci, in regim permanent, toti curentii si toate tensiunile sunt functii sinusoidale de pulsatie . Daca in acest sistem cel putin un element de circuit este neliniar, regimul permanent al circuitului, daca exista (vezi paragraful 6.1.), este un regim deformant. Iata cateva exemple: Rezistorul neliniar alimentat cu tensiune sinusoidala Fie un rezistor cu caracteristica i = au + bu3.
Daca ca
u=
2 U sin t
rezulta
i= avem
2aU sin t + 2 2 bU3 sin3 t i= 2 ( aU +
si tinand seama
sin3 x =
3 1 sin x sin 3x 4 4
3 2 bU3 ) sin t bU3 sin 3t. 2 2
Se observa aparitia armonicei a treia de curent care provine din termenul bu3 din ecuatia constitutiva a rezistorului neliniar. Bobina cu miez de fier alimentata cu tensiune sinusoidala Bobina cu miez de fier este un element neliniar de circuit caracterizat de ecuatia constitutiva neliniara = (i) corespunzatoare curbei de magnetizare a fierului. Ecuatia de functionare a bobinei este u = N fascicular (printr-o spira).
Daca u = U 2 sin t rezulta = U2 sin( t ) deci este defazat cu in urma tensiunii. N 2 2
d unde N este numarul de spire si este fluxul magnetic dt
Pe portiunea liniara OA a curbei de magnetizare curentul i va avea o variatie sinusoidala fiind defazat cu /2 in urma tensiunii. Pe portiunea neliniara AB a caracteristicei de magnetizare se poate determina forma undei de curent pe cale grafica.
Se construieste curba i(t) punct cu punct utilizand caracteristica (i) . Curba i(t) este bisimetrica in sinus, deci contine numai armonice impare, cu armonica a 3-a in opozitie cu fundamentala.
i = I1 2 sin t I 3 2 sin 3 t + ( 1) 2 n +1 I 2 n +1 2 sin( 2 n + 1) t n=2
Curentul este "in faza" cu fluxul (adica are extremele la aceleasi momente de timp si se anuleaza la aceleasi momente de timp). Puterea activa absorbita de bobina este nula: P = U n I n cos n = U1I 1 cos = 0 2 1 In cazul in care ciclul de histerezis al materialului din care este facut miezul bobinei nu poate fi neglijat, curba i(t) se construieste in acelasi mod. Se obtine o curba i(t) care nu este simetrica si nici "in faza" cu fluxul magnetic dar are maximul in acelasi timp cu .
Curentul este defazat inaintea fluxului cu un unghi numit unghi de avans histerezis si deci defazajul dintre tensiune si curent este ( /2- ). In aceste conditii puterea activa absorbita de bobina nu mai este nula P=U1I1cos ( /2- ) = U1I1cos 0 si corespunde pierderilor in fier prin histerezis. Cazul condensatorului neliniar (capacitati neliniare apar la efectul Corona) alimentat cu tensiune sinusoidala este similar cu cel al bobinei neliniare. Redresorul filtru) Functionarea celui mai simplu redresor (redresorul monoalternanta fara
a fost studiata in capitolul 2. Generatorul ideal de tensiune are e=E 2sin t. Asa cum s-a aratat in capitolul 2, forma de unda a curentului este:
E 2 2 k (2k + 1) sin t, pt t < i( t ) = R 0 pt (2k + 1) t < (2k + 2)
Dezvoltand in serie Fourier rezulta:
i( t ) = E2 E2 22 1 + sin t + sin( 2 n t ) 2 1 R 2R R n=1 4 n 2
6.5.2. Efectele regimului deformant Functionarea in regim deformant produce in sistemul electroenergetic efecte defavorabile. Acestea pot fi puse in evidenta pe un exemplu simplu. Fie un receptor liniar inductiv pentru care se considera o schema echivalenta RL serie. Acest receptor functioneaza in regim sinusoidal la o tensiune U1 si absoarbe un curent I1, factorul de putere fiind
2 RI 1 RI 1 P K= = = S U 1I 1 U1
Daca acelasi receptor este conectat intr-o retea in care apare si o componenta de armonica a treia a tensiunii de alimentare de valoare efectiva U3 prin el va circula si armonica a treia de curent de valoare efectiva I3 . Ca urmare, valoarea efectiva a curentului absorbit creste de la I1 la 2 I1 + I 2 3
ceea ce produce pierderi suplimentare pe linia de alimentare si in rezistenta echivalenta a receptorului. Factorul de putere in regim deformant este:
K' =
P' = S'
2 R ( I1 + I 2 ) RI1 3 = 2 2 U1 ( U1 + U 2 )( I1 + I 2 ) 3 3
I2 I2 1+ 3 1+ 3 2 2 I1 I1 =K U2 U2 1+ 3 1+ 3 2 2 U1 U1
U2 I2 3> 3 Deoarece receptorul este inductiv 2 2 si deci K'<K deci in regim deformant scade factorul U1 I 1 de putere. Alte efecte ale regimului deformant sunt cresterea erorilor aparatelor de masura si aparitia unor curenti de nul pe armonicele 3,9,12,... care produc pierderi suplimentare (vezi paragraful 6.4.3.) 6.5.3. Imbunatatirea factorului de putere Solutia practica pentru imbunatatirea factorului de putere in retelele energetice in regim deformant este filtrarea armonicelor asociata cu compensarea puterii reactive pe fundamentala. In regim sinusoidal imbunatatirea factorului de putere se face prin introducerea de elemente reactive (condensatoare). In regim nesinusoidal
K=
P = S
U n I n cos n Pn 1 =1 2 U ef I ef ( U n ) ( I 2 ) n 1 1
n
deci este o functie de Un, In,
. Valorile extreme ale lui K pot fi cautate impunand conditiile de
anulare a derivatelor lui K in raport cu Un, In, n. De exemplu:
U n I n sin n K =1 =0 2 2 n U n In 1 1
deci n=0 ceea ce nu se poate realiza pentru toate armonicele. Pentru reducerea anumitor armonice de tensiune sau de curent se folosesc circuite auxiliare formate din bobine si condensatoare legate in serie sau paralel care indeplinesc conditia de rezonanta si care se numesc filtre de armonice. In continuare sunt prezentate doua exemple: a) Pentru ca intr-un receptor alimentat u o tensiune nesinusoidala curentul sa nu contina armonica de ordinul k trebuie ca impedanta echivalenta a receptorului impreuna cu filtrul pe armonica k sa fie
infinita. Aceasta se realizeaza daca L si C indeplinesc conditia de rezonanta pe armonica k.
kL = 1 kC 1
(k) k ) = 0 si deci I k = Y AB U k = 0. Admitanta filtrului pe armonica k este Y f = j( k C k L
Deci filtrul LC paralel, legat in serie la bornele receptorului se comporta pa armonica k ca la mers in gol. b) Pentru ca la bornele unui receptor alimentat cu un curent nesinusoidal sa nu apara armonica k de tensiune trebuie ca impedanta echivalenta a filtrului impreuna cu receptorul sa fie nula.
Aceasta se realizeaza daca L si C indeplinesc conditia de rezonanta KL =
1 KC
1 (k) k ) = 0 si deci U k = Z AB I k = 0. Impedanta filtrului este Z f = j( kL kC Se observa ca acest tip de filtru se comporta pe armonica k ca un scurtcircuit. In paragraful 6.4. s-a aratat ca un receptor neliniar alimentat cu o tensiune sinusoidala se comporta ca un generator de curent de armonice superioare. In cazul in care se doreste reducerea ariei de raspandire a regimului deformant se leaga in paralel cu receptorul respectiv cate un circuit LC serie rezonant pe fiecare armonica care scurtcircuiteaza practic aceste armonice superioare de curent.
Din teoremele de liniaritate si derivare a functiei original rezulta ca ecuatiilor diferentiale care exprima legaturile intre u(t) si i(t) pentru elementele de circuit le corespund ecuatii algebrice care exprima legaturile intre U(s)= L {u(t)} si I(s)= L {i(t)}. In continuare se prezinta aceste ecuatii si circuitele echivalente care le corespund (schemele echivalente operationale) pentru fiecare element de circuit. 7.3.2. Schemele echivalente operationale Rezistorul ideal are ecuatia de functionare u(t)=R i(t) si daca U(s)=L {u(t)}, I(s)=L{i(t)} atunci U(s)=RI(s). Factorul care inmulteste pe I(s) pentru a obtine pe U(s) se numeste impedanta operationala Z ( s ) =
U ( s) . La rezistorul ideal ZR(s)=R. Acestei relatii ii corespunde schema I ( s)
echivalenta operationala
Pentru
bobina ideala, ecuatiei u( t ) = L
di ( t ) ii corespunde ecuatia in transformate dt
Laplace U(s)=L[sI(s)-i(0-)] sau U(s)=LI(s)- (0-) unde i(0-) sau (0-) reprezinta conditia initiala la momentul t=0- pentru curent sau flux magnetic. Pentru i(0-)=0 se defineste impedanta operationala a bobinei Z L ( s) =
U ( s) = sL. .Schema echivalenta operationala este: I ( s)
Pentru condensatorul ideal
relatiei i ( t ) = C
du( t ) dt
ii corespunde legatura intre
transformatele Laplace I(s)=C[sU(s)-u(0-)] sau I(s)=sCU(s)-q(0-) unde u(0-) sau q(0-) sunt conditiile initiale la t=0- pentru tensiunea sau sarcina condensatorului. Pentru u(0-) =0 se defineste
175
impedanta operationala a condensatorului Z C ( s) = a condensatorului este data in figura de mai sus. Pentru doua bobine ideale cuplate:
U ( s) 1 = . Schema echivalenta operationala I ( s) sC
di1 di2 u1(t ) = L1 + M dt dt u (t ) = L di2 + M di1 2 2 dt dt
Aplicand transformata Laplace se obtine
U1( s) = L1( sI1( s) i1(0 ) + M ( sI 2 ( s) i2 (0_ )) = sL1I1( s) + sMI2 ( s) 1(0 ) U 2 ( s) = L2 ( sI2 ( s) i2 (0_ ) + M ( sI1( s) i1(0_ ) = sL2 I2 ( s) + sMI1( s) 2 (0 )
unde 1 (0 ) = L1i1 (0_ ) + Mi2 (0_ ) si 2 (0_ ) = L2 i2 (0_ ) + Mi1 (0_ ) sunt fluxurile magnetice ale bobinelor 1 si 2 la t=0-.Rezulta imediat schemele echivalente operationale.
Daca curentii nu ataca la fel bornele polarizate atunci in toate ecuatiile de mai sus M se inlocuieste cu -M. Se observa usor ca in cazul circuitelor fara conditii initiale schemele echivalente operationale se obtin direct din schemele in complex inlocuind pe j cu s. 7.3.2. Ecuatiile operationale ale circuitului
176
Ecuatiile unui circuit liniar in domeniul timpului se pot scrie cu metoda tabloului (vezi capitolul 3)
0 T A 0
0 1 M 0 D +M1
v( t ) 0 0 ( t ) = 0 sau T( D ) W( t ) = 0 0 . u i( t ) N 0 D +N1 u u s ( t ) s ( t ) A
unde: - W(t) este vectorul necunoscutelor care cuprinde: potentialele nodurilor v(t), tensiunile si curentii laturilor grafului u(t) si i(t) - A este matricea de incidenta a laturilor la noduri iar AT transpusa acesteia. - D=d/dt este operatorul de derivare. - M0, M1, N0, N1 sunt matrice cu elemente constante in care apar parametri circuitului (R, L, C, ...) - us(t) este vectorul surselor independente din circuit (functii original). Se aplica transformata Laplace acestui sistem de ecuatii si se obtin ecuatiile circuitului in domeniul frecventei complexe s.
0 T A 0 0 1 M 0s +M1
V ( s) A 0 0 + 0 sau T( s) W( s) = 0 U ( s) = 0 I ( s) s ( s) N 0s +N1 U U i ( s)
unde Us(s) = L{us(t)} si Ui(s) se refera la conditiile initiale. Se observa usor ca toate aceste ecuatii sunt similare cu cele ale unui circuit liniar de curent continuu sau de curent alternativ. Deci toate teoremele si metodele de analiza studiate in capitolele respective sunt valabile si pentru schemele echivalente operationale: teoremele generatoarelor echivalente, teorema superpozitiei, teoremele de reprezentare a diportului, metoda potentialelor nodurilor, metoda curentilor ciclici, etc. In membrul drept al sistemului de ecuatii apare in plus vectorul Ui(s) al conditiilor initiale. 7.3.3. Calculul raspunsului circuitului 7.3.3.1. Introducere Algoritmul de analiza cu transformata Laplace a unui circuit liniar in regim variabil in timp consta in : - determinarea conditiilor initiale pentru bobinele si condensatoarele din circuit ( L(0_) sau i L(0_) si QC(0_) sau uC(0_)).
177
- construirea circuitului cu surse si impedante operationale format din schemele echivalente operationale ale elementelor de circuit - scrierea ecuatiilor pentru una dintre metodele cunoscute de la circuitele de curent continuu sau de curent alternativ si calculul necunoscutelor Uk(s) si Ik(s). - determinarea functiilor original uk(t) si ik(t) cu teoremele lui Heaviside. Exemplul 1. In circuitul din fig.a la t=0 se inchide comutatorul K . Se da e(t) =2sin2t, u C (0- )=1 V. Se cere sa se calculeze i(t) pentru t>0. Evident iL(0- )= 0 si schema echivalenta operationala este data in fig.b
a
b
Z L = sL = s, Z C = Z R = 1, 11 = sC s 1 L{ 2 sin t} = 2 s +1
+ ) = I 0s ( s) + I 0e ( s) unde I0s(s) corespunde raspunsului dat de Rezulta I ( s) = Z( s) ( 2 s +1 s
1
2
1
excitatie (la stare initiala nula) si I0e(s) corespunde raspunsului dat de starea initiala (la excitatie
2 nula) si Z(s)=s+1/s+1= s + s + 1 . Descompunem in fractii simple prin identificarea coeficientilor: s
I 0s ( s) =
2
s2 + 1 s2 + s + 1
s
=
As + B Cs + D + sau 2s = ( As + B)( s 2 + s +1) + ( Cs + D)( s 2 +1) s2 + 1 s2 + s + 1
178
( s 3 ): ( s 2 ): ( s): ( s 0 ):
0 = A +C 0 = A +B+D 2 = A +B+C 0 = B+D
deci A=0, C=0, B=2, D= -2 si
I 0s ( s) = 2 2 2 = 2 + 1 s2 + s + 1 s2 + 1 s 2 1 3 (s + ) 2 + ( ) 2 2 2
4 t 3 e 2 sin t. 2 3
Conform primei teoreme a dezvoltarii (poli complecsi) rezulta i 0s ( t ) = 2 sin t
Raspunsul la stare initiala nula are ocomponenta sinusoidala de pulsatia excitatiei si o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia
1 s I 0e ( s) = = s s2 + s + 1 Similar
3 (pulsatie prprie a circuitului). 2
2 3 si i 0e ( t ) = 1 3 e 2 sin t (s + ) 2 + ( ) 2 2 3
1
t
2
2
Raspunsul la excitatie nula are o componenta sinusoidala amortizata de pulsatia proprie a circuitului. Raspunsul complet este
i( t ) = i 0s ( t ) + i oe ( t ) = 2 sin t 2 t 3 e 2 sin t 2 3
Termenul 2sint este componenta de regim permanent (care ramane cand t) iar termenul t 2 2 3 este componenta de regim tranzitoriu care practic dispare pentru t>5 =10s. e sin t 2 3 Se observa ca daca uc(0-)=2V atunci raspunsul complet contine numai componenta de regim permanent, cele doua componente de pulsatie proprie a circuitului reducandu-se intre ele. Rezulta ca daca conditiile initiale corespund regimului permanent (care in acest caz este sinusoidal) raspunsul contine numai aceasta componenta. Aceasta proprietate este valabila indiferent de metoda prin care se determina raspunsul. Presupunem ca se urmareste determinarea raspunsului in regim periodic (permanent) printr-o metoda numerica. Daca se porneste de la conditii initiale oarecare trebuie sa se parcurga mai multe perioade ale excitatiei pana la disparitia componentelor tranzitorii, iar daca se porneste de la conditiile initiale corespunzatoare regimului permanent este suficient sa se parcurga o singura perioada a excitatiei. Deci cunoscand conditiile initiale corespunzatoare regimului permanent se poate reduce foarte mult efortul de calcul. Exemplul 2 In circuitul din figura la t=0 se inchide comutatorul k. Se da uC2 (0 ) = 2 V. Pentru t<0 se considera regimul permanent. Se cere:
179
10 Sa se calculeze U(s) = L{u(t)} 20 Sa se calculeze u( ) cu teorema valorii finale si sa se explice rezultatul obtinut. 10. Regimul permanent pentru t<0 este un regim de curent continuu. Pentru determinarea conditiilor initiale la t=0_ se analizeaza circuitul in care bobinele sunt inlocuite cu rezistente nule si condensatoarele cu rezistente infinite.
i1 (0 _ ) = 1A i2 (0 _ ) = 1A 1 (0 _ ) = 1 1 + 1 1 = 2Wb 2 (0 _ ) = 1 1 + 1 1 = 2Wb uC1 (0_ ) = 1V
Schema echivalenta operationala este :
Se determina generatorul echivalent de tensiune al subcircuitului din dreapta bornelor AB
2 2 U AB0 ( s) = I 1 = s = 1 s+1 1+ s
1 1 Z AB0 = s = 1 1+ s 1+ s 1
Circuitul devine
Scriem ecuatiile curentilor ciclici:
I1 =
1 s
2 1 12 1 2 I2 ( + s+ ) = +2 s s+1 s s s s+1
180
si U( s) = I+ = Rezulta I 2 = 3 2 s + 1 2 s + 1 s( s + 1)( s 3 + s 2 + 3s + 2) s( s + s + 3s + 2)
2s 3 s 2 + s + 2
1
2
2s 4 + 4s 3 + 5s 2 + 5s + 2
Circuitul are patru elemente dinamice. Se vede clar ca determinarea unei formule analitice pentru u(t) presupune calcule complicate incluzand rezolvarea exacta a ecuatiei s 3 + s 2 + 3s + 2 =0. 20. u( )=
lim sU( s) = 1V . u() este solutia de regim permanent (curent continuu) si se poate s 0
calcula in circutul echivalent
Rezulta u( )=1.1=1 V Din sistemul de ecuatii in domeniul frecventei complexe s rezulta vectorul necunoscutelor
0 0 ( s ) 0 +T ( s ) 0 1 1 W ( s ) =T i ( s ) s ( s ) U U
si in domeniul timp w( t ) = w1( t ) + w2 ( t ) unde w1(t) este solutia corespunzatoare conditiilor initiale nule, w2(t) este solutia corespunzatoare surselor independente pasivizate, iar w(t) este raspunsul complet. Deci raspunsul complet se poate scrie ca suma dintre raspunsul la stare initiala nula si raspunsul la excitatie nula. La acelasi rezultat se ajunge si daca se aplica teorema superpozitiei.
181
4.2.Circuite trifazate 4.2.1. Sisteme trifazate - caracterizare si proprietati Un sistem trifazat este un ansamblu de trei marimi sinusoidale de aceeasi pulsatie .
y1 ( t ) = Y1 2 sin( +1 ) , y 2 ( t ) = Y2 t 2 sin( + 2 ) , y 3 ( t ) = Y3 t 3 sin( +3 ) t
avand reprezentarea in complex:
Y 1 = Y1e
Y 2 = Y2 e
j 1
j2
Y 3 = Y3 e
j3
Daca modulele sunt egale intre ele (Y1 =Y2 =Y3 =Y) si marimile sunt defazate intre ele cu
2 avem un sistem 3
trifazat simetric. Acesta este de succesiune directa daca secventa Y1, Y2, Y3 se obtine prin parcurgere in sens orar, Sistem simetric de succesiune directa:
y1 ( t ) = Y 2 sin t
y 2 ( t ) = Y 2 sin(t y 3 ( t ) = Y 2 sin(t +
2 ) 3 2 ) 3
j 2 Y 3 = Ye 3 = aY
Y1 = Y
j 2 Y 2 = Ye 3 = a 2 Y 1 = a 2 Y
127
In relatiile de mai sus s-au folosit notatiile:
j 2 1 3 a=e 3 = + j 2 2
si
2 2 = e j 3 = 1 j 3 . a 2 2
Se observa usor ca 1, a si a2 sunt solutiile ecuatiei x3 -1=0 si satisfac urmatoarele relatii: 1+a+a2=0, a*=a2, (a2)*=a, a3=1, a4=a, a5=a2... Daca modulele sunt egale intre ele (Y1=Y2=Y3=Y) si fazele sunt egale intre ele ( 1= 2= 3= ) avem un sistem homopolar.
y1 ( t ) = Y 2 sin( + t )
Y 1 = Ye Y 2 = Ye Y 3 = Ye
j j j
y 2 ( t ) = Y 2 sin( +) t y3 ( t ) = Y 2 sin( +) t
5.2. Marimi trifazate In centralele electrice se produce energie cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care furnizeaza tensiuni ce formeaza un sistem trifazat simetric de succesiune directa:
e1 ( t ) = E 2 sin t
e 2 ( t ) = E 2 sin(t e 3 ( t ) = E 2 sin(t +
2 ) 3 2 ) 3
Producerea energiei electrice cu generatoarele trifazate este foarte eficienta. Transmisia energiei electrice la receptor se face prin intermediul liniilor electrice. Fiecare faza a generatorului trifazat ar putea alimenta un receptor separat si deci linia ar putea avea sase conductoare. Acest sistem de transmisie nu este insa economic. Prin conexiuni speciale (in stea sau in triunghi) ale receptoarelor, numarul de conductoare se poate reduce la trei sau patru.
Avantajele distributiei trifazate a energiei electrice sunt: - transmisie de energie mai economica (economie de material - Cu sau Al), puterea maxima pe conductor fiind mai mare; - posibilitatea de a avea doua valori pentru tensiuni la utilizator : Uf si Ul ; - posibilitatea producerii campurilor magnetice invartitoare pe care se bazeaza functionarea motoarelor asincrone. Un circuit trifazat contine cel putin un generator si un receptor conectate intre ele prin conductoarele liniei de transport al energiei. Elementele de circuit din schema generatorului care sunt parcurse de acelasi curent formeaza o faza a generatorului. Faza receptorului este formata asemanator din elemente de circuit parcurse de acelasi curent. Un generator trifazat, ca si un receptor trifazat, are trei faze. Pentru a utiliza cat mai putine
conductoare de legatura atat generatoarele cat si receptoarele trifazate se conecteaza in stea sau in triunghi. Fie, de exemplu, un generator conectat in stea legat cu un receptor conectat in stea.
Fazele generatorului formate din E1 , Z1g (faza 1), E2 , Z2g (faza 2) si E3 , Z 3g (faza 3) sunt legate impreuna in punctul 0 (neutrul generatorului). Fazele receptorului (Z1 , Z2 si Z3) sunt legate impreuna la neutrul receptorului N. Conexiunea stea se caracterizeaza prin legarea tuturor fazelor la un punct neutru. Generatorul este conectat cu receptorul prin linia de transport al energiei care are patru conductoare: cele trei faze (conductoarele 1-1, 2-2 si 33) si conductorul neutru (0-N) care, in general, are o impedanta ZN. In tehnica, tensiunea la bornele unei faze a generatorului sau a receptorului se numeste tensiune de faza (de exemplu U1g sau U2N ) si curentul printr-o faza a generatorului sau a receptorului se numeste curent de faza. Tensiunea intre o faza a liniei si conductorul de nul se numeste tot tensiune de faza desi, in general, are alta valoare decat tensiunea de faza a generatorului sau a receptorului; de exemplu U10, U20, U30 sunt tensiuni de faza dar, in acest caz, U10 = U1g si U10 U1N. Curentii care trec prin conductoarele 1-1, 2-2 si 3-3 se numesc curenti de linie (I1 , I2 , I3) si curentul prin conductorul neutru se numeste curent de nul (IN). Tensiunile intre conductoarele 1-1, 2-2 si 3-3 se numesc tensiuni de linie (U12, U23 , U31). La conexiunea stea curentul de linie este egal cu cel de faza (I1 =I1g = I1r, I2 = I2g= I2r, I3 = I3g = I3r). Daca tensiunile de faza U10, U20, U30 formeaza un sistem simetric de succesiune directa, atunci si tensiunile de linie U12, U23 , U31 formeaza un sistem simetric de succesiune directa cu valori efective de
U l = 3U f
3 ori mai mari (
). Intr-adevar U12 = U10 - U20 , U23 = U20 - U30 , U31 = U30 - U10 si reprezentand fazorii corespunzatori
rezulta:
Se obtine un triunghi echilateral cu latura Ul si cu
2 din inaltime Uf. Cum intre inaltime si latura exista relatia 3
. Un receptor trifazat se poate considera ca fiind alimentat fie
h=a
3 3 3 rezulta U = U si f l2 2 2
Ul =
3U f
cu sistemul tensiunilor U10, U20, U30 , fie cu sistemul tensiunilor U12, U23 , U31. La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sfarsitul unei faze este legat la inceputul fazei urmatoare. Fie un receptor in triunghi cu fazele Z 12 , Z 23 si Z 31 alimentat printr-o linie cu trei conductoare de legatura. Se observa ca tensiunea de linie U12 este si tensiunea la bornele fazei Z 12 a receptorului s. a. m. d. Deci, la conexiunea triunghi, tensiunea de linie este egala cu cea de faza. In acest caz, curentii de linie sunt I1 , I2 si I3 iar curentii de faza sunt I12, I23 , I31 .
5.3. Puteri. Compensarea factorului de putere 5.3.1. Puteri Conform teoremei transferului de putere la bornele unui multipol (vezi paragraful 1.6), pentru un receptor cu patru borne de acces se obtine: S b = U 10 I 1 * +U 20 I 2 * +U 30 I 3 * = Pb + jQb unde S este puterea aparenta complexa b
absorbita de receptorul in stea.
Aplicand teorema conservarii puterilor aparente complexe (puterea aparenta
complexa primita pe la borne de receptor este egala cu puterea aparenta complexa consumata in impedante) rezulta:
Sb = S c = Z1I 1I1 *+ Z 2 I 2 I 2 *+ Z 3 I 3 I 3 *+ Z N I N I N *
unde Z1, Z2, Z3, ZN sunt impedantele receptorului in stea. In cazul unui receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice s-a aratat ca:
U 10 = U U 20 f = a2U
j I1 = I f e I 2 = a2 I1 I 3 = aI 1
j j 2 a (a 2 ) * +
10
si
U 30 = aU 10
deci:
S bstea = U 10 I 1 * +U 20 I 2 * +U 30 I 3 * = U f I f e j j +U I e a a* = 3U I e ff ff +U f I f e
Pbstea = 3U l I l cos
2
si
Qbstea = 3U l I l sin
2
si conform teoremei lui Tellegen
Pbstea = Pcstea = 3R f I f si Qbstea = Qcstea = 3 X f I f
In cazul unui receptor cu trei borne de acces:
S b = U 12 I 1 * + U 32 I 3 *
Daca receptorul este in triunghi:
I 1 = I 12 I 31
I 2 = I 23 I 12
I 3 = I 31 I 23 si U 12 + U 23 + U 31 = 0 si
S b = U 12 I 12 * U 12 I 31 * + U 32 I 31 * U 32 I 23* = U 12 I 12 * + U 23 I 23 * + U 31 I 31 *
Expresia obtinuta reprezinta, de fapt, tot suma puterilor complexe absorbite de faze. 2 2 2 Si din bilantul puterilor aparente complexe rezulta: S b = S c = Z 12 I 12 + Z 23 I 23 + Z 31 I 31 Pentru receptorul echilibrat in triunghi alimentat cu tensiuni simetrice cu I12=Ife
S b = 3U f I f e j
-j
s.a.m.d. rezulta:
respectiv
2 si Qb = 3U l I l sin = Qc = 3 X f I f 2
Pb = 3U l I l cos = Pc = 3R f I f
5.3.2. Compensarea factorului de putere Receptoarele industriale fiind inductive, imbunatatirea factorului de putere se poate efectua cu baterii de condensatoare conectate in stea sau triunghi. In cazul unor receptoare echilibrate
notam : Q - puterea reactiva a receptorului inductiv Qc - puterea reactiva a condensatorului Q =Q+Qc - puterea reactiva a ansamblului receptor inductiv-baterie de condensatoare (o valoare pozitiva foarte mica care corespunde unei medii statistice in timp pentru consumatorul respectiv). Evident: QC = 3C U l 2
2 si Qcstea = 3Cstea U f .
Rezulta capacitatea pe faza :
C stea =
Q Q' Q Q' C stea = 2 sau C = 2 3U 3 3U l f
Deci compensarea cu baterii de condensatoare legate in triunghi este mai avantajoasa din punct de vedere al pretului condensatoarelor (C < Cstea . Totusi, condensatorul C lucreaza la o tensiune mai mare decat Cstea, ceea ce il face sa fie mai scump; solutia optima se alege in fiecare caz concret. 5.4. Analiza circuitelor trifazate Analiza circuitelor trifazate consta in determinarea curentilor de faza si de linie cand se cunosc tensiunile de alimentare si impedantele fazelor. Se pot aplica toate metodele de analiza studiate in capitolul 4 (circuite de curent alternativ monofazat). Exista si algoritmi specifici circuitelor trifazate care vor fi prezentati in paragrafele urmatoare. 5.4.1. Analiza unor receptoare trifazate simple 5.4.1.1 Receptorul in stea fara cuplaje mutuale Se considera cazul unui receptor in stea cu fir neutru. Se noteaza cu N nulul receptorului si cu 0 nulul de la generator
)
Se cunosc: - tensiunile de faza care alimenteaza receptorul U10, U20, U30 - impedantele fazelor Z 1 , Z 2 , Z 3 si impedanta conductorului neutru ZN
Marimile care trebuie determinate sunt: - curentii din fazele receptorului I1 , I2 si I3 - curentul din conductorul neutru IN - tensiunile de faza ale receptorului U1N, U2N, U3N - tensiunea UN0 Se scriu urmatoarele ecuatii date de teoremele lui Kirchhoff si legea lui Ohm aplicate in circuitul dat: U1N + UN0 = U10 U2N + UN0 = U20 U3N + UN0 = U30 I1 = U1N Y1 I2 = U2N Y2 I3 = U3N Y3 IN = UN0YN