Formulas-matematicas
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Formulas-matematicas

Course: INGENIERIA TELEDETECC, Spring 2011

School: Universidad Nacional de...

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Radicación, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Elemento de una raíz, Signo de las raices … … … … … … … … … … … … … … … … … … Radicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Raíz de un monomio, Raíz cuadrada de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … Raíz cúbica de un polinomio … … …

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Definición Radicación, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Elemento de una raíz, Signo de las raices … … … … … … … … … … … … … … … … … … Radicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Raíz de un monomio, Raíz cuadrada de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … Raíz cúbica de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Descomposición de radicales dobles en simples … … … … … … … … … … … … … … … … Operaciones con radicales, Conceptos básicos ………………………………………… Radicales homogéneos, Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … … Radicales semejantes, Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … … Operaciones algebraicas con radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Suma y resta de radicales, Multiplicación de radicales … … … … … … … … … … … … … … División de radicales, Potencia de radicales, Raíz de radicales …………………………… Fracción irracional, Racionalización, Factor racionalizante (F .R.) … … … … … … … … … … Racionalización del denominador de una fracción, Primer caso, Segundo caso … … … … … … Tercer caso. Cuarto caso, Verdadero valor de fracciones algebraicas ……………………… Verdadero valor (V.V.), Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … Cantidades imaginarias, Conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Números complejos, Representación gráfica de un complejo Operaciones con complejos, Determinantes, Matriz Determinante, Orden del determinante …………………………… …………………………………… ………………………… ……………………………………………… …………………………… Método para hallar el valor de un determinante, Regla de Sarrus Forma práctica de la regla de Sarrus, Menor complementario Clases de igualdad Propiedades de los determinantes, Ecuaciones y sistemas de ecuaciones … … … … … … … … ………………………………………………………………… ……………………… Principios fundamentales de las igualdades para la trasformación de ecuaciones … … … … … Sistema de ecuaciones, Clasificación de los sistemas de ecuaciones Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, Método de sustitución … … … … … … Método de igualación, Método de reducción, Método de los determinantes … … … … … … … Ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas … … … … … … … … … … … … … Ecuaciones de segundo grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Discusión del valor de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Propiedades de las raíces, Ecuaciones bicuadradas … … … … … … … … … … … … … … … Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … Ecuaciones recíprocas, Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … Ecuaciones que se resuelven mediante artificio, Desigualdad e inecuaciones … … … … … … Desigualdad, Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … Clases de desigualdades, Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … Solución de una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Sistema de inecuaciones con una incógnita, Inecuaciones de seg … … … … Rozamiento, fuerza de rozamiento o fricción … … … … … … … … … … … … … … … … … Dinámica de rotación o rotación dinámica … … … … … … … … … … … … … … … … … Momentos de inercia de algunos sólidos … … … … … … … … … … … … … … … … … … Centro de gravedad, Teorema de Varignon … … … … … … … … … … … … … … … … … Posición del centro de gravedad, Centros de gravedad de figuras grométricas … … … … … … Trabajo, Potencia y Energía. Trabajo, Unidades de trabajo, … … … … … … … … … … … … Equivalencias de unidades de trabajo, Potencia, Unidades de potencia, Energía … … … … … Energía potencial (Ep), Energía cinética (Ec) … … … … … … … … … … … … … … … … Trabajo transformado o energía trasnformada, Trabajo en las rotaciones … … … … … … … … Energía cinética de rotación, Impulso y cantidad de movimiento … … … … … … … … … … El movimiento oscilatorio y el péndulo, Péndulo simple … … … … … … … … … … … … … Elementos de un péndulo simple, Leyes del péndulo … … … … … … … … … … … … … … Péndulo que bate segundos, Fórmula general del péndulo … … … … … … … … … … … … Movimiento armónico simple o movimiento vibratorio armónico … … … … … … … … … … Resortes, Fuerzas deformadora: Ley de Hooke … … … … … … … … … … … … … … … … Velocidad, Aceleración, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … … … … … Cálculo de la velocidad “V”, Cálculo de la aceleración … … … … … … … … … … … … … Velocidad y aceleración máximas, Período y frecuencia … … … … … … … … … … … … … Densidad y peso específico, Relación entre densidad y peso específico … … … … … … … … Estática de los fluídos, Conceptos y definiciones, Presión … … … … … … … … … … … … Principio de Pascal, Prensa hidráulica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Principio de la hidrostática, Presión hidrostática … … … … … … … … … … … … … … … Ley fundamental de la hidrostática, Principio de Arquímides … … … … … … … … … … … Relación entre el empuje y el peso específico de líquidos, Neumología … … … … … … … … El calor, Dilatación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Calorimetría, Unidades para medir el calor, Calor específico “Ce” … … … … … … … … … … Calor sensible “Q” (calor ganado o perdido) … … … … … … … … … … … … … … … … … Teorema fundamental de la calorimetría, Capacidad calorífica “Cc” … … … … … … … … … Temperatura de equlibrio de una mezcla, Temperatura final “tf” … … … … … … … … … … Cambios de fase, Calores latentes, Transmisión de calor … … … … … … … … … … … … … Transmisión del calor por conducción, Cantidad de calor trasmitido “Q” … … … … … … … Trabajo mecánico del calor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Termodinámica, Trabajo realizado por un gas “W” … … … … … … … … … … … … … … … Calor absorbido por un gas “G”, Primera ley de la termodinámica … … … … … … … … … … Segunda ley de la termodinámica (Rudolf Clausius 1850) … … … … … … … … … … … … Electrostática, Primera ley de la electrostática … … … … … … … … … … … … … … … … Tabla triboeléctrica, Segunda ley de la electrostática:Ley de Coulomb …………………… Primitividad, Unidades eléctricas coulomb “C” … … … … … … … … … … … … … … … … Campo eléctrico, Campo de cargas iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … 172 173 174 174 175 176 177 180 180 181 181 182 182 182 183 183 184 184 184 184 185 185 185 186 186 187 187 188 189 189 189 189 190 190 190 191 191 191 191 192 193 Campo de cargas distintas, Intensidad del campo eléctrico … … … … … … … … … … … … Potencial eléctrico, Diferencia de potencial … … … … … … … … … … … … … … … … … Trabajo eléctrico, Capacidad eléctrica … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Capacidad de los conductores aislados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Capacidad de uns esfera aislada, Condensadores … … … … … … … … … … … … … … … Capacidad de un condensador, Capacidad de un condensador plano … … … … … … … … … Capacidad de condensador esférico y cilíndrico, Asociación de condensadores … … … … … Energía de un condensador, Electrodinámica … … … … … … … … … … … … … … … … Corriente eléctrica, Partes de un ciruito eléctrico … … … … … … … … … … … … … … … Resistencia de los conductores, Ley de Pouillet, Conductancia … … … … … … … … … … … Asociación de resistencias, En serie … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … En paralelo, Fuerza electromotriz y resistencia total en un circuito … … … … … … … … … Corrientes derivadas, Ley de Kirchoff, Puente de Wheatstone … … … … … … … … … … … Energía y potencia de la corriente eléctrica, Potencia de la corriente eléctrica … … … … … … Efecto Joule o ley de Joule, Rendimiento de la corriente eléctrica … … … … … … … … … … Magnetismo y electromagnetismo, Magnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … Líneas de fuerza de un campo magnético, Leyes magnéticas … … … … … … … … … … … … Intensidad “B” de un punto del campo magnético … … … … … … … … … … … … … … … Intensidad de campo magnético producida por un polo, Flujo magnético … … … … … … … Densidad magnética “B”, Electromagnetismo … … … … … … … … … … … … … … … … Efecto Oersted, Regla de la mano derecha (de Ampere), Ley de Biot y Savart … … … … … … Intensidad de campo creada por un conductor circular … … … … … … … … … … … … … Ley de la circulación de Ampere … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Bobina, Solenoide anular o toroidal de Rowland … … … … … … … … … … … … … … … Densidad del flujo inducido “B” a través del núcleo, Efecto Faraday … … … … … … … … … Ley de Faraday, Óptica, Velocidad de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … Unidad de intensidad de la luz, Iluminación, Unidad de iluminación “E” … … … … … … … Flujo luminoso “f”, Intensidad luminosa “I”, Flujo de intensidad “fT” … … … … … … … … Reflexión de la luz … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Leyes de la reflexión regular, Espejos, Espejos planos, Espejos esféricos … … … … … … … … Elementos de un espejo esférico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Rayos principales, Posición del objeto y la imagen en un espejo cóncavo … … … … … … … Refracción de la luz, Indices de refracción, Leyes de la refracción … … … … … … … … … … Ángulo límite y reflexión total “L” … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Lámina de caras paralelas, Prisma óptico, Imágenes por refracción … … … … … … … … … Lentes, Elementos de las lentes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … Rayos principales en las lentes convergentes y divergentes … … … … … … … … … … … … Construcción y posición de imágenes de lentes convergentes … … … … … … … … … … … Fórmula de Descartes para las lentes, Construcción de la imagen de una lente divergente … … Potencia de un lente, Aumento de la lente … … … … … … … … … … … … … … … … … Lentes gruesas de dos caras de cobertura, Potencia de lentes de contacto … … … … … … … 193 194 195 195 196 196 197 198 198 199 199 200 200 201 202 202 202 203 203 204 204 204 205 205 206 207 207 208 208 209 209 210 212 212 213 214 214 215 215 215 216 Química … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 217 … … … … … … … … … … … … … … … … … 218 Definiciones, Química, Masa, Materia, Estados o fases de la materia … … … … … … … … … 217 Cuerpo, Sustancia, Sistema, Fase, Energía Unidades de medida, Unidades de longitud … … … … … … … … … … … … … … … … … 218 Unidades de superficie, Unidades de volumen … … … … … … … … … … … … … … … … 218 Unidades de masa, Unidades de tiempo Equivalencias de unidades SI e inglesas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219 … … … … … … … … … … … … … … … 220 … … … … … … … … … … … 221 … … … … … … … … … … … 221 Unidades de temperatura, Densidad y peso específico … … … … … … … … … … … … … … 220 Densidad absoluta o densidad, Densidad relativa Peso específico, Gravedad específica, Densidad de la mezcla Relación entre densidad y peso específico, Presiones, Presión Presión hidrostática, Presión neumática o presión de gases … … … … … … … … … … … … 222 Teoría atómico molecular, Principales conceptos, Regla de Hund … … … … … … … … … … 223 Tendencia a la máxima simetría, Estructura particular del átomo … … … … … … … … … … 223 Croquis de un átomo, Núcleo, Isótopos, Isóbaros … … … … … … … … … … … … … … … 224 Distribución electrónica de los elementos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 224 Niveles de energía, Sub-niveles, Números cuánticos Nomenclatura Lewis … … … … … … … … … … … … … … 224 … … … … … … … … 225 … … … … … 226 Conceptos adicionales, Electronegatividad, Afinidad, Valencia, Kerne … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 225 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227 … … … … … … … … … … … … … … … … 228 Enlace íonico, Enlace covalente, Enlace covalente puro, Enlace covalente polar Tabla periódica de los elementos Grupos principales de la tabla, Nomenclatura Aniones, Cationes Nomenclatura química, Nombres de los átomos en su estado iónico … … … … … … … … … 229 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 229 … … … … … … … … … … … … … … … … 230 … … … … … … 231 Nombre de los compuestos, Función química Nombre de los anhídridos, Nombre de los óxidos, Nombre de los peróxidos Nombre de los ácidos, Ácidos hidráticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 231 Ácidos oxácidos, Ácidos especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 232 Radicales halogénicos, Radical halogénico h cadena de conjunciones o en una cadena de disyunciones se reemplazan por la sola variable”. 6. DE LA CONMUTATIVIDAD: a) p ∧ q ≡ q ∧ p b) p ∨ q ≡ q ∨ p c) p ⇔ q ≡ q ⇔ p “En una proposición, la conjunción, la disyunción inclusiva y la bicondicional son conmutativas”. 7. DE LA ASOCIATIVIDAD: a) p ∧ (q ∧ s) ≡ (p ∧ q) ∧ s b) p ∨ (q ∨ s) ≡ (p ∨ q) ∨ s c) p ⇔ (q ⇔ s) ≡ (p ⇔ q) ⇔ s p⇒p p⇔p “En una proposición, la doble conjunción, la doble disyunción, o la doble bicondicional se asocian indistintamente”. 8. DE LA DISTRIBUTIVIDAD: a) p ∧ (q ∨ s) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ s) b) p ∨ (q ∧ s) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ s) c) p ⇒ (q ∧ s) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ s) d) p ⇒ (q ∨ s) ≡ (p ⇒ q) ∨(p ⇒ s) “En una proposición la conjunción, la disyunción y la implicación son distributivas”. 9. DE DE MORGAN: a) ~ (p ∧ q) ≡ ( ~ p ∨ ~ q) b) ~ (p ∨ q) ≡ ( ~ p ∧ ~ q) “En una proposición, la negación de una conjunción o de una disyunción son distributivas respecto a la disyunción o conjunción. CONTINGENCIA No es ni tautología ni contradicción porque los VALORES DE VERDAD de su OPERADOR PRINCIPAL tienen por lo menos una VERDAD y/o una FALSEDAD. LEYES LÒGICAS PRINCIPALES 1. DE IDENTIDAD: “Una proposición sólo es idéntica consigo misma”. 2. DE CONTRADICCIÓN: ~ (p ∧ ~ p) “Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez”. 3. DEL TERCIO EXCLUÍDO: p∨~q “Una proposición o es verdadera o es falsa, no hay una tercera opción”. 4. DE LA DOBLE NEGACIÒN (INVOLUCIÓN): ~ ( ~ p) ≡ p “La negación de la negación es una afirmación”. - 17 - 10. DEL CONDICIONAL: a) p ⇒ q ≡ ~ p ∨ q b) ~ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ~ q “En una proposición, la condicional equivale a la disyunción de la negación del antecedente con el consecuente, y la negación de una condicional equivale a una conjunción del antecedente con la negación del consecuente”. 11. DEL BICONDICIONAL: a) (p ⇔ q) ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) b) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) ≡ ~ (p ∆ q) 16. MODUS TOLLENS: [(p ⇒ q) ∧ ~ p] ⇒ ~ p “En una proposición, si se niega el consecuente de una premisa condicional entonces se concluye en la negación del antecedente”. 17. DEL SILOGISMO DISYUNTIVO: [(p ∨ q) ∧ ~ p] ⇒ q “En una proposición, cuando se niega el antecedente de la premisa de una disyunción, se concluye en la afirmación del consecuente”. 18. DE LA INFERENCIA EQUIVALENTE: [(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q 12. DE LA ABSORCIÓN: a) p ∧ (p ∨ q) ≡p “En una proposición, cuando se afirma que uno de los miembros de una bicondicional es verdadera, entonces el otro miembro también es verdadero”. 19. DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s) “En una proposición, el condicional es transitivo”. 20. DE LA TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA: [(p ⇔ q) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (p ⇔ s) “En una proposición, el bicondicional es transitivo”. 21. DE LA SIMPLIFICACIÓN: (p ∧ q) ⇒ p “En una proposición, si el antecedente y consecuente de una conjunción son verdades, entonces cualquiera de los dos términos es verdad”. 22. DE ADICIÓN: p ⇒ (p ∨ q ) “En una premisa condicional; si se afirma el antecedente, entonces se concluye en la afirmación del consecuente”. “En una proposición, una disyunción está implicada por cualquiera de sus dos miembros. b) p ∧ (~ p ∨ q) ≡ p ∧ q c) p ∨ (p ∧ q) d) p ∨ (~ p ∧ q) 13. DE TRANSPOSICIÓN: a) (p ⇒ q) ≡ (~ q ⇒ ~ p) b) (p ⇔ q) ≡ (~ p ⇔ ~ q) 14. DE EXPORTACIÓN: a) ( p ∧ q) ⇒ s ≡ p ⇒ (q ⇒ s) b) (p1 ∧ p2 ∧ …∧ pn) ⇒ s ≡ (p1 ∧ p2 ∧ …∧ pn-1) ⇒ (Pn ⇒ s) 15. MODUS PONENS: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q ≡p ≡p∨q - 18 - FORMULARIO MATEMÁTICO TEORÍA DE CONJUNTOS CONCEPTOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE CONJUNTO Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de un todo único de objetos definidos, distinguiles por nuestra percepción o nuestro pensamiento y a los cuales se les llama elementos. Ejemplo: los muebles de una casa. Los muebles son los elementos que forma el conjunto. FORMAS DE EXPRESAR UN CONJUNTO a) Por extensión.- Cuando el conjunto indica explícitamente los elementos del conjunto. También se llama forma constructiva. Ejemplos: i) A = {a, b, c, d} ii) = {… ; -3; -2; -1; -0; 1; 2; … } b) Por comprensión.- Cuando los elementos del conjunto pueden expresarse por una propiedad común a todos ellos. También se le llama forma simbólica. Ejemplos: i) M = {x/x = vocal } Se lee: “M es el conjunto de las x, donde x es una vocal”. ii) B = {x e Se lee: “B es el conjunto de las x que pertenecen a los números enteros, donde x es mayor que -2 pero menor que 3”. / -2 < x < 3} P R I N C I PA L E S S Í M B O L O S Símbolo ∈ ∉ φ ≡ ≠ ⊂ ⊆ ⊄ ∪ ∩ / ∼ Lectura … pertenece… … no pertenece… Conjunto vacío … equivalente… … diferente… … está incluido … está incluido estrictamente … no está incluido… … unión… … intersección… … tal que … … es coordinable… … no es coordinable… Conjunto Universal Símbolo ∃ ∃! ∃ / η ⇒ ⇔ P ∧ ∨ A’ < > ≤ ≥ Lectura existe… existe un … sólo un … no existe cardinal de… implica; entonces… … si y sólo si… conjunto de partes de… potencial del … …y… …o… o…o… Complemento de A con Respecto al conjunto Universal … es menor que … … es mayor que … … es menor o igual que … … es mayor o igual que … ∆ ∀ … diferencia simétrica… Para todo - 19 - NOTACIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS : Conjunto de los números naturales = {0; 1; 2; 3; 4;… } : Conjunto de los números entero = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …} + 57 6 = ...; –– ; –– ; -8; +3; - –– ;... 82 5 { } } : Conjunto de números irracionales (decimales infinitos no periódicos) = ´ = {x/x es número no racional} __ __ __ = …; √30 ; √2 ; √3 ; + e ; π;... { : Conjunto de los números enteros positivos : Conjunto de los números enteros negativos : Conjunto de los números reales ∨x∈ } __ _ _ 8 ; - ––– ; √5 ; 3; - –– ;... 4 5 = …; –– 3 13 4 = {x/x ∈ - *: Conjunto de los números enteros no nulos : Conjunto de los números racionales (decimales finitos o infinitos periódicos) a = x/x = –– ; a ∈ b { { √ } : Conjunto de los números complejos = { ∧~ } __ __ 5 = …; -8; √7 ; 3; 5i; i√3 ; - –– ;... 9 { ∧b∈ ∧b≠0 } } LA RECTA REAL El conjunto de los números reales está formado por todos los conjuntos numéricos. Todos los números: Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales se pueden representar sobre una recta, desde el cero a + ∞ y desde cero a - ∞ . A esta recta se le llama “Recta real” o “Recta numérica”. Cualquier número real se puede representar sobre un punto de la Recta Real, porque tiene infinitos puntos. -4 -∞ ↑ -3 ↑ -2 ↑ __ -1 ↑ 1 - –– 3 0 ↑ 0,5 1 __ 2 ↑ 3 ↑ π 4 +∞ -π -2,8 -√2 √3 - 20 - FORMULARIO MATEMÁTICO CARACTERÍSTICAS DE LOS CONJUNTOS 1) PERTENENCIA ∈ Y NO PERTENENCIA “∉” Sea : A = {a, b, c, d, e } : B = {a, b, c } : C = {m, n, q, r, s } Entonces: B ∈ A, se lee: “B pertenece a A” C ∉ A, se lee: “C no pertenece a A” 2) CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Finitos: Cuando los elementos del conjunto se puede contar. A = {m, n, q, r }; Son 4 elementos. Infinitos: Cuando los elementos del conjunto son tantos que no se puede contar. M = {estrellas del firmamento}; son infinitas N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; ∞};Infinitos números 3) CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos aunque no estén en el mismo orden. A = {4; 5; 6; 7; 8} B = {5; 6; 4; 8; 7} Entonces: A = B 4) CONJUNTO VACÍO Es el conjunto que carece de elementos. A=φ ; A={} ; A=0 Entonces M = {3} ; Q = {0} X = {y/2y = 4 } 6) CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que contiene a todos los elementos de otro conjunto. = {todas las vocales} A = { e; i ; o } es el conjunto universal de A. 7) SUBCONJUNTO A = { m; n; p } B = { q; m; n; r; p} Se lee “ A es subconjunto de B” o “A está incluido en B”. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTO DE CONJUNTO O CONJUNTO DE PARTES Es el conjunto formado por la totalidad de subconjuntos que se puede formar a partir de un conjunto dado. Sea el conjunto: M = { m; n; p } El conjunto de partes es: (M) = {φ ,{m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n, p}, {m, n, p}} POTENCIA DE UN CONJUNTO Expresa el número de subconjuntos que se puede formar con los elementos de un conjunto. En otras palabras, es el número de elementos de un conjunto de partes. P (M) = 2n N = número de elementos del conjunto M. Para el ejemplo anterior: n = 3, luego: P (M) = 23 = 8 5) CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que tiene un solo elemento. - 21 - DIAGRAMAS DE VENN Son gráficos, generalmente círculos, que sirven para encerrar y representar conjuntos: A .a .b .c A = {a, b, c} Conjunto A A A⊂B “A está incluído en B” B Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } B = { 1; 3; 5; 7 } 4 1 2 3 5 7 A ∩ B = { 1; 3; 5 } Se lee: “A intersección B”. La intersección de varios conjuntos: A⊄B “A no está incluido en B” Sean: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } B = { 1; 2; 4; 7} OPERACIONES CON CONJUNTOS C = { 4; 5; 9; 10 } 1) UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por todos los elementos de los conjuntos A y B. Sean: A = { a, b, c } B = { c, d, e, f } A 2 1 3 5 10 9 C 4 7 B A ab B cde f A ∩ B ∩ C = {4} Se lee “A intersección B intersección C”. A ∪ B = { a, b, c, d, f } Se lee: “A unión B”. 2) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de los conjuntos A y B, es el conjunto que contiene elementos comunes a los conjuntos A y B. 3) DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos, A menos B, es el conjunto formado por elementos de A que no pertenezcan a B. Sean: A = { a, b, c, d, e } B = { d, e, f, g, h } - 22 - FORMULARIO MATEMÁTICO A A b a e c h d f g 8 10 4 9 B 6 2 5 7 B A - B = { a, b, c } Se lee: “El conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto a, b, c”. 4) COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Sean los conjuntos A y universal . El complemento del conjunto A es la parte del conjunto universal que no pertenece al conjunto A. Sean: A = { vocales } = { el alfabeto } A ∆ B = { 5; 6; 7; 8; 9; 10 } Se lee: “A diferencia simétrica B” PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano A . B, al conjunto de “pares ordenados” formados por todos los elementos de A, como primeros componentes, asociados a todos los elementos de B como segundos elementos. Sean: A = { a, b } M = { m, n, p } A.M (a, m) A M a b . m n p = (a, n) (a, p) (b, m) (b, n) (b, p) A’ A A’ = - A = { las consonantes } A . M = { (a, m), (a, n), (a, p), (b, m), (b, n), (b, p)} Simbólicamente: A . M = {(x, y)/x ∈ A ∧ y ∈ M} Nota: A . M ≠ M . A (no es conmutativo) Se lee: “A’ es el complemento de A”. 5) DIFERENCIA SIMÉTRICA Es el conjunto formado por la parte no común de dos conjuntos. A = { 2; 4; 6; 8; 10 } B = { 2; 4; 5; 7; 9 } A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) RELACIONES DEFINICIÓN Relación es un subconjunto de pares ordenados de dos conjuntos A y B que obedecen a una proposición establecida. - 23 - Ejemplo: Sean los conjuntos: A = { a, b } M = { m, n, p} Se denota: a ℜ m ó (a, m) ∈ ℜ y se lee: “ a está relacionada con m por ℜ”. Simbólicamente: ℜ es una relación de A en M ⇔ R ⊂ A . M y se lee: “ℜ es una relación de A en M, si y solamente si la relación ℜ es un subconjunto de A . M”. Ejemplo: A = { 2; 4; 6; 8; 10 } B = { 1; 2; 3; 4 } RANGO Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados que forman la relación ℜ. Se denota: Ran (ℜ) En el ejemplo anterior: Ran (ℜ) = { 3; 4} TIPOS DE RELACIONES EN UN CONJUNTO 1) REFLEXIVA Cuando todos los elementos de un conjunto A están relacionados consigo mismos a través de ℜ. ℜ es reflexiva ⇔ (a, a) ∈ ∀ ℜ a ∈ A Ejemplo: A = { a, b, c} Relación Reflexiva: ℜ = {(a, a); (b, b); (c, c)} Sea la propiedad: x ∈ A ∧ y∈B 2) SIMÉTRICA Cuando cada uno de los elementos de un conjunto A está relacionado con otro del mismo conjunto y éste a su vez está relacionado con el primero. ℜ es simétrica ⇔ (a, b) ∈ ℜ ⇒ (b, a) ∈ ℜ Ejemplo: A = {a, b, c} Relación simétrica: Que obedezca a la proposición P(x): x < y entonces: 2ℜ3 2ℜ4 Sólo se puede escribir estas dos relaciones porque son las únicas que cumplen que x < y, que es la proposición P(x) que los relaciona. DOMINIO Y RANGO DOMINIO Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados que forman la relación ℜ. Se denota: Dom (ℜ) En el ejemplo anterior: Dom (ℜ) = {2} ℜ = {(a, b); (b, a); (a, c); (c, a); (b, c); (c, b)} 3) TRANSITIVA Cuando un elemento de un conjunto A está relacionado con otro elemento del mismo conjunto y esté a su vez está relacionado con uno tercero del mismo conjunto; entonces, el primero está relacionado con el tercero a través de la relación R. ℜ es transitiva ⇔ (a, b) ∈ ℜ ∧ (b, c) ∈ ℜ ⇒ (a, c) ∈ ℜ - 24 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplo: A = { a, b, c } Relación Transitiva: ℜ = {(a, b); (b, c); (a, c)} RELACIÓN DE EQUIVALENCIA La relación ℜ de A en A es una relación de EQUIVALENCIA, cuando esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva a la vez. En general una función de denota así: f (x) = y Donde “x” es un elemento de A, e “y” es un elemento de B. x∈A x y y ∈ B ≡ f(x) ∈ B FUNCIONES DEFINICIÓN Una función de A en B es una relación de par ordenado que asocia a TODO ELEMENTO del conjunto A con UN SOLO ELEMENTO del conjunto B. Se denota: f : A ⇒ B Ejemplos: i) A f .a 1. .b 2. .c 3. .d f es una función y se denota f = {(1,a), (2,b), (3,c)} iii) 1. .b 2. .c 3. .d h No es una función porque No cumple: “a todo elemento de A le corresponde UN SOLO elemento de B” DOMINIO Y RANGO DOMINIO Es el conjunto de todas las PRIMERAS componentes del par ordenado que pertenecen a una función “f”. RANGO Es el conjunto de todas las SEGUNDAS componentes del par ordenado que pertenecen a una función “f”. B g .a 1. .b 2. .c 3. .d g es una función y se denota g = {(1,a), (2,a), (3,b)} iv) .a 1. .b 2. .c 3. .d j NO es una función porque No cumple: “a TODO elemento de A B ii) A Ejemplo: Sea: f = {(1, a), (2, b), (3, c)} Dom (f) = {1; 2; 3} Ran (f) = { a, b, c} SISTEMAS DE NUMERACIÓN NUMERACIÓN DEFINICIÓN Es la parte de la Aritmética que estudia las leyes, artificios y convencionalismos utilizados para expresar (hablar) y representar (escribir) a los números en forma sistemática y lo más simple posible. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Se refiere a los conjuntos de reglas, leyes, artificios y convenios que permiten formar, expresar y representar todos los números. BASE DE UN SISTEMA Es aquel número que indica la cantidad de unidades de un orden cualquiera que se requiere para formar una unidad de un orden inmediato superior. Así, h j .a - 25 - nuestro sistema se llama DECIMAL porque con 10 UNIDADES de un orden cualquiera, se logra formar una unidad de un orden inmediato superior. FORMACIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN PRINCIPIO BÁSICO En un sistema de base N, toda cifra escrita un lugar a la izquierda de otra, representa unidades de orden N veces mayor al orden que representa la otra, escrita a la derecha. Ejemplo: Sea el número 468 en base N = 10, el 4 es de orden 10 veces mayor que cada unidad de 60 y cada unidad de 6 es de orden 10 veces mayor que cada unidad de 8. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Es el procedimiento de cálculo que permite determinar la cantidad de unidades simples que posee un número y con ello su valor real. ___ ___ Sea el número a b c d de base N: _____ ___ a b c d (N) elevada a un exponente igual al número de cifras que le siguen y así sucesivamente”. ____ a b c(N) ⇒ a . N2 + b . N + c _______ a b c d e(N) ⇒ a . N4 + b . N3 + c . N2 +d.N+e _______ ab…xyz(N) ⇒ a . Nm-1 + b . Nm-2 + … x . N2 123 +yN+z “m” cifras CONVENCIÓN Cuando la base es superior a 10, y los números 10; 11; 12 y 13 sean cifras, se emplea la siguiente equivalencia: α = 10 ; β = 11 ; γ = 12 ; & = 13 CIFRAS MÍNIMAS Son todas las cifras menores o iguales a la mitad de la base del número dado. Ejemplos de cifras mínimas: De base 4: De base 7: 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3, 3, 4, 4; 4; 5 5 5; 6 De base 10: 0; Unidades de 1° orden. Unidades de 2° orden (N veces las u.s.) Unidades de 3° orden (N2 veces las u.s.) Unidades de 4° orden (N3 veces las u.s.) Donde: u.s. = unidades simples MÉTODO PRÁCTICO PARA DESCOMPONER UN NÚMERO EN SU FORMA POLINÓMICA “Se toma la primera cifra de la izquierda y se multiplica por la base del sistema elevado a un exponente igual al número de cifras que le siguen a la cifra tomada, a este resultado se le suma el producto de la segunda cifra multiplicada por la base del sistema De base 11: 0; De base 12: 0; Ejemplo: Escribir el número 67 654(8) en cifras mínimas. Las cifras mínimas de este número son: 0; 1; 2; 3; 4. _ _ 5-8 =3 6+1=7 7+1=8 6+1=7 0+1=1 ∴ _ __ 67 654(8) = 1 1 0 1 3 4 ; ; ; 4=4 _ _ 7-8=1 8-8=0 _ _ 7-8= 1 - 26 - FORMULARIO MATEMÁTICO OPERACIONES ARITMÉTICAS BÁSICAS NO DECIMALES SUMA Tal como en el sistema decimal, si la suma parcial supera el valor de la base, se ecribe el valor numérico de lo que excede a la base y se lleva como unidades tantas veces como excede al valor de la base. Ejemplo: 423(7) + 566(7) + 2521(7) 423 + 566 2521 ________ 4 1 4 3(7) lo cual se desarrolló de la siguiente manera: 3 + 6 + 1 = 10 como 10 = 7 + 3; se pone 3 y se lleva 1. 1 + 2 + 6 + 2 = 11 como 11 = 7 + 4 ; se pone 4, se lleva 1. 1 + 4 + 5 + 5 = 15 como 15 = 14 + 1; 15 = 2 . 7 + 1; se pone 1, se lleva 2 2+2=4 Como a 3 se quitó 1 unidad, ahora es 2, pero 2 - 6 no se puede restar, entonces: (2 + 8) - 6 = 4 Como a 7 se le había quitado 1 unidad, ahora es 6: 6-3=3 Ahora no se ha quitado nada. Finalmente: 4-2=2 MULTIPLICACIÓN El procedimiento es similar a la multiplicación en base 10; sólo que lo que se lleva es la unidad de la base de los factores. Ejemplo: 326(7) . 465(7) 326x 465 _________ 2302 2631 1643 ___________ 2 2 6 2 1 2(7) Desarrollo: 5 . 6 = 30 = 4 . 7 + 2 5 . 2 + 4 = 14 = 2 . 7 + 0 5 . 3 + 2 = 17 = 2 . 7 + 3 Finalmente: 6 . 6 = 36 = 5 . 7 + 1 6 . 2 + 5 = 17 = 2 . 7 + 3 6 . 3 + 2 = 20 = 2 . 7 + 6 Finalmente: 4 . 6 = 24 = 3 . 7 + 3 4 . 2 + 3 = 11 = 1 . 7 + 4 4 . 3 + 1 = 13 = 1 . 7 + 6 Finalmente: pongo 2 van 4 pongo 0 van 2 pongo 3 van 2 pongo 2. pongo 1 van 5 pongo 3 van 2 pongo 6 van 2 pongo 2 pongo 3 van 3 pongo 4 van 1 pongo 6 van 1 pongo 1 RESTA El método es similar a la resta en base 10. Cuando la base es otra, se añade como unidad el valor de la base. Ejemplo: 4 7 3 5(8) - 2 3 6 7(8) 4735– 2 3 6 7(8) _______ 2 3 4 6(8) Desarrollo: 5 - 7 no se puede restar, entonces, en la segunda columna tomamos prestada 1 unidad a 3, lo que nos permite añadir a 5 el valor de la base: (5 + 8) - 7 = 6 - 27 - Luego, se suma los productos parciales, recordando cómo se suma cuando los sumandos no son de base 10. Se descompone polinómicamente y se suma: 3 . 93 + 8 . 92 + 5 . 9 + 6 = 2 886 u. s. 3 856(9) = 2 886(10) = 2 886 Nota.Que cuando el número es de base 10 no es necesario señalar la base. 2° UN NÚMERO DE BASE 10 PASAR A OTRO SISTEMA DE BASE “N” Regla: Se divide el número dado entre el valor “N” de la base deseada, lo cual arroja un cociente. Este cociente se divide nuevamente entre el valor “N”, sucesivamente hasta obtener un último cociente cuyo valor sea menor a la base. Luego, tomando la cifra del último cociente y las cifras de los residuos en el orden del último al primero, queda formado el número de base “N”. Ejemplo: Pasar 4 975 de base 10 a base 8. 4975 17 15 7 8 621 61 5 DIVISIÓN Para hacer la división es aconsejable formar una tabla con la base dada, con todos los productos posibles del divisor por el cociente. Ejemplo: 4 350(6) ÷ 24(6) Las cifras del cociente, por ser de base 6, oscilan entre 0 y 5, lo cual se toma en cuenta para formar la tabla: Tabla de base 6 0 . 24 1 . 24 2 . 24 3 . 24 4 . 24 5 . 24 4350 24 _____ 155 144 _____ 110 52 ______ 14 = = = 0 24 52 = 120 = 144 = 212 24 1 4 2(6) 8 77 5 8 9 1 8 1 ∴ CAMBIOS DE BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN 1° UN NÚMERO DE CUALQUIER BASE PASAR A BASE 10 Regla: Se descompone polinómicamente el número dado. El número que resulta de sumar las unidades simples (u.s.) de este número es el número de base 10. Ejemplo: Pasar 3 856(9) a base 10. 4 975(10) = 11 557(8) 3° DE UN NÚMERO NO DECIMAL A OTRO NO DECIMAL Regla: El primero se pasa a base 10 y luego, el nuevo número, a la base pedida. Ejemplo: Pasar el número 2 583(9) a base 5. A base 10: 2 . 93 + 5 . 92 + 8 . 9 + 3 = 1 938 - 28 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ahora, 1 938 se cambia a base 5: 1938 43 38 3 5 387 37 2 Solución: 8 427(9) = 6 181 5 77 27 2 5 15 0 5 3 94 - 1 # de cifras = (6 181 + 1) . 4 - ––––– 9-1 # de cifrras = 23 908 [ ] ∴ 2 583(9) = 30 223(5) CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE NÚMEROS DE “n” CIFRAS, EN BASE “A” Consiste en darle a cada cifra el número de valores que puede asumir. El producto de estos valores nos dá el número de combinaciones que a su vez es el número de números de “n” cifras. # de números = (base – 1)(base - 1)(n-1) Observar que: “n” es el número de ciras, pero cuando las cifra se repiten, esa cifra se toma una sola vez. Ejemplo: ____ _ ¿Cuántos números de la forma a b b(12) existen? ____ _ Solución: a b b Tiene 1 cifra repetida y distinta a la primera cifra. Por lo tanto: # de cifras = (12 - 1) (12 - 1)(2-1) = 121 CONTEO DE CIFRAS AL ESCRIBIR LA SERIE NATURAL EN BASE 10 # de cifras = (# mayor + 1) (# cifras del # mayor) – (número con tantos 1 como cifras tenga el # mayor) Ejemplos: ¿Cuántas cifras se emplea para escribir la serie natural de los números hasta el 3 475? Solución: # de cifras = (3 475 + 1) (4) – (1 111) # de cifras = 3 4 76 . 4 – 1 111 # de cifras = 13 904 – 1 111 = 12 793 ¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir la serie natural de los números hasta 15 497? Solución: # de cifras = (15 497 + 1) (5) – 11 111 # de cifras = 15 498 . 5 – 11 111 # de cifras = 66 379 EN BASE N: # de cifras = nk - 1 (# mayor + 1)(# cifras del # mayor) - ––––– n-1 SUMATORIA DE PRIMEROS NÚMEROS DE LA SERIA NATURAL EN BASE 10 1) Suma de los “n” primeros números consecutivos de la serie natural. SC = 1 + 2 + 3 + … + (n - 2) + (n - 1) + n n(n + 1) SC = ––––––– 2 2) Suma de los “n” primeros números impares consecutivos de la serie natural de los números. S¡ = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 3) + (2n - 1) S¡ = n2 [ ] k = # de cifras del número mayor n = base del sistema Ejemplo: ¿Cuántas cifras se ha empleado para escribir hasta el número 8 427(9)? - 29 - 3) Suma de los “n” primeros números pares consecutivos de la serie natural de los números. Sp = 2 + 4 + 6 + … + (2n - 4) + (2n - 2) + 2n Sp = n(n + 1) Ejemplo: 6=6 5=5 9>4 Resultado 13 > 11 _______ 33 > 26 OPERACIONES BÁSICAS SOBRE NÚMEROS REALES SUMA O ADICIÓN 1) LEY CONMUTATIVA En una suma, el orden de los sumandos no altera la suma total. Así: a+b+c=c+a+b=S Ejemplo: 4 + 9 + 12 = 12 + 4 + 9 = 25 2) LEY ASOCIATIVA En una suma de varios sumandos, dos o más de ellos pueden ser sustituidos por su suma parcial y la suma total no se altera. a + b + c = (a + b) + c = S Ejemplo: 6 + 8 + 3 + 11 = 14 + 3 + 11 = 28 3) LEY DE UNIFORMIDAD Si se suma miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra igualdad. a+c =m b+d =n r+p =h _________ S=S 4) LEY DE MONOTONÍA a) Si se suma miembro a miembro igualdades con desigualdades del mismo sentido, el resutlado es una desigualdad cuyo sentido es el mismo que el de las desigualdades. 5+3 =8 6 + 9 = 15 8 + 10 = 18 __________ 41 = 41 b) Si se suma miembro a miembro dos o más desigualdades del mismo sentido, el resutlado es otra desigualdad del mismo sentido que las anteriores. Ejemplo: 5<8 6<9 18 < 60 _______ 29 > 77 Resultado RESTA O SUSTRACCIÓN Forma general: M-S=D Donde, los términos son: M = minuendo S = sustraendo D = diferencia VARIACIONES DE LOS TÉRMINOS DE LA RESTA 1) Si al minuendo se le suma o se le resta un número cualquiera sin alterar el sustraendo, entonces la diferencia queda aumentada o disminuida, respectivamente, en dicha cantidad. (M ± n) - S = D ± n 2) Si al sustraendo se le suma o se le resta un número cualquiera, sin alterar el minuendo entonces la diferencia queda disminuida o aumentada, respectivamente, en dicha cantidad. M - (S ± n) = D n 3) Si al minuendo y sustraendo se le suma o se le resta un mismo número, la diferencia no se altera. (M ± n) - (S ± n) = D - 30 - FORMULARIO MATEMÁTICO COMPLEMENTO ARITMÉTICO “C.A.” C.A. de un número es otro número equivalente a lo que le falta al primero para ser igual a la unidad decimal de orden inmediato superior. Ejemplo: C.A. de 0,03 es 0,07 porque 0,1 - 0,03 es 0,07 C.A. de 6 es 4 porque 10 - 6 es 4 C.A. de 367 es 633 porque 1 000 - 367 es 633 a=b m=n ___________ a.m=b.n 5) LEY DE MONOTONÍA Si se multiplica miembro a miembro igualdades con desigualdades del mismo sentido, el resultado es otra desigualdad del mismo sentido que las anteriores. Ejemplo: 3=3 5>2 Multiplicando 3>1 ______ 45 > 6 LA MULTIPLICACIÓN 1) LEY CONMUTATIVA El orden de los factores no altera el producto. a.b=b.a=P Ejemplo: 7 . 4 = 4 . 7 = 28 2) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA El producto de un factor por la suma indicada de dos o más sumandos es giual a la suma de los productos del factor por cada sumando. a(n + m) = a . n + a . m = P Ejemplo: 5(8 + 3) = 5 . 8 + 5 . 3 = 55 3)LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTA El producto de un factor por una resta indicada es igual a la diferencia del producto del factor por el minuendo menos el producto del factor por el sustraendo. a(n - m) = a. n - a . m = P Ejemplo: 5(8 - 3) = 5 . 8 - 5 . 3 = 25 4) LEY DE UNIFORMIDAD Si se multiplica miembro a miembro dos igualdades, el resultado es otra igualdad. Multiplicando Si se multiplica miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado es otra desigualdad del mismo sentido que las anteriores. Ejemplo: 3<5 8<9 2<7 ________ 48 < 315 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL NÚMERO ENTERO 10n-1 ≤ N < 10n N = número entero n = número de cifras del número LA DIVISIÓN Es una operación que consiste en hallar un factor llamado cociente, el cual indica el número de veces que un factor, llamado divisor, está contenido en otro llamado dividendo. D D = d . q ⇔ –– = q d Donde: D = dividendo d = divisor q = cociente - 31 - Además, cuando la división es inexacta tiene un residuo. a) División inexacta por defecto: D=d.q+r Donde: R≠0, r<d b) División inexacta por exceso: D = d(q + 1) - r’ Donde: r’ ≠ 0, 0 < r’ < d 1) LEY DE UNIFORMIDAD Si se divide miembro a miembro dos igualdades, el resultado es otra igualdad; si las divisiones son exactas. A=B y C=D Luego: A B ––– = ––– C D ALTERACIONES DE LOS TÉRMINOS DE UNA DIVISIÓN 1) Alteración del dividendo.En una división exacta, si al dividendo se le multiplica o se le divide por un número cualquiera, sin alterar el divisor, entonces el cociente queda multiplicado o dividido, respectivamente, por el mismo número. Casos: D a) –– = q d D b) –– = q d ; ; D.n ––––– = q . n d D÷n ––––– = q ÷ n d 2) Alteración del divisor.En una división exacta, si al divisor se le multiplica o se le divide por un número cualquiera, sin alterar el dividendo, entonces el cociente queda dividido o multiplicado respectivamente, por dicho número. Casos: D a) –– = q d D b) –– = q d ; ; D ––––– = q ÷ n d.n D ––––– = q . n q÷n 2) LEY DE MONOTONÍA Si ambos miembros de una desigualdad son divididos por un mismo número que sea divisor de ambos, se obtiene otra desigualdad cuyo sentido es el mismo que la desigualdad dada. A B A > B; “d” divisor de ambos ⇒ ––– > ––– d d 3) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA El cociente de una suma indicada dividida por un divisor es igual a la suma de los sumandos divididos cada uno por el divisor común. a+b+c+m a b cm ––––––––––– = –– + –– + –– + –– = q d d d d d 4) LEY DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA RESTA El cociente de una resta indicada dividida por un divisor común es igual a la resta de los cocientes resultantes. a-b ab ––––– = –– - –– = q d dd 3 ) Alteración del dividendo y divisor.En una división exacta, si al dividendo y al divisor se les multiplica o divide simultáneamente por un mismo nùmero, el cociente no varía. Casos: D a) –– = q d D b) –– = q d ; D.n ––––– = q q.n D÷n ––––– = q q÷n ; En una división inexacta, si al dividendo y al divisor se les multiplica o se les divide por el mismo número, el cociente no se altera, pero el residuo queda multiplicado o dividido respectivamente, por el mismo número. - 32 - FORMULARIO MATEMÁTICO D a) –– = q + r d D b) –– = q + r d ; D.n ––––– = q + r . n d.n D÷n ––––– = q + r ÷ n d÷n q.D a = ––––– q-1 D b = –––––– q-1 ; 5) Dados la diferencia “D”, el cociente “q” y el residuo “r” de dos números “a” y “b”, donde a > b. D.q-r a = ––––––– q-1 D-r b = ––––– q-1 PROPIEDADES DEL RESTO O RESIDUO 1° El resto siempre es menor que el dividendo r<d 2° El resto siempre debe ser menor que la mitad del dividendo: D r < –– 2 3° El resto máximo siempre será igual al divisor menos uno: r máx = d - 1 4° La suma de los valores absolutos de los restos por defecto y por exceso siempre es igual al divisor. | r | + | r’ | = d RELACIONES NOTABLES DE LAS CUATRO OPERACIONES 1) Dadas la suma “S” y la diferencia “D” de dos números “a” y “b”, donde a > b: S+D a = ––––– 2 S-D b = –––––– 2 6) Dados el producto “P” y el cociente “q” de dos números “a” y “b”, donde a > b __ __ ____ _ p b = –– a = √P . q q √ PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS DIVISIBILIDAD (en Z) Un número “A” es divisible por otro número “B” solamente si el cociente de dividir “A” por “B” es un número entero “n”. A –– = n ⇒ A = n . B ⇔ n ∈ B DIVISOR Es un número que está contenido en otro un número exacto (entero) de veces. Ejemplo: { -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8} son todos los divisores de 8. MULTIPLO Múltiplo de un número es aquel número que contiene al primero un número (entero) exacto de veces. Se denota: A=m.B o, también así: ° A=B Ejemplos: { -16; -8; 8; 16; 24 } son algunos múltiplos de 8. 2) Dados la suma “S” y el cociente “q” de dos números “a” y “b”, donde a > b: q.S a = ––––– q+1 S b = –––––– q+1 3) Dados la suma “S”, el cociente “q” y el residuo “r” de dos números “a” y “b” (a > b). S . q+ r a = ––––––– q+1 S-r b = –––––– q+1 4) Dados la diferencia “D” y el cociente “q” de dos números “a” y “b”, donde a > b. - 33 - PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD 1º Si un número “n” divide a varios otros números, divide también a la suma o a la diferencia de dichos números. A ––– = q1 n ; A±B ⇒ –––––– = q n 2º Si un número “n” no divide exactamente a otros dos (A y B), dividirá exactamente a la diferencia de ellos (A - B) si y solamente si los residuos (r1 y r2) que resultan de dividir cada número entre el número “n” son iguales. A = n . q1 r1 B = n q2 + r2 _______________________ Restando: A - B = n(q1 - q2) + (r1 - r2) ⇔ r1- r2 = 0 ⇒ r1 = r2 3º Si un número “n” divide exactamente a otro número “A”, también divide a todo múltiplo de éste. A Si: –– = q1 n m.A ⇒ ––––– = q2 n 4º Si un número “A” es divisible por otro “n” lo es también por los factores de éste. A Si: –– = q n A A A ⇒ –– = q1 ; –– = q2 ; –– = q3 n1 n2 n3 donde: n = n1 . n2 . n3 5º En una división inexacta, si un número “n” divide al dividendo “A” y al divisor “d”, también divide al residuo “r”. A Sea: –– = q + r d Si: A –– = q1 n y d –– = q2 n B ––– = q2 n REGLAS PRÁCTICAS DE DIVISIBILIDAD Se dice que un número es divisible: Por 2, cuando termina en cero o en cifra par. Por 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. Por 8, cuando sus tres últimas cifras son ceros o múltiplos de 8. Por 5, cuando su última cifra es cero o cinco. Por 25, cuando sus dos últimas cifras son ceros o un número múltiplo de 25. Por 125, cuando sus tres últimas cifras son ceros o múltiplos de 125. Por 2n o 5n, cuando las “n” últimas cifras son ceros o un número múltiplo de 2n o 5n. Por 3, cuando la suma de sus cifras significativas es 3 o múltiplo de 3. Por 9, cuando la suma de sus cifras significativas es 9 o múltiplo de 9. Por 11, cuando la suma de las cifras que ocupan lugar impar menos la suma de las cifras que ocupan lugar par es: 0, 11 o múltiplo de 11. Ejemplo: 538 527 es m11 Lugar par: 5 + 8 + 2 = 15 Lugar impar: 3 + 5 + 7 = 15 ⇒15 - 15 = 0 Por 6, cuando los es simultáneamente por 2 y por 3. Por 22, cuando lo es simultáneamente por 2 y por 11. Por 7, lo es cuando se verifica el siguiente procedimiento: “Se separa la última cifra significativa de la derecha, esta cifra se duplica y se resta al número que queda a la izquierda, con el resultado se hace lo mismo sucesivamente hasta llegar a un número pequeño tal, que a simple vista se r Entonces : –– = q3 n - 34 - FORMULARIO MATEMÁTICO puede ver si es o no múltiplo de 7; si lo es, el número es divisible entre 7”. Ejemplos: i) 63 743 no es m7. 6 374 - 2 . 3 = 6 368 636 - 2 . 8 = 620 6-2.2=2 ∴ NO es m7, porque: 2 ≠ m7 ii) 25 795 2 579 - 2 . 5 = 2 569 256 - 2 . 9 = 238 23 - 2 . 8 = 7 ∴ SI es m7, porque: 7 = m7 Por 12, cuando lo es simultáneamente por 3 y por 4. Por 14, cuando lo es simultáneamente por 2 y por 7. Por 15,cuando lo es simultáneamente por 3 y por 5. Por 16, cuando las 4 últimas cifra son ceros o el número formado por esta 4 últimas cifras es múltiplo de 16. Corresponde al caso de 2n, cuando n = 4. Por 17, cuando la diferencia entre sus decenas y el quíntuple de sus unidades es 17 o m17. Ejemplo: 2 975 297 - 5 . 5 = 272 27 - 5 . 2 = 17 ∴ 2 975 = m17 ii) 12 635 1 263 + 2 . 5 = 1 273 127 + 2 . 3 = 133 13 + 2 . 3 = 19 = m19 NÚMEROS CONGRUENTES Dos números son congruentes respecto de otro número “p”, llamado módulo, si al dividir por este módulo originan el mismo resto. Se denota: A=p.a+r B=p.b+r En general: Ejemplo: Verificar que los números 50 y 32 son congruentes con el módulo 6. 50 ––– = 8 + 2 6 32 ––– = 5 + 2 6 Notar que la condición necesaria y suficiente para que dos números sean congruentes respecto a un módulo, es que su diferencia sea múltipo del módulo. ° A ≡ B (mod. p) ⇔ A - B = p Así, del ejemplo anterior: 50 - 32 = 18 ∧ 18 = m6 ∴ 50 ≡ 32 (mod. 2) A ≡ B (mod. P) Por 19, cuando la suma de sus decenas con el doble de sus unidades es 19 o m19. Ejemplos: i) 4 835 no es m19. 483 + 2 . 5 = 493 49 + 2 . 3 = 55 ≠ M19 NÚMEROS PRIMOS (en CLASIFICACIÓN ) 1. Primos absolutos o simplemente primos.Son aquellos números primos que sólo son divisibles entre la unidad y entre sí mismos. - 35 - Ejemplos: i) 1 ii) 3 iii) 17 iv) 59 2. Primos relativos.Son dos o más números que simultáneamente sólo son divisibles entre la unidad, aunque independientemente pueden ser divisibles por otro número diferente de 1. Ejemplo: 5; 9; 14; son primos relativos porque no son divisibles entre sí, aun cuando el 9 y el 14 son divisibles por otros números y el 5 es primo absoluto. NÚMERO COMPUESTO Es todo número no primo, resultado de multiplicar dos o más números primos absolutos o las potencias de estos. Ejemplos: i) 32 = 25 ii) 180 = 2 . 3 . 5 iii) 12 = 2 . 3 iv) 33 = 3 . 11 CRIBA DE ERATÓSTENES Es una tabla denominada también “Tabla de los Números Primos Absolutos” y permite obtener los primeros números primos. REGLAS PARA SU CONSTRUCCIÓN 1° Se escribe todos los números en el límite pedido. desde el 1 hasta 2 2 2 4° Dado que el siguiente número no tachado es el 5, se tacha los múltiplos de 5, partiendo de 25. 5° Así sucesivamente, hasta concluir. Los números que quedan son los primeros números primos absolutos. Ejemplo: Hallar los números primos en el rango de los 100 primeros números naturales. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 En conclusión: {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} es el conjunto de los números primos en el rango del 1 al 100. FÓRMULAS GENERALES Todo número compuesto, como se mencionó, puede ser expresado como el producto de 1 por dos o más factores primos y se pondrá calcular algunos elementos asociados cuyas fórmulas se indica a continuación. Sea N número un número compuesto: N = aα . bβ . cγ . … . wω 2° Se tacha los múltiplos de 2, partiendo de 4. 3° El siguiente número no tachado es el 3; en consecuencia, se tacha los múltiplos de 3 , partiendo de 9. - 36 - FORMULARIO MATEMÁTICO Donde: a, b, c, …, w = factores primos de N α, β, γ, …, ω = exponentes de los factores primos de N NÚMERO DE DIVISORES 1) n = (α + 1) (β + 1) (γ + 1) … (ω + 1) n: número de divisores de N Ejemplo: N = 12 = 22 . 31 n = (2 + 1) (1 + 1) = 6 {1, 2, 3, 4, 6, 12} SUMA DE DIVISORES wω+1 - 1 aα+1 - 1 bβ+1 - 1 cγ+1 - 1 2) S = ––––––– . ––––––– . –––––– . … . ––––––– a-1 b-1 c-1 w-1 S: suma de los divisores de N SUMA DE INVERSAS DE DIVISORES 3) S Si = ––– N Si: suma de la inversa de los divisores de N. SUMA DE POTENCIAS DE LOS DIVISORES 4) aq(α+1) - 1 bq(β+1) - 1 wq(ω+1) - 1 Sq = –––––––– . –––––––– … ––––––––– a-1 b-1 w-1 Sq: suma de las potencias “q” de los divisores de N PRODUCTO DE DIVISORES __ _ 5) P = √Nn P: producto de los divisores de N 36 18 9 3 1 48 24 12 6 3 1 72 36 18 9 3 1 2 2 3 3 36 = 22 . 33 sus factores son: 1, 2, 4 3, 6, 12 9, 18, 36 48 = 24 . 3 sus factores son: 1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 48 2 2 2 2 3 2 2 2 3 3 72 = 23 . 32 sus factores son: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72 Los “divisores comunes” a los números 36, 48 y 72 son: 1, ,2 ,3 ,4 ,6 y 12, pero el mayor de ellos es 12, éste es el MCD. PROPIEDADES DEL M.C.D. 1) El MCD de los números primos es la unidad. 2) El MCD de dos o más números primos entre si es la unidad. 3) De dos números diferentes, estando uno contenido en el otro, MCD de ellos es el menor. 4) Si se divide dos números entre su MCD los cocientes que resultan son números primos relativos. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor multiplo común que contenga exactamente a los números dados. REGLA PARA HALLAR EL m.c.m. DE DOS O MÁS NÚMEROS Se descompone los números dados en sus factores primos; el m.c.m. de los números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con sus mayores exponentes. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D) Máximo común divisor de dos números es el mayor divisor común de ellos. Ejemplo: Hallar el MCD de los números 36, 48 y 72 - 37 - Ejemplo: Hallar el mcm de 180; 528; 936. 180 90 45 15 5 1 2 2 3 3 5 528 264 132 66 33 11 1 2 2 2 2 3 11 o: A.B m.c.m. = –––––– MCD A . B = (mcm) (MCD) NÚMEROS RACIONALES (Fracciones) A. FRACCIONES ORDINARIAS Número fraccionario o quebrado es aquel número que está constituido por una o más partes de la unidad. NOTACIÓN Una fracción se denota por: a –– b donde: a es el numerador b es el denominador CLASIFICACIÓN 1) Fracciones propias.Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. 5 Ejemplo: –– 9 2) Fracciones impropias.Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Las fracciones impropias son las que dan origen a los números mixtos. 8 2 Ejemplo: –– = 2 –– (número mixto) 3 3 3) Fracciones homogéneas.Dos o más fracciones son homogéneas cuando tienen el mismo denominador. 8 5 22 Ejemplo: –– , –– , ––– 9 9 9 4) Fracciones heterogéneas.Dos o más fracciones son heterogéneas cuando tienen distintos denominadores. 4 2 6 Ejemplo: –– , –– , ––– 7 5 11 180 = 22 . 32 . 5 936 468 234 117 39 13 1 528 = 24 . 3 . 11 2 2 2 3 3 13 936 = 23 . 32 . 13 ∴ m.c.m. (180; 528; 936) = 2 . 3 . 5 . 11 . 13 = 102 960 PROPIEDADES 1° El mcm de dos o más números primos absolutos es igual al producto de ellos. 2° El mcm de dos números primos entre sí es el producto de ellos. 3° El cm de dos números, de los cuales uno contiene al otro es el mayor de ellos. 4° Si dos o más números son multiplicados o divididos por otro, el mcm queda multiplicado o dividido, respectivamente, por dicho número. 5° Si se divide el mcm de varios números entre cada uno de ellos, los cocientes resultantes son primos entre sí. 6° El producto de dos núneros enteros es igual al producto de MCD por el mcm. 4 2 - 38 - FORMULARIO MATEMÁTICO 5) Fracciones equivalentes.Una fracción es equivalente a otra fracción si la segunda resulta de multiplicar o dividir al numerador y al denominador de la primera por un mismo número. a a.K a/K Ejemplo: –– < > ––––– < > –––– b b.K b/K 6) Fracción irreductible.Cuando el numerador y denominador son primos entre sí (primos relativos). 3 Ejemplo: –– 7 7) Fracciones iguales a la unidad.Cuando tienen numerador y denominador iguales. 35 6 n Ejemplo: –– = –– = –– = … = –– = 1 35 6 n PROPIEDADES 1° Si el numerador y el denominador son multiplicados o divididos por un mismo número, el quebrado no varía. 5 5.4 5÷8 Ejemplo: –– = –––––– = ––––– 9 9.4 9÷8 2° De varias fracciones homogéneas, es mayor la que tiene mayor numerador. 3 12 6 Ejemplo: ––– , ––– , ––– 17 17 17 12 6 3 ––– > ––– > ––– 17 17 17 3° De varias fracciones heterogéneas que tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 7 7 7 Ejemplo: ––– , ––– , –– 15 31 6 ∴ 7 7 7 –– > ––– > ––– 6 15 31 a n c Sean las fracciones –– , –– , –– , irreductibles: b m d mcm (a, n, c) m.c.m. = –––––––––––– ––– MCD (b, m, d) 5° El MCD de dos o más fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores dividido entre el m.c.m. de los denominadores. a n c Sean las fracciones –– , –– , –– , irreductibles: b m d MCD (a, n, c) MCD = –––––––––––– ––– mcm (b, m, d) FRACCIONES DECIMALES Una fracción es decimal si su denominador es 10 o multiplo de 10. Las fracciones decimales pueden ser: CLASIFICACIÓN a) Fracción decimal limitada.Son las que presentan un número limitado de cifras. A su vez, éstas puede ser: • Fracción decimal exacta (fde). Ejemplos: 0,362 0,125 • Fracción decimal periodica pura (fdpp). Ejemplo: 0,31 31 … = 0,31 • Fracción decimal periódica mixta (fdpm). Ejemplo: 0,25 37 37 … = 0,25 37 b) Fracción decimal ilimitada.Son las fracciones decimales que presentan un número indefinido de cifras y pueden ser: • Números irracionales: __ Ejemplo: √3 = 1,7320506 … • Números trascendentes )) ) )) ) 4° El mcm de dos o más fracciones irreductibles es igual al mcm de los numeradores dividido entre el MCD de los denominadores. Ejemplos: π = 3, 14159265 … e = 2,71828183 … - 39 - TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES 1) Generatriz de una fracción decimal exacta. Sea: 0,a1 a2 a3 … an una fde. Su Generatriz es: ___________ a1 a2 a3 … an g = ––––––––––– 10n Ejemplos: 183 183 i) 0,183 = –––– = –––––– 3 10 1 000 325 325 ii) 3,25 = –––– = –––– 102 100 2) Generatriz de una fracción decimal periódica pura. Sea: ________________________ 0,b1 b2 b3 … bn b1 b2 b3 … bn una fdpp. 261 - 2 259 ii) 0,26161 … = ––––– –––––– = –––– 1 2 10 (10 - 1) 990 POTENCIA Y RADICACIÓN DE CUADRADOS Y CUBOS CUADRADO Y RAÍZ CUADRADA CUADRADO Se denomina cuadrado o segunda potencia de un número, al producto que resulta de multiplicar dicho número por sí mismo. OPERACIONES MÁS IMPORTANTES 1) a . a = a2 2) a2 + 3a2 = 4a2 3) (an)2 = a2n a2 4) a2 : a = –– = a2-1 = a1 = a a1 5) (a . b3 . c2)2 = a2 . b3. 2 . c2 . 2 = a2 . b6 . c4 an 2 a2n 6) ––– = –– –– bm b2m Su generatiz es: b1 b2 b3 … bn g = ––––––––––– 10n - 1 Ejemplo: 0,31 31… 31 31 Su generatriz: g = –––––– = ––– 2 10 - 1 99 3) Generatiz de una fracción decimal periódica mixta. Sea: 0,a1 a2 a3 … amb1 b2 … bn b1 b2 … una fdpm Su generatriz correspondiente es: (a1a2 … amb1b2 … bn) - (a1a2 … am) g = ––––––––––––––––––––––––––––––– 10m(10n - 1) Ejemplos: 3 615 - 36 3 579 i) 0,361515 … = –––––– –– = ––––– –– –– 102(102 - 1) 9 900 ° ° ° ° ° n = a2 . b2 . c2 . d2 ; (2 = multiplo de 2) )) () 7) (a . 10n)2 = a2 . 102n CUADRADO PERFECTO Un número es un cuadrado perfecto cuando al descomponerlo en el producto de sus factores primos, éstos presentan exponentes múltiplos de 2. Ejemplo: 324 = 22 . 34 RAÍZ CUADRADA Raíz cuadrada de un número, es otro número que, elevado al cuadrado, reproduce el número original. __ √N = q ⇒ q2 = N La raíz cuadrada puede ser exacta o inexacta - 40 - FORMULARIO __ Exacta: Inexacta: MATEMÁTICO √N = q __ 6) (a . 10n)3 = a3 . 103n a 3 a3 7) ––– = –––– 10n 103n √N = q + r RAÍZ CUADRADA CON APROXIMACIÓN EN MENOS DE UNA FRACCIÓN a A = –– b () RAÍZ CÚBICA Es aquel número que, elevado al cubo, reproduce el número original. √( ) ––––––––– b2 ––– . N a N = número a extraer su raíz cuadrada A = raíz cuadrada con aproximación de una fracción a –– = fracción de aproximación b Ejemplo: ___ 3 Hallar √196 con una aproximación menor que –– 7 _________ ___________ 3 7 2. 196 = –– 3 72 . (4 . 72) A = –– –– –––––––––– 7 3 7 32 3 = –– 7 √N = q ⇒ q3 = N La raíz cúbica puede ser exacta e inexacta: __ 3 Exacta: = √N = q __ 3 Inexacta: = √N = q + r RAÍZ CÚBICA CON APROXIMACIÓN MENOR QUE UNA FRACCIÓN a A = –– b 3 __ _ √( ) √ ______ __ 492 . 22 = –––––––– = 14 ––––––– 3 . 49 . 2 32 7.3 √ √( ) 3 ––––––––– b3 ––– . N a N = número a extraer a su raíz cúbica A = raíz cúbica con aproximación a –– = fracción de aproximación b Ejemplo: Hallar 1 √27 000 con aproximación de –– 3 CUBO Y RAÍZ CÚBICA CUBO Se denomina cubo o tercera potencia de un número, al producto que resulta de multiplicar dicho número 3 veces como factor. OPERACIONES MÁS IMPORTANTES 1) a . a . a = a3 2) (an)3 = a3n a3 3) a3 : a = ––– = a3-1 = a2 a1 4) (an . bm . cp)3 = a3n . b3m . c3p an 3 a3n 5) –– = –––– bn b3n ______ 2 1 A = –– 2 √ 3 __________ 1 23 . 33 . 103 = –– 2 √ 3 _____ __ _ 216 .103 = 6 ––– = 30 – .10 2 SISTEMAS DE MEDIDAS SISTEMAS TRADICIONALES SISTEMA MÉTRICO La definición moderna de 1 metro equivale a 1 650 736, 73 veces la longitud de onda de la luz anaranjada emitida por los átomos de un isótopo puro de criptón (criptón 86) bajo una descarga eléctrica. () - 41 - MEDIDAS AGRARIAS 1 área Hectárea Centiárea = 100m2 = 10 000m2 = 100 áreas = 1m2 AGRARIA 1 fanegada = 28 978 m2 = 3Ha 1 fanegada: es el área de terreno equivalente a 144 varas de ancho y 288 varas de largo. VOLUMEN 3 MEDIDAS DE VOLUMEN 1 metro cúbico 1 decímetro cúbico 1 centímetro cúbico 1 milímetro cúbico = 1m 1 vara cúbica = 0,59 m3 3 = 0,001 m PESO = 0,000001 m3 = 0,000000001 m3 1 tonelada = 1 quintal MEDIDAS DE CAPACIDAD 1 arroba 1 Mirialitro 1 kilolitro 1 Decalitro 1 Litro 1 decilitro 1 centilitro 1 militro = ML = 10 000 L = kL = 1 000 L = DL = = Lt = = dL = = cL = = mL = 10 L 1L = 1 decímetro cúbico 0,1 L 0,01 L LONGITUD 0,001 L 1 yarda MEDIDAS DE PESO 1 pie 1 tonelada métrica = 1 000 kilos 1 quintal métrico = 100 kilos SISTEMA ESPAÑOL LONGITUD 1 legua = 6 666 2/3 varas = 4 827 m 1 vara = 2,76 pies = 0,84 m 1 pie = 12 pulgadas = 30,48 cm 1 pulgada = 2,54 cm SUPERFICIE 1 vara cuadrada = 0,7 m 2 20 quintales = 920 kg 4 arrobas 25 libras 16 onzas 8 dracmas 2 adarmes 3 tomines = 46 kg = 11,4 kg = 0,454 kg = 28,38 g = 2,5 g = 1,25 g = = = = = = 1 libra 1 onza 1 dracma 1 adarme SISTEMA INGLES = 3 pies = 12 pulgadas = 0,914 m = 30,48 cm = 2,54 cm 1 pulgada LONGITUD: Itinerarias 1 milla marina = 1 852 m 1 milla terrestre = 1 609 m SUPERFICIE 1 yarda cuadrada = 0,836 m2 1 pie cuadrado = 0,093 m2 1 pulgada cuadrada = 0,000645 m2 AGRARIA 1 acre = 43 560 pies cuadrados = 4 047 m2 - 42 - FORMULARIO MATEMÁTICO VOLUMEN 1 yarda cúbica 1 pie cúbico 1 pulgada cúbica CAPACIDAD 1 galón imperial = 4,546 L (1 galón U.S.A. = 3,785 L) PESO Se utiliza tres sistemas: Avoirdupois (más utilizado) Troy (usado para metales nobles) Apothecables (usado en farmacias) = 0,7646 m3 = 0,02832 m3 = 0,000016 m3 RELACIONES ENTRE LONGITUD Y TIEMPO Tiempo 1 día 1 hora 1 minuto = = = Arco 360º 15º 15’ 15” 1 segundo = DIMENSIONES GEOGRÁFICAS Longitud: Distancia medida en arco sobre un círculo máximo de la tierra (el Ecuador) al meridiano de Greenwich. Latitud: Distancia, medida en arco sobre un meridiano de cualquier punto al Ecuador. Longitud y Latitud del punto P: SISTEMA AVOIRDUPOIS (avdp) 1 tonelada larga = 2 240,0 lb = 1 016,05 = kg Longitud recorrida Latitud recorrida Merdiano de Greenwich (0º longitud) Ecuador (0º latitud) 1 tonelada corta = 2 000,0 lb = 907,18 = kg 1 quintal = 100,0 lb = 45,36 = kg 1 libra = 16,0 Onz. = 453,59 = g 1 onza = 16,0 dracmas = 28,35 = g 1 dracma = 27,3 granos = 1,77 = g DENSIDAD DE ALGUNOS CUERPOS g/cm3 agua destilada = 1 agua de mar aire hielo hierro leche petróleo = 1,03 = 0,00129 = 0,92 = 7,8 = 1,03 = 0,8 Meridiano Paralelo SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Está basada en el sistema métrico. UNIDADES DE BASE Son 7 unidades de base, establecidas arbitrariamente y consideradas independientemente porque no guardan relación entre sí: - 43 - PROPIEDADES Y LEYES MAGNITUDES FÍSICAS Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Intensidad luminosa Cantidad de materia UNIDAD DE MEDIDA NOMBRE metro kilogramo segundo ampere kelvin candela mol SÍMBOLO m kg s A K cd mol ∴ Con la R A es una diferencia y la R G es una división, éstas cumple con las mismas propiedades de la resta y division, respectivamente. PROPORCIONES Se llama “proporción” a la igualdad de dos razones, siendo la característica principal que estas razones son iguales. Las proporciones pueden ser Aritméticas y Geométricas. PROPORCIÓN ARITMÉTICA Sean las R A: a - b = k c-d=k P A: a - b = c - d o, también: a . b : c . d UNIDADES SUPLEMENTARIAS UNIDAD DE MEDIDA MAGNITUD FÍSICA NOMBRE Ángulo plano Ángulo sólido radián estereoradián SÍMBOLO rad sr c –– = k d Se lee: “a es a b, como c es a d” PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Sean las RG a –– = k b RAZONES Y PROPORCIONES RAZONES Se llama “razón” a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede hacerse mediante una DIFERENCIA, en tal caso se llama “razón aritmética”, o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama “razón geométrica”. Razón Aritmética (R A) a-b=d Razón Geométrica (R G) a –– = K b donde: a: antecedente b: consecuente ∴ a c P G: –– = –– b d o, también: a : b : : c : d Se lee: “a es a b, como c es a d” CLASES DE PROPORCIONES SEGÚN SUS TÉRMINOS 1) Proporción discreta.Una proporción Aritmética o Geométrica es discreta si sus términos son diferentes: Sean: a c a - b = c - d ∨ –– = –– b d ⇒ a≠b≠c≠d - 44 - FORMULARIO MATEMÁTICO En este caso, cualquiera de los términos se llama “Tercera Proporcional”. 2) Proporción continua.Una proporción Aritmética o Geométrica es continua sis sus términos medios, o sus términos extremos son iguales así: Sean: a c a - b = c - d ∨ –– = –– b d ⇒b=c ∨ a=d En este caso cualquiera de los términos diferentes se llama “Tercera Proporcional” y al término que se repite se le llama: “media diferencial” si es P A “media proporcional” si es P G TÉRMINOS NOTABLES MEDIA DIFERENCIAL (m d) Sea la P A continua: a - b = b - d a+d b = ––––– 2 MEDIA PROPORCIONAL (m p) a b Sea la P G continua: –– = –– b d ____ b = √a . d MEDIA ARMÓNICA (m h) Sean los números a y b; con inversas: 1 1 __ , __ a b 1 mh = ––––––– 1 1 –– + –– a b PROMEDIOS Se denomina promedio, o cantidad media, a una cantidad tal que: de varias cantidades, el promedio es mayor que la inferior pero menor que la superior. Puede ser Aritmética, Geométria o Armónica. MEDIDA ARITMÉTICA: a1 + a2 + a3 + … + an Ma = –––––––––––––––––– n MEDIDA GEOMÉTRICA: ________________ Mg = √a1 . a2 . a3 . … . an MEDIDA ARMÓNICA: n Mh = ––––––––––––––––––– 1 + –– + –– + … + –– 1 1 1 –– a1 a2 a3 an Además, se cumple que: Ma > Mg Mg = Ma . Mh 2 a1 < Ma < an a1 < Mg < an a1 < Mh < an y, el producto de dos cantidades es igual al producto de su media aritmética por su media armónica. a . b = Ma . Mh PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS a c Si: –– = –– , se cumple las siguientes propiedades: b d a±b a b –––––– = –– = –– c±d c d a+b c+d –––––– = ––––– a-b c-d ∴ a+c b+d ––––– = ––––– a-c b-d () () a –– b n c = –– d n - 45 - a-c a c –––– = –– = –– b-d b d √√ n ––– a –– = b n –– – c –– d b) Inversa: a . b = c . x a.b ⇒ x = –––– c REGLA DEL TANTO POR CIENTO La regla del tanto por ciento es un caso particular de la regla de tres simple directa. Ejemplo: a c e Si: –– = –– = –– = k, se verifica las siguientes b d f propiedades. a+c+e –––––––– = k b+d+f a.c.e ––––––– = k3 b.d.f Calcular el 8% de 98. A mayor tasa, mayor interés. Son directamente proporcionales, luego: 8 x ––– = ––– 100 98 8 . 98 x = ––––– 100 MAGNITUDES PROPORCIONALES Magnitudes proporcionales son aquellas que guardan alguna relación matemática entre sí. Pueden ser directa e inversamente proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales.Se dice que dos magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales, cuando los cocientes de cada par de sus valores son iguales: A = {a1, a2, a3, … , an} B = { b1, b2, b3, …, bn} ∴ a1 a2 a3 an –– = –– = –– = … = –– = k b1 b2 b3 bn REGLA DE TRES COMPUESTA Una regla de tres compuesta está formada por una o más reglas de tres simple, que pueden ser todas directamente proporcionales o todas inversamente proporcionales o de proporción mixta. Ejemplo: 5 hombres en 8 días fabrican 600 m de tela. 13 hombres en x días fabrican 1 300 m de tela. ⇒ 5 . 13 . 1 300 x = ––––––––––– = 17,6 días = 18 días 8 . 600 Magnitudes inversas proporcionales.Se dice que dos magnitudes “A” y “B” son inversamente proporcionales, cuando los productos de cada par de sus valores son iguales. A = {a1, a2, a3, … , an} B = { b1, b2, b3, …, bn} ∴ a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = … = an . bn = k ARITMÉTICA MERCANTIL INTERÉS SIMPLE INTERÉS O RÉDITO Se denomina Interés o Rédito a la ganancia que produce una cantidad llamada Capital, prestada por un tiempo determinado y según una tasa fijada. Hay dos clases de intereses: Simple y Compuesto. El Interés Compuesto se estudia en Algebra. FÓRMULAS BÁSICAS C.i.t I = –––––– 100 100 . 1 C = –––––– i.t REGLA DE TRES REGLA DE TRES SIMPLE Se emplea para calcular un cuarto valor cuando otros tres son conocidos. La regla de tres simple puede ser: directa e inversa. a c a) Directa: –– = –– b x ⇒ b.c x = –––– a - 46 - FORMULARIO MATEMÁTICO M= C + I I = Interés o rédito ganado. C = Capital impuesto a un interés. i = Tasa de interés (porcentaje que gana el capital). t = Tiempo que demora el préstamo. Si el tiempo es en años, se usa 100; si el tiempo está en meses, se usa 1 200; si el tiempo está en días, se usa 36 000. M = Monto final que equivale a la suma del capital más el interes. FÓRMULAS PARA CALCULAR EL MONTO EN FUNCIÓN DEL CAPITAL C(100 + i . t) M = ––––––––––– 100 t en años C(1 200 + i + t) M = –––––––––––––– 1 200 t en meses Vn . i . t Dc = ––––––– 100 t en años Vn . i . t Dc = ––––––– 1 200 t en meses Vn . i . t Dc = ––––––– 36 000 t en días Además se define el nuevo valor a cobrar como: Va = Vn - Dc Va = Valor actual 0 Vn –––––––––––––––––– 123123 Va Dc valor actual en función del valor nominal Vn(100 - i . t) Va = –––––––––––– 100 Vn(1 200 - i . t) Va = ––––––––––––– 1 200 Vn(36 000 - i. t) Va = –––––––––––––– 36 000 DESCUENTO RACIONAL Es el interés simple producido por el Valor Actual” de una letra, desde el día en que se hace el descuento hasta el día de su vencimiento. C(36 000 + i . t) M = ––––––––––––– 36 000 t en días DESCUENTO Es la disminuición que se hace a una cantidad indicada en un documento comercial para hacer efectivo su cobro antes de la fecha fijada para su vencimiento. El documento comercial, según su naturaleza se denomina: Letra de cambio, Pagaré, Cheque bancario. Hay dos clases de descuento: Comercial y Racional. DESCUENTO COMERCIAL Es el interés simple, Dc, que produce el “Valor Nominal”, Vn (que es aquel escrito en el documento) de una letra desde el día en que se hace el descuento hasta el día del vencimiento; a este descuento se le conoce también como descuento interno. Va . i . t Dr = ––––––– 100 Va . i . t Dr = ––––– ––– 1 200 Va . i . t Dr = ––––––– 36 000 De este modo: Vn = Va + Dr - 47 - VALOR ACTUAL EN FUNCIÓN DEL VALOR NOMINAL 100 . Vn Va = ––––––––– 100 + i . t 1 200 . Vn Va = –––––––––– 1 200 + i . t t = Número de días o plazo de vencimiento de la letra única. t1, t2, … ,tn = Plazo de vencimiento de cada una de las otras letras. V1, V2, … Vn = Valores nominales de las otras letras. 36 000 . Vn Va = –––––––––––– 36 000 + i . t COMPARACIÓN DEL DESCUENTO COMERCIAL CON EL DESCUENTO RACIONAL Sólo por fines comparativos, establezcamos Vn . i . t Dr = ––––––––– 100 + i . t Vn . i . t Dr = –––––––––– 1 200 + i . t DESCUENTOS SUCESIVOS Todo los descuentos sucesivos aplicables, pueden ser consolidados en un descuento único “D.U.”: D1 . D2 D.U. = D1 + D2 - ––––––– % 100 [ ] D1 = primer descuento D2 = segundo descuento Ejemplo: Un comprador logra un primer descuento de 25% y un descuento adicional, sobre el nuevo monto, del 10%. Se pregunta ¿ Cuál es el descuento final (único) que obtiene? Solución: Aplicando la fórmula: Vn . i . t Dr = –––––––––––– 36 000 + i . t Lo que cual, nos permite deducir que: Dc > Dr Dr . i . t Dc - Dr = –––––––– 100 25 . 10 D.U. = 25 + 10 - ––––––– 100 [ ] D.U. = 35 - 2,5 = 32,5 Dc . Dr Vn = ––––––– Dc - Dr VENCIMIENTO COMÚN Es una operación comercial que consiste en realizar una pago único de dos o más letras de cambio que tienen diferentes vencimientos; la fecha en que se realiza el pago único se denomina vencimiento común. V1 + t1 . V2 . t2 + … + Vn . tn t = ––––––––––––––––––––––––– V1 + V2 + … + Vn Luego: D.U. = 32,5 % Como podrá observarse el descuento único NO es el 35 % (25 + 10). AUMENTOS SUCESIVOS Porcentajes de aumento a las nuevas cantidades, resultan en un Aumento Único “A.U.”: A1 . A2 A.U. = A1 + A2 + –––––– 100 [ SIGNOS DE RELACIÓN = , se lee: “igual” a = b, se lee: “a igual b” + ; - ; . ; : __ ; an ; √ > , se lee: “mayor que” a > b, se lee: “a mayor que b” < , se lee: “menor que” a < b, se lee: “a menor que b” ≥ , se lee: “igual o mayor que” a ≥ b, se lee: “a igual o mayor que b” ≤ , se lee: “menor o igual que” a ≤ b, se lee: “a igual o menor que b” . , se lee: “por” a . b, se lee: “a por b” - 53 - ≡ , se lee: “idénticamente igual a” VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO a ≡ b, se lee: “a identicamente igual a b” ≠ , se lee: “diferente de” a ≠ b, se lee: “a diferente de b” , se lee: “ se lee no es menor que” a b, se lee: “a no es menor que b” A) Valor absoluto o número absoluto, es el valor que denota la fugura que representa, independiente del signo. Ejemplos: | -5 | = 5 ; |3|=3 B) Valor relativo o número relativo, es el valor que depende del signo que la acompaña. Ejemplos: , se lee: “no es mayor que” a b, se lee: “a no es mayor que b” -7 ; +4 , se lee: “aproximadamente igual a” a b, se lee: “a aproximadamente a b” OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NÚMEROS RELATIVOS A) SUMA • Suma de dos números positivos: (+5) + (+7) = +5 + 7 = +12 • Suma de dos números negativos: (-3) + (-5) = -3 - 5 = - 8 • Suma de un número positivo y un número negativo: (+7) + (-3)= +7 - 3 = +4 <>, se lee: “equivalente a” a <> b, se lee: “a equivalente a b” ⇒, se lee: “a entonces b” a ⇒ b, se lee: “a entonces a b” o “a implica a b” ∧, se lee: “y” a ∧ b, se lee: “a y b” ∨, se lee: “o” (-12) + (+2) = -12 + 2 = -10 a ∨ b, se lee: “a o b” B) SUSTRACCIÓN • (+8) - (+4) = +8 - 4 = +4 • (-8) - (-13) = -8 + 13 = +5 • (-12) - (-8) = -12 + 8 = -4 C) MULTIPLICACIÓN • (+3) (+5) = +15 [ ] : corchetes { } : llaves –– : vínculo o barra • (-2) (-3) = +6 ≅ , se lee: “es congruente con” b ≅ b, se lee: “b es congruente con b” C) SIGNOS DE AGRUPACIÓN ( ) : paréntesis • (+5) (-8) = -40 • (-12) (+3) = -36 - 54 - FORMULARIO MATEMÁTICO D) DIVISIÓN • (+18) ÷ (+2) = +9 • (+12) ÷ (-4) = -3 • (-15) ÷ (-3) = +5 • (-14) ÷ (+7) = -2 E) POTENCIA (+2)2 = +4 (-5)4 = 625 (-3)3 = -27 F) RAÍCES par EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por los signos de operación: más, menos, por, entre, exponente, radiación. Ejemplo: i) 4x2 + 5y2 + 7z2 ii) 4x _____ 3x5 + √1 + x iii) ––––––––––––– 2xy + y5 Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas no son expresiones algebraicas, son funciones trascendentes. Ejemplos: i) 5x ii) logbx iii) sen x CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS A) RACIONALES.Sus exponentes son enteros, la cantidad sub-radical no tiene letras. Ejemplos: i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 + 3x-5z 3 5z ii) –– x3 + ––– 4 6 __ __ 5 iii) 2y + √3 x + √7 x5y B) IRRACIONALES.- ____ √ (+) = + y/o - (dos raíces) ____ par √ (-) = número imaginario impar _ ___ _ ___ √(+) = + impar √ (-) = - EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRINCIPALES CONCEPTOS TERMINO ALGEBRAICO Es la mínima expresion algebraica cuyas partes no están separadas ni por el signo más ni por el signo menos. Las partes de un término algebraico son: coeficiente exponente -7x signo 4 Tiene exponentes fraccionarios, la cantidad subradical incluye letras. Ejemplos: parte literal i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5 + 9y-1/2 ___ _ ii) 4x12 + 5y + 2√3xy - 55 - 2 3y 7 iii) –––– + ––––– + –––– __ __ __– 3 5 √x √z √y A su vez, las expresiones algebraicas irracionales pueden ser enteras o fraccionarias. • Racional entera.- Denominadores sin letras, exponentes positivos. Ejemplos: i) 2x2 + 3z2y3 + 6w4 9y 1 ii) 3x4 + ––– + –– z2 8 3 • Racional fraccionaria.- Denominadores con letras, exponentes negativos. Ejemplos: 7x 2 i) 4x-3 + 7y-9 + –––– - ––– 2 4yz 3y Obsérvese que: 1 x-3 = –– x3 1 y-9 = –– y9 4x2 + 2y + z ii) –––––––––––– 5x4 + 2x + z 2 1 6) a-n = ––– an a -n b 7) –– = –– b a am a 8) ––– = –– bm b 9) m ()() () m n m __ __ __ n _ √a . √ b = √ a . b m m _____ 10) √an = am __ a a 11) √__ = m –– –– –– m b √b m ___ √ __ n m __ m 12) ( √ a ) = √ an ____ __ mn __ 13) √ √ a = √ a mn LEY DE LOS SIGNOS 1) MULTIPLICACIÓN (+) . (+) = (+) (+) . (–) = (–) (–) . (+) = (–) (–) . (–) = (+) 2) DIVISIÓN (+) ––– = (+) (+) (–) ––– = (–) (+) 3) POTENCIA (+)2n (+)2n+1 (–)2n (–)2n+1 = (+) = (+) = (+) = (–) (+) ––– = (–) (–) (–) ––– = (+) (–) TEORÍA DE EXPONENTES La teoría de exponentes estudia todas las clases de exponentes que existen y las relaciones entre ellos. OPERACIÓN DE EXPONENTES 1) a . a = a m n m+n 2) am . bm = (a . b)m 3) (am)n = amn am 4) –– = am-n – an 5) a0 = 1, a ≠ 0 - 56 - FORMULARIO MATEMÁTICO 4) RADIACIÓN ___ _ 2n+1 √ (+) = (+) ___ _ 2n+1 √ (–) = (–) ___ _ 2n √ (+) = (±) ___ _ 2n √ (–) = número imaginario Nota.- 2n = número par 2n + 1 = número impar ECUACIONES EXPONENCIALES Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes. Se llama igualdad relativa aquella que se verifica soló para algunos valores que se le asigna a la incógnita. Así:, por ejemplo: 7x+1 = 343 7x+1 = 73 igualando exponentes: x+1=3 ∴ VALOR NUMÉRICO Es aquel valor que adquiere una expresión algebraica cuando se le asigna un valor numérico a sus letras. Ejemplo: Hallar el valor numérico de: E = x5 + 3x2 - 8x + 1; para x = 1 sustituyendo x = 1: E = 15 + 3 . 12 - 8 . 1 + 1 = -3 x=2 GRADOS DE UN MONOMIO MONOMIO Es la mínima expresión algebraica formado por un solo término algebraico. GRADO ABSOLUTO (G.A) Es la suma de los exponentes de todas las letras del monomio. Ejemplo: M = x2y3z-1 ∴ G.A.M. = 2 + 3 - 1 = 4 GRADO RELATIVO (G.R.) Está dado por el exponente de una letra del monomio. Ejemplo: M = 4x3y5z4w2 ∴ G.R.M. y = 5 G.R.M. x = 3 que se lee: “el grado relativo del monomio respecto a la letra y es 5 y respecto a la letra x, es 3”. GRADOS DE UN POLINOMIO POLINOMIO Es una expresión algebraica que tiene 2 o más términos algebraicos. Por convención, se denomina: Binomio: cuando tiene 2 términos Trinomio: cuando tiene 3 términos, etc. GRADOS ABSOLUTO DE UN POLINOMIO(G.A.P.) Está dado por el grado del término que tiene mayor grado absoluto. Ejemplo: Sea el polinomio: P = 4x2y3w4 + 3xy5w - 18x6y8w-7 G.A. de 4x2y3w4 G.A. de 3xy5w G.A. de -18x6y8w-7 Luego: =2+3+4=9 =1+5+1=7 =6+8-7=7 GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO Es una característica de la expresión algebraica, dada por el exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero y positivo. El exponente permite además determinar el número de soluciones que tiene una ecuación. El grado puede ser relativo y absoluto. G.A.P. = 9 - 57 - GRADO REALTIVO DE UN POLINOMIO(G.R.P.) Está dado por el mayor exponente de la letra referida en el problema. Así en el polinomio del ejemplo anterior: G.R.P. respecto a x = 6 G.R.P. respecto a y = 8 G.R.P. respecto a w = 4 B) POLINOMIO COMPLETO Con respecto a una letra, es aquel que se caracteriza porque los exponentes de la letra considerada existen desde el mayor hasta el cero inclusive. A este último término se le denomina “término independiente”. Ejemplos: i) P(x, y) = 5x5 + 6x4y + 7x3y2 + 3x2 - 7x + 6y3 P(x,y) es completo con respecto a “x”. El “término independiente” es 6y3. ii) P(x) = 4x3 - 8x2 + 12x - 9 es completado con respecto a x. El término independiente es -9. PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO • Si el polinomio es de grado “n” el número de términos es igual a “n + 1”. • El grado del polinomio completo es igual al número de términos menos 1. GP=#TP-1 • La diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad. POLINOMIOS NOTACIÓN POLINÓMICA Es la representación de un polinomio, mediante sus variables y sus constantes. VARIABLE.- Es toda magnitud que cambia de valor. CONSTANTE.o del divisor. º| D | ≥ º| r | 3º En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto (excepto polinomios homogéneos). - 61 - 5. Se incorpora al residuo, el siguiente término del divisor. Se divide el primer término del resto obtenido, entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente. 6. Se procede como el paso 4, y así sucesivamente, hasta terminar la división. Ejemplo: 6x3 + 5x2y - 26xy2 + 33y3 2x2 - 3xy + y2 -6x3 + 9x2y - 3xy2 3x + 7y –––––––––––––––––– 14x2y - 29xy2 + 33y3 -14x2y + 21xy2 - 7y3 ––––––––––––––––––––––– -8xy2 + 26y3 El cociente es: 3x + 7y El resto es: 8xy2 + 26y3 Procedimiento: 6 - 20 - 13 + 25 - 12 + 7 3 - 1 + 1 -6 + 2 - 2 2-6-7+8 –––––––––––––––––––– - 18 - 15 + 25 + 18 - 6 + 6 –––––––––––––––––––– - 21 + 31 - 12 + 21 - 7 + 7 –––––––––––––––––––– + 24 - 5 + 7 - 24 + 8 - 8 ––––––––––––––– +3-1 Grado del cociente: º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3 ∴ q = 2x3 - 6x2 - 7x + 8 Grado del resto: b) MÉTODO DE COEFICIENTES SEPARADOS Además de las consideraciones del método normal, debe tenerse en cuenta que: 1. Se trabaja solamente con los coeficientes y sus signos. 2. En caso de faltar un término, se coloca en su lugar cero, tanto en el dividendo como en el divisor. 3. Se procede a dividir estos coeficientes siguiendo los pasos del método normal, de esta manera se obtiene los coeficientes del cociente con sus signos. 4. Para determinar el grado del cociente y el resto se aplica las siguientes propiedades: º| q | = º| D | - º| d | º| r | = º| d | - 1 5. Este método es recomendable para polinomios de una sola variable. Ejemplo: 6x5 - 20x4 - 13x3 + 25x2 - 12x + 7 : 3x2 - x + 1 º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1 ∴ r = 3x - 1 c) MÉTODO DE HORNER Es un caso particular del método de coeficientes separados y se emplea para la división de polinomios de cualquier grado. Se procede así: 1. Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila de izquierda a derecha con su propio signo. 2. Se escribe los coeficientes del divisor en una columna de arriba hacia abajo, a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signos cambiados. 3. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniendose el primer término del cociente, el cual se anota en la última fila del cuadro. 4. Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se les cambio su signo, colocándose los resultados a partir de la segunda columna a la derecha. - 62 - FORMULARIO MATEMÁTICO 5. Se reduce la siguiente columna (efectuando la operación indicada) y se coloca este resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.(en el ejemplo: +14 - 2 = +12). 6. Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la tercera columna a la derecha. 7. Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto. El número de términos del resto está dado por el número de términos que tiene el último paso. 8. Se suma verticalmente obteniendose los coeficientes del residuo. El grado del cociente y del resto se obtiene tal como se indicó en el Método de Coeficientes separados. Ejemplo: 8x5 + 14x4 + 5x3 + 16x2 + 3x + 2 : 4x2 + x + 3 Solución: Grado del cociente: º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 2 = 3 Grado del residuo: º| r | = º| d | - 1 = 2 - 1 = 1 Procedimiento: 12 - 4 + 8 4 8 + 14 + 5 + 16 + 3 + 2 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– -1 - 2 -6 -3- 9 + 1 +3 -2-6 –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2+ 3 - 1+ 2 4-4 123 123 cociente resto Cociente: Q(x) = 2x3 + 3x2 - x + 2 Resto: R(x) = 4x - 4 d) MÉTODO O REGLA DE RUFFINI Este método se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de primer grado. Se presenta tres casos: 1º Cuando el divisor es de forma (x ± b) 2º Cuando el divisor es de la forma (ax ± b) 3º Cuando el divisor es de la forma (axn ± b) 1er. Caso. Forma del divisor: x ± b 1. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea horizontal. Completando previamente, si fuese necesario. 2. Se ecribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y un lugar abajo del primer coeficiente del dividendo. 3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente, es igual al primer coeficiente del dividendo. 4. Para obtener los coeficientes del cociente, se separa la última columna, la cual costituye el resto. Ejemplo: 4x4 - 5x3 + 6x2 + 7x + 8 : x + 1 Procedimiento: 4 5 + 6 + 7 + 8 -1 ↓ - 4 + 9 - 15 + 8 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 4 - 9 + 15 - 8 + 16 ← resto 14444244443 coeficientes del cociente Grado del cociente: º| q | = º| D | - º| d | = 4 - 1 = 3 ∴ Cociente: 4x3 - 9x2 + 15 - 8 Resto: 16 - 63 - 2do. Caso. Forma del divisor: a . x ± b 1. Se transforma el divisor a la primera forma, sacando en factor común el primer coeficiente del divisor: b ax ± b = a x ± –– a 3er. Caso. Forma del divisor: a . xn ± b La resolución sólo es posible por el método de Ruffini cuando los exponentes de la variable del dividendo son multiplos enteros de la variable del divisor. El procedimiento se explica a travéz del siguiente ejemplo: 6x36 + 17x27 - 16x18 + 17x9 + 12 ÷ 3x9 + 1 () b 2. Se divide entre x ± –– operando como el primer a caso. 3. Los coeficientes del cociente obtenido son divididos entre el coeficiente de “x” del divisor. 4. El resto obtenido no se altera. Ejemplo: 18x - 29x - 5x - 12x - 16 ÷ 3x + 2 Procedimiento: Factorizando el denominador: 2 3x + 2 = 3 x + –– 3 5 3 2 () Procedimiento: 1. Se observa que los coeficientes de la variable del dividendo sean múltiplos del exponente de la variable del divisor. 2. Se factoriza el divisor: 1 3 x9 + –– 3 ( ) 3. Se divide como en el primer caso. 4. Cada uno de los coeficientes del cociente obtenido, se divide entre coeficiente de “x” del divisor. () 18 - 0 - 29 - 5 - 12 - 16 2 - –– ↓ - 12 + 8 + 14 - 6 + 12 3 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 18 - 12 + 21 + 9 - 18 - 4 ← resto 1444442444443 coeficientes del cociente por 3 Grado del cociente: º| q | = º| D | - º| d | = 5 - 1 = 4 Verdaderos coeficientes del cociente: 6 + 17 - 16 + 17 + 12 1 - –– ↓ - 2 - 5 + 7 - 8 3 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 6 + 15 - 21 + 24 + 4 ← resto 144424443 coeficientes del resto por 3 Grado del cociente: º| q | = º| D | - º| d | = 36 - 9 = 27 Verdaderos coeficientes del cociente: 18 - 12 - 21 + 9 - 18 ––––––––––––––––––– = 6 - 4 - 7 + 3 - 6 3 ∴ Cociente: q = 6x4 - 4x3 - 7x2 + 3x - 6 Resto: r = -4 ∴ 6 + 15 - 21 + 24 –––––––––––––––– = 2 + 5 - 7 + 8 3 Cociente: 2x27 + 5x18 - 7x9 + 8 Resto: +4 - 64 - FORMULARIO MATEMÁTICO TEOREMA DEL RESTO Consiste en hallar el resto de una división sin realizar la división. “El resto de dividir un polinomio en “x”, racional y entero, entre un binomio de la forma (a . x ± b), es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando se reemplaza en él x por b/a. REGLA: Para hallar el resto se procede así: 1) Se iguala el divisor a cero: DIVISIBILIDAD Y COCIENTES NOTABLES La finalidad es determinar polinomios desconocidos dadas ciertas condiciones. PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD 1º Para determinar la suma de los coeficientes de un polinomio, se iguala la variable o variables a 1. Suma de coeficientes de: P(x ; y) = P(1 ; 1) Ejemplo: a.x±b=0 2) Se despeja “x” b x = ––– a 3) Se reemplaza en el polinomio dividendo la variable “x” por: b –– a se efectua operaciones, el resultado es el valor del resto. r=P Ejemplo: Hallar el resto: 6x4 + 3x3 - 19x2 + 14x - 15 : 2x - 3 Procedimiento: 1º 3 2x - 3 = 0 ⇒ x = –– 2 3 3 3 r = P –– = 6 –– + –– 2 2 2 P(x, y) = 3x3 - 2x2y - 5xy2 + y3 SP (1 ; 1) = 3(1)3 - 2(1)2(1) - 5(1)(1)2 + (1)3 SP (1 ; 1) = -3 2º El término independientemente se determina haciendo igual a cero la variable a la cual se refiere el polinomio. Término independiente = P(0) Ejemplo: P(x) = 5x3 + 2x2y - 6xy2 - 8y3 Desde el punto de vista de la variable x: P(0) = 5(0)3 + 2(0)2y - 6(0)y2 - 8y3 P(0) = -8y3 por otra parte, para la variable y: P(0) = 5x3 + 2x2(0) - 6x(0)2 - 8(0)3 P(0) = 5x3 3º Si un polinomio es divisible separadamente entre dos o más binomios será divisible entre el producto de ellos. Si: P(x) : (x - a), r = 0 P(x) : (x - b), r = 0 P(x) : (x - c), r = 0 () b –– a 2º () ()() () () 4 3 3 32 - 19 –– + 14 –– - 15 2 2 r = -3 - 65 - Luego se tendrá: P(x) ÷ (x - a) (x - b) (x - c), r = 0 4º Viceversa, si un polinomio es divisible entre un producto de varios factores, binomios, será divisibles separadamente por cada uno de ellos. 5º En general, si al dividendo y al divisor se le multiplica por una misma cantidad, el resto queda multiplicado por dicha cantidad. D.m=d.m.q+r.m 6º Si al dividendo y divisor se divide por una misma cantidad, el resto queda dividido por dicha cantidad. Dd r –– = –– q + –– mm m REGLA PRÁCTICA PARA DESARROLLAR CUALQUIER COCIENTE NOTABLE 1) El primer término del cociente es igual al cociente entre el primer término del dividendo y el primer término del divisor. 2) El último término del cociente es igual al cociente entre el segundo término del dividendo y el segundo término del divisor. 3) A partir del segundo término del cociente el exponente de “x” comienza a disminuir de 1 en 1 hasta “cero”. 4) A partir del segundo término del cociente, aparece el segundo término “a” con exponente “1” y comienza a aumentar de 1 en 1 hasta “m - 1”. 5) Los signos varián así: COCIENTES NOTABLES (CN) Se denomina cociente notable, aquel cociente que no requiere efectuar operaciones para conocer su resultado, porque obedece a ciertas reglas fijas. FORMA GENERAL DE LOS COCIENTES NOTABLES x ±a ––––––– – x±a Se denota en 4 casos: 1er. Caso: es CN ⇔ “m” es impar. xm + am ––––––– – x+a 2do. Caso: es CN ⇔ “m” es par. xm - am –– –––– –– x+a 3er. Caso: no es CN para cualquier valor de “m”. xm + am ––––––– – x-a 4to. Caso: es CN para cualquier valor de “m”. xm - am ––––––– – x-a m m • Cuando el divisor es de la forma “x + a” los signos de los términos del cociente son alternados (+) (-), comenzando con (+). • Cuando el divisor es de la forma “x - a” los signos de los términos del cociente son todos positivos. Ejemplo: i) 1er. Caso: x5 + a5 = x4 - ax3 + a2x2 - a3x + a4 ––– ––– x+a ii) 2do. Caso: x6 ––– -6 ––– a = x5 - ax4 + a2x3 - a3x2 + a4x - a5 x+a iii) 3er. Caso: x7 + a7 = No es CN ––– ––– x-a iv) 4to. Caso: x4 ––– -4 ––– a = x3 + ax2 + a2x + a3 x-a HALLAR UN TERMINO CUALQUIERA “K” DE UN COCIENTE NOTABLE tK = (signo) xm-K aK-1 - 66 - FORMULARIO MATEMÁTICO REGLA PARA EL SIGNO: 1) Cuando el divisor es de la forma(x - a), el signo de cualquier término es positivo. 2) Cuando el divisor es de la forma(x + a), los signos son alternadamente positivos y negativos, empezando por positivo. Por consiguiente, los terminos de lugar par: son negativos, y los términos de lugar impar: son positivos. Ejemplo: Hallar los términos t10 y t15 en el desarrollo del C.N. siguiente: x150 - a100 –––––––– x3 + a2 Previamente, se busca darle la forma de cociente notable: (x3)50 - (a2)50 y50 - b50 ––––––––––– = ––––––– (x3) + (a2) y+b Trabajamos con la forma original de la izquierda: Término K = 10: t10 = -(x3)50-10 (a2)10-1 (par) t10 = -x120 a18 Término K = 15: t15 = +(x3)50-15 (a2)15-1 (impar) t15 = +x105 a28 CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE n xm–––– PARA QUE EL COCIENTE –––± aq SEA NOTABLE xp ± a Será notable si: xm ± an (xp)r ± (aq)r –––––– = -––––––––– xp ± aq xp ± aq ésto es: p.r=m q.r=n ⇒ ⇒ m r = ––– p n r = ––– q (a) (b) mn Es decir, será notable ⇔ –– = –– p q es número entero Además: mn –– = –– = número de términos p q del cociente notable. Ejemplo: x16 + a32 ––––––– x2 + a4 16 32 # de términos = ––– = ––– = 8 2 4 MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Factorización es la operación que tiene por objeto transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. Los principales métodos para factorizar son los siguientes: A. FACTOR COMÚN El factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte numérica y/o literal que está repetida en cada una de dichas expresiones. El factor común puede ser de tres tipos: • Factor común monomio • Factor común polinomio • Factor común por agrupación A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO Cuando el factor común en todos los términos es un monomio. Ejemplo: P(,x y) = 72x2ayb + 48xa+1 yb+1 + 24xay2b El factor común es 24xayb, de este modo: P(x, y) = 24xayb (3xa + 2xy + yb) - 67 - A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO Cuando el factor común que aparece es un polinomio. Ejemplo: (a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11 El factor común es: (a + 1)5 (a2 + 1)10 luego: (a + 1)5 (a2 + 1)10 [(a + 1)2 - (a2 + 1)] (a + 1)5 (a2 + 1)10 [a2 + 2a + 1 - a2 - 1] (a + 1)5 (a2 + 1)10 (2a) 2a(a + 1)5 (a2 + 1)10 A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN Sea: xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n Efectuando operaciones: x x +y y +x y +xy agrupando: (xmxn + xmym) + (ymyn + xnyn) factoricemos cada paréntesis: xm(xn + ym) + yn(ym + xn) el factor común es el paréntesis, así: (xn + ym) (xm + yn) mn mn mm nn B.2) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS SUMA (a3m + b3n) = (am)3 + (bn)3 se trata de un producto notable: = (am + bn) (a2m - ambn + b2n) DIFERENCIA (a3m - b3n) = (am)3 - (bn)3 = (am - bn) (a2m + ambn + b2n) B.3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO a2m ± 2ambm + b2n = (am ± bn)2 C. MÉTODO DEL ASPA C.1) ASPA SIMPLE Se usa para factorizar trinomios de la forma: ax2n ± bxn ± c o, de la forma: x2n ± bxn ± c PROCEDIMIENTO.Se descompone en dos factores al primer término, ax2n o x2n, según sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. El término independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los que se coloca en las puntas de la derecha del aspa. Los factores de la expresión dada son la suma horizontal de arriba y la suma horizontal de abajo. El término central debe ser igual a la suma de los productos en aspa. Ejemplo: x4n + 7x2n + 12 1) x4n en dos factores: x2n . x2n 2) 12 en dos factores: 4 . 3 Se coloca los factores en la punta izquierda y derecha del aspa: x2n +4 B. MÉTODO DE IDENTIDADES B.1) DIFERENCIA DE CUADRADOS a2m - b2n o: (a ) - (b ) ∴ m2 n2 (am + bn) (am - bn) x2n +3 - 68 - FORMULARIO MATEMÁTICO 3) El término central es la suma de los productos en aspa. 3x2n + 4x2n = 7x2n 4) Los factores son las sumas horizontales de arriba y abajo. Luego: x4n + 7x2n + 12 = (x2n + 4) (x2n + 3) Verificando dos términos: (I) 8xy (II) 45y -15xy ––––– -7xy 123 2do. término (III) -36x 14y ––––– +59y 123 4to. término C.2) ASPA DOBLE Se usa para factorizar polinomios de la forma: ax2n ± bxnyn ± cy2n ± dxn ± eyn ± f y también para algunos polinomios de 4to. grado. PROCEDIMIENTO.Se ordena en forma decreciente para una de las variables; luego, se traza y se ejecuta un aspa simple para los tres primeros términos con trazo continuo. A continuación y, pegada al primer aspa, se traza otro, de tal modo que el producto de los elementos del extremo derecho de este aspa multiplicados verticalmente sea el término independiente. 1er. factor: suma de los elementos tomados horizontales de la parte superior. 2do. factor: suma de los elementos tomados horizontalmente de la parte inferior. Ejemplo: 12x2 - 7xy - 10y2 + 59y - 15x - 63 Tomando los tres primeros términos: 1) 12x2 en dos factores: 4x . 3x 2) -10y2 en dos factores: -5y . 2y Tomando el último término: 3) -63 en dos factores: -9 . 7 4x (I) 3x -5y (III) +2y (II) -9 ∴ +7 para x = 1 +21x –––––– -15x 123 5to. término Luego, la expresión factorizada es: (4x - 5y + 7) (3x + 2y - 9) D. MÉTODO DE EVALUACIÓN O DE DIVISIORES BINOMIOS Este método se aplica a polinomios de una sola variable que se caracterizan por anularse para algunos de los divisores de su término independiente afectado de doble signo, o alguna combinación. Ejemplo: Factorizar P(x) = 2x4 + x3 - 9x2 - 4x + 4 Solución: Los números de prueba son: 1 ± 1, ± 2, ± 4, ± –– 2 Los números fraccionarios tienen como numerador los divisores del término independiente y como denominador los divisores del coeficiente del término de mayor grado. para x = -1 P(x) = 2 + 1 - 9 - 4 + 4 ≠ 0 ∴ no es divisor P(-1) = 2 - 1 - 9 + 4 + 4 = 0 Un divisor es: (x + 1) - 69 - para x = 2 P(2) = 32 + 8 - 36 - 8 + 4 = 0 ∴ Otro divisor o factor es: (x - 2) 1ra. Forma: Sumando y restando x3 + x2 + x: P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 - x3 - x2 - x P(x) = x3(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) ∴ P(x) = (x2 - x + 1) (x3 + 1 - x) Dividiendo P(x) sucesivamente entre los factores obtenidos por el método de Ruffini: 2 + 1 9 4 + 4 2da. Forma: Sumando y restando x2: P(x) = x5 - x2 + x4 + x2 + 1 P(x) = x2(x3 - 1) + (x4 + x2 + 1) Sumando y restando x2 al segundo paréntesis, factorizando y tambien factorizando el primer paréntesis. P(x) = x2(x3 - 1) + (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) P(x) = (x2 + x + 1) (x3 - x2 + x2 - x + 1) ∴ P(x) = (x2 + x + 1) (x3 - x + 1) -1 2 + 1 +8 4 –––––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––– 2 1 8 +4 0 2 + 4 + 6 -4 ––––––––––––––––––––––––––––––––––– 2 + 3 2 0 Despues de la división se obtiene: P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x2 + 3x - 2) P(x) = (x + 1) (x - 2) (2x - 1) (x + 2) E. METÓDO DE ARTIFICIOS DE CÁLCULO E.1) REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE CUADRADOS Consiste en sumar y restar una misma cantidad a la expresión dada para transformarla en una diferencia de cuadrados. Ejemplo: Factorizar: E = a4 + 2a2b2 + 9b4 Sumando y restando 4a2b2: E = a4 + 6a2b2 + 9b4 - 4a2b2 E = (a + 3b ) - 4a b 2 22 22 CAMBIO DE VARIABLE Consiste en cambiar una variable por otra, de manera que se obtenga una forma de factorización conocida, o que tenga una forma más simple. Ejemplo: Factorizar: P(x) = 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3) Agrupando así: P(x) = 1 + [x(x + 3)][(x + 1) (x + 2)] Efectuando: P(x) = 1 + (x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) Haciendo x2 + 3x = y P(x) = 1 + y(y + 2) P(x) = 1 + 2y + y2 es el desarrollo de una suma al cuadrado: P(x) = (1 + y)2 sustituyendo la variable: P(x) = (1 + 3x + x2)2 E = (a2 + 3b2)2 - (2ab)2 E = ( a2 + 3b2 + 2ab) (a2 + 3b2 - 2ab) SUMAS Y RESTAS Consiste en sumar y restar una misma cantidad de tal manera que se forme una suma o una diferencia de cubos y se presenta al factor x2 + x + 1 o x2 - x + 1. Ejemplo: Factorizar: P(x) = x5 + x4 + 1 - 70 - FORMULARIO MATEMÁTICO FACTORIZACIÓN RECÍPROCA POLINOMIO RECÍPROCO Es aquel que cuyos coeficientes equidistantes de los extremos son iguales. Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A Ejemplo: Factorizar el polinomio: P(x) = 6x + 5x + 6x + 5x + 6 PROCEDIMIENTO Se factoriza x2: 5 6 P(x) = x2 6x2 + 5x + 6 + –– + –– x x2 Ordenando así: 1 1 P(x) = x2 6 x2 + –– + 5 x + –– + 6 x2 x 1 Haciendo: x + –– = y x entonces: 1 x2 + –– = y2 - 2 x2 sustituyendo: P(x) = x2 [6(y2 - 2) + 5y + 6] Efectuando: P(x) = x2 (6y2 + 5y - 6) Factorizando el paréntesis por el aspa simple: 3y 2y ∴ P(x) = x2(3y - 2) (2y + 3) -2 +3 4 3 2 3x2 + 3 - 2x P(x) = x2 –––––––––– x ∴ [ ][ 2x2 + 2 + 3x ––––––––––– x ] P(x) = (3x2 - 2x + 3) (2x2 + 3x + 2) FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA ALTERNADA POLINOMIO SIMÉTRICO Un polinomio es simétrico, con respecto a sus variables, cuando su valor no se altera por el intercambio de cualquier par de ellas, y además es homogéneo. ( ) Ejemplo: A (x2 + y2 + z2) + B(xy + xz + yz) Notar que las operaciones con expresiones simétricas dan como resultado también expresiones simétricas. POLINOMIO ALTERNO Un polinomio es alterno, con respecto a sus variables, cuando su signo se altera, pero no su valor absoluto, al intercambiar un par cualquiera de ellas, y además es homogéneo. Ejemplo: y2(z - y) + x2(y - z) + z2(x - y) PROPIEDADES DE LAS EXPRESIONES Y DE LOS POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTERNOS 1º No hay expresiones alternas que contengan más de 2 variables y sean de primer grado. 2º Generalmente los polinomios alternos son circulares o cíclicos y están escritos en forma de diferencia. 3º El producto de una expresión simetrica por una alterna da como resultado una expresión alterna. 4º Una expresión simétrica o alterna de variables x, y, z, si es divisible entre “x”, entonces también será divisible entre “y” y entre “z”. 5º En una expresión simétrica o alterna, de variables, x, y, z, si es divisible entre (x ± y), entonces también será divisible entre (x ± z) (y ± z). [( ) ( ) ] Reponiendo “x”: P(x) = x2 [ ( ) ][ ( ) ] 1 3 x + –– - 2 x 1 2 x + –– + 3 x - 71 - FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO SIMÉTRICO Y ALTERNADO 1) Se averigua si el polinomio es simétrico o alterno. 2) Encontrar los factores de la expresión aplicando el teorema del resto y aplicando las propiedades del polinomio simétrcio y alterno. 3) Plantear el cociente, planteando la identidad de dos polinomios y ampliarlo aplicando el criterio de los valores numéricos. Ejemplo: Factorizar: P(x) = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 PROCEDIMIENTO 1) Intercambiando x por y, se ve que la expresión es alterna. 2) Cálculo de los factores x = y P(x) = (y - y)3 + (y - z)3 + (z - y)3 = 0 + (y - z)3 + [-(y - z)3] P(x) = (y - z)3 - (y - z)3 = 0 Luego el polinomio es divisible entre (x - y) Por ser polinomio alterno, también será divisible entre los factores obtenidos en forma circular en el sentido indicado: x z y Haciendo Si Q es de grado cero quiere decir que es un número. Dando un juego de valores para x, y, z; se obtiene el valor de Q: Para x = 1 ; y = 2 ; z = 3: (1 - 2)3 + (2 - 3)3 + (3 - 1)3 = Q (1 - 2) (2 - 3) (3 - 1) (-1) + (-1) + (8) = Q(2) ∴ Q=3 Luego, la expresión factorizada es: (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3 (x - y) (y - z) (z - x) MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de mayor grado posible, que está contenida como factor un número entero de veses en dichas expresiones. Para determinar el M C D se factoriza las expresiones comunes con su menor exponente. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.) De dos o más expresiones algebraicas, es la expresión de menor grado posible, que contiene un número entero de veces como factor dichas expresiones. Para determinar el m c m se factoriza las expresiones y se forma el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplo: Hallar el MCD y el m c m de: A = x2(x2 + 2y2) + (y2 + z2) (y + z) (y - z) { 3 x=y y=z z=x Es decir entre: (y - z) ∧ (z - x) El polinomio es divisible entre el producto: (x - y) (y - z) (z - x) 3) Se plantea la identidad de los polinomios: (x - y) + (y - z) + (z - x) 3er. grado 3 3 B = x4 + 2x2z2 + z4 - y4 PROCEDIMIENTO Q grado cero Efectuando: A = x4 + 2x2y2 + (y2 + z2) (y2 - z2) = (x - y) (y - z) (z - x) 3er. grado - 72 - FORMULARIO MATEMÁTICO A = (x4 + 2x2y2 + y4) - z4 A = (x2 + y2)2 - (z2)2 A = (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 - z2) Mientras que: B = (x4 + 2x2y2 + z4) - y4 B = (x2 + z2)2 - (y2)2 B = (x2 + z2 + y2) (x2 + z2 - y2) MCD (A, B) = x2 + y2 + z2 mcm (A, B) = (x2 + y2 + z2) (x2 + y2 - z2) (x2 + z2 - y2) no; si se cambia de signo a un número impar de factores, la fracción sí cambia de signo. Ejemplo: (a - b)(c - d) F = ––––––––––– (e - f)(g - h) -(b - a)(c - d) (a - b)(c - d) F = –––––––––– – = ––––––––––– – -(f - e)(g - h) (e - f)(g - h) -(b - a)(c - d) (a - b)(c - d) F = ––––––––––– ≠ ––––––––––– (f - e)(g - h) (e - f)(g - h) } } par impar FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIÓN Se denomina fracción algebraica a toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el denominador. Ejemplos: 2 i) ––– 3x 2a + b ii) –––––– 3c + 1 iii) 2ax-2y3z-1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Para simplificar fracciones se factoriza. Ejemplo: Simplificar: x3 + (2a + b)x2 + (a2 + 2ab)x + a2b P(x) = –––––––––––––––––––––––––––––– x3 + ax2 + 2bx2 + b2x + 2abx + ab2 Ordenando y factorizando: x(x2 + 2ax + a2) + b(x2 + 2ax + a2) P(x) = ––––––––––––––––––––––––––––– x(x2 + 2bx + b2) + a(x2 + 2bx + b2) x(x + a)2 + b(x + a)2 (x + a)2(x + b) P(x) = ––––––––––––––––– = –––––––– ––––– x(x + b)2 + a(x + b)2 (x + b)2 (x + a) x+a P(x) = ––––– x+b CAMBIOS DE SIGNO EN UNA FRACCIÓN 1) CUANDO NO HAY PRODUCTOS INDICADOS Se puede cambiar dos de sus tres signos y la fracción no se altera. Ejemplo: +(m + 1) -(m + 1) F = + –––––––– = - –– –––––– +(n + q) +(n + q) +(m + 1) -(m + 1) = - –––––––– = + –– –––––– -(n + q) -(n + q) 2) CUANDO LA FRACCIÓN TIENE PRODUCTOS INDICADOS En toda fracción, si se cambia de signo a un número par de factores, la fracción no cambia de sig- BINOMIO DE NEWTON DEFINICIÓN Es el desarrollo de un binomio elevado a la potencia “n”. ANÁLISIS COMBINATORIO FACTORIAL DE UN NÚMERO Factorial de un número “n” es el producto de los número consecutivos desde “1” hasta “n”. Se denota así: n o así: n! - 73 - Ejemplos: i) 5 , se lee factorial de 5 = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ii) n!, se lee el factorial de n = 1 . 2 . 3 … . (n - 1)n PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES 1º Si n existe, el valor de “n” es entero y positivo. 2º 0 = 1 y 1=1 Se trata de hallar cuantas variaciones se puede formarse de 2 en 2. 5 5 1.2.3.4.5 5 V2 = ––– – = ––– = ––––––––––––– = 20 –– 5-2 3 1.2.3 PERMUTACIONES Se llama permutaciones de “n” objetos a los diferentes grupos que con ellos se puede formar, de manera que participando “n” objetos en cada grupo, difieren solamnente en el orden de colocación. Pn = n Ejemplo: Hallar el número de permutaciones de las letras a, b, c, d. P4 = 4 = 24 3º Si el factorial de un número es igual al factorial de otro, entonces los números son iguales. Sí: ∴ a=b a =b 4º Debe tenerse en cuenta que: a±b a.b ≠ ≠ a a –– ≠ ––– b b VARIACIONES Cada una de las ordenaciones, coordinaciones o arreglos que puede formarse tomando algunos o todos de un número de objetos, se llama una variación diferenciándose entre ellas bien en un objeto o bien en una diferente ordenación de los objetos. De este modo, las variaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r” se puede hallar con la siguiente fórmula: n n Vr = ––––– n-r Ejemplo: a±b a .b COMBINACIONES Se llama así a los diferentes grupos que se puede formar con “n” elementos tomándolos todos a la vez o de “r” en “r”, de manera que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento. Para determinar el número de combinaciones de “n” elementos tomados de “r” en “r”, se usa la siguiente fórmula: n n Cr = –––– b multiplicando índice y exponente por “r”: __ __ n.r √Bm.r notar que: __ _ n √Bm tiene “n” raíces ____ n.r √Bm.r tiene “n . r” raíces n __ _ √x4z2 ; √y2x ; √x HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES Es la operación que se realiza para pasar radicales de distinto índice, a radicales de índice iguales. Ejemplo: Homogenizar: ___ 3 √a2b ; PROCEDIMIENTO: 1) Se halla m c m de los indices; éste será el índice común. mcm: 3, 4, 5 = 60 2) Se afecta del índice común y se eleva cada cantidad subradical a un exponente que resulta de dividir el índice común entre su índice original. ______ ______ ____ ___ 60 60 60 60 60 60 _ _ _ _ _ _ 23 34 45 (a b) ; (b ) ; (c d) __ 4 √b3 ; ___ 5 √c4d 5 5 5 OPERACIONES ALGEBRAICAS CON RADICALES SUMA Y RESTA DE RADICALES Para sumar radicales semejantes basta sacar como factor común el radical; si no son semejantes, se deja indicado. Ejemplo: __ 3 3x √3b + 8y 3 __ √3b + 2 √3b = √3b (3x + 8y + 2) 3 __ 3 __ MULTIPLICACIÓN DE RADICALES 1) Cuando son homogéneos: __ __ ____ √A . √B = √A . B 2) Cuando tienen índices distintos. Se reduce a un índice común y se opera igual que en el caso anterior, así: __ q __ pq __ pq __ ___ _ p pq √x . √y = √xq . √yp = √xqyp √ √ √ efectuando las operaciones se obtiene: - 81 - DIVISIÓN DE RADICALES 1) Cuando son homogéneos: _ __ __ n √A = n –– A ––– __ n √B B PROCEDIMIENTO: Se multiplica numerador y denominador por el literal elevado a un exponente igual a lo que le falta al exponente del literal para equivaler a la unidad. De este modo: __ __ 5 4 1 1 – . –– . b2/5 = ––––––––– a3/4 √a3 . √b2 –––––––– = ––––––– –––––– __ __ 4 53 1/4 3/5 3/4 √a . √b a . b a . b2/5 a.b SEGUNDO CASO Cuando la fracción presenta en su denominador una suma de raíces algebraicas; para racionalizar, se utiliza el criterio denominado como la conjugada real. Ejemplo: m i) Racionalizar: –––––––– –– –– √a + √b __ __ m m √a__- √__ b –––––––– = ––––––––––– . ––––––––––– __ __ __ __ √a + √b (√a + √b ) (√a - √b ) __ __ m m(√a - √b ) –––––––– = ––––––––––––– __ __ √a + √b a-b 1 ii) Racionalizar: ––––––––––––––– __ __ ____ √a + √b - √a + b 1 1 –––––––––––––––– = ––––––––––––––––––– __ __ ____ __ __ ____ √ a + √ b - √a + b (√ a + √ b ) - √a + b __ __ ____ (√ a + √ b + –––––––– √a + b) . –––––––––––– ____ __ __ [√ a + √ b + √a + b ] √ 2) Cuando son homogéneos. Previamente se homogeniza y se procede como se indicó en el caso anterior: ___ __ __ _ p pq √A √Aq pq ––q A –––– = ––––– = – __ pq __ _ q √B √Bp Bp √ POTENCIAL DE RADICALES () RAÍZ DE RADICALES __ p n __ √B = √Bp n √ n ___ __ __ nm __ m √B = √B FRACCIÓN IRRACIONAL Es aquella cuyo denominador tiene raíz algebraica. RACIONALIZACIÓN Es una operacion que consiste en modificar un quebrado en cuyo denominador hay una raíz algebraica (fracción irracional) y transformarla a otra que no tenga raíz en el denominador. FACTOR RACIONALIZANTE (F.R.) El factor racionalizante de una expresión irracional es también otra expresión irracional que, multiplicada por la primera, la convierte en una expresión racional. RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN PRIMER CASO Cuando la fracción presenta, en el denominador, radicales en forma de producto. Ejemplo: 1 Racionalizar: –––––––– __ __ 4 5 √a . √b3 [ ] __ __ __ __ ____ _ ____ _ √a + √b + √a + b = –––––––––––––––––––– (√ a + √ b )2- (√a + b)2 ____ ____ _ _____ (√ a + √ b + √a + b ) √ –––– a.b = –––––––––––––––––––– . –– ____ 2√ a . b __ __ __ √a . b _____ √a . b (√ a + √ b + √ a + b ) = –––––––––––––––––––––––– 2.a.b ____ __ - 82 - FORMULARIO MATEMÁTICO TERCER CASO Cuando la fracción presenta en su denominador una suma algebraica de radicales de índice superior a 2. Se procede así: • Si el índice es una potencia de 2, se utiliza el criterio de la conjugada en forma sucesiva. • Si el índice es 3, es necesario tener en cuenta las siguientes identidades: __ 3 __ 3 3 3 a + b = (√ a ) + (√ b ) __ 3 __ __ 3 ___ 3 ___ 3 3 = ( √ a + √ b ) ( √ a2 - √ ab + √ b2 ) __ 3 __ 3 3 3 a - b = (√ a ) - (√ b ) __ 3 __ __ 3 ___ 3 __ _ 3 3 = ( √ a - √ b ) ( √ a2 + √ ab + √ b2 ) Ejemplo: 1 Racionalizar: ––––––––– __ 6 __ 6 √a - √b Solución: Multiplicando por la conjugada y luego aplicando las identidades anteriores se logra racionalizar: __ 6 __ 6 1 1 √a +√b ––––––––– = –––––– __ . –––––– __ –––– __ 6 __ __ ––––– 6 __ 6 6 6 6 √a -√b √a -√b √a +√b Previamente, debe recordarse que para todo valor de “n”: __ n __ _ _ ___ _ ____ n n n √ a + √ b √an-1 + √an-2b _____ ___ n n + √an-3b2 + … + √bn-1 = a - b ( )( ) Sin embargo, para valores impares de “n”: ( √a n __ _ + √ n ) ( √an-1 - √an-2b + n n __ _ n ___ n _ ____ n √an-3b2 - … + √bn-1 ) = a + b ___ n _____ ___ y, para valores pares de “n”: ( √a n __ _ + √ b ) ( √an-1 - √an-2b _____ + n __ _ n n _ ____ n √an-3b2 - … + √bn-1 ) = a - b ___ Uno de los factores es utilizado como el F .R. Ejemplo: Racionalizar: N ––––––––––––––––––––––––– __ __ __ __ 43 42 4 4 √ x + √ x y + √xy2 + √ y3 __ __ 4 4 Si al denominador se le multiplica por √ x - √ y, se obtiene x - __por__ y, consiguiente el factor racionalizante es √ x - √ y. 4 4 ( ) __ __ 4 4 N √x - √y E = –––––––––––– x-y ( ) ( √ a + √ ab + √ b ) = ––––––––––– . –––––––––––––––––––– __ __ __ ___ ___ ( √a - √ b ) ( √a + √ ab + √b ) √a +√b 3 3 6 6 3 3 2 3 3 2 2 3 3 2 __ __ __ ___ ___ VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CONCEPTOS FRACCIONES DETERMINADAS Son la siguientes: a 0 ∞ a ∞ 0 –– , –– , –– , –– , –– , –– 0 a a ∞ 0 ∞ Estas formas determinadas son definidas como: a 1) lim –– = ∞ x x→ 0 a 2) lim –– = 0 x x→ ∞ x 4) lim –– = 0 a a→ ∞ x→ 0 __ 6 __ __ 3 ___ 3 ___ 3 √ a + √ b √a2 + √ ab + √b2 = ––––––––––––––––––––––––––––––– a-b ( 6 )( ) CUARTO CASO Si el índice es mayor que 3, y pertenece a una de las formas: __ 1) √ a ± n __ √b n ____ n 2) √an-1 √an-2 b + √ an-3 b2 √ an-4 b3 + … n n _____ n ______ ___ √ bn-1 n ___ x 3) lim –– = ∞ a x→ ∞ - 83 - x 5) lim –– = 0 a x→ 0 a La expresión: lim –– x x→ 0 a 6) lim –– = ∞ x a→ ∞ x→ 0 Esta forma es indeterminada, quiere decir que en el numerador y en el denominador hay un factor de la forma “x - a”. Hay que factorizarlo y luego simplificarlo. 1) Factorizando: (2x + 1) (x - 3) E = ––––––––––––– (x + 4) (x - 3) ese factor es: “x - 3” 2) Simplificando: 2x + 1 E = –––––– x+4 3) Para x = 3: 2(3) + 1 7 E = ––––––– = –– = 1 3+4 7 ∴ V.V.(E) = 1 ∞ B) FORMA –– ∞ Para levantar la indeterminación de esta forma, se divide numerador y denominador entre la máxima potencia de la variable cuya presencia provoca la indeterminación. REGLA PRÁCTICA: 1) Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el V.V. es ∞ ; es decir: si: º| N | > º| D | ⇒ V.V.(E) = ∞ a Se lee: “limite de la fracción –– cuando “x” tiende x a cero”. VERDADERO VALOR(V.V.) Cuando para ciertos valores de la variable, una expresión adquiere muchos valores, se dice que la expresión es de la forma indeterminada. Por esta razón, se busca su “verdadero valor”, siendo éste el valor de otra que sea su equivalente. A este procedimiento se denomina “llevar indeterminación. FORMAS INDETERMINADAS Matemáticamente, no son definibles: 0 ∞ –– , –– ∞ - ∞ , 0 . ∞ , 1∞ ,00 0 ∞ CÁLCULO DEL VERDADERO VALOR 0 A) FORMA –– 0 Para levantar esta inderminación debe tenerse en cuenta que tanto en el numerador como en el denominador está el factor cero, que se debe de eliminar, por lo tanto: • Se factoriza el numerador y el denominador buscando el factor cero (por ejemplo: x - a = 0, cuado “x” tiende a “a”). • Se simplifica en el numerador y denominador de la fracción este factor. • Se sustituye nuevamente x = a. Si persiste la indeterminación, se repite hasta hallar el verdadero valor. Ejemplo: Hallar el verdadero valor de la fracción: 2x - 5x - 3 E = –––––––––– , para x = 3 x2 + x - 12 PROCEDIMIENTO: 2 E = 2(3) - 5(3) - 3 = –– ––––––––––––– 0 2 (3) + (3) - 12 0 2 2) Si el numerador es de menor grado que el denominador. el V.V. es 0, es decir: si: º| N | < º| D | ⇒ V.V.(E) = ∞ 3) Si el numerador y el denominador son de igual grado, el V.V. es un cociente formado por los coeficientes de los términos de máxima potencia del numerador y denominador; es decir: si: º| N | = º| D |, entonces: Coeficiente de mayor grado de N V.V.(E) = –––––––––––––––––––––––––––– Coeficiente de mayor grado de D Ejemplo: Hallar el V.V. de la fracción: 2x3 + 3x2 + 3x + 7 E = –––––––––––––––– ; para x→∞ 6x3 2x2 + 5x + 1 - 84 - FORMULARIO MATEMÁTICO Sustituyendo x por ∞: 2(∞) + 3(∞) + 3(∞) + 7 ∞ E = –––––––––––––––––––– = –– 6(∞) + 2(∞) + 5(∞) + 1 ∞ Para levantar la indeterminación se divide de numerador y denominador entre la variable elevada a su mayor exponente: 2x3 3x2 3x 7 ––– + ––– + ––– + –– x3 x3 x3 x3 E = –––––––––––––––––– 6x3 2x2 5x 1 ––– + ––– + ––– + –– x3 x3 x3 x3 3 3 7 2 + –– + –– + –– 3 x x2 x–– = ––––––––––––– 2 5 1 6 + –– + –– + –– x x2 x3 Para (x + ∞): 2+0+0+0 2 1 V.V.(E) = ––––––––––– = –– = –– 6+0+0+0 6 3 C) FORMA ∞ - ∞ Cuando se presenta esta forma de indeterminación, se lleva a la forma ∞/∞ y se procede como tal. Ejemplo: Hallar el V.V. de: ___________ __ E = √2x2 + 3x + 1 - x √2 ; cuando x→∞ Sustituyendo: _____________ _ __ E = √2(∞) + 3(∞) + 1 - ∞√2 = ∞ - ∞ Para levantar esta indeterminación se multiplica y divide por la conjugada de la expresión: _________ _ __ _________ _ __ (√2x2 + 3x + 1 - x√2 )(√2x2 + 3x + 1 + x√2 ) E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– __________ __ (√2x2 + 3x + 1 + x√2 ) Efectuando: 2x2 + 3x + 1 - 2x2 3x + 1 E = –––––––––––––––––– = –––––––––––––––– –– __________ __ __________ __ √2x2 + 3x + 1 + x√2 √2x2 + 3x + 1 + x√2 Dividiendo numerador y denominador entre x: 1 3 + –– x E = –––––––––––––––––– __________ __ 3 1 2 + –– + –– + √2 x x2 Para x → ∞: __ 3 3√2 V.V. (E) = ––––– = ––––– __ 2√2 4 √ D) FORMA 0 . ∞ Cuando una expresión algebraica toma la forma 0 . ∞, su V.V. se obtiene efectuando primero las operaciones indicadas y, luego, simplificando y reemplazando x = a. Si subsiste la indeterminación, se transforma a una de las formas anteriores y se procede. Ejemplo: Hallar el verdadero valor de: 1 1 –– E = ––––– - –––– x + 3 3x - 1 para: x = 2 Procedimiento: Para x = 2, se obtiene 0 . ∞( forma indeterminada) Efectuando operaciones: 3x - 1 - x 7 E = ––––––––––– 3 ––––––––––– ––– (x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2) ( 7 –––––– ) (–––––6x - 16 ) x+ 2 2(x - 2) 7 = ––––––––––– ––– –––– ––––––– – (x + 3)(3x - 1) (x + 8)(x - 2) Simplificando (x - 2): 14 E = –––––––––––––––––– (x + 3)(3x - 1)(x + 8) para: x = 2: 14 7 V.V. (E) = –––––––––– = –––– (5) (5) (10) 125 [ [ ][ ][ ] ] CANTIDADES IMAGINARIAS CONCEPTOS DEFINICIÓN Cantidades imaginarias son las raíces de índice par de cantidades negativas: - 85 - Ejemplos: __ i) √-3 __ 6 ii) √-5 ___ _ 8 iii) √-64 UNIDAD IMAGINARIA Según la notación de Gauss: __ √-1 = i de donde: i2 = -1 Ejemplo: ___ __ _ __ _ Ejemplo: z1 = a + bi z2 = a - b i COMPLEJOS OPUESTOS Son los que tienen iguales sus partes reales e imaginarias, pero de signos contarios. Ejemplo: z1 = a + bi z2 = -a - bi REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO 1) REPRESENTACIÓN CARTESIANA y, eje imaginario √-16 = √16 . √-1 = 4i POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA __ 1) i1 = (√-1 )1 = i __ 2) i2 = (√-1 )2 = -1 3) i3 = i2 . i = -i 4) i4 = i2 . i2 = 1 5) i5 = i4 . i = i 6) i6 = i4 . i3 = -1 7) i7 = i4 . i3 = -i 8) i8 = i4 . i4 = 1 Sea: y = a + bi Unidad sobre el eje y: i Unidad sobre el eje x: 1 2) REPRESENTACIÓN POLAR O TRIGONOMÉTRICA y i{ 123 y = a + bi 1 x, eje real NÚMEROS COMPLEJOS Se llama así a un número de la forma “a + bi”, donde “a” y “b” son números reales. COMPLEJOS IGUALES Son los que tienen iguales sus partes reales e iguales sus partes imaginarias. Ejemplo: a + bi = c + di ⇔ a=c ρ b θ a x ∧ b=d ______ ρ = √a2 + b2 módulo o radio vector. b θ = arco tg –– argumento. a COMPLEJOS CONJUGADOS Son los que tienen iguales sus partes reales; e iguales, pero de signos contrarios sus partes imaginarias. - 86 - FORMULARIO MATEMÁTICO Con apoyo en la figura, la forma polar de a + bi, se calcula así: a + bi = ρ cos θ + i ρ sen θ a + bi = ρ (cos θ + i sen θ) Ejemplo: Expresar en forma polar: 8 + 6i PROCEDIMIENTO: Se sabe que: 8 + 6i = ρ (cos θ + i sen θ) Cálculo de ρ y θ: ______ ______ ρ = √a2 + b2 = √82 + 62 = 10 b 6 3 θ = arco tg –– = arco tg –– = arco tg –– = 37º a 8 4 ∴ 8 + 6i = 10 (cos37º + i sen 37º) z1 a + b (a + bi)(c - di) –– = ––––– = –––––––––––– z2 c + di (c + di)(c - di) (ac + bd) + (bc - ad) i = ––––––––––––––––––– c2 - d2i2 z1 ac + bd –– = ––––––– + bc2 - ad2 . i –––––– c2 + d2 c +d z2 ( )( ) Forma polar: z1 ρ1(cos θ1 + i sen θ1) (cos θ2 - i sen θ2) –– = –––––––––––––– ––– . ––––––––––––––– z2 ρ2(cos θ2 + i sen θ2) (cos θ2 - i sen θ2) z1 ρ1 –– = –– cos (θ1 - θ2) + i sen (θ1 - θ2) z2 ρ2 [ ] 4) POTENCIA.- Fórmula de Moivre: [ρ (cos θ + i senθ )]n = ρn (cos nθ + i sen nθ ) 5) RAÍZ n n √ρ (cos θ + i sen θ) = √ρ cos θ +n2Kπ ––––––– OPERACIONES CON COMPLEJOS 1) SUMA z1 = a + bi z2 = c + di z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i 2) MULTIPLICACIÓN (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 ∴ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i En forma polar: z1 = a + bi = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) z2 = c + di = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2) z1 . z2 = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) ρ2 (cos θ2 + i sen θ2) = ρ1 . ρ2[(cos θ1 cos θ2 - sen θ1 sen θ2) + i (sen θ1 cos θ2 + cos θ1 sen θ2) z1 . z2 = ρ1 . ρ2[ cos (θ1 + θ2) + i sen (θ1 + θ2)] 3) DIVISIÓN Dividir z1 : z2, sí: z1 = a + bi z2 = c + di _______________ __ [( ) )] + i sen θ + 2Kπ ––––––– n Donde K = 0, 1, 2, 3, …, (n - 1) ( DETERMINANTES MATRIZ Matriz es una herramienta matemática que permite, en principio, resolver ecuaciones simultáneas de primer grado. DEFINICIÓN Matriz es todo arreglo rectangular de elementos del conjunto de números reales, vectoriales, tensores, números complejos, etc. colocados en filas y en columnas perfectamente definidas. Ejemplos: i) A = [] a b c d - 87 - ii) B = [ __ 1 2 3i 5 7 √7 1/3 6 4 9 __ √2 3i ] ∆= (-) a1 ∆= b1 b2 (+) a2 diagonal secundaria = a1b2 - b1a2 DTERMINANTE DEFINICIÓN Determinante es el desarrollo de una “matriz cuadrada”; se le representa simbólicamente encerrando la matriz entre dos barras verticales. ORDEN DEL DETERMINANTE El “orden” del determinante, como es una matriz cuadrada, está expresado o por el número de “filas” o por el número de “columas” que tiene la matriz. La “matriz” es “cuadrada” cuando el número de filas es igual al número de columnas. DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN Ejemplo: -3 +5 diagonal principal = (-3)(-7) - (+2)(+5) = 21 - 10 = 11 +2 -7 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN Es el desarrollo de una matriz cuadradade 3 filas y 3 columnas. MÉTODOS PARA HALLAR EL VALOR DE UN DETERMINANTE Para determinar el valor de determinantes de 3º orden u orden superior, se utiliza la “Regla de Sarrus” o el método de “menores complementarios”. REGLA DE SARRUS a1 ∆= b1 a2 b2 1) Se repite las filas primer y segunda debajo de la tercera. 2) Se toman con signo positivo la diagonal principal y sus paralelasy con signo negativo la diagonal secundaria y sus paralelas. 3) Se efectúan las operaciones con los signos considerados. (-) ∆ = valor del determinante elementos del determinante: a1, a2, b1, b2 COLUMNAS FILAS DIAGONAL PRINCIPAL : (a1b1) y (a2b2) : (a1a2) y (b1b2) : (a1 b2) a1 a1 a2 ∆ = b1 b2 a3 b3 = b1 c1 a1 b1 a2 b2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a3 b3 (-) (-) (+) (+) (+) DIAGONAL : (b1a2) SECUNDARIA VALOR DEL DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN Es igual a la diferencia de los productos de la diagonal principal y diagonal secundaria. c1 c2 c3 - 88 - FORMULARIO MATEMÁTICO ∆ = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 - c1b2a3 - a1c2b3 - b1a2c3 Ejemplo: Desarrollar: 1 1 ∆= 4 7 2 5 8 3 -6 9 = 4 7 1 4 2 5 8 2 5 3 -6 9 3 -6 (+) (+) (+) (-) (-) (-) MENOR COMPLEMENTARIO El menor complementario de un elemento de un determinante, es otro determinante de menor orden, que resulta despúes de suprimir en el determinante los elementos que pertenecen a la fila y la columna de dicho elemento. Ejemplo: Escribir el menor complementario del elemento b2 en el siguiente determinante: a1 ∆= b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ⇒ ∆1 = a1 c1 a3 c3 ∆ = 1 . 5 . 9 + 4 . 8 . 3 + 7 . 2 . (-6) -7 . 5 . 3 - 1 . 8 . (-6) - 4 . 2 . 9 ∆ = 45 + 96 - 84 - 105 + 48 - 72 ∆ = -72 FORMA PRÁCTICA DE LA REGLA DE SARRUS ∆1 = menor complementario de ∆ del elemento b2. 1) Si la suma es par el elemento tiene signo (+). 2) Si la suma es impar el elemento tiene signo (-). Ejemplo: a1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ∆= b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 El elemento “c2” pertenece a la 3ra. fila: 3 y a la 2da. columna: 2, luego: S=3+2=5 ⇒ signo(-) con signo (+) a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 El elemento “a3” es de la 1ra. fila: 1y de la 3ra. columna: 3, luego: S=1+3=4 ⇒ signo(+) DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR MENORES COMPLEMENTARIO “ Todo determinante es igual a la suma algebraica de los productos que se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de una línea cualquiera (fila o columna) por sus respectivos menores complementarios, colocando a cada producto el signo del elemento”. con signo (-) - 89 - Ejemplo: Hallar el valor del determinante. 1 ∆= 3 9 4 4 16 2 5 25 4º Si en un determinante se multiplica o divide todos los elementos de una fila o una columna por un mismo número, el determinante queda multiplicado o dividido por este número. Sea: a1 ∆= b1 b2 a2 Desarrollandolo por menores complementarios, tomando la primera fila. 4 ∆ = (1) 16 25 5 - (4) 9 25 3 5 + (2) 9 16 3 4 Si: na1 ∆1 = nb1 ∴ ∆1 = n∆ a2 b2 ∆ = (1)(100 - 80) - (4) (75 - 45) + (2)(48 - 36) ∆ = 20 - 120 + 24 = -76 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1º Si en un determinante se cambia las filas por columnas y las columnas por filas, el valor de determinante no se altera. a1 b1 a2 b2 a1 a2 b1 b2 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIÓN Ecuación es una igualdad que contiene una o más incognitas. ∆= = 2º Si en un determinante se intercambia entre sí dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. a1 a2 a1 b1 ∆= b1 a1 ∆= b1 b2 b2 a2 =b2 b1 =a2 a2 b2 a1 CLASES DE IGUALDAD Hay dos clases de igualdad: absoluta y relativa. A) IGUALDAD ABSOLUTA Llamada también identidad o igualdad incondicional, es aquella que se verifica para cualquier valor de sus letras. Ejemplo: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + a . b B) IGUALDAD RELATIVA o ECUACIÓN Llamada también igualdad condicional, es aquella que se verifica para algunos valores particulares atribuidos a sus letras, llamadas incognitas. Ejemplo: 3x + 6 = 0 3º Si el determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante es igual a cero. a1 a2 a3 ∆= b1 b2 b3 b1 b2 b3 a1 a2 a3 ∆= b1 b2 b3 b1 b2 b3 =0 =0 se verifica sólo para: x = -2 - 90 - FORMULARIO MATEMÁTICO PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS IGUALDADES PARA LA TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES 1er. PRINCIPIO Si a ambos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo valor, la ecuación no varía. A=B 2do. PRINCIPIO Si a ambos miembros de una igualdad se le multiplica o divide por un número independiente de “x”, distinto de cero y distinto de infinito, la ecuación no varia. A=B A=B ⇔ ⇔ n ≠ 0, n ≠ ∞ 3er. PRINCIPIO Si ambos miembros de una ecuación son elevados a una misma potencia o se les extrae la misma raíz, la ecuación que resulta parcialmente es la misma. Sea: A=B Si: An = Bn n ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON INCOGNITA Son aquellas que pueden reducirse a la forma: ax + b = 0 b Solución: x = - –– a ⇔ A±n=B±n SISTEMA DE ECUACIONES Es un conjunto de dos o más ecuaciones verificadas para un mismo juego de valores de las incognitas. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES a) Compatibles: Cuando el sistema tiene soluciones. A su vez, puede ser: • Determinadas: Número de soluciones limitado. • Indeterminadas: Muchas soluciones. b) Incompatibles: Cuando el sistema no tiene ninguna solución SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Son aquellas cuyas ecuaciones son de primer grado. A.n=B.n AB –– = –– n n __ ; √A = √B n __ Ejemplo: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 entonces, se puede escribir: An - Bn = 0 Factorizando por cocientes notables: (A - B) (An-1 + An-2B + An-3B2 +… + ABn-2 + Bn-1) = 0 De esta última igualdad se obtiene, igualando, los factores a cero: A-B=0 A=B MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: PARA DOS ECUACIONES De una de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas en función de la otra y se sustituye este valor en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita. El valor de la incógnita obtenida de esta última ecuación se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y se obtiene el valor de la segunda incógnita. An-1 + An-2B + An-3B2 + …+ ABn-2 + Bn-1 = 0 (Ecuaciones introducida que da soluciones extrañas) - 91 - Ejemplo: 2x + 5y = 26 3x - 4y = -7 De (1): 26 - 5y x = –––––– 2 Sustituyendo en (2): 26 - 5y 3 . –––––– - 4y = -7 2 78 - 15y - 8y = -14 ∴ y=4 Sustituyendo en (1): 2x + 5 . 4 = 26 ∴x =3 2) MÉTODO DE IGUALACIÓN: PARA DOS ECUACIONES De las dos ecuaciones se despeja una misma incógnita en función de la otra y se iguala ambas, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita; el valor obtenido de esta última ecuación se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema y se obtiene el valor de la otra incógnita. Ejemplo: 2x + 5y = 26 3x - 4y = -7 De (1): 26 - 5y x = –––– ––– 2 De (2): -7 + 4y x = ––––––– 3 Igualando estas últimas: 26 - 5y -7 + 4y –––––– = –––––– 2 3 ∴y=4 (1) (2) (1) (2) Sustituyendo en (1): 2x + 5 . 4 = 26 ∴x=3 3) MÉTODO DE REDUCCIÓN: PARA DOS ECUACIONES Consiste en hacer que los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar en ae una desigualdad son multiplicados o divididos por un mismo número positivo, la desigualdad no varía. - 96 - FORMULARIO MATEMÁTICO a>b también: a b a . m > b . m ∨ –– > –– ; si m > 0 mm 3º Si ambos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por un mismo número negativo, la desigualdad cambia de sentido. a>b a b si n < 0 ⇒ a . n < b . n ∨ –– < –– n n 4º Si se suma miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, el resultado es una desigualdad del mismo sentido. a>b c>d ___________ a+c>b+d 5º Si se multiplica o divide miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, cuyos miembros son positivos, se obtiene una desigualdad del mismo sentido: a>b c>d –––––––––– a.c>b.d ∨ a b –– > –– c d CLASES DE DESIGUALDADES 1) ABSOLUTA Cuando se verifica para cualquier valor de sus letras. Ejemplo: (x - 3)2 + 9 > 0 2) RELATIVA O INECUACIÓN Cuando se verifica sólo para valores determinados de sus letras. Ejemplo: 5x - 9 > 11 sólo se satisface para x > 4. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son de la forma: ax ± b > 0 o: ax ± b < 0 SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN Es todo valor de la incógnita o conjunto de valores de las incógnitas que verifican la desigualdad. Las soluciones se expresan en intervalos abiertos o cerrados. 6º Si ambos miembros de una desigualdad son elevados a una misma potencia impar, el sentido de la desigualdad no varía. a>b ⇒ a2n+1 > b2n+1 INTERVALO ABIERTO Es el conjunto de soluciones limitados por los valores a y b, sin incluir estos valores: Se denota así: 〈 a, b 〉 Ejemplo: El intervalo 〈 2, 5 〉 significa que x tiene todos los valores entre 2 y 5 pero no incluye a éstos; es decir, los valores son solamente 3 y 4. 7º Si ambos miembros de una desigualdad se eleva a una misma potencia par, siendo los dos miembros negativos, se obtiene una desigualdad de signo contrario. a>b ⇔ ⇔ a2n < b2n a<0 y b<0 INTERVALO CERRADO Es el conjunto de soluciones limitados por valores a y b, incluyendo a éstos. Se representa así: [a, b] 8º Si ambos miembros de una desigualdad se les extrae una misma raíz de índice impar se obtiene una desigualdad del mismo sentido. a>b ⇔ __ 2n+1 __ 2n+1 √a > √b - 97 - Ejemplo: El intervalo [3, 8] significa que x tiene todos los valores entre 3 y 8, inclusive estos valores; es decir, los valores son 3; 4; 5; 6; 7; 8. Solución gráfica: -∞ 16 24 +∞ VALOR ABSOLUTO Se representa así: | x | y, se define: |x|= INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son de la forma: ax2 + bx + c > 0 { x si x > 0 -x si x < 0 ax2 + bx + c < 0 Se presenta 3 casos: 1er. CASO .- Cuando la inecuación es: ax2 + bx + c > 0 Se factoriza el trinomio. Suponiendo que se puede factorizar así: p(x - r1)(x - r2) > 0 Para que esta desigualdad se verifique, ambos factores o son positivos o son negativos, y las soluciones serán las siguientes: (1) si son positivos: x - r1 > 0 x - r2 > 0 (2) si son negativos: x - r1 < 0 x - r2 < 0 (1) (2) Ejemplo: Resolver: x2 - 7x + 12 > 0 Procedimiento: factorizando el trinomio: (x - 4)(x - 3) > 0 (1) si son positivos: ∴ x < r1 ∴ x < r2 ∴ x > r1 ∴ x > r2 SISTEMA DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Para resolver este sistema se sigue los siguientes pasos: (1) Se halla las soluciones de cada inecuación en forma separada. (2) Se compara, para establecer las soluciones comunes a todas las inecuaciones. (3) Se grafica, las soluciones en la recta numérica para facilitar la solución: Ejemplo: 3x ––– - 5 > 7 4 x –– + 3 > x - 9 2 PROCEDIMIENTO: Con la (1): 3x - 20 > 28 3x > 48 x > 16 No incluye al 16 Con la (2): x + 6 > 2x - 18 -x > -24 x < 24 No incluye 24 (3) x -4>0 x -3>0 (2) si son negativos: x -4<0 x -3<0 Conclusión: ∴x>4 ∴x>3 ∴x<4 ∴x<3 La solución es: x > 4 ∨ x < 3 (4) -∞ 0 34 +∞ - 98 - FORMULARIO MATEMÁTICO 2do. CASO.- La inecuación es: ax2 + bx + c < 0 Análogamente a la anterior, se factoriza, suponiendo que se puede factorizar así: (x - r1)(x - r2) < 0 Para que esta desigualdad se verifique, un factor debe ser positivo y el otro negativo y las soluciones serán las siguientes: Si: x - r1 < 0 x - r2 > 0 Si: x - r1 > 0 x - r2 < 0 Ejemplo: Resolver: x2 - 9x + 18 < 0 Procedimiento: Se factoriza el trinomio: (x - 6) (x - 3) < 0 Si: x - 6 > 0 ⇒ x-3<0 ⇒ x>6 x<3 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x < r1 x > r2 x > r1 x < r2 Ejemplo: Resolver: x2 + x + 1 > 0 PROCEDIMIENTO: Se iguala a cero: x2 + x + 1 = 0 _ __ _ __ -1 + √3 i -1 - √3 i x1 = –––––––– x2 = –––––––– 2 2 Las raíces son complejas. Por otra parte: 1 x2 + 2 (x) –– + 1 > 0 2 1 1 3 x2 + 2 (x) –– + –– + –– > 0 2 4 4 1 x + –– 2 2 () () () 3 + –– > 0 4 expresión que verifica la desigualdad absoluta. PROGRESIONES DEFINICIÓN Son sucesiones de números o términos algebraicos en las cuales cada tres términos consecutivos forma una proporción continua, que puede ser aritmética o geométrica. Si: x - 6 < 0 ⇒ x-3>0 ⇒ x<6 x>3 } } No hay solución común A) PROGRESIÓN ARITMÉTICA “P.A.” o “POR DIFERENCIA” Es una sucesión de números en la cual cada uno de ellos se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante que se llama “razón”. Sea la progresión aritmética: : t1, t2, t3, …, tn-1, tn Se denota: t1 = primer término tn = término de lugar “n” r = razón n = número de términos Solución 3<x<6 En forma de intervalo: x ε 〈 3; 6 〉 Gráficamente: -∞ 03 6 +∞ Sn = suma de “n” términos. Por definición: tn = tn-1 + r ⇒ r = tn - tn-1 3er. CASO.- Cuando la inecuación es ax2 + bx + c > 0 y tiene sus raíces complejas, solamente se verifica para ese sentido porque se trata de una desigualdad absoluta. - 99 - Una P.A. es creciente cuando la razón es positiva; es decreciente, cuando la razón es negativa. r > 0 : creciente r < 0 : decreciente PROPIEDADES 1º Términos cualquiera: tn = t1 + (n - 1) r 2º Las sumas de términos equidistantes de los extremos son iguales. Sea la P.A.: : t1, …, tp, …, tq, …, tn t1 + tn = tp + tq (a) Término central: t1 + tn tc = ––––– 2 (b) Un término cualquiera es media aritmética entre el anterior y el posterior: t1 + t3 t2 = ––––– 2 3º Suma de los “n” primeros términos: (t1 + tn)n –– Sn = –––––– 2 o: [2t1 + (n - 1)r]n Sn = –––––––––––––– 2 INTERPOLACIÓN Es la operación de hallar los términos de una progresión aritmética entre otros dos. Por ejemplo, entre a y b. Razón para interpolar: b–––– ri = ––- a m+1 Donde: “a” y “b” son términos dados de una proresión aritmética. “m” es el número de términos a colocar entre “a” y “b”. Ejemplo: Interpolar 4 medios aritméticos entre los números 5 y 20. Razón para interpolar: b-a 20 - 5 ri = ––––– = ––––– = 3 m+1 4+1 La P.A. completa será: : 5 : 8 : 11 : 14 : 17 : 20 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA “P.G.” o “POR COCIENTE” Es una sucesión de números en la cual el primero es distinto de cero y cada uno de los términos siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad constante llamada “razón”. Sea la progresión geométrica: : : t1 : t3 : … : tn-1 : tn Se denota: t1 = primer término t2 = t1 . q t3 = t2 . q tn = término de lugar “n” q = razón n = número de términos Sn = suma de “n” términos Pn = producto de “n” términos - 100 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplos: i) : : 2 : 10 : 50 : 250 Donde: q = 5 Es una progresión creciente porque q > 1. ii) : : 16 : 8 : 4 : 2 1 Donde: q = –– 2 Es una progresión decreciente porque q < 1. PROPIEDADES 1º Término cualquiera: tn = t1 . qn-1 2º El producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos: : : t1 : t2 : … : tp : … : tq : … : tn-1 : tn tp . tq = t1 . tn a) Término Central: _____ tcentral = √t1 . tn b) En una P.G. de tres términos el segundo es media geométrica entre el primero y el tercero. : : t1 : t2 : t3 ⇒ _____ t2 = √t1 . t3 5º El limite de la suma de los términos de una P.G. decreciente ilimitada es: t1 li- - 105 - GEOMETRÍA DEFINICIÓN Es la parte de la Matemática Elemental que trata de las propiedades y medidas de la extensión. La Geometría parte de ciertos conceptos primitivos dados intuitivamente, tales como: punto, recta y plano. Se divide en GEOMETRÍA PLANA Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO. 3) En un triángulo cualquiera, el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes con él. ∆ ABC: B ˆˆ α= A+B GEOMETRÍA PLANA ÁNGULOS TEOREMAS BÁSICOS 1) La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un mismo lado de una recta es 180°. Punto O: α + β + δ + θ = 180° C B β A α 0 δ θ E D ∆ ABCD: A TEOREMAS AUXILIARES TEOREMA 1.En todo cuadrilátero cóncavo, el ángulo exterior convexo, es igual a la suma de los ángulos interiores convexos: ˆ ˆˆ ˆ ADC = A + B + C B α C 2) En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a 180°. ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∆ A BC: A + B + C = 180° B A TEOREMA 2.El ángulo formado por dos bisectrices interiores de un triángulo, es igual a noventa grados más la mitad del tercer ángulo: D C A C - 106 - FORMULARIO MATEMÁTICO ∆ ABC: ˆ B– ˆ ADC = 90° + –– 2 B VALOR DE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Sean los ángulos “α”: ÁNGULO CENTRAL O D R αR A C C B α O A C α = AC ) A TEOREMA 3.- ÁNGULO INSCRITO El ángulo formado por dos bisectrices exteriores de un triángulo es igual a noventa grados, menos la mitad del tercer ángulo. ˆ A δ = 90° - –– – 2 α = AC ––– 2 ) ÁNGULO INTERIOR B α D Α D ÁNGULO EXTERIOR B ββ A O D ÁNGULO SEMI-INSCRITO B O D A α C C α α = AD - BC –––––– –– 2 C α = AD + BC –––––– –– 2 )) B α α δ A TEOREMA 4.- )) C El ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior de un triángulo es igual a la mitad del tercer ángulo. ˆ B– δ = –– 2 AB α = ––– 2 tangente ) B δ ÁNGULO EXINSCRITO B parte de secante A α α ββ C D O A α ABD α = ––– –– 2 ) - 107 - DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA “Es la longitud de la perpendicular trazada desde el punto a la recta”. A A B ortocentro h C H X B X’ TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL Es el triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo dado. B P N α β O δ AB: distancia de “A” a XX´ TRIÁNGULOS LÍNEAS PRINCIPALES DEL TRIÁNGULO Son cuatro las líneas principales: Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz. 1) ALTURA Es la distancia de un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Las ALTURAS se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior; si es obtusángulo es exterior; pero si es rectángulo, es el punto de intersección de los catetos. B E F A M C α , β y δ : ángulos del triángulo órtico. “O” es el incentro del triángulo órtico. ∆ MNP: órtico o pedal Donde se cumple: α = 180° - 2C ortocentro β = 180° - 2A A A D E h1 B h2 D O ortocentro 2)MEDIANA Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. C δ = 180° - 2B NOTA.C En el triángulo rectángulo no se puede formar el triángulo órtico. F h - 108 - FORMULARIO MATEMÁTICO B c –– 2 2 c –– 2 O 1 A b –– 2 D b –– 2 C a –– 2 Baricentro a –– 2 B A O A C B C O B O: CIRCUNCENTROS A O C Las MEDIANAS se intersectan en un punto llamado BARICENTRO o CENTRO DE GRAVEDAD del triángulo, este punto tiene la propiedad de dividir a cada una de las medianas en la relación de dos es a uno. Por consiguiente, se cumple que: OB 2 –––– = –– OD 1 2 OB = –– BD 3 1 OD = –– BD 3 4) BISECTRIZ Es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos parciales iguales. Las BISECTRICES de un triángulo se cortan en un punto “O” llamado INCENTRO por ser el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. B TEOREMA.- En todo triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esa hipotenusa. AC h DB = ––– = –– 2 2 B A Mediana Incentro O C A h –– 2 D h –– 2 C EXCENTRO.- Es el punto “O” de intersección de una bisectriz interior con dos bisectrices exteriores relativas a los otros dos ángulos de un triángulo. El excentro es el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo. B Excentro O A C 3) MEDIATRIZ Es la perpendicular trazada desde el punto medio del lado de un triángulo. Las MEDIATRICES se cortan en un punto llamado CIRCUNCENTRO por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Cuando el triángulo es acutángulo, el CIRCUNCENTRO es interior, si es obtusángulo es exterior, pero si es rectángulo, es el punto medio de la hipotenusa. - 109 - NOTA SOBRE LA SITUACIÓN DE ALGUNOS PUNTOS. LA RECTA DE EULER. 1.- EL CIRCUNCENTRO equidista de los vértices del triángulo. 2.- EL INCENTRO equidista de los lados del triángulo. 3.- El EXCENTRO equidista de los lados del triángulo. RECTA DE EULER.En todo triángulo, excepto en el equilátero, el “ortocentro”, el “baricentro” y el “circuncentro” están situados en línea recta (recta de Euler) y la distancia del ortocentro al baricentro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro. OBC: recta de Euler OB = 2BC O: Ortocentro B: Baricentro C: Circuncentro 1er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre éstos es igual. 2do. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a estos, respectivamente iguales. 3er. Caso.- Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados respectivamente iguales. TEOREMAS DERIVADOS DE LA IGUALDAD DE TRIÁNGULOS En virtud de la igualdad de triángulos, se demuestra los siguientes teoremas: TEOREMA 1.Si por el punto medio del lado de un triángulo, se traza una paralela a otro lado, dicha paralela pasará por el punto medio del tercer lado y su longitud será igual a la mitad del lado al que es paralelo. Si M = punto medio de AB y MN // AC ⇒ N = punto medio de BC B N M N A C AC MN = –––– 2 B O M C TEOREMA 2.- P El “baricentro” o “Centro de Gravedad” de un triángulo divide a cada una de las medianas en la relación dos es a uno. B E O A D C F C.G. IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Para determinar la igualdad de dos triángulos, bastará establecer la igualdad de tres elementos, a condición de incluir en ellos, por lo menos un lado. Si esta última cláusula no se cumple, se llegará sólo a la semejanza de triángulos. - 110 - FORMULARIO MATEMÁTICO OA OB OC 2 ∆ ABC: ––– = ––– = ––– = –– OF OD OE 1 TEOREMA 3.En cualquier trapecio, la mediana es igual a la semisuma de las bases; y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las bases. A M E D DC + AB MN = –––––––– 2 F C B N Si: MN // AC B ⇒ ∆ ABC ∼ ∆ MBN M A Luego: N C AB BC AC ––– = ––– = ––– BM BN MN TEOREMA DE MENELAO Toda recta que corta a los tres lados de un triángulo determina en estos, seis segmentos; siendo el producto de tres de ellos no consecutivos igual al producto de los otros tres. B F DC EF = ––– - AB ––––– 2 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales, y sus elementos homólogos son proporcionales. Se llama elementos homólogos a a quellos que se oponen a ángulos iguales, comparando ambos triángulos. Los casos generales de semejanza de triángulos son: 1er. Caso.- Cuando tienen sus 3 ángulos iguales. 2do. Caso.- Cuando tienen un ángulo igual, comprendido entre lados proporcionales. 3er. Caso.- Cuando tienen sus lados respectivamente proporcionales. TEOREMAS DERIVADOS DE LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TEOREMA DE THALES Toda recta, paralela al lado de un triángulo y que corta a los otros dos lados, determina un triángulo parcial, semejante al total y recíprocamente. A D A E C D ∆ ABC: AF . BE . CD = BF . CE . AD FD: recta que corta a los tres lados. TEOREMA DE CEVA Las rectas que pasan por los vértices de un triángulo y son concurrentes, determinan en los lados de éste, seis segmentos; siendo el producto de tres de ellos no consecutivos igual al producto de los otros tres. B E F C ∆ ABC: AD. BE . CF = BD . CE . AF - 111 - RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En cualquier triángulo rectángulo, se cumple las siguientes propiedades: 1° La altura relativa a la hipotenusa, es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ésta. 2° Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta. 3° La suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa; es el teorema de Pitágoras. 4° El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura relativa a ésta. B c h A C a A c 1 1 1 –– = –– + –– h2 a2 c2 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 1er caso.- En todo triángulo acutángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de éstos por la proyecciòn del otro sobre el que se ha tomado. B a p H b m C m 1° 2° b H n ∆ ABC: ∆ ABC: a2 = b2 + c2 - 2bp c2 = a2 + b2 - 2bm h2 = mn a2 = bn c = bm 2 3° 4º TEOREMA.- a2 + c2 = b2 ac = bh 2do. Caso.- En todo triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado que se opone al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de unos de éstos por la proyección del otro sobre el que se ha tomado. B a c En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos. B c h a H p A b C ∆ ABC: TEOREMA.- a2 = b2 + c2 + 2bp A b H C Conocidos los tres lados de un triángulo: a, b y c siendo “a” el lado mayor, el triángulo será rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente, si: - 112 - FORMULARIO MATEMÁTICO 1) 2) 3) a2 = b2 + c2 a2 < b2 + c2 a2 > b2 + c2 ∆ rectángulo ∆ acutángulo ∆ obtusángulo A ∆ ABC: E B F C D RELACIÓN DE LADOS CON LA MEDIANA En un triángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de los lados que concurren en el vértice de donde parte la mediana, es igual al doble del cuadrado de dicha mediana, más la mitad del cuadrado del tercer lado. B c a 3 AF2 + BD2 + CE2 = –– (AB2 + BC2 +AC2) 4 RELACIÓN DE LADOS CON ÁNGULOS : 30º, 60º, 45º 1.- En todo triángulo rectángulo de ángulos 30º y 60º, se cumple: a.- El cateto que se opone a 30º es igual a la mitad de la hipotenusa. A b __ 2 2 2 M b __ 2 C b.- El cateto que se opone a 60º es igual a la mitad de la hipotenusa por la raíz cuadrada de 3. ∆ ABC: 30º - 60º - 90º A 60º ––– b2 ∆ ABC: a + c = 2BM 2 + –– 2 TEOREMA AUXILIAR.En un triángulo, la diferencia de los cuadrados de los lados que concurren en el vértice de donde parte la mediana, es igual al doble producto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre éste. B c a 30º B a) AC AB = ––– 2 __ AC√ 3 BC = –––––– 2 C b) A C b __ 2 b HpM __ 2 2.- En todo triángulo rectángulo isósceles, cada cateto es igual a la mitad de la hipotenusa por la raíz cuadrada de 2. A 45º ∆ ABC: a2 – c2 = 2bp TEOREMA.En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las tres medianas es igual a tres cuartos de la suma de los cuadrados de los lados. B 45º C - 113 - ∆ ABC: 45º - 45º - 90º __ AC √ 2 AB = BC = ––––––– 2 3.- En un triángulo rectángulo de ángulos 15º y 75º, la altura relativa a la hipotenusa es la cuarta parte de dicha hipotenusa. ∆ ABC: 15º - 75º - 90º B c h A 75º b b h = –– 4 NOTA.Cuando se tenga ángulos de 120º, 135º o 150º, es preferible trabajar con el suplemento: 60º, 45º o 30º; de modo que éste sea el ángulo de un triángulo rectángulo convenientemente construido, al cual se le aplica los teoremas vistos anteriormente, así: ∆ BEC: 30º - 60º - 90º E A c 15º C a A c B αα a m D n C cm ∆ ABC: –– = –– a n 2do. Caso: BISECTRIZ EXTERIOR La bisectriz exterior de un triángulo, determina en el lado opuesto, segementos proporcionales a los lados que forman el vértice de donde parte esa bisectriz. cm ∆ ABC: –– = –– a n B α αa C m RELACIÓN DE LADOS CON BISECTRIZ 1er. Caso: En un triángulo cualquiera, la bisectriz interior elevada al cuadrado, es igual al producto de los lados que forman el vértice de donde parte dicha bisectriz, menos el producto de los segmentos determinados por esa bisectriz en el tercer lado. B n D B A 60º 120º 30º C c m αα a n A RELACIÓN DE LADOS CON SEGMENTOS DETERMINADOS POR LA BISECTRIZ 1er. Caso: BISECTRIZ INTERIOR En un triángulo cualquiera, la bisectriz interior determina en el lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados que forman el vértice de donde parte dicha bisectriz. b _2 __ ∆ ABC: BD = a . c – m . n 2do. Caso.- En todo triángulo, la bisectriz exterior elevada al cuadrado, es igual al producto de los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado opuesto menos el producto de los lados que forman el vértice de donde parte esa bisectriz. D C - 114 - FORMULARIO MATEMÁTICO B c A b α α a C m n D POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS Las posiciones relativas de dos circunferencias son: Exteriores, Interiores, Tangentes (exteriores e interiores), Secantes y Concéntricas. EXTERIORES R O ___2 ∆ ABC: BD = m . n - a . c r O’ OO’ > R + r RELACIÓN DE LADOS EN DESIGUALDAD En un triángulo, debe cumplirse que un lado es menor que la suma de los otros dos lados pero mayor que su diferencia. B O O’ INTERIORES OO’ < R - r c a TANGENTES EXTERIORES A b ∆ ABC: b - c < a < b + c C R O r O’ OO’ = R + r TEOREMA.Toda línea poligonal envuelta es menor que la línea poligonal envolvente que tiene los mismos extremos que aquella. C D TANGENTES INTERIORES O O’ OO’ = R - r SECANTES B A G A F E R O O’ R - r < OO’ < R + r r Además: AB = cuerda común AB ⊥ OO’ AM = BM M B AG + GF + FE < AB + BC + CD + DE Envuelta < Envolvente CIRCUNFERENCIA Circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos son todos equidistantes de otro que se llama centro, situado en el mismo plano. Más formalmente, es el lugar Geométrico de todos los puntos que equidistan de otro punto llamado centro. CONCENTRICAS OO’ r R OO’ = cero - 115 - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES Son dos circunferencias secantes cuyos radios son perpendiculares entre sí en los puntos de intersección. B C O A A O’ R B CUADRILÁTERO INSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA Es todo cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a la circunferencia y se cumple que los ángulos opuestos son suplementarios. C B O A D r R^ r D O ABCD: AB + CD = BC + AD CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIPTIBLE A UNA CIRCUNFERENCIA Es el cuadrilátero cuyos lados pueden ser tangentes a la circunferencia, sólo será posible si la suma de los lados opuestos son iguales. Por ejemplo: El cuadrado y el rombo son circunscriptibles. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES TEOREMA 1.Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia, son iguales. B O C AB = AC TEOREMA 2.A ABCD: ˆ ˆ B + D = 180º ˆ ˆ A + C = 180º CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE A UNA CIRCUNFERENCIA Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una circunferencia, si y sólo si su ángulos opuestos son suplementarios. Por ejemplo: El cuadrado y el rectángulo. CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA Es todo cuadrilátero cuyos lados son tangentes a la circunferencia. En estos cuadriláteros se cumple que la suma de los lados opuestos son iguales. Las tangentes comunes interiores a dos circunferencias, son iguales. A D O B C AB = CD TEOREMA 3.Las tangentes comunes exteriores a dos circunferencias, son iguales. O’ - 116 - FORMULARIO MATEMÁTICO A B O D AB = CD ∆ ABC: TEOREMAS FUNDAMENTALES EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA 1.En todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa más el diámetro de la circunferencia inscrita al triángulo. B c a o: O’ C A B E O C D 2p = 2AE = 2AD p = AE = AD donde: 2p = perímetro p = semiperímetro LÍNEAS PROPORCIONALES EN EL CÍRCULO Se presentan tres propiedades o teoremas: TEOREMA 1.Si dos cuerdas se cortan dentro de un círculo, el producto de los dos segmentos de una, es igual al producto de los dos segmentos de la otra. C b C B r A ∆ ABC: TEOREMA 2.En todo triángulo, el producto de dos lados es igual al producto de la altura relativa al tercero por el diámetro de la circunferencia circunscrita. B c h A H a OR C a + c = b + 2r O A D Punto E: AE . EB = CE . DE TEOREMA 2.Si desde un punto exterior a un círculo se traza a él una secante y una tangente, la tangente es media proporcional entre la secante y su parte externa. Punto A: B AB2 = AD . AC A ∆ ABC: TEOREMA 3.- a . c = h . 2R O C D El triángulo exinscrito a una circunferencia, tiene por perímetro el doble de una de las tangentes de los lados prolongados, excepto el lado tangente. - 117 - TEOREMA 3.Si desde un punto exterior a un círculo, se traza dos o más secantes, el producto de una de ellas y su parte externa es igual al producto de la otra y su parte externa. C O E D Punto A: AC . AB = AD . AE B POTENCIA DE UN PUNTO Se define potencia de un punto, con relación a una circunferencia de centro O, a cualquiera de las siguientes afirmaciones: 1.- Al cuadrado de la tangente trazada desde ese punto. B A rO C d B E A O B A Potencia E(0) = AE . BE La forma general de potencia se expresa en función de la distancia “d” del punto al centro y del radio “r” de la circunferencia. A Potencia A(0) = d2 - r2 OBSERVACIONES SOBRE LA POTENCIA DE UN PUNTO 1.- Cuando el punto es exterior, su potencia es positiva, ya que: d > r. 2.- Cuando el punto es interno, su potencia es negativa, ya que: d < r. 3.- Cuando el punto está en la circunferencia, su potencia es nula, porque: d = r. O __ 2 _ Potencia A(0) = AB 2.- El producto de la secante (trazada desde ese punto) y su parte externa. B LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico es un sistema de puntos o conjuntos de puntos que tienen una misma propiedad. La mediatriz de un segmento de recta, la bisectriz de un ángulo convexo, la circunferencia, etc., son casos de lugares geométricos. EJE RADICAL C O A Potencia A(0) = AC . AB 3.- Al producto de los segmentos en que dicho punto divide a una cuerda. Es el lugar geométrico de los puntos que tiene igual potencia con relación a dos circunferencias dadas. El eje radical es una línea recta perpendicular a la línea que une los centros. - 118 - FORMULARIO MATEMÁTICO POSICIONES DEL EJE RADICAL Cuando las circunferencias son: SECANTES A O O’ Nótese que si las circunferencias son concéntricas, no hay eje radical. PROPIEDADES DEL EJE RADICAL 1º El eje radical de dos circunferencias exteriores está más cerca al centro de la menor que al de la mayor. 2º El eje radical de dos circunferencias es el Lugar Geométrico de los puntos, desde el cual se puede trazar a las dos circunferencias, tangentes iguales. 3º El eje radical de dos circunferencias pasa por los puntos medios de las tangentes comunes. OBSERVACIÓN: En las propiedades 2º y 3º, hay que considerar las posiciones de las dos circunferencias, a las cuales se les puede trazar tangentes comunes inferiores o exteriores. CENTRO RADICAL B E.R. cuerda común AB TANGENTES EXTERIORMENTE E.R. T.C. O O’ E.R. tangente común TANGENTES INTERIORMENTE E.R. O O’ Es el punto de intersección de los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas de dos en dos. Los centros de las circunferencias no están en línea recta. P = Centro Radical e3 O P O’ E.R. tangente común EXTERIORES E.R. T.C. O’ e1 O” e2 O El centro radical, es el punto desde el cual se puede trazar a las tres circunferencias, tangentes iguales entre sí, y es el centro de circunferencia ortogonal a los tres. No se cumple si las tres son secantes, entre otras posibilidades. MEDIA Y EXTREMA RAZÓN DE UN SEGMENTO O SECCIÓN AÚREA Un segmento está dividido en media y extrema razón, por un punto, si la parte mayor es media proporcional entre la parte menor y el segmento total. Es decir: INTERIORES E.R. O O’ - 119 - TEOREMA.AB2 = AC . BC A B C Los pies de las bisectrices interior y exterior de un triángulo son los conjugados armónicos de los vértices del lado respectivo. Se cumple: AD AE ––– = ––– DC CE A la parte AB, se le llama sección áurea o segmento áureo, cuyo valor es: __ AC (√5 - 1 ) AB = ––– ––––––––– 2 El número áureo es: __ α ββα A D C E B √5 - 1 n = –––––– 2 ⇒ AB = AC . n DIVISIÓN ARMÓNICA DE UN SEGMENTO Se dice que un segmento “AB” está dividido armónicamente por dos puntos (C y D) tal que uno “C” le pertenece y otro “D” está en su prolongación, si se cumple que: AB AD ––– = ––– BC BD POLÍGONOS DEFINICIÓN Y CONCEPTOS Son las figuras geométricas formadas por un conjunto de segmentos de recta uno a continuación de otro, en un mismo plano, llamados lados que cierran una “región” o área. El punto común de dos segmentos consecutivos se llama vértice. Los polígonos pueden ser: regulares e irregulares. Son regulares aquellos que tienen sus ángulos iguales, lados iguales y son siempre inscriptibles y circuncriptibles a una circunferencia. Los irregulares, no cumplen estas condiciones. ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES 360º αn = –––– n Si = 180º (n - 2) ˆ 180º (n - 2) i = –––––––––– n n (n - 2) ND = ––––––– 2 A B C D A los puntos: A, B, C y D se les llama: “cuaterna armónica”; siendo C y D los conjugados armónicos de A y B. HAZ ARMÓNICO Es todo sistema de cuatro rectas concurrentes que pasan por una cuaterna armónica. OA, OM, OB, ON: rayos del haz. OM y ON: rayos conjugados respecto de OA y OB, recíprocamente. O A M B N SE = 360º - 120 - FORMULARIO MATEMÁTICO B Ln/2 H Ap A R r ˆ i E αn O R Ln VALOR DE LOS ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES Angulos centrales, lados, apotemas y áreas de los polígonos regulares en función del radio de la circunferencia circunscrita. C TRIÁNGULO EQUILATERO: B l R D A O P α R C O = centro de la circunferencias inscrita y circunscrita. αn = ángulo central n = número de lados Si = suma de ángulos internos i = ángulos interior Ln = longitud del lado del polígono ND = número total de diagonales R r = radio de la circunferencia circunscrita = radio de la circunferencia inscrita = Ap α = 120º __ l = R√3 R Ap = –– 2 __ 3R2√3 S = –––––– 4 CUADRADO: A O Ap D P C l R α B SE = suma de ángulos exteriores Ap = apotema = r n-2 = número de triángulos que se pueden trazar desde un solo vértice. n-3 = número de diagonales que se puede trazar desde un solo vértice. CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS IRREGULARES Si = 180º (n - 2) SE = 360º n (n - 3) ND = –––––––– 2 α = 90º __ l = R√2 __ R√2 Ap = ––––– 2 S = 2R2 - 121 - PENTÁGONO: B l A α O H C OCTÁGONO B A α P C O D E P D G F E α = 72º ___ ______ __ R 10 - 2√5 l = –––––––––––– 2 ________ _ __ √ α = 45º _______ _ __ l = R 2 - √2 ________ __ R 2 + √2 Ap = –––– –––––––– 2 __ S = 2R2 √2 DECÁGONO √ Ap = R 6 + 2√5 –––––––– –– –– 4 __ ________ __ 2 5R 10 + 2√5 S = ––––––––––––––– 8 √ √ √ EXÁGONO A B R A O P F α = 60º l=R __ R√3 Ap = ––––– 2 __ 3R2 √3 S = ––––––– 2 E α D C J I O B C D α E P H G F α = 36º __ R (√5 - 1) l = ––––––––––– 2 _________ _ __ R 10 + 2√5 Ap= –––––––––––– 4 __ ________ __ 5R2 10 - 2√5 S = ––––––––––––––– 4 √ √ - 122 - FORMULARIO MATEMÁTICO DODECÁGONO: B A L K J P I H G O α R C D E F ______ _ 2 ∆ ABC: l5 = √l2 + l10 6 3.- El área de un polígono regular se puede calcular así: Sn = pn . Apn Donde: “pn”, el semiperímetro y “Apn” la apotema, del polígono de “n” lados. α = 30º _______ _ __ l=R 2 - CONCLUSIONES SOBRE LOS POLÍGONOS REGULARES 1º El ángulo exterior de un polígono regular y el ángulo central son iguales. 2º El ángulo interior de un polígono regular y el ángulo central son suplementarios. 3º De dos o más polìgonos regulares, el que tiene más lados, posee menor ángulo central. 4º Un triángulo isósceles puede ser el elemento de un polígono regular, siempre que su ángulo desigual sea un divisor de 360º; siendo el cociente obtenido el número de lados del polígono. En ese triángulo se cumplirá: a.- El ángulo desigual es el ángulo central del polígono. b.- El vértice del ángulo desigual es el centro de la circunferencia circunscrita al polígono. c.- Los lados iguales son los radios de la circunferencia circunscrita al polígono. √ √3 ________ __ R 2 + √3 Ap = –––– –––––––– 2 √ S = 3R2 LEYENDA GENERAL: α = ángulo central l = lado Ap = Apotema = OP S = superficie = área NOTAS.1.- El lado del decágono regular, es la sección áurea de un radio que se encuentra dividido en media y extrema razón. __ R(√5 - 1 ) l10 = –––––––––– 2 2.- El lado del pentágono regular es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son el lado del exágono regular y el lado del decágono regular. d.- La altura relativa a la base es el apotema del polígono. e.- La base o lado desigual es el lado del polígono regular. B α R Apn A H Ln C R - 123 - ÁREA DE LAS REGIONES PLANAS REGIÓN Es un espacio plano llamado “área” limitado por segmentos rectilíneos llamados “lados”. ÁREA DE TRIÁNGULOS c FÓRMULA BÁSICA b B h A b O TRIÁNGULO EQUILATERO: B l l __ l2 . √3 S = –––––– 4 R C B C A S = b .–– –––h 2 A EN FUNCIÓN DEL RADIO EXINSCRITO “R” S = R (p - AC) EN FUNCIÓN DEL RADIO CIRCUNSCRITO “R”: B a OR C a.b.c S = ––––––– 4R A l C EN FUNCIÓN DE LOS RADIOS INSCRITO “r” Y EX-INSCRITOS _______ S = √rR1R2R3 B R3 O r R1 EN FUNCIÓN DEL SEMIPERÍMETRO “p”: B c A b _________________ S = √p(p - a)(p - b)(p - c) a+b+c Donde: p = –––––––– 2 EN FUNCIÓN DE RADIO INSCRITO “r”: B c r A b a+b+c Donde: p = –––––––– 2 C a S=p.r a C A R2 LEYENDA: S = superficie o área B = base (un lado) H = altura L = lado P = semiperímetro 2p = perímetro C R = radio del círculo circunscrito r = radio del círculo inscrito a, b, c = lados del triángulo - 124 - FORMULARIO MATEMÁTICO RELACIÓN DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS 1.- Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son entre sí como las bases respectivas. B z y x M y N z S∆ ABC AC ––––––––––– = ––– S∆ DEF DE B F h A C D E x C A P PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS 1º TEOREMA DE EULER En todo cuadrilátero, la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales, más cuatro veces el cuadrado del segmento que une los puntos medios de las diagonales. 2 2 a2 + b2 + c2 + d2 = d1 + d2 + 4MN2 2.- Si dos triángulos son semejantes, sus áreas son entre sí como los cuadrados de sus elementos homólogos. S ∆ ABC a2 b2 c2 ––––––––– = ––– = ––– = ––– S ∆ DEF d2 e2 f2 B f c A a D b C e F E d B a A d1 M b N d C c d2 D 2º TEOREMA DE PTOLOMEO (1) En todo ccuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las diagonales. B C AB . CD + BC . AD = AC . BD A D 3.- Si dos triángulos tienen un ángulo igual (común) o suplementario, sus áreas son entre sí como los productos de los lados que forman ese ángulo igual (común) o suplementario. S ∆ ABC ––––––––– = AB . AC ––––––– S ∆ MBN BM . BN B N A TEOREMA.El área del triángulo cuyos lados son medianas de un triángulo dado, es igual a los tres cuartos de área del triángulo dado. 3 S ∆ MNP = –– S ∆ ABC 4 M α CA B β N C M 3º TEOREMA DE PTOLOMEO (2) En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible a una circunferencia, las diagonales son entre sí, como la suma de los productos de los lados que concurren en los vértices que forman las respectivas diagonales. B C AC AB . AD + BC . CD ––– = ––––––––––––––––– BD AB . BC + AD . CD A D - 125 - 4º En todo cuadrilátero, si se une consecutivamente los puntos medios de los lados del cuadrilátero, se formará siempre un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrilátero. S S ABCD MNPQ = ––––––––––– 2 N B M A P D C B1 a1 α A1 b1 β S1 C1 c1 δ d1 D1 (1) Los elementos homólogos son proporcionales. a b c d AC –– = –– = –– = –– = ––––– a1 b1 c1 d1 A1C1 (2) Las áreas son entre sí, como los cuadrados de los elementos homólogos. S a2 b2 c2 d2 –– = –– = –– = –– = –– 2 2 2 S1 a2 b1 c1 d1 1 Q 5º En todo trapecio, si se une el punto de un lado no paralelo, con los vértices del otro lado no paralelo, se formará un triángulo cuya área es la mitad del área del trapecio. S ABCD S ∆ CMD = ––––––––––– 2 B M O A SEMEJANZA DE POLÍGONOS Para que dos polígonos del mismo número de lados sean semejantes, debe cumplirse dos condiciones: 1.- Que tengan sus ángulos respectivamente iguales. 2.- Que se les pueda descomponer en el mismo número de triángulos semejantes. Satisfechas estas condiciones de semejanza, las relaciones métricas de dos polígonos semejantes son: B a b β S α A d c R δ D A O S C O D C ÁREAS DE LAS REGIONES CURVAS CÍRCULO: S = πR2 R s A πD2 S = –––– 4 D = diámetro SECTOR CIRCULAR: A α S B απR2 SsecAOB = –––– 360º α = ángulo central SEGMENTO CIRCULAR: Sseg = SsecAOB - S ∆ AOB R B - 126 - FORMULARIO MATEMÁTICO * Tres caras o planos: CORONA CIRCULAR: ASB = a ; BSC = b ; ASC = c * Tres diedros o aristas: SO r R B A S = π (R2 - r2) π (D2 - d2) S = ––––––––– 4 SA ; SB: SC ( o simplemente A; B; C) * Un vértice: El punto “S” donde concurren las tres caras o las tres aristas. TEOREMA 1.d = diámetro interior TRAPECIO CIRCULAR RS α O 2 2 S = πR –– - –– α –––α πr ––– 360º 360º D = diámetro exterior En todo triedro, una cara debe ser mayor que la diferencia de las otras dos, pero menor que la suma de las mismas. b–c<a<b+c TEOREMA 2.En todo triedro, la suma de sus caras es mayor que cero grados, pero menor que cuatro rectos 0<a+b+c<2π Este teorema es aplicable también para todos los ángulos poliedros distintos al triedro. TEOREMA 3.En todo driedro, la suma de los ángulos diedros es mayor que dos rectos, pero menor que seis rectos. π<A+B+C<3π S r πα(R2 - r2) S = –––––––––– 360º LEYENDA: S = superficie o área S ∆ = superficie o área del triángulo S R r = superficie o área del cuadrilátero = radio exterior = radio interior D = diámetro exterior d = diámetro interior Ssec = superficie o área del sector circular Sseg = superficie o área del segmento circular a A c B b C GEOMETRÍA DEL ESPACIO TEOREMAS FUNDAMENTALES ÁNGULO TRIEDRO O simplemente TRIEDRO, es un ángulo poliedro de tres caras. Sus elementos son: POLIEDROS Poliedro es un sólido limitado por planos, que al cortarse y limitarse determinan sus caras, sus aristas y sus vértices. - 127 - TEOREMA DE EULER TEOREMA 1.En todo poliedro, el número de aristas más dos, es igual al número de vértices más el número de caras. #A+2= #V + #C TEOREMA 2.En todo poliedro, la suma de los ángulos formados en los vértices por las aristas, es igual a tantas veces cuatro rectos, como número de vértices tiene el poliedro menos dos. S = 2 π ( # V – 2) 3) OCTAEDRO REGULAR Es el poliedro regular formado por ocho caras iguales que son triángulos equiláteros unidos por los vértices de cuatro en cuatro. POLIEDRO REGULAR Es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y cuyos ángulos poliedros son todos iguales. Los poliedros regulares son sólo cinco: Tetraedro regular, Exaedro regular o cubo, Octaedro regular, Dodecaedro regular e Icosaedro regular. 1) TETRAEDRO REGULAR Es el poliedro regular formado por cuatro caras iguales que son triángulos equiláteros unidos por los vértices de tres en tres. 4) DODECAEDRO REGULAR Es el poliedro regular formado por doce caras iguales que son pentágonos regulares, unidos por los vértices de tres en tres. 2) EXAEDRO REGULAR O CUBO Poliedro regular formado por seis caras iguales, que son cuadradas, unidas por los vértices de tres en tres. 5) ICOSAEDRO REGULAR Es el poliedro regular formado por veinte caras iguales que son triángulos equiláteros unidos por los vértices de cinco en cinco. - 128 - FORMULARIO MATEMÁTICO B A C h F Sb E PRISMA Es un poliedro, dos de cuyas caras son paralelas llamadas bases (iguales) y cuyas otras caras son paralelogramos (caras laterales). ALTURA DE UN PRISMA Es la longitud de la perpendicular común a las bases. PRISMA RECTO Es aquel cuyas aristales laterales son perpendiculares a las bases. PRISMA OBLICUO Es aquel cuyas aristas son oblicuas a las bases. PRISMA REGULAR Un prisma es regular cuando tienen polígonos regulares por bases y sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. SECCIÓN RECTA (SR) Es la sección determinada por un plano perpendicular a las aristas laterales. PARALELEPIPEDO RECTÁNGULAR CÁLCULO DE LOS ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS PRISMA RECTO SL = 2p . h ST = SL + 2Sb V = Sb . h V = Sb . arista lateral SL = 2xy + 2xz ST = 2xy + 2xz + 2yz V = xyz ______ _____ d = √x2 + y2 + z2 Es todo paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulares. Sb E D M N SR P F h A C B PRISMA OBLICUO SL = 2pSR . arista lateral ST = SpL + 25b V = Sb . h V = SSR . arista lateral D - 129 - SL = Suma de áreas de caras laterales d z x CUBO ST = SL + Sb + S1 y a+b+c V = Sb . –––––––– 3 TRONCO DE UN PRISMA OBLICUO Es aquel cuyas aristas laterales son oblícuas a las bases, sus caras laterales son trapecios, sus bases polígonos cualesquiera y desiguales. C B a a SL = 4a2 ST = 6a2 V = a3 d TRONCO DE PRISMA Es la parte de un prisma comprendida entre una base y un plano no paralelo a las bases. TRONCO DE UN PRISMA RECTO Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a la base principal y sus caras laterales son trapecios rectángulares, siendo sus bases polìgonos cualesquiera y desiguales. B C S1 cD A Sb E b F __ = a√ 3 A SL = Suma de caras laterales ST = SL + S1 + S2 AB + FC + ED V = SSR . –––––––––––– 3 h1 + h2 + h3 V = S2 . –––––––––– 3 PIRÁMIDE Es un poliedro en el que una de las caras, llamada base, es un polígono cualquiera y las otras caras (laterales) son triángulos que tienen un vértice común. ALTURA Es la distancia del vértice de la pirámide, a la base. PIRÁMIDE REGULAR Es aquella cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. M F S2 SR h3 N E h1 P S1 h2 D a d a - 130 - FORMULARIO MATEMÁTICO La altura de una pirámide regular pasa por el centro de la circunferencia inscrita o circunscrita a la base de la pirámide. APOTEMA DE LA PIRÁMIDE REGULAR Es la altura de los triángulos isósceles que forman sus caras laterales. A ST = SL + Sb Sb . h V = ––––– 3 SEMEJANZA DE PIRÁMIDES Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a la base se obtiene una pirámide pequeña, adyacente y semejante a la total, y recìprocamente, entonces: A V1 h1 E H B Sb D h E h Sb B C SL = p . Ap ST = SL + Sb Sb . h V = ––––– 3 PIRÁMIDE IRREGULAR Ap D F S1 C 1.- Las áreas de sus bases son entre sí como los cuadrados de los elementos homólogos. S1 h2 AF2 AH2 FH2 ––– = ––– = –––– = –––– = –––– Sb h2 AB2 AC2 BC2 2.- Sus volúmenes son entre sí, como los cubos de sus elementos homólogos. V1 h3 AF3 AH3 ––– = ––– = –––– = –––– V h3 AB3 AC3 Es una pirámide cuya base es un polígono irregular y las caras laterales son triángulos desiguales. NOTA.Si la pirámide es irregular, pero sus aristas laterales son iguales, la altura pasará por el centro de la circunferencia circunscrita a la base. A TRONCO DE PIRÁMIDE Es la parte de una pirámide comprendida entre la base y una sección determinada por un plano paralelo o no a la base. Esta sección y la base son denominadas bases del tronco; siendo las caras laterales, trapecios. ALTURA DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE C Es la longitud de la perpendicular trazada de una base a la otra. E D H Sb B - 131 - Los troncos de pirámides pueden ser regulares o irregulares. TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR Se llama así, cuando sus bases son polígonos regulares y paralelos, y sus caras laterales son trapecios isósceles e iguales. APOTEMA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR Es la altura de los trapecios que forman las caras laterales y une los puntos medios de las bases de estos trapecios. S1 Ap h Sb h M ST = SL + S1 + Sb _____ h S1 + Sb + √S1 . Sb V = –––––––––––––––––– 3 ( ) EL CONO Se llama cono a todo sólido limitado por una superficie cónica y por la sección del plano que corta a todas las generatrices de la superficie cónica, determinándose la base del cono. DEFINICIONES ALTURA DE UN CONO Es la longitud de la perpendicular trazada desde el vértice del cono a su base. CONO CIRCULAR Es el que tiene por base un círculo. SL = Ap (p + p1) ST = SL + S1 + Sb _____ h S1 + Sb + √S1 . Sb V = –––––––––––––––––– 3 CONO RECTO Llámese cono recto al cono circular cuyo eje es perpendicular al círculo de la base en su centro. El eje de un cono recto se confunde con la altura. CONO DE REVOLUCIÓN Llámase cono de revolución, o recto, al que se supone engendrado por la rotación de la hipotenusa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. A ( ) TRONCO DE PIRÁMIDE IRREGULAR Sus bases son paralelas, sus caras laterales son trapecios cualesquiera. S1 h h h g H Sb Sb R O B SL = π . R . g ST = SL + Sb - 132 - FORMULARIO MATEMÁTICO 1 V = –– B . h 3 CONO OBLICUO π . R2 . h V = –––––––– 3 2.- Los volúmenes son entre sí como los cubos de sus elementos homólogos. 2 2 S1 h1 r2 g1 ––– = ––– = ––– = ––– Sb h2 R2 g2 3 3 V1 h1 r3 g1 ––– = ––– = ––– = ––– V h3 R3 g3 Es aquel cuya base es una elipse y cuyo eje no es perpendicular a la base. h elipse h Sb . h V = –––––– 3 o: π.a.b.h V = –––––––––– 3 ELIPSE a = radio mínimo b = radio máximo S = πab TRONCO DE CONO Es la parte de un cono comprendida entre la base y una sección paralela o no a la base. A la sección y a la base del cono se les llama bases del tronco de cono. ALTURA DE UN TRONCO DE CONO RECTO a 2a b Es la distancia entre sus bases. La altura pasa por los centros de las bases. Sb h1 r S1 R g1 g 2b h SEMEJANZA DE CONOS Si se corta un cono cualesquiera por un plano paralelo a su base, se obtiene un cono pequeño o deficiente semejante al total y recíprocamente, entonces: 1.- Las áreas de las bases son entre sí como los cuadrados de los elementos homólogos. R Sb g - 133 - SL = π . g (R + r) ST = SL + S1 + Sb π . h(R2 + r2 + R . r) V = ––––––––––––––––– 3 SL = 2π . r . g ST = SL + 2Sb ST = π . a . b . h V = π . r2 . g EL CILINDRO a Llámese cilindro a un sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos superficies planas paralelas llamadas bases. Los términos base, altura y área lateral son usados como en los prismas. CILINDRO RECTO Un cilindro es recto cuando su generatriz es perpendicular a las bases. TRONCO DE CILINDRO Es la parte de un cilindro comprendida entre una sección no paralela a la base del cilindro y una base de éste. P TRONCO DE CILINDRO RECTO Cuando sus generatrices son perpendiculares a una base (principal) pero no a la otra. g b h Sr Sb r g=h R Sb SL = 2π . R . g ST = SL + 2Sb ST = + 2πR(g R) V = π . R2 . g S1 S Eje Elipse g2 Sb R g1 Cilindro recto o de revolución, es el que se considera generado por la rotación de un rectángulo alrededor de unos de sus lados. CILINDRO OBLICUO Cuando sus generatrices son oblícuas a las bases. Algunas veces sus bases son elipses y otras círculos. SL = 2π . R . EJE ST = SL + S1 + Sb V = π . R2 . EJE g1 + g2 EJE = –––––– 2 - 134 - FORMULARIO MATEMÁTICO TRONCO DE CILINDRO OBLICUO Si sus generatrices son oblícuas a las bases. S1 PARTES DE ÁREA DE ESFERA Eje g2 R Estas son: la zona y el huso esférico. g1 Sección Recta S2 1.- ZONA Llámase zona esférica o zona simplemente, a la parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos circunferencias paralelas llamadas bases. La distancia entre las bases se llama altura de la zona. SL = 2π . R . EJE ST = SL + S1 + S2 V = π . R2 . EJE g1 + g2 EJE = –––––– 2 2R R Se la considera generada por la rotación de un arco de circunferencia que gira alrededor de un diámetro. Eje arco D O R LA ESFERA Es un sólido, limitado por una superficie curva, en la cual todos los puntos equidistan de un punto interior llamado centro. La mitad de una esfera se llama hemisferio o semiesfera. CÍRCULO MÁXIMO Es el círculo que se obtiene al trazar un plano por el centro de la esfera. SUPERFICIE Y VOLUMEN DE LA ESFERA S = 4π . R 2 La zona puede ser de una base y de dos bases. A la de una base, se le llama también “casquete esférico”. ZONA DE UNA BASE O CASQUETE S=2π.R.h o: A h B R _ __ S = π . AB2 4π . R3 V = –––––– 3 S = π . D2 π . D3 V = –––––– 6 R = radio de esfera H = altura de la zona AB = cuerda del arco generador - 135 - ZONA DE DOS BASES SL = 2π . R . h h r h ST = SCASQUETE + SCÍRCULO 2.- HUSO ESFÉRICO Llamado también “lúnula”, es la parte de la superficie de una esfera limitada por las semicircunferencias de dos círculos máximos. π.R.α S = ––––––– 360º 3 2 V = π . h + –––––––– –––– π . r . h 6 2 h = altura de la zona r = radio de la base de la zona b.- SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES Es parte del volumen de la esfera comprendida entre dos planos paralelos. r1 h O2 r2 O α R O1 R = radio de la esfera α = ángulo del huso PARTES DE VOLUMENES DE UNA ESFERA Estas son: segmento esférico, cuña esférica, sector esférico y anillo esférico 1.- SEGMENTO ESFÉRICO Es la porción de esfera limitada por una zona y por bases circulares. Hay de dos clases: segmento esférico de una base y segmento esférico de dos bases. a. SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE Limitado por un casquete y un círculo por base. ST = Szona de + Scírculo1 + Scírculo2 dos bases 2 2 r1 + r2 π . h3 V = ––––– + π ––– ––– h 6 2 () h = altura de la zona r1, r2 = radios de las bases. 2. -CUÑA ESFÉRICA Es la parte de volumen de una esfera limitada por un huso y dos semicírculos máximos. - 136 - FORMULARIO MATEMÁTICO A A R R B B α . π . R2 ST = πR2 + –––––––– 90º α . π . R3 V = –––––––– 270º 3.- SECTOR ESFÉRICO Es la parte del volumen de esfera generado por un “sector circular” que gira alrededor de un eje que pasa por el centro, en dos posiciones: a.- Cuando el radio del sector circular coincide con el eje de giro: está limitado por un casquete esférico y una superficie lateral cónica. B A R O R A’ h ST = Szona de + SLCONO + SLCONO dos bases 1 2 A’ R R O B’ h 2 V = 2π . R . h ––––––––– 3 h = altura de la zona R = radio de la esfera 4.- ANILLO ESFÉRICO Es el volumen generado por un segmento circular que gira alrededor de un eje que pasa por su centro, en tres posiciones: a.- Cuando un extremo de la cuerda del segmento circular pertenece al eje; está limitada por un casquete esférico y el área lateral de un cono. B h ST = SCASQUETE + SLCONO 2π . R2 . h V = ––––––––– 3 h = altura del casquete R = radio de la esfera b.- Cuando el radio no coincide con el eje de giro: está limitado por una zona de dos bases y áreas laterales de dos conos. A C ST = SCasquete + SLcono π . AB2 . h V = –––––––––– 6 AB = cuerda del segmento circular h = altura de la zona o casquete - 137 - b.- Cmétricas, DOMINIO es el valor del ángulo o arco; RANGO es el valor de la función. Las funciones trigonométricas no son BIUNIVOCAS; es decir, para un ángulo hay más de un valor para su función, repitiéndose dentro de un período. RANGO [-1; +1] [-1; +1] o 〈 -∞ ; + ∞ 〉 o 〈 -∞ ; + ∞ 〉 - 〈 -1; +1〉 - 〈 -1; +1〉 PERÍODO 2π 2π π π 2π 2π = número real - 144 - FORMULARIO MATEMÁTICO RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES sen2a + cos2a = 1 1 + tg2 a = sec2 a cos a ctg a = ––––– sen a sen a . cosec a = 1 cos a . sec a = 1 sen a tg a = ––––– cos a tg a . ctg a = 1 1 + ctg2 a = co sec2 a RELACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN TÉRMINOS DE UNA SOLA sen a sen cos a tg a ctg a sec a cosec a 1 –––––– cosec a _________ ± √cosec2a - 1 –––––––––––– cosec a 1 –––––––––––– _________ ± √cosec2a - 1 _________ ± √cosec2a - 1 ________ ________ 1 1 ± √sec2a - 1 ± √1 - cos2a ––––––––––– ––––––––––– ––––––––––––– _______ ________ sec a ± √1 + tg2a ± √1 + ctg2a ________ ± √1 - sen2a ________ ± √1 - cos2a ––––––––––– cos a cos a ––––––––––– ________ ± √1 - cos2a 1 –––– cos a 1 –––– tg a ________ _______ ± √1 + ctg2a ± √1 + tg2a ––––––––––– ctg a tg a ctg a ––––––––––– ––––––––––– _______ ________ ± √1 + tg2a ± √1 + ctg2a 1 ––––– ctg a 1 ––––– cos a _______ ± √sec2a - 1 cos a tg a ctg a sen a ––––––––––– ________ ± √1 - sen2a ________ ± √1 - sen2a ––––––––––– sen a 1 ––––––––––– __ ______ ± √sec2a - 1 sec a 1 ––––––––––– _____ ___ ± √1 - sen2a 1 –––– sen a cosec a ____________ _________ ± √cosec2a - 1 cosec a _______ _______ ± √1 + tg2a 1 sec a ––––––––––– –––––––––– ± √1 + ctg2a ––––––––––––– –– ______ __ ________ tg a ± √1 - cos2a ± √sec2a - 1 - 145 - ARCOS COMPUESTOS FUNCIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ARCOS sen (a ± b) = sen a . cos. b ± sen b . cos a cos (a ± b) = cos a . cos . b sen a . sen b Ejemplo: π cos –– - a = sen a 2 () π tg –– - a = ctg a 2 () sen 40º = cos 50º tg a ± tg b tg (a ± b) = –––––––––––––– 1 tg a . tg b puesto que: 40º + 50º = 90º EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES DE LOS ARCOS SUPLEMENTARIOS Sean: (π - a) y “a” dos arcos suplementarios, entonces: (π - a) + a = π FUNCIONES DE LA SUMA DE TRES ARCOS sen (a + b + c) = sen a . cos b . cos c - sen a . sen b . sen c + sen b . cos a . cos c + sen c . cos a . cos b se cumple: sen (π - a) = sen a cos (π - a) = - cos a tg (π - a) = - tg a Ejemplos: cos 120º = - cos 60º notar que: 120º + 60º = 180º tg 130º = -tg 50 EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ARCOS NEGATIVOS Sean “a” y “-a” dos arcos iguales pero de signo cotrario. Es decir, del mismo origen pero de sentido contrario. (En el gráfico todos de origen A). sen a = MP π sen –– - a = cos a 2 ; ; ; sen (-a) = M’P = -MP cos (-a) = OP = OP tg (-a) = AT’ = -AT ctg a . ctg b 1 ctg (a ± b) = –––––––––––––– ctg b ± ctg a cos (a + b + c) = cos a . cos b . cos c - sen b . sen c . cos a - sen a . sen c . cos b - sen a . sen b . cos c tag a + tg b + tg c – tg a . tg b . tg c tg (a + b + c) = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1 - tg a . tg b - tg a . tg c - tg b . tg c EQUIVALENCIA DE LAS FUNCIONES DE LOS ARCOS COMPLEMENTARIOS π Sean: –– - a y “a” dos arcos complementarios: 2 () () se cumple: π π –– - a + a = –– 2 2 () cos a = OP tg a = AT - 146 - FORMULARIO MATEMÁTICO T M a P O A -a M’ T’ Luego: sen (-a) = -sen a cosec (-a) = -cosec a cos (-a) = cos a FUNCIONES DE ARCO MITAD a 1 - cos a = 2 sen2 –– 2 a sen –– = ± 2 √ √ –––––– –– 1 - cos a –– –––––– 2 a 1 + cos a = 2 cos2 –– 2 a cos –– = ± 2 ________ 1 + cos a –––––––– 2 1 - cos a a –––––––– = tg2 –– 1 + cos a 2 FUNCIONES DE ARCOS TRIPLES sec (-a) = sec a sen 3a = 3 sen a - 4 sen3a tg (-a) = -tg a ctg (-a) = -ctg a FUNCIONES DE ARCOS DOBLES sen 2a = 2 sen a . cos a 2 tg a sen 2a = ––––––– 1 + tg2a cos 2a = cos2a – sen2 a 1 - tg2a cos 2a = ––––––– 1 + tg2a cos 2a = 2 cos a – 1 cos 2a = 1 – 2 sen2a 2 tg a tg 2a = ––––––– 1 – tg2a 2 cos 3a = 4 cos3a - 3 cos a 3 tg a - tg3a tg 3a = –––––––––– 1 - 3 tg2a FUNCIONES AUXILIARES seno verso a = 1 - cos a cos verso a = 1 - sen a ex-sec a = sec a - 1 NOTA: A la ex-secante se le llama también external. TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS A+B A-B sen A + sen B = 2 sen ––––– cos ––––– 2 2 A+B A-B sen A - sen B = 2 cos ––––– sen ––––– 2 2 - 147 - SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS A+B A-B cos A + cos B = 2 cos ––––– sen ––––– 2 2 A+B A-B cos A - cos B = -2 sen ––––– sen ––––– 2 2 y: lim a→0 lim a→0 a ––––– = 1 sen a a ––––– = 1 tg a De donde: sen a = a = tg a ⇔ a → 0 Ejemplo: 3x ¿Cuál es el límite de –––––– , cuando x tiende x a cero? (x → 0) sen –– 2 2x x 3 ––– 6 –– 3x 2 2 lim –––––– = lim ––––– = lim ––––– x x x x → 0 sen –– x → 0 sen –– x → 0 sen –– 2 2 2 x –– 2 = 6 . lim –––––– = 6 . 1 x x → 0 sen –– 2 3x ∴ lim –– –––– = 6 x x → 0 sen –– 2 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS 1. En el primer cuadrante se cumple que el arco es mayor que el seno pero menor que su tangente. sen a < a < tg a o: π 0 < a < –– 2 2. Cuando el arco es muy pequeño; es decir, cercano a cero, el seno, el arco y la tangente tienden a confundirse. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Son expresiones que dan el valor del ángulo “en forma indicada”. Sea “A” un arco ó ángulo: sen A = m cos A = n tg A = p ctg A = q sec A = r cosec A = s De donde: sen (arco sen m) cos (arco cos n) tg (arco tg p) =m =n =p ⇔ ⇔ ⇔ arco sen (sen A) = A arco cos (cos A) = A arco tg (tg A) =A ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ denotación inglesa A = arco sen m A = arco cos n A = arco tg p A = arco ctg q A = arco sec r A = arco cosec s denotación francesa A = sen-1 m A = cos-1 n A = tg-1 p A = ctg-1 q A = sec-1 r A = cosec-1 s - 148 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplo: Calcular __ ___ √3 + arco tg –– + arco sec ––––– 1 √10 y = arco sen –––– 2 2 3 o sea: (1) y = 60 + B + C y – 60 = B + C tomando tangente: tg (y - 60) = tg (B + C) tg B + tg C tg (y – 60) = –––––––––––– 1 – tg B . tg C sustituyendo valores de tg B y tg C: 1 1 5 –– + –– –– 2 3 6 tg (y – 60 ) = ––––––––– = –– = 1 1 . –– –– 1 5 1 - –– 23 6 tg (y – 60) = 1 y – 60 = 45º Procedimiento. Llamando: __ __ √3 ⇒ sen A = –––– ⇒ A = 60º √3 A = arco sen –––– 2 2 1 1 B = arco tg –– ⇒ tg B = –– 2 2 ___ ___ √10 √10 1 C = arco sec ––––– ⇒ sec C = ––––– ⇒ tg C = –– 3 3 3 Sustituyendo en (1): y=A+B+C y = 105º DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES INVERSAS En las funciones inversas, como su nombre lo indica, el DOMINIO de una función es el RANGO de la inversa y viceversa, consideradas dentro de un INTERVALO. FUNCIÓN INVERSA arco sen x DOMINIO [- 1 ; + 1 ] RANGO [ [ [ [ π π - –– ; –– 2 2 ] ] ] ] arco cos x [- 1 ; + 1 ] [ π 0 ; –– 2 ] arco tg x arco ctg x arco sec x o〈-∞ ; +∞〉 o〈-∞ ; +∞〉 〈 - ∞ ; -1] ∪ [ 1 ; + ∞ 〉 π π - –– ; –– 2 2 〈 0; π 〉 π 0 ; –– 2 〉〈 ∪ π –– ; π 2 arco cosec x 〈 - ∞ ; - 1] ∪ [ 1 ; + ∞ 〉 π - –– ; 0 ∪ 2 〉〈 π 0 ; –– 2 - 149 - ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS La solución puede ser la más pequeña de todas (solución principal) o puede ser una expresión algebraica que incluya todos los arcos que satisfagan la ecuación dada (solución general). Expresión de todos los arcos que tienen la misma función trigonométrica. Que tienen el mismo seno: Que tiene el mismo coseno: X = 2Kπ ± β β = solución principal Que tienen la misma tangente: X = Kπ + θ X = Kπ + (-1)k α θ = solución principal α = solución principal SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES Para resolver ecuaciones debe tenerse presente que: sen x cos x tg x ctg x sec x =a =b =c =d =e ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Donde: Kε x = sen-1 a x = cos-1 b x= tg-1 c ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ X = kπ + (-1)K sen-1 a X = 2kπ ± cos-1 b X = kπ + tg-1 c X = kπ + ctg-1 d X = 2kπ ± sec-1 e X = kπ + (-1)K cosec-1 f x = ctg-1 d x= sec-1 e cosec x = f x = cosec-1 f ; x = solución principal y X = solución general RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Para resolver triángulos que equivale a calcular sus lados o sus ángulos, debe conocerse las siguientes leyes o propiedades: a b c ––––– = ––––– = ––––– sen A sen B sen C 2. Corolario: En todo triángulo inscrito en una circunferencia, la relación de la Ley de los senos es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. A c B R a O C b TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1. Ley de los senos: En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a sus lados opuestos. A c b B a C a b c ––––– = ––––– = ––––– = 2R sen A sen B sen C - 150 - FORMULARIO MATEMÁTICO 3. Ley de cosenos (Carnot).- Para todo triángulo: A b B C b a a C CÁLCULO DE ÁNGULOS (Fórmula de Briggs) Si: a+b+c p = ––––––––– 2 _______ A p(p - a) cos –– = –––––––– 2 bc c √ √ √ A c B A sen –– = 2 ___________ (p - b)(p - c) –––––– –––––– 2 ___________ p(p - a) ––––––––––– (p - b)(p - c) a2 = b2 + c2 - 2 . b . c cos A b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos B c2 = a2 + b2 - 2. a . b cos C 4. Ley de las tangentes (Nepper).- Para todo triángulo: A b B a C A A tg –– = 2 CÁLCULO DE SUPERFICIES Fórmula Trigonométricas C b a B c tg A + B ––––– a + b = –––––––– 2 ––––– a-b A-B tg ––––– 2 c a.b S = ––––– sen C 2 b.c S = ––––– sen A 2 a.c S = ––––– sen B 2 (I) 5. Ley de las proyecciones.- Para todo triángulo: A b B a Fórmulas Geométricas c a = b . cos C + c . cos B b = a . cos C + c. cos A c = a . cos B + b . cos C C S=p.r a.b.c S = ––––––– 4R (II) _________________ _ S = √p(p - a)(p - b)(p - c) S = ρa (p - a) - 151 - Donde: p = semiperímetro r = radio círculo inscrito R = radio círculo circunscrito ρa = radio del círculo exinscrito al lado a 1.- De: pr = S S ⇒ r = –– p r A 2.- De: ––––– = tg –– p-a 2 A ⇒ r = (p - a)tg –– 2 3.- De: a = r ELEMENTOS SECUNDARIOS EN LA SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Para calcular los elementos secundarios, lo aconsejable es despejar las fórmulas conocidas, tales como las siguientes: RADIOS RADIO CIRCUNSCRITO: Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita al triángulo. A c B R a b O C ( B C ctg –– + ctg –– 2 2 ) a ⇒ r = ––––––––––––– B C ctg –– + ctg –– 2 2 RADIO EX-INSCRITO: Es el radio “ρ” de la circunferencia, ex-inscrito a uno de los lados del triángulo. T B O A/2 A/2 A De la propiedad: a+b AP = AT = –––– + c , se demuestra: –––– 2 a+b+c A 1.- –––– –––– . tg –– 2 2 o: A ρ = p . tg –– 2 2.- De: S = ρ (p - a) o: b a CP a 1.- De: 2R = ––––– sen A a ⇒ R = ––––– 2senA abc 2.- De: –––– = S 4R a . –––– ⇒ R = –––b . c 4.S RADIO INSCRITO O INRADIO: Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en el triángulo. B c O r A b C a ρ S ρ=– –––– p-a - 152 - FORMULARIO MATEMÁTICO B C 3.- De: a = ρ tg –– + tg –– 2 2 ( ) c B a/2 A b ma C a/2 a ⇒ ρ = ––––––––––– B tg –– + tg C –– 2 2 M CEVIANAS Son rectas que partiendo de un vértice tocan un punto del lado opuesto. Las principales son: altura, mediana, bisectriz interna y bisectriz externa. ALTURA Es la perpendicular trazada de un vértice al lado opuesto. A c ha b a2 2.- m2 = ––– + c2 – a . c . cos B b 4 a2 m2 = ––– + b2 – a . b . cos C c 4 4m2 = b2 + c2 + 2 . b . c . cos A a La intersección de las tres medianas se denomina CENTRO DE GRAVEDAD o BARICENTRO. B C c mb T M G ma mc C a B a 1.- ha = b . sen C o: ha = c . sen B 2.- ha = 2 . R . sen b . sen C 2 3.- ha = – . S –––– a ha = altura con respecto al lado “a” MEDIANA A b N BISECTRIZ INTERIOR Es la recta que divide a un ángulo interior en dos ángulos iguales. A b S1 m D a Fórmulas Geométricas: 2 αα ta S2 c Es la recta trazada de un vértice al punto medio del lado opuesto. a 1.- De: b + c = 2 . ma + ––– 2 2 2 2 2 C n B a b2 + c2 - ––– 2 2 m = ––––––––––– a 2 1.- b c –– = –– nm - 153 - B 2.- t2 = b . c – m . n a A d a α b Fórmula Trigonométrica: 2.b.c A ta = ––––––– cos –– b+c 2 La intersección de las tres bisectrices interiores se llama INCENTRO. BISECTRIZ EXTERIOR Es la recta que divide a un ángulo exterior en dos ángulos iguales. Fórmulas Geométricas: 1.b c –– = –– nm D SUPERFICIES c C AC . BD 1.- S = ––––––– . sen α 2 __________________________________ 2.- S = √ (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) – a . b . c . d . cos α donde: p = semiperímetro ˆ ˆ A +C α = –––––– 2 o: ˆ ˆ B +D α = –––––– 2 CUADRILÁTERO INSCRITO O CICLÍCO ˆ ˆˆ ˆ A + C = B + D = 180º 2.- t2 = m . n – b . c a Fórmula Trigonométrica: 2.b.c A ta = ––––––– sen –– b-c 2 La intersección de las tres bisectrices interiores se llama EXCENTRO. A 90 - –– 2 ta A α b c S1 C a B α C B S2 A D n m ________________________ S = √ (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) Fórmula de Brahma-Gupta CUADRILÁTEROS CONVEXOS Son cuadriláteros cuyos ángulos son menores que 180º. - 154 - FORMULARIO MATEMÁTICO CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO B a b C c OP = Ap n = número de lados R = radio circunscrito S = área A Propiedad de Pitot: d D PROBLEMA DE POTHENOT-SNELLIUS Conocido también como problema de los cuatro puntos o problema de la carta (geográfica): Dados tres puntos no colineales: A, B y C, calcular sus distancias a un cuarto punto D (situado en el plano ABC, interno al ángulo convexo ACB), desde el cual se vean las distancias AC y BC bajo ángulos dados. Se supone como incógnitas los ángulos x e y. Por ley de senos en los triángulos (1) Y (2): ___ sen x = DC ––––– ––– sen α a ___ sen y DC ––––– = ––– sen β b ∴ sen x b sen α ––––– = ––– –––– – sen y a sen β x + y = 360º - (α + β + C) D α 1 β (1) (2) a+b=c+d=p POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS: Valor del lado “l” y la del área “S” π l = 2r . tg –– n π S = n . r2 . tg –– n l/2 r π/n O INSCRITOS: l/2 P π/n R O 2 y Cálculo del lado “l”, apotema “Ap” y área “S” π l = 2r . sen –– n π Ap = R . cos –– n R2 . n 2π S = –––––– . sen ––– 2 n x a C b ˆ Como a, b, α, β, y C se conoce, se tiene un sistema de ecuaciones trigonométricas cuyas incógnitas son “x” e “y”. Hallando “x” e “y” el problema queda resuelto, al conocer todos los ángulos y un lado de cada uno de los triángulos (1) y (2). - 155 - FÍSICA Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de los cuerpos, sus leyes y propiedades mientras no cambie su composición, así como el de los agentes naturales con los fenómenos que en los cuerpos producen su influencia. La física puede dividirse de un modo general en dos: Física Experimental y Física Matemática. En la primera, la labor de investigación tiene a obtener sólo datos y axiomas de la Física matemática. Esta última a su vez, partiendo de esos datos experimentales, establece principios de los cuales se deduce, mediante los recursos del cálculo, fórmulas generales. CANTIDAD Todo lo que es capaz de un aumento o disminución y puede, por consiguientes, medirse o contarse. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones de la forma algebraica que, valiéndose de las unidades fundamentales representadas por las letras M, F L, T, se usa para probar fórmulas, , equivalencias o para dar unidades a una respuesta (M: masa; F: fuerza; L: longitud; T: tiempo). SISTEMAS DE UNIDADES DEFINICIONES FENÓMENO Toda apariencia o manifestación del orden material o espiritual. ENERGÍA Causa capaz de transformarse en trabajo mecánico. MAGNITUD Tamaño o cantidad de un cuerpo. MEDIDA Expresión comparativa de las dimensiones o cantidades. DIMENSIÓN Longitud, extensión o volumen de una línea, de una superficie o de un cuerpo, respectivamente. A partir de Einstein, se considera la cuarta dimensión: “el tiempo”. Sub-sistema CGS MKS FPS L cm m pie F g kg lb T s s s UNIDADES DEL SISTEMA TÉCNICO, GRAVITACIONAL O PRÁCTICO Sub-sistema CGS MKS FPS L cm m pie M g kg lb T s s s UNIDADES DEL SISTEMA ABSOLUTO - 156 - FORMULARIO MATEMÁTICO UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDA “SI” UNIDADES MAGNITUD Longitud Tiempo Masa Intensidad de corriente Eléctrica Temperatura Intensidad Luminosa Cantidad de sustancia NOMBRE metro segundo kilogramo amperio kelvin candela DE BASE SÍMBOLO m s kg A K ca DIMENSIÓN L T M l θ J mol mol N UNIDADES SUMPLEMENTARIAS MAGNITUD Ángulo Ángulo sólido NOMBRE radián estereo radián SÍMBOLO rad sr Ejemplo: Determinar la ecuación dimensional del peso específico. Procedimiento: W Sabiendo que: Pe = –– V UNIDADES DERIVADAS MAGNITUD Área Volumen Densidad Velocidad Fuerza y peso Presión NOMBRE metro cuadrado metro cúbico kilogramo por Metro cúbico metro por segundo newton pascal SÍMBOLO m2 m3 kg/m3 m/s N Pa Pero: d L W = F = m . a = M . –– = M –– = MLT-2 t2 T2 y : V = L3 Sustituyendo en la primera ecuación: MLT-2 Pe = ––––– L3 Pe = ML-2T-2 - 157 - CONVENCIONES BÁSICAS a) La suma o resta de unidades iguales produce la misma unidad: 6T + 8T - T - 7T = T b Las constantes y los coeficientes numéricos se reemplaza por 1: 5M - 6,5M + 9,8M = M π + 10L = 1 + L = L c) Se escriben en forma de enteros, si hay denominados se escribe con potencia de signo negativo para darle la forma de entero. Ejemplo: LM = LMT-2 ––– T2 d) El signo | | significa “ecuación dimensional de”. e) La dimensión de un ángulo o función trigonométrica es un número, como tal dimensionalmente es 1. ⏐60º⏐ = 1 ⏐cosec 45º⏐ = 1 f) Dimensionalmente los logaritmos valen 1. | log 8⏐ = 1 | logn17⏐ = 1 Ejemplos: i) L = 18 yardas ii) m = 14 lb iii) t = 6 semanas MAGNITUD VECTORIAL Es aquella que además de tener “un número y una especie” tiene dirección y sentido: Ejemplos: i) a = 9,8m/s2 ii) F = 15 newton iii) V = 30 km/h → → → REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR Se representa por un segmento de una recta orientada. Se utiliza para representar fuerzas, pesos, aceleraciones, etc. Dirección Magnitud Sentido SUMA Y RESTA DE VECTORES A.- MÉTODOS GEOMÉTRICOS • MÉTODO POLÍGONAL O POLÍGONO FUNICULAR SUMA.- Para sumar vectores: Se traza, en un mismo plano, los vectores uno a continuación del otro, respetando su magnitud, dirección y sentido se une el origen del primero con el extremo del último y este trazo es la resultante con su magnitud, dirección y sentido. Ejemplos: Sumar los vectores: __ _ i) a , b y c _ a _ b _ c VECTORES Vector significa “que conduce”. Los vectores sirven para representar: fuerza, velocidad, aceleración, etc. MAGNITUD La magnitud expresa el tamaño de un cuerpo o la dimensión de algún fenómeno. Puede ser escalar o vectorial. MAGNITUD ESCALAR O MODULO Es aquella que está plenamente determinada por un número y una unidad de medida o especie. - 158 - FORMULARIO MATEMÁTICO _ b _ a ___ R=a+b+c Resultante ____ ii) a, b, c, d _ a _ b _ c _ d _ c • MÉTODO DEL PARALELOGRAMO SUMA Se traza los dos vectores que se va a sumar, partiendo de un mismo punto, luego se completa el paralelogramo; la diagonal es la resultante. Ejemplo: __ Sumar los vectores a, b _ a _ b _ c _ b _ d _ a _ R lt a su Re nte nte Resulta __ __ R=a+b+c+d DIFERENCIA Se traza el vector minuendo y a continuación el sustraendo pero en sentido contrario. Se une el origen del primero con el extremo del segundo y se obtiene la resultante con su magnitud, dirección y sentido. __ Ejemplo: Restar a - b _ b _ a _ -b _ a RESTA _ a _ b ___ R=a+b Se traza el vector minuendo y luego el vector sustraendo partiendo de ambos del mismo origen pero el sustraendo con sentido contrario. La diagonal del paralelogramo formado es la resultante. Ejemplo: __ Restar: a - b _ a _ b s Re an ult te _ a e nt lt a su R D Re ___ R=a-b _ -b - 159 - B.- MÉTODOS ANALITICOS Consiste en calcular algebraicamente la resultante. • MÉTODO DEL PARALELOGRAMO SUMA Resultante de la suma a + b → → DIFERENCIA: Restar a - b R a b ––––– = ––––– = ––––– sen λ sen α sen β _ -b α _ R β λ _ a _______________________ RS = √ a2 + b2 + 2 . a . b . cos α a α _ b RESTA Resultante de la diferencia a - b → → _ RS α DIRECCIÓN DE LA RESULTANTE Está dada por el ángulo que forma la resultante con uno de los vectores. Q _ a θ _ R α S T _______________________ RS = √ a2 + b2 - 2 . a . b . cos α _ R 180º- α _ b α _ b _ a O _ b a . sen α sen θ = –– –––––––––––––––––––– ____________________ √ a2 + b2 + 2 . a . b sen α a . sen θ tg θ = ––––––––––– b + a . cos θ DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN SUS ELEMENTOS RECTANGULARES _ Por el origen del vector ( a ) que se quiere descomponer, se traza un sistema de ejes perpendiculares (eje rectangulares), sobre estos ejes . Se proyecta el vector, la proyección sobre el eje “x”, se llama “componente horizontal ax”, la proyección sobre el “eje y” se llama “componente vertical ay”. Ejemplo: α _ R y _ ay _ a α _ ax x • RESULTANTE POR LEY DE SENOS __ SUMA: Sumar a + b R a b ––––– = ––––– = ––––– sen λ sen α sen β _ b _ a β λ - 160 - FORMULARIO MATEMÁTICO __ Para hallar Rx y Ry, se suma algebraicamente los vectores que están sobre los ejes x e y: __ _ ax + bx = Rx _ _ _ ay + by = Ry y ax : componente hortizontal. ay : componente vertical. Donde: ax = a cos α ay = a sen α Otro ejemplo: y bx _ b β _ by x Rx θ R Ry x RESULTANTE POR DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR _ _ Hallar la resultante de a + b Se descompone a y b en el sistema de ejes rectangulares. Rx = suma de componentes horizontales. Ry = suma de componentes verticales. R= Finalmente: ______ _ __ _ 2 2 Rx + Ry = R ⇒ R x + R y = R √ DIRECCIÓN DE LA RESULTANTE Ry tg θ = ––– Rx MECÁNICA Mecánica es la parte de la Física que trata del movimiento y de las fuerzas que pueden producirlo, consideradas con toda generalidad, así como del efecto que producen en las máquinas. Tienen tres partes: 1.- Mecánica de sólidos: a) Cinemática b) Estática c) Dinámica 2.- Mecánica de los líquidos: √ y _______ R2 + R2 x y __ R = resultante final o suma de a + b _ bx _ b _ ay _ a _ by _ ax x a) Hidrostática b) Hidrodinámica 3.- Mecánica de los gases: a) Neumostática b) Neumodinámica A. CINEMÁTICA Es el estudio del movimiento de los sólidos, independientemente de las causas que lo originan. - 161 - CONCEPTOS MOVIMIENTO Acción o efecto del desplazamiento de un cuerpo en un lapso de tiempo con respeto a otro que se supone fijo. TRAYECTORIA Es la línea geométrica descrita por las distintas posiciones que va ocupando un punto o cuerpo, que se mueve en un lapso de tiempo. Según la trayectoria del movimiento puede ser: a) Rectilíneo c) Circuferencial b) Curvilíneo d) Parabólico ∆V = variación de la rapidez o velocidad. Vf = velocidad o rapidez final. Vi = velocidad o rapidez inicial. ACELERACIÓN ∆V a = ––– t o: Vf - Vi a = –––––– t m Unidades SI: –– s2 RAPIDEZ FINAL CON VELOCIDAD INICIAL Vf = Vi V1 + V2 Vm = ––––––– 2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) ∆V = Vf - Vi CLASES DE MOVIMIENTO a) Uniforme b) Variado c) Uniformemente variado MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) e V = –– t Donde: V = velocidad o rapidez. e = distancia recorrida en el timpo “t”. t = tiempo que dura el movimiento. MOVIMIENTO VARIADO Cuando su velocidad o rapidez varía desordenadamente. VELOCIDAD O RAPIDEZ MEDIA Es un promedio de las rapideses de un móvil. et Vm = –– tT o: e1 + e2 + … Vm = –––––––––– t1 + t2 + … m Unidades SI: –– s +a.t m Unidades: V = m ; a = –– ; t = s –– s s2 ESPACIO “e” RECORRIDO CON ACELERACIÓN Y VELOCIDAD INICIAL 1 e = Vi . t ± –– . a . t2 2 1 cuando Vi = 0: e = –– . a . t2 2 - 162 - FORMULARIO MATEMÁTICO VELOCIDAD FINAL “Vf” EN FUNCIÓN DE Vi, a, e V2 = V2 ± 2 . a . e f i h = Vi . t ± gt2 Vf = Vi ± gt V2 = V2 + 2gh f i MOVIMIENTO VERTICAL Es el movimiento de un cuerpo que sigue la direccion radial de la Tierra. El movimiento es uniformemente variado, la aceleración es la aceleración de la gravedad (g = 9,8 m/s2). Cuando el movimiento es “hacia arriba”, la aceleración “g” es negativa, cuando el movimiento es “hacia abajo”, la aceleración “g” es positiva. MOVIMIENTO COMPUESTO Donde: h: altura de subida o de caída g: aceleración de la gravedad (9,8 m/s2 o 32 pies/s2). De subida (-), de bajada (+). Es aquel en el cual existen simultáneamente 2 o más tipos de movimiento. Por ejemplo: movimiento horizontal y vertical a la vez. y h D e CARACTERÍSTISTICAS PARABÓLICO y Vy Vx Viy α Vix D Vx DEL x MOVIMIENTO PRINCIPIO DE LA INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS (Principios de Galileo) “Si un cuerpo tiene movimiento compuesto, cada uno de los movimientos se cumple como si los demás no existieran”. MOVIMIENTO PARABÓLICO (Introducción a la balística) El movimiento de un proyectil en el vacío resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme, y un movimiento vertical uniformemente variado por la acción de la aceleración de la gravedad. H Vx -Vy x - 163 - a) Forma de la trayectoria: “parabola”. b) Velocidad del movimiento horizontal Vx: CONSTANTE Vx = Vi . cos α g) Alcance horizontal “D” V2 . sen2 α i H = ––––––––––– 2g El alcance horizontal es máximo cuando α = 45º c)Velocidad vertical Vy: UNIFORMEMENTE VARIADA 1) Rapidez vertical inicial: Vi y = Vi . sen α 2)Rapidez vertical en un punto cualquiera de la trayectoria, de acuerdo al tiempo. Vy = Vi sen α g.t MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME (M.C.U.) Es aquel en el cúal la trayectoria es una circunferencia; barre arcos y barre ángulos iguales en tiempos iguales. PERÍODO Es el tiempo “t” que tarda un móvil en dar una vuelta a una revolución a la circunferencia. Velocidad lineal “V”: arco “L” V = ––––––– t Velocidad angular “ω” ángulo “α” ω = ––––––––– t Unidades SI: rad ––– s V α L d)Tiempo “t” de vuelo cuando “H” decrece hasta cero. 1 H = Vi . sen α - –– . g . t2 2 Entonces, cuando H = 0: 2Vi . sen α t = ––––––––– g e) Tiempo para alcanzar su máxima altura “H”. La altura es máxima cuando Vy = 0 ⇒ Vy = Vi . sen α - gt de donde y considerando Vy = 0 Vi . sen α t = ––––––––– g f ) Alcance vertical “H”: V2 . sen2 α i H = –––––––––– 2g El alcance vertical es máximo cuando α = 90º VELOCIDAD O RAPIDEZ ANGULAR Y PERÍODO Siendo “T” el período o tiempo empleado por un móvil en dar una vuelta(2π radianes), la velocidad angular es: 2π ω = ––– T - 164 - FORMULARIO MATEMÁTICO RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA VELOCIDAD TANGENCIAL V=ω.R FRECUENCIA “f” Es la inversa del periodo “t”. 1 f = –– T ACELERACIÓN CENTRÍPETA, RELACIÓN CON LA VELOCIDAD TANGENCIAL Y LA VELOCIDAD ANGULAR V2 ac = –– R ac = ω2 . R MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE VARIADO(M.C.U.V.) Es el movimiento circunferencial que tiene aceleración. Su rapidez varía con el tiempo. ACELERACIÓN ANGULAR “γ” ∆w γ = ––– t ωf - ω 1 γ = ––––––– t rad Unidades SI: ––– s2 RELACIONES DE VELOCIDAD O RAPIDEZ FINAL, ÁNGULO RECORRIDO ωf = ω1 + γ t 1 α = ω1 . t ± –– γ t2 2 ωf = ω1 ± 2γ α 2 2 B. ESTÁTICA Estudia las condiciones que debe cumplirse para que un cuerpo indeformable, sobre el que actúan fuerzas y/o cuplas, se mantenga en equilibrio; es decir para que las fuerzas o cuplas se anulen entre sí. FUERZA Es una magnitud vectorial que modifica la situación de los cuerpos, variando su estado de reposo o movimiento, variando la velocidad de los cuerpos, aumentando, disminuyendo o variando su dirección. TODA FUERZA APARECE COMO RESULTADO DE LA INTERACCIÓN DE LOS CUERPOS. RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS También se llama composición de fuerzas. Hay varios casos: 1) CUANDO ESTAN EN UN MISMA LINEA DE ACCIÓN y tienen el mismo sentido, la resultante es la diferencia de las fuerzas. _ F1 __ _ R = F1 + F2 2) CUANDO ESTAN EN UNA MISMA LINEA DE ACCION y tienen sentido contrarios, la resultante es la diferencia de las fuerzas. _ F1 __ _ R = F1 - F2 _ F2 _ F2 3) CUANDO FORMAN CUPLA con respecto a un mismo eje. Cupla es una par de fuerzas paralelas de igual módulo pero de sentidos opuestos. La resultante tiene las siguientes características: a) Su eje de rotación es el mismo que el de los componentes. b) Su sentido, es el de la cupla mayor. - 165 - c) Su medida, la diferencia de las cuplas. d) Su punto de aplicación es cualquiera, es un vector libre. El equilibrio se consigue aplicando una cupla igual y de sentido contrario. → → → b) Método del Paralelogramo. (Paso 1) _ F1 _ R1 _ R = F2 . d2 - F1 . d1 como F1 = F2 = F entonces: , R = F (d2 - d1) Unidades SI: N . m d1 F → → F2 (Paso 2) _ R1 _ R _ F3 _ R1 = d2 F _ R1 = √ √ _____________________ _2 _2 __ F1 + F2 + 2 F1 F2 cos α _____________________ _2 _2 __ R1 + F3 + 2 R1 F3 cos β 4) CUANDO LAS FUERZAS SON CONCURRENTES, las resultantes se halla por el “polígono de fuerzas”, por el “paralelogramo”, o por el “sistema de ejes cartesianos”. Ejemplo: Hallar la resultante de las fuerzas de la figura: _ F1 c) Método del sistema de ejes coordenados: y _ F1 F1y F3x F1x F2x x _ F2 _ F3 _ F3 F3y F2y _ F2 a) Por el método del polígono de fuerzas: _ F1 _ F2 1) Σ Fx = F1x + F2x - F3x 2) Σ Fy = F1y - F2y - F3y _ R= _________________ _2 _2 Σ Fx + Σ Fy _ R _ F3 √( )( ) - 166 - FORMULARIO MATEMÁTICO 5) CUANDO SON PARALELAS Y DEL MISMO SENTIDO, las características del a resultante son: A O B F1 F2 R ––– = ––– = ––– BO AO AB CONDICIONES DE EQUILIBRIO EN UN CUERPO • PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN Cuando un cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre él debe ser igual a cero. ΣF=0 Cuando la fuerzas se descomponen en sus componentes rectangulares se debe tener que: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 NOTA IMPORTANTE Un cuerpo está en reposo cuando soporta las acciones de tres fuerzas concurrentes que se anulan. _ F2 _ F1 _ R Su recta de acción es paralela a las fuerzas. Su sentido, el sentido de las fuerzas. Su medida, la suma. Su punto de aplicación está situado en un punto que divide a la barra que une las fuerzas en segmentos inversamente proporcionales a las fuerzas (Relación de Stevin). Sea O el punto de aplicación de la resultante, entonces: F1 F2 R ––– = ––– = ––– BO AO AB 6) CUANDO SON PARALELAS Y DE SENTIDO CONTRARIO, las características de la resultante son: _ F1 A B O _ R _ F2 Su recta de acción paralela a las fuerzas. Su sentido es el de la fuerza mayor. Su medida, la diferencia. Su punto de aplicación está situado en un punto que divide a la barra que une las fuerzas en segmentos inversamente proporcionales a las fuerzas (Relación de Stevin). Sea O el punto de aplicación de la resultante, entonces: TEOREMA DE LAMY O LEY DE LOS SENOS “En un triángulo funicular. los lados que representan las fuerzas son proporcionaleas a los senos de los ángulos opuestos”. _ F3 β _ F1 γ α _ F2 F1 F2 F3 ––––– = ––––– = ––––– sen α sen β sen γ - 167 - MOMENTO DE FUERZA Con respecto a un punto O con respecto a un eje, se calcula así: Mo = F . d Unidades SI: n . m O: punto de giro( o apoyo) F: fuerza d: distancia del punto de giro a la fuerza Diagrama del cuerpo libre: T 45º O R W Donde: T = tensión del cable que “soporta” la barra. R = reacción de la pared “sobre” la barra. F W = peso de la barra,“atracción” que la Tierra ejerce sobre la barra. O= punto de concurrencia de las fuerzas. DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES O El procedimiento indica que las fuerzas de un sistema en equilibrio se grafique en un DIAGRAMA de CUERPO LIBRE. El punto de concurrencia de estas fuerzas se hace coincidir con el punto de intersección de un Sistema de ejes rectangulares. Cada una de las fuerzas se proyecta sobre los ejes “x” e “y” del sistema rectangular, hallando las componentes de las fuerzas sobre los ejes “x” e “y”. Ejemplo: C d • SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO O EQUILIBRIO DE ROTACIÓN Cuando un cuerpo permanece en reposo o, cuando rota con velocidad uniforme, la suma de todos los momentos debe ser cero: ΣM=0 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) O DIAGRAMA LIBRE Es un gráfico donde se indica TODAS LAS FUERZAS que se actúan sobre el cuerpo. Precisamente, las características del D.C.L. es que todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo concurren a un punto común. Ejemplo: Sea el sistema: 30º T A R 30º P Sistema B T R O T R 45º O W P Diagrama libre - 168 - FORMULARIO MATEMÁTICO y Tipo palanca T R Tipo plano inclinado 60º O P Descomposición sobre los ejes x e y 30º x A) TIPO PALANCA PALANCA { { Palanca Poleas Tornos Plano inclinado Cuña Tornillo Es una barra rígida sometida a dos esfuerzos (Resistencia “R” y fuerza “F”) y apoyada en un punto. Según la posición de la resistencia “R”, fuerza “F” y punto de apoyo “A”, puede ser: inter-apoyantes, inter-resistentes e interpotentes. r O A f F T T sen 60º 60º T cos 60º O R Descomposición de T O R sen 30º R f r A 30º O R cos 30º Descomposición de R O MÁQUINAS SIMPLES Una máquina simple es un mecanismo o conjunto de mecanismos que mediante fuerzas mecánicas, transforma un trabajo motor en trabajo útil. Hay dos tipos: máquinas simple tipo palanca y máquinas simples tipo plano inclinado. A F f R r F R - 169 - Donde: R = resistencia A = apoyo F = fuerza de acción CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE LA PALANCA Σ Mo = 0 que es lo misom que: R.r=F.f POLEA FIJA Es una palanca inter-apoyante. No ahorra fuerza. R=F r A r F R Donde: r = brazo de resistencia f = brazo de fuerza TORNO O CABRESTANTE Es una palanca inter-apoyante. R.r=F.f POLEA MÓVIL Es una palanca inter-resistente. A F R F = –– 2 r r R f R r f POLEA MÓVIL DE FUERZAS NO PARALELAS Es una palanca inter-resistente. F1 F α/2 a/2 r r α R F = ––––––– α 2 cos –– 2 F1 A A F R R - 170 - FORMULARIO MATEMÁTICO POLIPASTO Son de tres clases: Aparejo potencial o trocla, aparejo factorial o motón y aparejo diferencial o tecle. a) APAREJO POTENCIAL O TROCLA Es un conjunto de poleas móviles con una fija. c) APAREJO DIFERENCIAL O TECLE Consta de una polea con 2 diámetros distintos y con periferias dentadas y una polea fija también con perímetro dentado, la cual lleva la carga. r R F = –– 23 R –– 8 R –– 4 R –– 2 R R F = –– 2n W B) TIPO PLANO INCLINADO: 1. PLANO INCLINADO W __ 2 W __ 2 R F W (R - r) F = –––––––– 2R b) APAREJO FACTORIAL O MOTÓN Es un conjunto de poleas móviles y un conjunto de poleas fijas. R F = –– 6 d1 R F = –– n Como su nombre lo indica es un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. F h –– = –– P d F d B n = número total de poleas entre móviles y fijas. α en Ps α h d2 R α P P cos α C A - 171 - 2.- TORNILLO, GATO O CRIC d P F h –– = –––– P 2πd b) Ventaja mecánica ideal “Vi” f Vi = ––– r f = desplazamiento de la máquina en vacio. r = desplazamiento de la máquina en carga. c) Rendimiento mecánico.Tu Re = ––– Tm h F 3.- CUÑA Es una pieza mécanica que puede tener la forma de un cono o una cuña propiamente dicha. d/2 d/2 VA Re = ––– Vi Tu = trabajo útil realizado por la máquina. Tm = trabajo motor o trabajo recibido por la máquina. C) DINÁMICA h R R cos α R cos α α R l Parte de la mecánica que trata de las leyes del movimiento en relación con las fuerzas que lo producen. Se divide en Hidrodinámica, que se ocupa de la mecánica de los liquidos, Aerodinámica o dinámica de los gases y Dinámica de los puntos o de los cuerpos rígidos. PRINCIPALES CONCEPTOS 2Rd F = ––––––––– _______ √d2 + 4h2 VENTAJA Y RENDIMIENTO MECÁNICO a) Ventaja mecánica actual o real “VA” W VA = ––– F W = peso o resistencia que vencer F = fuerza real empleada para vencer “W” FUERZA Es un concepto matemático, que se puede definir como todo aquello que modifica el estado de movimiento de un cuerpo. TODA FUERZA APARECE COMO RESULTADO DE LA INTERACCIÓN DE LOS CUERPOS. MASA Es la cantidad de materia que hay en un cuerpo. Un concepto más cabal: masa es la medida de la inercia de un cuerpo, a mayor masa mayor inercia. PESO Es la “fuerza” que hace la Tierra para atraer la masa de un cuerpo hacia su centro. - 172 - FORMULARIO MATEMÁTICO RELACIÓN ENTRE PESO Y MASA P m = –– g N Unidades SI: –––– = kg m/s2 m = masa, en kg P = peso de la masa “m”, en N g = aceleración de la gravedad terrestre; en m/s2 La unidad de masa del SI es el KILOGRAMO “kg”: N kg = –– m –– s2 ⇒ m N = kg . –– S2 1 POUNDAL: Es la fuerza que se aplica a 1 lib-masa para provocarle la aceleración de 1pie/s2. pie 1 Poundal = 1 lib - m . ––– s2 1 LIBRA- FUERZA: Es la fuerza que se aplica a 1 slug para provocarle la aceleración del pie/s2. pie 1lib - f = 1 slug . ––– s2 1 slug = 32,2 lib - masa RESUMEN ∴ 1 KILOGRAMO “kg”.- Es la masa que hay en 1 dm3 de agua pura a 4 ºC. SEGUNDA LEY DE NEWTON La aceleración que adquiere un cuerpo de masa “m”, bajo la acción de una fuerza “F”, es directamente proporcional a la fuerza “F” e inversamente proporcional a la masa “m”. F a = ––– m UNIDADES DE FUERZA 1 NEWTON:(unidad de fuerza del SI): Es la fuerza que se aplica a 1 kg para provocarle la aceleración de 1m/s2. m 1N = 1kg . –– S2 1 DINA: Es la fuerza que se aplica a 1 g para provocarle la aceleración de 1 cm/s2. cm 1 dina = 1 g . ––– S2 El sistema oficial es SI, los demás son sólo referenciales: SISTEMA SI aceptadas por SI F .P.S. MASA kg g FUERZA m N = kg . –– s2 cm dina = g . ––– s2 pie poundal = lib-m . ––– s2 pie lib-f = slug . ––– s2 lib-m Tec. Inglés slug EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE MEDIDA DE MASA Y FUERZA 1 kg = 1 000 g 1 slug = 32,2 lib-m 1N = 105 dinas 1N = 0,224 lib-f 1 lib-f = 32,2 poundal - 173 - ROZAMIENTO, FUERZA DE ROZAMIENTO O FRICCIÓN Es una fuerza tangencial que está presente entre dos superficies en contacto y que se opone al movimiento relativo (desplazamiento) de uno con respecto al otro. Puede ser rozamiento estático o cinético. Fe µe = ––– N Fc µe = ––– N o R µe = ––– N DINÁMICA DE LA ROTACIÓN O ROTACIÓN DINÁMICA Es el estudio de la rotación o giro de una masa material “m” alrededor de un punto. DINÁMICA CIRCUNFERENCIAL Un cuerpo en rotación siempre tiene una aceleración centrípeta “ac”. La fuerza centrípeta “Fc” ocasiona la presencia de la aceleración centrípeta. La fuerza centrípeta nunca es una fuerza independiente aplicada a un cuerpo, es la resultante de todas la fuerzas radiales aplicadas al cuerpo. 2 V– ac = –– R N V ac R Fe La TENSIÓN de una cuerda que sirve de radio de giro en un movimiento circuferencial de un plano, varía con la posición del cuerpo que gira. Así: P R E mg sen β A TA TE β θ TC mg sen θ mg µe = coeficiente de rozamiento estático (cuando están en reposo). µc = coeficiente de rozamiento cinético (cuando están en movimiento). Fe = R = fuerza mínima para romper el estado de reposo. Fc = Fuerza necesaria para mantener un cuerpo en movimiento. N = fuerza perpendicular al plano de apoyo de un cuerpo. P = peso de un cuerpo, el vector que lo representa siempre está dirigido al centro de la Tierra. (Es vertical). NOTA: Con freceuncia se usa µ por µe mg cos β mg TB B mg D mg cos θ TD C mg mg En A : En B : En C : En D : En E : TA = Fc - m . g TB = Fc TC = Fc + m . g TD = Fc + m . g . cos θ TE = Fc - m . g . cos β - 174 - FORMULARIO MATEMÁTICO Donde: V2 Fc = FRAD - m . ac = m . ––– R MOMENTO DINÁMICO DE ROTACIÓN: “M” F R m M=m.γ.R 2 m = masa que rota, en kg γ = aceleración angular, en s-2 R = radio rotación, en m MOMENTO DE INERCIA: “I” Es la resistencia que ofrece a la rotación de un cuerpo. I = m . R2 (I) Comparando (I) con (II): M=γ.I (II) MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS SOLIDOS m . R2 I = –––––– 2 Eje R h Cilindro macizo con respecto a su eje. Cilindro macizo cos respecto a un diámetro central. 2 m . 2 ––––– I = ––– R + m . h ––– 4 12 Eje m m 2 I = –– m . R2 5 2 I = –– m . R2 3 Eje R m 2R m 2R Eje Esfera maciza con respecto a un diámetro cualquiera (eje). Cascarón esférico muy delgado con respecto a un diámetro cualquiera (eje). m . h2 I = –––––– 12 Eje h Varilla delgada respecto a un eje que pasa por el centro y perpendicular a la longitud. m . h2 I = –––––– 3 Eje h Varilla delgada respecto a un eje que pasa por un extremo perpendicular a la longitiud. - 175 - m . R2 I = –––––– 2 Eje 3 I = –– m . R2 2 Eje I = m . R2 Eje Aro con respecto a cualquier diámetro (eje). Aro con respecto a cualquier línea tangente (eje). Aro con respecto a su eje I = m (R2 + r2) –– 2 a2 + b2 I = m . –––––– 12 c a m Eje b Eje Cilindro anular (o anillo) con respecto al eje del cilindro. Paralelepípedo con respecto al eje central. CENTRO DE GRAVEDAD Es el punto donde se supone está concentrado todo el peso de un cuerpo. TEOREMA DE VARIGNON “En cualquier sistema de fuerzas se cumple que, la suma de todos los momentos producidos por las fuerzas componentes, con respecto a un punto, es igual al momento producido por la fuerza resultante con respecto al mismo punto”. Tomando momentos con respecto al punto “A”: x1 x x2 A x3 F3 F2 R F1 - 176 - FORMULARIO MATEMÁTICO Expresión que sirve para calcular el punto de aplicación de las resultantes. F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 = Rx F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 x = –––––––––––––––––––––– R A1 . x1 + A2 . x2 + A3 . x3 xg = ––––––––––––––– –––––––– A1 + A2 + A3 A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3 yg = –––––––––––––––––––––– A1 + A2 + A3 Sustituyendo valores numéricos: 4(-5) + 80 . 0 + 40 . 8 ∴ xg = ––––––––––––––––––– = 2,42 4 + 80 + 40 4 . 0 + 80 . –––––––––– yg = ––––––––––4 + 40 . 1,5 = 3,06 4 + 80 + 40 ∴ POSICIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD Se determina con respecto a un sistema de ejes coordenados ( xg,yg ) mediante la relación: C.G. (x, y) F1 . x1 + F2 . x2 + … xg = –––––––––––––––––– F1 + F2 + … CENTROS DE GRAVEDAD DE FIGURAS GEOMÉTRICAS DE PERÍMETROS: F1 . y1 + F2 . y2 + … yg = –––––––––––––––––– F1 + F2 + … Ejemplo: Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura: y 8 De una línea: es el punto medio. C.G. Del perímetro de un triángulo: es la intersección de las bisectrices del triángulo formado al unir los puntos medios de los lados. A2 10 A1 2 C.G. 8 A3 5 x De un paralelogramo: es la intersección de las diagonales. Los pesos o fuerzas “F” son perpendiculares a las áreas “A”: A1 = 2 . 2 = 4 A2 = 10 . 8 = 80 A3 = 8 . 5 = 40 ; x1 = -5 , y1 = 0 ; x2 = 0 , y2 = 4 ; x3 = 8 , y3 = 1,5 C.G. - 177 - De un rectángulo: es la intersección de las diagonales. DE ÁREAS: De un triángulo: es la intersección de las medianas, a 1/3 de la base. C.G. C.G. De una circunferencia: es su centro. De un paralelogramo: rombo, rectángulo y cuadrado, es la intersección de las diagonales. C.G. C.G. C.G De una semicircunferencia: está a 2r/π de la base. y = 2r –– π C.G. C.G y C.G De un arco de circunferencia: está a r . cuerda ; del centro. ––– ––– arco A r C.G. O x r B AB (cuerda) x = –––––––––– ° AB (arco) Trapecio: B + 2b h y = –––––– . –– B+b 3 De la base mayor. b C.G. h y B - 178 - FORMULARIO MATEMÁTICO De un semicírculo: 4r y = ––– 3π De la base De la base C.G C.G. y r De un cuadrante de círculo: 4r x = y = ––– 3π De la base r y h C.G. y Pirámide o cono, en el eje: h y = –– 4 r C.G. y x h C.G. h C.G. y De un sector circular: 2 cuerda AB x = –––––––––– . r 3 arco AB Del centro A r O x C.G. De una semiesfera: r B DE VOLUMENES: De un prisma o cilindro, en eje: h y = –– 2 De la base. 3R y = ––– 8 R C.G. De una esfera, es el centro de la figura. C.G. y R - 179 - TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA A) TRABAJO Es lo realizado por una fuerza, aplicada sobre una masa, cuando la desplaza una distancia. El trabajo es una magnitud escalar. T=F.d Unidades SI: N.m. EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE TRABAJO 1 J = 107 erg B) POTENCIA Es el trabajo realizado en un tiempo determinado: T P = –– t d F Donde: P = potencia media. T = trabajo realizado por una fuerza, en J. En general: T = f . d . cos α t = intervalo de tiempo empleado, en s. UNIDADES DE POTENCIA La unidad de potencia es el watt “W” 1 WATT “W” d α F Es el trabajo realizado por 1 joulio en 1 segundo. 1J 1 W = –––– 1s 1kW . h = 3,6 . 106 J UNIDADES DE TRABAJO La unidad SI de trabajo es el JOULE “J”. Un submúltiplo es el ERGIO “erg”. 1 JOULE (Unidad SI) Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 newton que, aplicado sobre un cuerpo lo desplaza una distancia de 1 m. o: 1J=1N.1m 1 ERGIO “erg” (No es unidad SI) Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 dina, que aplicada a un cuerpo lo desplaza una distancia de 1 cm. 1 erg = 1 dina . 1 cm 735 J 1 H.P. = ––– –– – s 735 N . m 1 H.P. = ––––––––– s 1 H.P. (Horse Power) Es el trabajo realizaco por 735 N.m en 1 segundo. C) ENERGÍA Es la capacidad que tiene todo cuerpo para realizar un trabajo. Puede ser: Energía Potencial y Energía Cinética. - 180 - FORMULARIO MATEMÁTICO ENERGÍA POTENCIAL (Ep) Es la capacidad almacenda para realizar un trabajo que tiene un cuerpo en reposo, en virtud a su peso y a su altura, con respecto a un nivel de referencia. Ep = P . h TRABAJO TRANSFORMADO O ENERGÍA TRANSFORMADA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Es el trabajo realizado o energía desarrollada por un cuerpo en movimiento al pasar de una posición “A” a una posición “B”. TA - B = Ecf – Eci TA - B = Trabajo realizado por una fuerza “F” de A hasta B. Ecf = Energía cinética final. P h Eci = Energía cinética inicial. Nivel de Referencia ENERGÍA CINÉTICA (Ec) Es la capacidad que tiene un cuerpo, en movimiento, para realizar un trabajo en virtud a su masa “m” y a su velocidad “V”. 1 Ec = –– m . V2 2 T = Trabajo, en J V F A d B TRABAJO EN LAS ROTACIONES T=M.α M = Momento aplicado al cilindro (F .R), en N . m α = Angulo girado por el cilindro P=m.g NOTA.Las unidades de medida son iguales a las de trabajo. R F - 181 - ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN 1 Ec = –– . I . ω2 2 I = momento de inercia (m . R2) ω = velocidad angular (γ . t) EL MOVIMIENTO OSCILATORIO Y EL PÉNDULO A) PÉNDULO SIMPLE Péndulo, es un objeto cualquiera que está suspendido de un punto fijo, mediante una cuerda. ELEMENTOS DE UN PÉNDULO SIMPLE UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGÍA J 1J 1 erg 1 10-10 erg 107 1 kW . h αα 2,78 . 10 -7 2,78 . 10 -14 1 A UNIDADES DE POTENCIA W 1W 1 kW 1 erg/s 1 HP 1 1000 10 -7 735 kW 0,001 1 10 -10 erg/s 107 1010 1 HP 136 . 10 -5 136 136 . 10 -10 1 3) PERÍODO “T”, tiempo que demora en una oscilación, medido en s. 4) AMPLITUD “α”, ángulo barrido por la cuerda del péndulo con una de sus posiciones extremas y la vertical, medido en rad. 5) FRECUENCIA “f”, es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo, medido en hertz; se calcula así: 1 f = –– T 1 Unidades SI: –– = hert s 2) OSCILACIÖN “2AB”, es el arco recorrido en ida y vuelta por el objeto suspendido desde una de las posiciones extremas a la otra, medido en rad. 1) LONGITUD “L”, de la cuerda, desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad del objeto suspendido, medido en m. B L h 1 kW . h 0,36 . 107 0,36 . 1014 0,735 735 . 107 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO IMPULSO es el esfuerzo “F” que se hace durante un tiempo muy pequeño “∆t” sobre una masa, para darle un movimiento. → I = F . ∆t → Unidades SI: N . s CANTIDAD DE MOVIMIENTO Es la velocidad “V” impresa a una masa “m” con una fuerza determinada. C =m.V → → LEYES DEL PÉNDULO 1ra. Ley: El período “T” de un péndulo, es independiente de su oscilación “2AB”. - 182 - FORMULARIO MATEMÁTICO 2da. Ley: El período “T” de un péndulo, es independiente de su masa “m”. 3ra. Ley: El período “T” de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de “L”. T T1 –––– = –––– __ __ √L √L1 4ta. Ley: El período “T” de un péndulo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la gravedad “g”. T T1 –––– = –––– __ __ √g1 √g PÉNDULO QUE BATE SEGUNDOS Es aquel péndulo cuyo período dura 2 segundos. T = 2s FÓRMULA GENERAL DEL PÉNDULO: Los elementos son: O Q S α x Vt = w R M VP R R ELONGACIÓN “x”.- Es una magnitud vectorial cuyo valor se mide desde el centro de la circunferencia o desde el centro de vibración, hasta “P”. Se calcula asi: x = R . cos (ω t) 2π . t x = R . cos ––––– unidades SI: m T x = R . cos 2π . f . t AMPLITUD “R”.- Es la elongación máxima. PERÍODO “T”.- Tiempo que demora el punto “P” en hacer una vibración; es decir, una “ida y vuelta”. Se calcula así: Tiempo transcurrido T = –––––––––––––––––––– Número de vibraciones FRECUENCIA “f”.- Es el número de vibraciones por unidad de tiempo, se mide en ciclos por segundo (c.p.s) y se denomina “hertz”. Se calcula así: Número de vibraciones f = –––––––––––––––––––– Tiempo transcurrido o: 1 f = –– T → T = 2π √ ––– L ––– g MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE O MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO Es un movimiento periódico y lineal, cuya aceleración “a” es directamente proporcional a su desplazamiento “x” pero con sentido contrario: a=-K.x ELEMENTOS DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE El movimiento armónico simple es el movimiento lineal que realiza la proyección “P”, sobre un diámetro, de un punto “M” que se desplaza sobre una circunferencia con velocidad circunferencial uniforme. - 183 - RESORTES FUERZA DEFORMADORA: LEY DE HOOKE Para cambiar la forma de un cuerpos se requiere la acción de una fuerza que se llama “fuerza deformadora”, la cual es proporcional a la deformación, siempre que no se pase del límite de elasticidad del cuerpo deformado. La ley de Hooke se expresa así: F=K.x K = constante elástica, propia de cada material x = deformación o elongación F x CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN 4π2 a = - –––– . x T2 o: a = - ω2 . x o: a = - 4π2 . f2 . x VELOCIDAD Y ACELERACIÓN MÁXIMAS ______ Si V = ± 2 π . f √R2 – x2 ; V es máxima cuando x = 0 ∴ Vmáx = ± 2π . f . R La aceleración máxima se obtiene en los extremos; es decir, en la elongación máxima cuando x = ± R. Si a = - ω2 x, aceleración es máxima cuando x = ± R ∴ amáx = ω2 . R FUERZA RECUPERADORA: F = -K . x o: amáx = o: amáx = 4π2 –––– . R T2 4π2 . f2 . R VELOCIDAD, ACELERACIÓN, PERÍODO Y FRECUENCIA CÁLCULO DE LA VELOCIDAD “V” PERÍODO Y FRECUENCIA V = Vt . sen ω t α=ωt V = -2π . f . R . sen 2π . f . t T = 2π _____ m ––– K ____ 1 f = ––– 2π donde: m= _______ V = ± 2π . f √ R2 – x2 masa del cuerpo que tiene movimiento armónico, medido en kg. √ √ K ––– m 2 π. R 2π V = –––––– . sen ––– . t T T K = constante de elasticidad del resorte o elástico. - 184 - FORMULARIO MATEMÁTICO DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO La densidad “δ” es el resultado de comparar, por división, la masa “m” de un cuerpo con su volumen “V”. m δ = –– V La presión es la acción de una fuerza “F” repartida en un área “A”. F A Peso específico “ρ” es el resultado de comparar, por división, el peso “W” de un cuerpo entre su volumen “V”. W ρ = –– V RELACIÓN ENTRE DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO Su deducción: W ρ = –– V Pero: W = m . g m.g ⇒ ρ = ––––– V m Pero: –– = δ V Finalmente: ρ= δ . g o: N P = 300 ––– m2 PRENSA HIDRÁULICA En una prensa hidráulica, la fuerza se multiplica aún cuando la presión por unidad de área es la misma. F1 A1 h2 F2 h1 A2 F P = –– A PRINCIPIO DE PASCAL La presión que soporta un líquido lo transmite en todas direcciones y en la misma magnitud. Ejemplo: La fuerza “F” sobre el émbolo es 60 N, área del émbolo 0,2 m2. Cada orificio tiene 1 cm2, la presión con que sale el agua por cada orificio es: F 60N P = –– = ––––– = 300 Pa A 0,2m2 ESTÁTICA DE LOS FLUÍDOS Es el estudio de los líquidos en reposo. También se le denomina HIDROSTÁTICA que es sólo el estudio del agua en reposo. CONCEPTOS Y DEFINICIONES PRESIÓN (P) Es una magnitud tensorial. La unidad SI de presión es el PASCAL “Pa”. N Pa = ––– m2 - 185 - Multiplicación de fuerza F1 F2 ––– = ––– A1 A2 Carrera o desplazamiento (h1, h2) de los émbolos o pistones. h1 h2 ––– = ––– A1 A2 LEY FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTÁTICA “La diferencia de presiones entre dos puntos, en un mismo líquido, es igual al peso específico del líquido por la diferencia de profundidades”. ∆P = ρ (hA - hB) PRINCIPIO DE LA HIDROSTÁTICA La presión que soporta un cuerpo que está sumergido en un liquido se distribuye en toda la superficie del cuerpo y en forma perpendicular a esta superficie. PRESIÓN HIDROSTÁTICA Sea un cuerpo A sumergido. P=h.ρ h = produndidad a la que está sumergido el cuerpo, en m. ρ = peso específico del líquido, n N/m3 A E hA hB B EMPUJE HIDROSTÁTICO: E → 1) Todo cuerpo sumergido en un fluído soporta una fuerza de abajo hacia arriba, perdiendo aparentemente una parte de su peso, esa fuerza se llama empuje “E”. P h 2) El volumen “V” de un líquido que es desalojado por un cuerpo cuando se sumerge en un líquido, es igual al volumen del cuerpo. 3) La aparente pérdida de peso, cuya magnitud es igual a la del empuje que experimenta un cuerpo sumergido en un líquido, es igual al peso del volumen del líquido desalojado. A PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES “El empuje “E”, o aparente pérdida de peso que experimenta un cuerpo sumergido en un líquido, es igual al peso del volumen del líquido desalojado”. → VASOS COMUNICANTES Son un conjunto formado por dos o más recipientes conectados entre sí. Cuando al sistema se le llena un mismo líquido, el nivel superior en todos los recipientes alcanza el mismo nivel horizontal. E=V.ρ - 186 - FORMULARIO MATEMÁTICO E = empuje del líquido = pérdida aparente de peso del cuerpo. V . ρ = peso del líquido desalojado V = volumen del cuerpo = volumen del líquido desalojado. ρ = peso específico del líquido Principios de Arquímides “Todo cuerpo sumergido en un gas, experimenta la acción de una fuerza vertical de abajo hacia arriba que es igual al peso del volumen del gas desalojado”. Esta la razón por la que algunos cuerpos muy livianos, como un globo lleno de Helio, se elevan en la atmósfera. FUERZA ASCENSIONAL (Fas).Es una fuerza vertical de abajo hacia arriba que ejerce un gas sobre un cuerpo sumergido en su masa. P Fas = E – w E = empuje del gas, hacia arriba W = peso del cuerpo B EL CALOR Es una forma de energía de los cuerpos como consecuencia de la vibración molecular. El calor también se define como “energia de transito”. E RELACIÓN ENTRE EL EMPUJE Y EL PESO ESPECÍFICO DE LÍQUIDOS “El empuje que soporta un cuerpo sumergido en un líquido, es directamente proporcional al peso específico del líquido”. E1 E2 ––– = ––– ρ2 ρ1 La unidad de calor SI es el JOULE “J”. Tasmbién puede usarse la CALORIA “cal”. A) DILATACIÓN Es el aumento que experimenta un cuerpo en sus dimensiones. A.1) DILATACIÓN LINEAL “∆L” Es el aumento en su longitud (una dimensión) que experimenta una barra. ∆L = λ . L . ∆t Donde: NEUMOLOGÍA Es el estudio de los gases. Los gases son fluidos aeroformes. Los principios de Pascal y Arquímides tratados en este capítulo se cumple también para los gases. Principio de Pascal “La presión externa ejercida sobre un gas se transmite íntegramente a toda la masa gaseosa”. ∆L = dilatación lineal, en m. λ = coeficiente de dilatación lineal propio de cada cuerpo. L = longitud de la barra, en m. ∆t = variacíon de la temperatura, en Cº. LONGITUD FINAL “Lf” Es la longitud al final de la elevación de la temperatura. Lf = L (1 + λ . ∆t ) - 187 - A.2) DILATACIÓN SUPERFICIAL “∆A ÁREA FINAL “Af” Dilatación superficial, es el aumento que experimenta un cuerpo en sus DOS dimensiones. ∆A = β . A . ∆t Af = A(1 + β . ∆t) A.3) DILATACIÓN VOLUMÉTRICA “∆V” VOLUMEN FINAL Vf Dilatación volumétrica es el aumento que experimenta un cuerpo en sus TRES dimensiones. ∆V = γ . V . ∆t Vf = V (1 + γ . ∆t) 3) B.T.U. (British Termical United)(No es unidad SI).Es la unidad inglesa para medir el calor, se define así: “Cantidad de calor que necesita 1 libra-masa de agua pura para subir su temperatura en 1 °F . EQUIVALENCIA DE 1 B.T.U. EN CALORÍAS 1 B.T.U. = 252 calorías CALOR ESPECÍFICO “C.e.” Es la cantidad de calor que gana o pierde la masa de 1 g de una sustancia para subir o bajar 1 °C su temperatura. ALGUNOS CALORES ESPECÍFICOS ( Agua Agua de mar Alcohol Mercurio cal en –––––– g . °C Líquidos ) 1,00 0,95 0,60 0,033 VARIACIÓN DEL PESO ESPECÍFICO “ρ” CON LA TEMPERATURA.ρi ρf = –––––––– 1 + γ . ∆t ρf = peso específico final. ρi = peso específico inicial. γ = coeficiente de dilatación volumétrica. Sólidos B. CALORIMETRÍA Es el estudio de la medida del calor. UNIDADES PARA MEDIR EL CALOR 1) JOULE “J”.- Es la unidad SI para medir el calor. Fierro 2)CALORÍA “cal” (no es sistema SI).- Es otra unidad para medir el calor. Se define así: “Es la cantidad de calor que necesita la masa de 1 gramo de agua pura para elevar su temperatura en 1 °C (de 14,5 °C a 15,5 °C). 1 cal = 4,186 J Hielo Plomo Zinc 0,11 0,53 0,031 0,093 Aluminio Cobre 0,212 0,093 - 188 - FORMULARIO MATEMÁTICO LEY DE DULONG Y PETIT Ma . Ce = 6,22 Ma = masa atómica de un elemento, en g Ce = calor específico del elemento, en cal/g . °C CALOR SENSIBLE “Q” (CALOR GANADO O PERDIDO) Es la cantidad de calor que un cuerpo gana o pierde al variar su temperatura. Q = Ce . m . ∆t Q = cantidad de calor ganado o perdido, en cal C.e. = calor específico, en cal/g . °C m = masa del cuerpo, en g ∆t = variación de la temperatura, en °C EQUIVALENCIA EN AGUA DE UN CALORÍMETRO Es una porción de masa de agua “M” que absorbe la misma cantidad de calor que la masa “m” de un calorímetro. MH2O . CeH2O = mcal . Cecal TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA CALORIMETRÍA Al ponerse en contacto 2 cuerpos, hay una transmisión de calor y “el calor ganado por uno de ellos es igual al calor perdido por el otro”. Q calor ganado por = Q calor perdido uno de ellos por el otro TEMPERATURA DE EQUILIBRIO DE UNA MEZCLA.- TEMPERATURA FINAL “tf” Está dada bajo el principio fundamental de que en una mezcla de cuerpos de temperaturas diferentes, el calor entregado por uno de los cuerpos es igual al calor absorbido por el otro, lo que origina una temperatura intermedia de la mezcla, llmada también temperatura final “tf” o temperatura de equilibrio. Q1 = Q2 Ce1 . m1 . t1 + Ce2 . m2 . t2 + ... tf = –––––––––––––––––––––––––––– Ce1 . m1 + Ce2 . m2 + ... C. CAMBIO DE FASE Por acción del calor todos los cuerpos cambian de fase o de estado. Mientras dura el cambio de fase, la temperatura no varía. CALORES LATENTES Es la cantidad de calor que gana o pierde una unidad de masa durante el cambio de estado. Q Cf = –– M De fusión, si gana De solidificación, si pierde Q Cv = –– m De vaporización, si gana De condensación, si pierde CAPACIDAD CALORÍFICA “Cc” Es la cantidad de calor que absorve cierta masa de un cuerpo para elevar su temperatura en 1 °C. CC = m . Ce D. TRANSMISIÓN DE CALOR El calor se transmite por CONVECCIÓN en los líquidos y gases, por CONDUCCIÓN en los sólidos y por RADICACIÓN. En este libro se trata sólo la transmisión del calor por conducción. - 189 - TRANSMISIÓN DEL CALOR POR CONDUCCIÓN Es el calor que pasa a través de la masa de un cuerpo. TRABAJO MECÁNICO DEL CALOR Experimentalmente, Joule encontró el equivalente mecánico del calor: 1 cal = 4,186 J 1 J = 0,24 cal s TERMODINÁMICA “Es el estudio de la fuerza mecánica del calor” o también “el estudio de la relación que existe entre el calor y el trabajo”. TRABAJO REALIZADO POR UN GAS: “W” Cuando se calienta un gas a presión “P” constante, se realiza un trabajo (Ley de Charles). W = P . ∆V Unidades SI: J CANTIDAD DE CALOR TRANSMITIDO “Q” Es la cantidad de calor que pasa de un punto a otro a través de un conductor. Q = KSGτ P = presión que soporta el gas constante ∆V = variación de volumen ∆V = V2 – V1 P P ∆h G τ = gradiente o caída de la temperatura (t1 - t2). = tiempo durante el cual se ha transmitido el calor. t1 - t2 G = –––––– e o: e = espesor del conductor o longitud según sea el caso. o: t1 - t2 = diferencia de temperaturas en las caras de un cuerpo. 1 atm . L = 24,15 cal 1 atm . L = 101,3 J Q = cantidad de calor transmitido a través del conductor. K = coeficiente de conductibilidad térmica propia de cada sustancia. S = sección del conductor. V1 V2 1 atm . L = 101,3 N . m - 190 - FORMULARIO MATEMÁTICO CALOR ABSORBIDO POR UN GAS: “Q” Es la cantidad de calor que absorbe una masa gaseosa “m” para aumentar su temperatura “∆t”, manteniendo su presión o su volumen constante. Q = Ce . m . ∆t Q ⇒ Ce = ––––––– m . ∆t Q1 = calor entregado en “J”. Q2 = calor absorbido por la fuente fría o calor no aprovechado en realizar trabajo, en “J”. T1 = temperatura absoluta mayor en “K”. T2 = temperatura absoluta menor en “K”. Q = calor absorbido por un gas en “J” M = masa del gas que absorbe calor en “g” ∆t = variación de la temperatura en “°C” cal Ce = calor específico del gas en ––––– g . °C SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA (Rudolf Clausius 1850) “En una máquina térmica es imposible el movimiento continuo que, sin recibir calor del exterior, pueda transferir calor un foco frío a otro foco caliente”. ELECTROSTÁTICA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA “En toda transformación entre calor y trabajo la cantidad de calor entregado a un sistema es igual al trabajo realizado “W”, más el aumento de su energía interna “∆E”. Q = W + ∆E Q = calor entregado W = trabajo realizado ∆E = variación de energía interna RENDIMIENTO “R” O EFICIENCIA EN UNA MÁQUINA TÉRMICA El rendimiento de una máquina térmica que absorbe calor para transformarlo en trabajo, depende del calor entregado “Q” y el trabajo realizado “W”: % = W . 100 –– Q o: Q1 – Q2 R = ––––––– Q1 o: T1 – T2 R = ––––––– T1 Estudia las cargas eléctricas en reposo. PRIMERA LEY DE LA ELECTROSTÁTICA Es una ley CUANTITATIVA: “Los cuerpos cargados con el mismo signo de electricidad se repelen, los cuerpos cargados con signos contrarios se atraen”. TABLA TRIBOELÉCTRICA La tabla indica que: una sustancia frotada con la que le precede en el orden de la tabla, se carga negativamente; frotada con la que le sigue se carga positivamente. 1. Piel de gato 2. Vidrio 3. Mica 4. Lana 5. Marfil 6. Seda 7. Algodón 8. Platino SEGUNDA LEY DE LA ELECTROSTÁTICA: LEY DE COULOMB Es una ley CUANTITATIVA: “La fuerza de atracción o repulsión en la línea que une los centros entre dos cargas electrostáticas, es directamente proporcional al producto de sus masas eléctricas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros”. - 191 - Se atraen: d F F PERMITIVIDAD “ε” Es el grado de dificultad que ofrece una medio al paso de la corriente eléctrica. + Q Se repelen: d F q El valor de K depende de la permitividad. La permitividad en el aire o en el vacío se denota “εo” F 1 K = –––––– 4π . εO 1 C εO = ––––––––––– . –––––– 4π . 9 . 109 N . m2 (I) + Q Q.q F = K ––––– d2 1 Q.q F = –––– . ––––– 4πε d2 q + (α) C εO = 8,85 . 10 -12 –––––– N . m2 Sustituyendo (α) en (I): N . m2 K = 9 . 109 –––––– C2 (β) F = fuerza de atracción o repulsión, en newtons (N). Q,q = masas eléctricas que pueden ser positivas y/o negativas, en coulombios (C). d = distancia entre los centros de masa eléctrica, en metros “m”. K = coeficiente de proporcionalidad que depende del medio ambiente y de las unidades de F , Q, q, d. ε = coeficiente de permitividad del medio, en C/N . m2. UNIDADES ELÉCTRICAS UNIDADES SI F en newton “N” , Q y q, en coulombio “C” d, en metro “m” N . m2 K = 9 . 109 –––––– C2 (en el vacío o en aire) En un medio distinto al aire o vacìo la permitividad es siempre mayor. ε > εO o: ε = γ . εO γ = constante adimensional, llamada constante dieléctrica relativa o capacidad inductiva específica. En el vacío o en el aire: γ = 1 UNIDADES ELÉCTRICAS COULOMB “C” Es la unidad SI de masa eléctrica, se define como: “una carga eléctrica situada frente a otra igual, a 1 m de distancia y en el vacío, que se repelen o se atraen con una fuerza de 9 . 109 N. - 192 - FORMULARIO MATEMÁTICO CAMPOS DE CARGAS IGUALES EQUIVALENCIAS (e = carga de un electrón) 1C 1C 1 (-e) 1 (+e) 1 u.e.q. 1 u.e.q. 1e Masa 1 e Masa 1 protón 1 u.e.q. = 8,25 . 10 e = 3 . 109 u.e.q. = 1,6 . 10 -19 C = 1,6 . 10 -19 18 Las líneas de acción se rechazan, en ambos casos. + + C = 0,33 . 10-9 C = 2,72 . 109 e = 0,48 . 10-9 u.e.q. = 9,11 . 10 -31 Rg = 1,67 . 10 -27 Rg = 1 stc = 1 franklin Ambas negativas CAMPO DE CARGAS DISTINTAS Las líneas de acción se complementan. Ambas positivas - - CAMPO ELÉCTRICO Es un “ambiente” que rodea a una masa eléctrica y que está sometido a la influencia de esta carga o masa eléctrica. (Es como la atmósfera que rodea a la Tierra). Los campos eléctricos se representan por líneas imaginarias que se llaman líneas de fuerza. Convencionalmente, se acepta que las líneas de acción, o de fuerza de un campo eléctrico “nacen” en una carga positiva y se “dirigen hacia” una carga negativa. + Carga positiva Carga negativa → INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO “E” + - “Es una magnitud vectorial “E” que representa la fuerza “F”, de atracción o repulsión, ejercida sobre cada unidad de carga “q” en un punto del campo eléctrico”. → → Campo de una carga (+) (nacen las líneas de acción) Campo de una carga (-) (llegan las líneas de acción) → F E = –– q → - 193 - UNIDADES SI F = fuerza, en newton “N” q = carga puntual, en coulomb “C” N E = intensidad de campo, en –– C POTENCIAL ELÉCTRICO Potencial eléctrico de un punto en un campo eléctrico, es el trabajo que se realiza para trasladar la unidad de carga eléctrica ubicada en el infinito, hasta el punto P ubicado dentro del campo. W∞→ P VP = ––––––– q F UNIDADES SI VP = potencial en el punto P, en voltios “V”. W∞→P = trabajo realizado para llevar q desde el infinito hasta P, en joules “J”. q = carga puntual, en coulombios “C”. q-F +q + INTENSIDAD “E” DEL CAMPO, A UNA DISTANCIA “r” DE LA MASA CREADORA DEL CAMPO Q E = K –– r2 N.m K = constante = 9 . 109 –––––– C2 N E = intensidad de campo, en –– C Q = masa eléctrica, creadora del campo, en coulombios “C”. r = distancia del “punto”, en el campo, a la carga “Q”, en metros “m”. 2 DIFERENCIA DE POTENCIAL Es el trabajo que se realiza para trasladar una carga puntual desde un punto A hasta un punto B, ambos ubicados en el mismo campo. VAB VB - VA = –––– ⇒ q B + J V = –– C + + A Q Q El trabajo “W” puede ser: r +q a) Positivo, si: Potencial de B > Potencial de A b) Negativo, si: Potencial de B < Potencial de A c) Nulo, si: Potencial de B = Potencial de A + - 194 - FORMULARIO MATEMÁTICO Comúnmente, se supone A en el infinito, en consecuencia VA = 0. ∴ WB VB = –––– q W = trabajo, en joules “J” Q = carga trasladada, en coulombios “C” VA = potencial en el punto A, en voltios “V” VB = potencial en el punto B, en voltios “V” POTENCIAL “W” DE UN PUNTO EN FUNCIÓN DE “E” Y “r” V=E.r POTENCIAL “V” DE UN PUNTO EN LAS PROXIMIDADES DE LA CARGA “Q” Q V = K –– r 1 Q V = –––– . –– 4πεO r UNIDADES SI: K = 9 . 109 N .––– –––2m C Q = coulombio “C” r = metro “m” 2 1 Q.q W = –––– . ––––– 4πεO r Esta fórmula permite calcular el trabajo que debe realizarse para separar 2 cargas eléctricas Q y q, una distancia “r” o para juntarlas. CAPACIDAD ELÉCTRICA Es la cantidad de carga eléctrica almacenada por un conductor o por un condensador por unidad de diferencias de potencial. A) CAPACIDAD DE LOS CONDUCTORES AISLADOS Q C = –– V UNIDADES SI: C = capacidad, en faradios “F” Q = carga almacenada, en coulombios “C” V = diferencia de potencial, en voltios “V” 1 faradio = 1 coulombio ––––––––––– 1 voltio } joulio V = ––––––––– coulombio = voltio “V” Q B o: C F = –– V EQUIVALENCIA DE 1 FARADIO EN u.e.c.- r TRABAJO ELÉCTRICO WAB = q (VB – VA) o: W=q.V 1 faradio = 9 . 1011 u.e.c. OTRAS EQUIVALENCIAS (en micro y pico faradios).El prefijo SI para 10-12 es pico “p”, que sustituye a mm. 1 faradio = 106 µf - 195 - 1 µf = 106 pf 1 faradio = 1012 pf 1 µf = 9 . 105 u.e.c. 1 pc = 0,9 u.e.c. B) CAPACIDAD DE UNA ESFERA AISLADA Si se considera el potencial “V” en la superficie: Q R R C = –– K Unidades que se emplea: c.g.s. u.e.q. : u.e.c. = ––––– u.e.v. coulombio Unidades SI: faradio = ––––––––– Voltio 1 microfaradio “µf” = 10-6 faradios 1 picofaradio “pf” = 10-12 faradios CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR PLANO A C = –– d C = capacidad, en metros “m”. A = área del condensador, en m2. 1 Como K = –––– ; se tiene: 4πεO C = 4πεO R d = distancia entre placas, en m. PARA CALCULAR EN FARADIOS.A C = τ . εO –– d C = capacidad, en faradios “F” τ = constante del dieléctqrico, en el aire y vacío = 1 faradios εO = 8,85 . 10-12 –––––––– metro G CONDENSADORES Son aparatos o dispositivos que sirven para guardar o almacenar cargas eléctricas, pero por poco tiempo. Un condensador lo forman dos cuerpos, y entre ellos existe un campo eléctrico y una diferencia de potencial. CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR Q C = ––– V Colector G Generador + Tierra + Condensador ----- -- -- -- -- ++ +++++ Tierra G Dieléctrico Dieléctrico Campo eléctrico Diferencia de potencial + -- ++ --- ++ ---- ++ --- ++ -++ + Dieléctrico Tierra - 196 - FORMULARIO MATEMÁTICO ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES CONSTANTES DIELÉCTRICAS “τ” Vacío Aire Agua Alcohol Bakelita Azufre 1 1 81 27 5,0 3,5 Vidrio Ebonita Gutapercha Mármol Mica Resina Madera seca 5,5 SUS CARACTERÍSTICAS: CAPACIDAD DE CONDENSADOR ESFÉRICO Y CILÍNDRICO Esfera: Rr C = τεO –––– R-r r Dieléctrico B. EN PARALELO A R Dieléctrico r V Cilindro: h C = τεO –––––– R 2 In –– r C1 C2 C3 B SUS CARACTERÍSTICAS: 1) V = V1 = V2 = V3 = … h C = τεO –––––––– R 4,6 log –– r 2) Q = Q1 + Q2 + Q3 + … 3) C = C1 + C2 + C3 + … Q1 Q2 Q3 1) V = V1 + V2 + V3 + … 2) Q = Q1 + Q2 + Q3 + … 1 1 1 1 3) –– = –– + –– + –– + …. C C1 C2 C3 2,5 4,5 8,0 5,0 2,5 4,5 A V1 V2 V B V3 -Q A. EN SERIE O CASCADA C1 C2 C3 -Q -Q +Q +Q +Q R - 197 - C. EN BATERÍA O MIXTO Unidades SI: - +- +- + A W en joules “J”. Q en coulombios “C”. V en voltios “V”. G +- +- + B C en faradios “F”. ELECTRODINÁMICA +++ C Es el estudio de partículas eléctricas en movimiento a través de conductores. CORRIENTE ELÉCTRICA SUS CARÁCTERÍSTICAS: C1 C = N ––– n La capacidad de cada uno de los condensadores es igual a C1. N = número de conexiones en serie n = número de condensadores en cada serie ENERGÍA DE UN CONDENSADOR Cuando un condensador se carga, empieza con Q = 0 y por consiguiente la diferencia de potencial también es 0: V = 0, a medida que se va cargando, la diferencia de potencial subre de 0 a “V” y el valor medio es la diferencia, entre dos: “V/2”. El trabajo necesario para trasladar una carga “Q” a través de una diferencia de potencial “V/2” es: 1 W = –– VQ 2 1 W = –– CV2 2 o: 1 Q2 W = –– . ––– 2 C Receptor Conductor Interruptor Es el flujo de electrones a través de un conductor. PARTES DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO GENERADOR UNIDADES SI PARA MEDIR LA CORRIENTE ELÉCTRICA INTENSIDAD Q i = –– t i = intensidad, en amperios: “A”. Q = masa eléctrica, en coulombios: “C”. T = tiempo, en segundos: “s”. o: - 198 - FORMULARIO MATEMÁTICO DIFERENCIA DE POTENCIAL E =W –– Q E = fuerza electromotriz, (f.e.m.) en voltios “V”. W = energía desplazada, en joulios: “J”. Q = carga eléctrica desplazada, en coulombios: “C”. RESISTENCIA ELÉCTRICA E R = –– i R = resistencia del conductor o aparato receptos, en ohmios: “Ω”. E = f.e.m. en voltios “V”. i = intensidad, en amperios “A”. NOTA.1) La letra que se usa como símbolo del ohmio es “Ω”. 2) Al voltaje o diferencia de potencial también se le llama “caída de potencial”. 3) El “ohmio patrón” es la resistencia que ofrece un alambre de mercurio (Hg) de 1,063 m de longitud, de 1 mm de diámetro de sección, a 0°C, al paso de un amperio de corriente eléctrica cuando la diferencia de potencial es de 1 voltio. L R = ρ –– A R = resistencia del conductor, en ohmio “Ω” ρ = resistividad, o resistencia específica propia de cada material, en ohmios . cm L = longitud del conductor, en metros: “m” A = área de la sección del conductor, en “m2” CONDUCTANCIA Es la inversa de la resistencia. 1 G = –– R G = conductancia, en ohms: “Ω” R = resistencia, en ohms: “Ω” ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS R (a) (b) Representación de una resistencia (a) americana E (b) alemana - + Representación de un generador A. EN SERIE i i R1 R2 R3 E + i i RESISTENCIA DE LOS CONDUCTORES La resistencia, es la dificultad que ofrece un conductor al paso de la corriente. LEY DE POUILLET “La resistencia de un conductor homogéneo, de sección recta constante, es directamente proporcional a su longitud “L” e inversamente proporcional a su sección recta “A”. SUS CARACTERÍSTICAS: 1) i = i1 = i2 = ... 2) R = R1 + R2 + R3 + … 3) E = E1 + E2 + E3 + … - 199 - B. EN PARALELO i R1 i2 R2 i2 i3 R3 i3 + i CORRIENTES DERIVADAS LEYES DE KIRCHOFF La dirección que se les asigna a la corriente en cada nudo es arbitraria. Si ha sido equivocada, el proceso de solución matemático lo indicará. i1 i A i1 R3 i1 B i2 R2 E1 F r’i i1 R1 i1 E2 E + r”1 D i3 C i3 R4 i1 i SUS CARACTERÍSTICAS: 1) i = i1 + i2 + i3 + … i i i i 2) –– = –– + –– + –– + … R R1 R2 R3 3) E = E1 = E2 = E3 = … Las intensidades en cada ramal son inversamente proporcionales a sus resistencias: i1 i2 –– = –– R2 R1 i1 i3 –– = –– R3 R1 FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIA TOTAL EN UN CIRCUITO ; i2 i3 –– = –– R3 R2 1ra. LEY: DE LOS NUDOS “La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que llegan a un nudo es cero” o “La suma de las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del nudo”. ∑i = 0 Ejemplo: Nudo B : i2 + i3 = i1 2da. LEY: DE LAS MALLAS “La suma algebraica de las fuerzas electromotrices de una malla cualquiera es igual a la suma algebraica de los productos de las intensidades por las respectivas resistencias”. ∑E = ∑ i . R Ejemplo: Para la malla ABEF E1 + E2 = i1 . R1 + i2 . r”1+ i2 . R2 + i1 . R3 + i1 . r’1 PUENTE DE WHEATSTONE Caída de tensión externa Ee = i . Re Caída de tensión interna Ei = i . ri Caída de tensión total ET = Ee + Ei “Si el puente de Wheatstone se halla en equilibrio, el producto de las resistencias opuestas, son iguales”. R1 . R3 = R2 . R4 - 200 - FORMULARIO MATEMÁTICO i1 i1 A R1 i1 R2 i1 B b) ENERGÍA PRODUCIDA POR UN GENERADOR W=E.Q (II) i2 R4 i2 i2 R3 i2 W = energía del generador, en joules “J”. E = f.e.m. del generador, en volts: “V”. Q = carga suministrada por el generador, en coulombs “C”. i + E - ENERGÍA Y POTENCIA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA ENERGÍA ELÉCTRICA Es la capacidad de la corriente eléctrica para realizar un trabajo. Puede ser: a) Energía consumida por aparatos eléctricos; b) Energía producida por un generador. a) ENERGÍA CONSUMIDA O DISIPADA W=V.Q UNIDADES SI W = energía consumida, en joules “J”. V = diferencia de potencial, en volts: “V”. Q = carga eléctrica consumida, en coulombios “C”. La fórmula (I) puede tomar otras formas: Si: Q = i . t ∴ V Si: i = –– R V2 . t W = ––––– R W=V.i.t (I) POTENCIA DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA W P = –– t (I) joule watt = ––––– s J W = –– s La fómurla (I) puede tomar otras formas en función de otras mediciones de corrientes, así: Si: W = E . Q ∴ Si: Q = i . t ∴ E Si: i = –– R ∴ Si: E = i . R ∴ EQUIVALENCIAS: 1 k . W = 103 W P = i2 . R E2 P = ––– R P=i.E E.Q P = ––––– t ∴ Si : V = i . R ∴ W = i2 . R . t 1kW . h = 3,6 . 106 J - 201 - EFECTO JOULE o LEY DE JOULE “El calor “Q” disipado por un conductor al pasar la corriente a través de él, es directamente proporcional a la energía eléctrica “W” gastada para vencer la resistencia del conductor”. Q = 0,24 . W Si: W = i2 . R . t ∴ Donde: 0,24 = factor de conversión de joules a calorías (0,24 cal/J). Q = calor producido, en calorías: “cal”. i = intensidad de la corriente, en amperes: “A”. R = resistencia del conductor, en ohms: “Ω”. t = tiempo que circula la corriente, en segundos: “s”. 1 J = 0,24 cal RENDIMIENTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA (I) Pu ρ = ––– Pt Q = 0,24 . i2 . R . t MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO A) MAGNETISMO Propiedad que tienen algunos cuerpos de atraer el hierro, de acuerdo a ciertas leyes físicas. LÍNEAS DE FUERZA DE UN CAMPO MAGNÉTICO Son líneas imaginarias que van de un polo a otro polo de un imán. S N Líneas de fuerzas magnéticas en un campo creado por polos diferentes: N S Líneas de fuerza magnéticas en un campo creado por polos diferentes: ρ = rendimiento adimensional. Pu = potencia utilizada en watts “W” o “kW”. Pt = potencia suministrada, en watts “W” o “kW”. Pu = Pt - Potencia perdida en el generador. Pu = E . i – i2 . R. Sustituyendo en (I) y efectuando: i.R ρ = 1 - –––– E amperio . ohmio A.Ω ρ = 1 - ––––––––––––––– = 1 - ––––– voltio V LEYES MAGNÉTICAS 1ra. LEY CUALITATIVA “Polos iguales se repelen, polos contrarios se atraen”. 2da. LEY CUANTITATIVA (Coulomb Magnética) “La fuerza de atracciòn o repulsiòn entre dos polos magnéticos es directamente proporcional a las masas magnéticas de los polos, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”. N N - 202 - FORMULARIO MATEMÁTICO m1 . m2 F = KM . –––––––– d2 UNIDADES SI: F = fuerza de atracción o repulsión, en “N”. m1 . m2 = masas magnéticas de los polos, en amperio . metro “A . m”. d = distancia entre polos, en metros “m”. KM = constante magnética. 2 = 10 -7 –N . m –––––– (A . m)2 P mO F d B INTENSIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO PRODUCIDA POR UN POLO → M B = KM –– d2 → B = intensidad del campo magnético a la distancia “d”, en tesla “T”. M = masa magnética del polo, en “A . m”. d = distancia del polo a un punto del campo, en metros “m”. KM = constante de permeabilidad magnética, en: N . m2 KM = 10 -7 –––––– (A .m)2 FLUJO MAGNÉTICO “φ” Se llama flujo magnético “φ” al número total de líneas magnéticas que atraviesan perpendicularmente una sección “S” determinada. φ=B.S Norte S Sur m1 F d F m2 DEFINICIÓN DE “A . m” “La unidad de masa magnética “A . m” es la que es capaz de rechazar o atraer a otra masa magnética igual y que esté a 1 m de distancia, en el vacío, con una fuerza de 10 -7 N”. INTENSIDAD “B” DE UN PUNTO DEL CAMPO MAGNÉTICO Es el poder magnético de un punto en las cercanías de un imán. Sea “mO” una masa magnética de polo en un punto de un campo, la intensidad se expresa así: → F B = ––– mO → Sección Si el plano atravesado forma un ángulo “α” con las líneas magnéticas, el valor del flujo es: φ = B . S cos α Norte S α Sur → B = intensidad del campo magnético, medido en teslas “T”. Un submúltiplo de tesla es el gauss 1 T = 104 G ⇒ 1 G = 10-4 T → F = fuerza, en “N”. mO = masa magnética, en “A . m”. - 203 - DENSIDAD MAGNÉTICA “B” Está dada por el número de líneas magnéticas que atraviesan una unidad de área. φ B = –– S NOTA.Convencionalmente la intensidad de flujo magnético y la densidad de flujo magnético son iguales. φ = flujo magnético en weber “Wb” 1 Wb = 1T . m2. B = densidad del flujo magnético, en T/m2. S = área en m2. LEY DE BIOY Y SAVART “La intensidad magnética inducida en un punto cercano a un conductor recto y largo, por donde circula corriente eléctrica, es directamente proporcional a la intensidad de la corriente e inversamente proporcional a la distancia del punto considerado al conductor”. µO i B = ––– . –– 2π R B = intensidad del campo, en teslas “T”. i = intensidad de la corriente eléctrica, en amperes “A”. R = distancia del punto en el campo al conductor en “m”. KM = constante magnética. 2 = 10 -7 –N . m 2 –––––– (A . m) B) ELECTROMAGNETISMO Es el estudio de la relación que hay entre la corriente eléctrica y el magnetismo. EFECTO OERSTED “Siempre que por un conductor pasa corriente eléctrica, alrededor suyo se crea un campo magnético cuyas líneas de fuerza la envuelven, su sentido u orientación depende de la dirección de la corriente”. Al campo magnético creado por la corriente que circula se le llama campo magnético inducido. REGLA DE LA MANO DERECHA (de Ampere) Poniendo la palma de la mano estirada sobre el conductor, con el pulgar apuntando el sentido de la corriente, los demás dedos indican hacia donde apuntan las líneas de fuerza del campo magnético. INTENSIDAD DE CAMPO CREADA POR UN CONDUCTOR CIRCULAR a) En el centro: µO i Bc = ––– . –– 2 R b) En un punto del eje: µO iR2 Bp = ––– . ––––––––– 2 (x2 + R2)3/2 i RS N -+ i i - 204 - FORMULARIO MATEMÁTICO LEY DE LA CIRCULACIÓN DE AMPERE INTENSIDAD DE CAMPO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE: Solenoide es un alambre enrollado, por donde circula la corriente, y que tienen la forma de un resorte. L 1) En el extremo, el campo magnético es cero. 2) En el interior, el valor de “H” es igual en cualquier punto. 3) El radio para el cálculo es el radio medio. INTENSIDAD DEL CAMPO EN EL INTERIOR DE UN TOROIDE R1 + RE Ra = ––––––– 2 N S RE R1 + + Es un espiral de un alambre conductor de corriente eléctrica. N.i B = µO ––––– L o: B = µO . n . i B = intensidad del campo magnético, en teslas “T”. N = números de espiras. i = intensidad de la corriente, en “A”. L = longitud del solenoide, en “m”. µ0 = permeabilidad del espacio libre . T.m = 4 . 10 -7 ––––– A N Si: ––– = n, se tiene la segunda fórmula L BOBINA, SOLENOIDE ANULAR O TOROIDAL DE ROWLAND Cuando se junta los extremos de un solenoide, arqueándolo, para hacer una corona o anillo, ocurre que: o: o: i B = µO . ––––– . N 2πRa i B = 2 KM . ––– . N Ra FLUJO “φ” A TRAVÉS DE UN SOLENOIDE: (Cuando el núcleo es aire) N φ = µO . ––– . i L FLUJO “φ” A TRAVÉS DE UN SOLENOIDE: (Cuando el núcleo no es aire) N φ = 4 KM . µr . ––– . i . S L o: N φ = µO . µr . ––– . i . S L N φ = µ . ––– . i . S L - 205 - φ = flujo, en webers (1 Wb = 1 T . m2) i = intensidad de corriente, en amperios “A”. N n = –– , número de espiras por unidad – L de longitud ( # espiras/m). S = área circular de la bobina, en m2. µ = permeabilidad magnética del material. µO = permeabilidad magnética del espacio libre o vacío. µO KM = ––– 4π PERMEABILIDAD MAGNÉTICA RELATIVA “µr” BN µO = ––– B o: µO o: µ µr = ––– µO µr = permeabilidad relativa de una material. φm = flujo magnético en un material. φ = flujo magnético en el espacio libre o vacío. DENSIDAD DEL FLUJO INDUCIDO “B” A TRAVÉS DEL NÚCLEO φ B = –– S B = densidad magnética de flujo inducido, en teslas “T”. φ = flujo magnético, en webers “Wb”. S = sección del solenoide, en m2. φm = ––– φ NOTA: La densidad magnética con la intensidad magnética o inducción magnética se igualan (es el mismo concepto). EFECTO FARADAY Es un efecto contrario al de Oersted, es decir que el magnetismo produce corriente eléctrica. Cuando se acerca y se aleja un imán a un solenoide, se crea en el solenoide una corriente que Faraday la llamó “corriente inducida”. Sea un imán “A” con sus líneas de fuerza y un solenoide “S”: 1) Si el imán no se mueve, el número de líneas que atraviesa el solenoide no varía. No hay corriente inducida. S A 2) Si el imán se acerca, el número de líneas que atraviesa el solenoide aumenta. Hay corriente inducida. S →A 3) Si el imán se aleja, el número de líneas que atraviesa el solenoide disminuye. Hay corriente de sentido contrario al anterior. S ←A - 206 - FORMULARIO MATEMÁTICO 4) Si el imán se acerca y se aleja repetida y rápidamente, el número de líneas que atraviesa el solenoide también aumenta rápidamente y como consecuencia la intensidad de la corriente inducida aumenta. La corriente que circula por el solenoide es CORRIENTE ALTERNA. Sea φ1 el flujo inicial y sea φ2 el flujo final de mayor valor, la variación del flujo es: ∆φ = φ2 - φ1 La velocidad o rapidez de variación del flujo será: ∆φ v = ––– t LEY DE FARADAY “La fuerza electromotriz inducida en un solenoide es directamente proporcional, pero de signo contrario, al número de espiras del solenoide y a la rapidez con que cambia el flujo magnético que encierra”. N . ∆φ F = - –––––– ∆t F = fuerza electromotriz, en voltios “V”. N = número de espiras. ∆φ = variación del flujo magnético, en “Wb”. ∆t = período de tiempo en “s”. Actualmente se cree en la doble naturaleza de la luz: corpuscular y ondulatoria. VELOCIDAD DE LA LUZ 300 000 km/s UNIDAD DE INTENSIDAD DE LA LUZ “Viole es la intensidad de la luz emitida por una plancha de platino de 1cm2 en estado fundente”. 1 1 candela = ––– Viole 20 1 1 bujía = ––– Viole 20 ∴ 1 cad = 1 bujía Viole Platino fundente A) ILUMINACIÓN ÓPTICA Es el estudio de la luz, así como de todos los fenómenos relacionados con ella. Según Newton, la luz es una emisión corpuscular de los cuerpos. Según Huygens, la luz es un fenómeno ondulatorio. Maxwell sostenía que la luz está constituída por ondas transversales de naturaleza electromagnética. Plank postula la teoría de los “quanta”. Según esta teoría la energía de un haz luminoso está concentrada en paquetes constituyendo corpúsculos energéticos o fotones. Es la incidencia de los rayos luminosos sobre una superficie. UNIDAD DE ILUMINACIÓN “E” I cos α E = ––––––– d2 1 bujía 1 lux = ––––––– 1 cm2 E = iluminación, en lux. I = intensidad luminosa, en bujías. d = distancia del foco a la zona iluminada, en cm - 207 - Foco Foco Pantalla d α f I = ––– ω I = intensidad luminosa, en bujías. FLUJO LUMINOSO “f” Es la intensidad de carga luminosa recibida por una superficie. f=E.A f = flujo luminoso, en lúmenes. E = iluminación, en lux. A = área iluminada, en m2. 1 lumen = 1 lux . 1 m2 UNIDADES FOTOMÉTRICAS S.I. (S.I. = Systeme International d´Unites) Propiedad que se mide Intensidad luminosa (I) Flujo luminoso Iluminación Luminancia (φ ) Unidad S.I. Símbolo Candela Lumen cd Im Ix cd/m2 f = flujo luminoso, en lúmenes. ω = ángulo sólido, en estereoradianes o radianes. FLUJO TOTAL DE INTENSIDAD “fT” fT = 4π . I fT = flujo total de iluminación, en lúmenes. π = en radianes. I = intensidad luminosa, en bujías. Pantalla Diaframa (E) Lux (1m/m2) (L) cd/m2 REFLEXIÓN DE LA LUZ INTENSIDAD LUMINOSA “I” Es la cantidad de flujo emitido por un manantial por cada unidad de ángulo sólido. Es el rebote que experimentan los rayos luminosos al incidir sobre una superficie, cambiando de dirección. La superficie puede ser rugosa o pulimentada, dando origen reflexión “difusa” y reflexión “regular”, respectivamente. - 208 - FORMULARIO MATEMÁTICO LEYES DE LA REFLEXIÓN REGULAR “El ángulo “i” de incidencia es igual al ángulo “r” de reflexión”. “El rayo de incidencia, el rayo de reflexión y la normal están en un mismo plano perpendicular al plano de incidencia”. ÁNGULO DE INCIDENCIA “i” y ÁNGULO DE REFLEXIÓN “r” NORMAL “N” es una recta perpendicular al plano en el punto de incidencia del rayo luminoso. ˆ i= ˆ r= N de incidencia de reflexión i r ESPEJOS ESFÉRICOS Son casquetes esféricos pulidos. Si está pulido por dentro el espejo es cóncavo o convergente; si está pulido por fuera el espejo es convexo o divergente. Cóncavo convergente Convexo o divergente ELEMENTOS DE UN ESPEJO ESFÉRICO ESPEJOS Son superficies pulimentadas que sirven para producir reflexión regular y producir imágenes. Los espejos pueden ser planos o esféricos. ESPEJOS PLANOS Son superficies pulimentadas planas que al incidir los rayos luminosos proporcionan una imagen de las siguientes características: a) Derecha. b) Virtual, es decir detrás del espejo. d) Del mismo tamaño del objeto. e) Simétrico con respecto al espejo. objeto: O V R F α C f 1) CENTRO DE CURVATURA, es el centro “C” de la esfera. 2) POLO DEL CASQUETE, es el vértice “V”. 3) EJE PRINCIPAL, es la recta que une el vértice “V” y el centro de curvatura “C”. 4) ABERTURA, es el ángulo “α” formado por el eje principal y el radio que pasa por el borde del espejo.Normalmente los espejos esféricos no tienen más de 10º de abertura, lo que significa que su radio siempre es muy grande. 5) FOCO PRINCIPAL, es el punto “F” del eje principal por donde pasan los rayos reflejados del espejo. 6) DISTANCIA FOCAL, es la distancia “f” del foco principal al vértice “V” del espejo, su valor: f = R/2. i r Espejo imagen: I 7) EJE SECUNDARIO, es cualquier eje que no sea el principal y que pasa por el centro “C” del espejo. - 209 - RAYOS PRINCIPALES 1. Todo rayo paralelo al eje principal, se refleja pasando por el foco “F”. POSICIÓN DEL OBJETO Y LA IMAGEN EN UN ESPEJO CONCÁVO Cuando el objeto está más allá del centro de curvatura. V F C O V F I C O Imagen: Real Invertida de menor tamaño 2. Todo rayo que pasa por el foco “F”, se refleja paralelo al eje principal. El objeto está sobre el centro de curvatura: V V F C Imagen: O F O C I Real Invertida del mismo tamaño del objeto 3. Todo rayo que pasa por el centro de curvatura “C”, se refleja sobre sí mismo. El objeto esté entre el foco y el centro de curvatura: O V V F C Imagen: Real Invertida de mayor tamaño O F C I - 210 - FORMULARIO MATEMÁTICO IMAGEN DE UN ESPEJO CÓNCAVO El objeto está sobre el foco: O O F C I F C Imagen: Imagen: Los rayos reflejados no se cortan, luego no hay imagen, o la imagen está en el infinito. El objeto está entre el foco y el vértice Virtual derecha más chica que el objeto. POSICIÓN DE LA IMAGEN (Fórmula de Descartes): 11 1 –– = –– + –– f i o f = distancia del foco al vértice. O F C i = distancia de la imagen al vértice. o = distancia del objeto al vértice. I Imagen: Virtual, porque se cortan en la prolongación del rayo reflejado. Derecha de mayor tamaño que el objeto. Cuando se trata de punto que está en el eje principal: F f i 2f o NOTA: 1) Esta fórmula es válida para espejos cóncavos y convexos. F I C O 2) Signos de las imágenes: imagen real + i, imagen virtual: -i. 3) Signos de las magnitudes: Para espejos cóncavos: R y F son positivos (+) Imagen: En el eje principal. Para espejos convexos: R y F son negativos (-) C O - 211 - TAMAÑO DE LA IMAGEN “I” (“O” tamaño del objeto) i I = O ––– o LEYES DE LA REFRACCIÓN 1ra. LEY: Es cualitativa: “El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en un mismo plano, llamado plano de incidencia”. 2da. LEY: Es cuantitativa: “La relación del seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es constante e igual al índice de refracción”. sen ˆ i ––––– = nA – B ˆ sen r nA – B = índice de refracción del medio B con respecto al medio A. C) REFRACCIÓN DE LA LUZ Es el fenómeno físico que consiste en el cambió de dirección que experimenta un rayo luminosos al incidir en la superficie de separación entre dos medios de distinta densidad,debido a que el rayo luminoso cambia su velocidad. La refracción se produce cuando el rayo luminoso incide en forma oblícua a la superficie de separación entre dos medios distintos. R.i ˆ i Superficie de separación i A B r Aire ˆ r Agua ÍNDICES DE REFRACCIÓN ÍNDICE DE REfRACCIÓN ABSOLUTO “n” C n = –– V ÁNGULO LÍMITE Y REFLEXIÓN TOTAL : “L” Cuando la luz va del agua al aire: N N N Aire n = índice de refracción. C = velocidad de la luz en el vacío 300 000 km/s V = velocidad de la luz en el otro medio. ÍNDICE DE REFRACCIÓN RELATIVO “nA – B” VA nA – B = ––– VB VA = velocidad de la luz en el medio A. VB = velocidad de la luz en el medio B. Agua 1 2 3 L 4 • El rayo 1 pasa de frente, no refracta ni refleja. • El rayo 2 refracta y refleja. • El rayo 3 refracta a 90º y refleja. • El rayo 4 todo refleja porque el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite “L”. - 212 - FORMULARIO MATEMÁTICO 1 SenL = –– n n = índice de refracción del agua con respecto al aire. L = ángulo límite de refracción. LÁMINA DE CARAS PARALELAS. DESPLAZAMIENTO “d” DEL RAYO Sea por ejemplo el vidrio de una ventana de espesor “h”, a través del cual pasa un rayo de luz. h ˆˆ d = ––––– . sen ( i - r ) ˆ cos r N Aire n A r Vidrio Aire n Rayo PRISMA ÓPTICO. CALCULO “D” DE DESVIACIÓN ˆ sen ˆ i sen e ––––– = ––––– = n ˆ sen r sen ˆ i’ D= ˆ+ e- iˆ e i’ B α C h N i DESVIACIÓN MÍNIMA DE PRISMA: ˆi Sucede cuando e = ˆ ∴ Dm = 2i – A ÍNDICE DE REFRACCIÓN CON DESVIACIÓN MÍNIMA: Dm + A sen ––––––– 2 n = –––––––––––– A sen –– 2 IMÁGENES POR REFRACCIÓN Cuando un cuerpo está sumergido Rayo Determinación de profundiad aparente “pa” o profundidad aparente “pa” o profundidad real “pr”. Pa n2 ––– = ––– Pr n1 N A r I Objeto luminoso i B pa pr n1 N’ r n2 A A D N i ˆi I=ˆ-r r ˆ I’ = e- i’ i’ N e N B i I Objeto luminoso r N’ n2 pa pr n1 - 213 - LENTES Son cuerpos refractantes, refrigerantes, limitados por dos superficies o ambas esféricas, o una esférica y la otra plana. CONVERGENTES f f1 f f1 CF O F’1 C’1 C F O F’1 C’1 RAYOS PRINCIPALES EN LAS LENTES CONVERGENTES Y DIVERGENTES I) Biconvexa Cóncavo cónvexa Plano cónvexa o Menisco convergente F’ F F’ F’ DIVERGENTES Todo rayo paralelo al eje principal, en una lente convergente, se refracta pasando por el foco. Si la lente es divergente, la prolongación del rayo refractado es la que pasa por el foco. II) C F F1 C1 F F1 C1 Biocóncava Plano cóncava Convexo concáva o Menisco divergente Todo rayo que pasa por el centro óptico no se desvía, sea la lente cóncava o convergente. III) ELEMENTOS DE LAS LENTES 1) Eje principal “CC1” 2) Centro de curvatura “CC” y C1” 3) Centro óptico 4) Foco principal “F” 5) Distancia focal “OF” = f = R/2 CF = FO ’ ’ y OF1 = F’1 C1 Todo rayo que pasa por el foco de una lente convergente, que incide en una lente, se refracta paralelo al eje principal. Todo rayo que incide en una lente divergente, cuya prolongación pasa por el foco se refracta paralelo al eje principal. C F F1 C1 F F1 C1 - 214 - FORMULARIO MATEMÁTICO CONSTRUCCIÓN Y POSICIÓN DE IMÁGENES DE LENTES CONVERGENTES 1) Objeto más allá del centro de curvatura, es decir: p > 2f 4) Objeto en el foco principal: p = f O C O C p F q Imagen: Real invertida de menor tamaño que el objeto. 2) Objeto en el centro de curvatura; es decir: p = 2f F1 I Imagen: C1 F p F1 C1 No hay imagen, o la imagen está en el infinito. 5) Objeto entre el foco principal y el centro óptico: f>p I O C p F q Imagen: Imagen: Real invertida de igual tamaño que el objeto. F1 C1 I C O F q P F1 C1 Virtual derecha de mayor tamaño que el objeto. FÓRMULA DE DESCARTES PARA LAS LENTES 3) Objeto entre el centro de curvatura y el foco: 2f > p > f 1 11 –– = –– + –– f qp f = distancia focal = R/2. O C F p F1 q C1 I q = distancia de la imagen a la lente. p = distancia del objeto a la lente. CONSTRUCCIÓN DE LA IMAGEN DE UNA LENTE DIVERGENTE Imagen: Real invertida de mayor tamaño que el objeto. 1 11 –– = –– + –– f qp - 215 - NOTA: En el caso de las lentes divergentes, téngase presente que: a) Siempre: f < 0, es decir negativo. b) La distancia “p” del objeto a la lente, siempre es de signo contrario al de la distancia “q”. O C C O F I F1 F FI1 POTENCIA DE UNA LENTE 1 P = –– f Unidades SI: 1 Dioptría = ––––– metro o O R1 R2 i I n L AUMENTO DE LA LENTE El aumento tiene signo negativo por estar la imagen invertida. q A = - –– p LENTES GRUESAS DE DOS CARAS DE CURVATURA “ECUACIÓN DEL FABRICANTE DE LENTES”, Potencia: POTENCIA DE LENTES DE CONTACTO P = P1 + P2 ∴ 1 1 P = ––– + ––– f1 f2 F C P = (n - 1) ( 1 1 ––– + ––– R1 R2 ) R1 R2 - 216 - FORMULARIO MATEMÁTICO QUÍMICA DEFINICIONES QUÍMICA Es la ciencia que estudia las modificaciones o transformaciones que experimenta la molécula. Referidas también como transformación íntima de la materia. MASA Es el contenido material y energético que tiene un cuerpo. MATERIA Es todo lo ponderable (pesable) e indestructible, que ocupa un lugar en el espacio. ESTADOS O FASES DE LA MATERIA Sólido, Líquido y Gaseoso GASEOSO Sublimación o Volatilización Licuefacción Condensación Vaporización SÓLIDO Solidificación o Cristalización LÍQUIDO Licuación - 217 - CUERPO Es una porción limitada de materia. SUSTANCIA Es la parte constitutiva del cuerpo, en la que toda porción de ella posee las mismas propiedades específicas. SISTEMA Es el conjunto de dos o más sustancias o cuerpos. FASE Es cada porción homogénea de una mezcla. ENERGÍA Es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo. La relación cuantitativa entre la masa y la energía dada por Einstein es: E = mc2 E = energía m = masa c = velocidad d la luz UNIDADES DE MEDIDA UNIDADES DE LONGITUD SISTEMA INTERNACIONAL SI La unidade de longitud es el metro “m” 1 kilómetro (km) 1 metro (m) = = 1 000 metros (m) 100 centim. (cm) 10 milím. (mm) UNIDADES DE SUPERFICIE SISTEMA INTERNACIONAL “SI” La unidad SI de superficie es el “m2” 1 m2 1 dm2 1 cm2 = 100 dm2 = 100 cm2 = 100 mm2 1 centímetro (cm) = 1 milímetro (mm) = 1 000 000 micras (µ) 1 micra (µ) 1 metro (m) kilo centi mili micro = 10 Amstron (A°) SISTEMA INGLÉS 1 yd2 1 pie2 = 9 pie2 = 144 pulg2 = 1010 Amstron = mil = centésima = milésima = millonésima SISTEMA INGLÉS UNIDADES DE VOLUMEN La unidad SI de volumen es el “m3” SISTEMA INTERNACIONAL “SI” 1 m3 1L 1 cm3 (yd) (ft) (ps) = 1 000 dm3 o litros = 1 000 cm3 o cc o mL = 1 000 mm3 SISTEMA INGLÉS: 1 galón = 4 cuartos = 3,785 L 1 cuarto = 2 pintas 1 pinta = 16 onzas líquidas 1 milla (mill) 1 Yarda (yd) 1 Pie (ft) = 1760 yardas = 3 pies = 12 pulgadas - 218 - FORMULARIO MATEMÁTICO UNIDADES DE MASA La unidad SI de masa es el KILOGRAMO “kg” SISTEMA MÉTRICO DECIMAL: 1 Tonelada Métrica (Tm) = 1 000 kg 1 kilograma 1 gramo 1 miligramo (kg) = 1 000 g (gr) = 1 000 mg (mg) = 1000 µg UNIDADES DE TIEMPO La unidad SI de tiempo es el segundo 1 siglo 1 año 1 mes 1 día 1 hora 1 minuto = 100 años = 12 meses = 30 días = 24 horas = 60 minutos = 60 segundos SISTEMA INGLÉS: 1 libra (lib) 1 tonelada corta = 16 onzas (oz) = 2 000 libras EQUIVALENCIAS DE UNIDADES SI E INGLESAS DE LONGITUD 1 km 1m 1m 1m 1 mill. Marina 1 yd 1 pie 1 pulgada = 0,539 mill. Marítimas = 1,094 yd. = 3,281 pies = 39,372 pulg. = 1 852 m = 0,914 m = 0,3048 m = 0,0254 m DE SUPERFICIE 1m 2 DE VOLUMEN 1 m3 1 dm3 1 cm3 1 yd3 1 pie3 1 pulg3 = 1,309 yd3 = 0,035 pie3 = 0,061 pulg3 = 764,6 . 10-3 m3 = 28,32 . 10-3 m3 = 16,39 . 10-3 m3 DE MASA 1 kg 1 kg 2 = 2,202 lib. = 35,232 onz. = 0,454 kg = 454 g = 28,38 g = 1,196 yd 1 lib 1 lib 1 onz m 2 1 m2 1 m2 1 yd 2 = 10,76 pies2 = 1 550 pulg2 = 8 361 . 10 -4 1 pie2 1 pulg2 = 929 . 10-4 m2 = 6,452 . 10-4 m2 Unidad de peso SI : newton « N » m 1 N = 1 kg . ––– s2 - 219 - UNIDADES DE TEMPERATURA ºC 100 K 373 ºF 212 100 0 273 32 0 R 672 560 492 460 Ebullición del Agua Temperatura promedio del Hombre Fusión del Hielo Temperatura de mezcla de sales con hielo Cero absoluto -273 0 -460 0 Las unidades de medida de temperatura son: • grado celcius ºC • rankine R • kelvin K • grado farenheit º F EQUIVALENCIA DE TODAS LAS ESCALAS ºC ºF - 32 K - 273 R - 492 ––– = –––––– = –––––––– = ––––––– 5 9 5 9 Ejemplo: Transformar -60º F a K ºF - 32 K - 273 –––––– = ––––––– 9 5 de donde: 5(ºF - 32) K = –––––––– + 273 9 sustituyendo el valor de ºF: Ejemplo: δ = 8 . 103 kg/m3 δ = 8 g/cm3 δ = 62,4 lib/pie3 (Sist. Inglés) Se calcula así: M δ = ––– V δ = densidad absoluta M = masa del cuerpo V = volumen que ocupa DENSIDAD RELATIVA 5(-60 - 32) K= ––––––––– + 273 = 221,9K 9 Es el resultado de la comparación, por división, de dos densidades absolutas: δa δa/b = ––– δb δa = densidad de la sustancia “a” δb = densidad de la sustancia “b” DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO DENSIDAD ABSOLUTA O DENSIDAD Es la masa de una sustancia presente en una unidad de volumen. La unidad SI de densidad es kg/m3. - 220 - FORMULARIO MATEMÁTICO También es el resultado de la comparación, por división, de las masas de volúmenes iguales. Ma δa/b = –––– Mb Ma = masa de “a” Mb = masa de “b” de igual volumen que “Ma” Tratandose sólo de gases y únicamente de gases, la densidad relativa es el resultado de comparar, por división, los pesos moleculares. Pmg1 δg1/g2 = ––––– Pmg2 Pm g1 = peso molecular de gas 1 Pm g2 = peso molecular del gas 2 PESO ESPECÍFICO (ρe) Es el resultado de la comparación, por división, del peso de un sólido o líquido con su volumen. Peso del cuerpo ρe = ––––––––––––––––– Volumen del cuerpo GRAVEDAD ESPECÍFICA (G.e ó Sp - gr) Para sólidos y líquidos: Peso del cuerpo Sp - gr = ––––––––––––––––––––––––––––– Peso de un volumen igual de agua Para gases: Peso del gas Sp - gr = –––––––––––––––––––––––––––– Peso de un volumen igual de aire DENSIDAD DE LA MEZCLA Es el promedio ponderado de las densidades de las sustancias que intervienen en la mezcla, se calcula así: M1 + M2 + M3 + …. m = ––––––––––––––––– V1 + V2 + V3 + … Donde M1, M2, etc., son las masas de los cuerpos que entran en la mezcla. Donde V1, V2, etc., son los volúmenes de esos cuerpos. Como M = V . δ, también se tiene, sustituyendo en (I): V1 . δ1 + V2 + δ2 + V3 . δ3 + … m = ––––––––––––––––––––––––– V1 + V2 + V3 + … M También, como V = ––– , sustituyendo En (I): δ M1 + M2 + M3 + …. δm = ––––––––––––––––––– M2 M3 M1 ––– + ––– + ––– + …. δ1 δ2 δ3 RELACIÓN ENTRE DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO ρ= δ.g PRESIONES PRESIÓN Efecto de la fuerza que se aplica sobre una superficie determinada. Esa fuerza puede ser instantánea (golpe) o permanente. F P = ––– A P = presión, en pascal “Pa” F = fuerza, en newton, “N” A = área sobre la que actúa la fuerza, en m2. La unidad SI de presión es el PASCAL “Pa”: 1N 1 Pa = –––– 1 m2 (I) - 221 - PRESIÓN HIDROSTÁTICA O PRESIÓN DE LÍQUIDOS EN REPOSO Es la presión que soporta un punto sumergido en un líquido en reposo. P=h.δ P = presión h = profundidad a la que está en el líquido el punto considerado. δ = densidad del líquido. 2.- Presión relativa o manométrica (Pm).Es la diferencia de presión que existe entre la presión de un gas encerrado en un recipiente y la presión atmosférica que la rodea (presión atmosférica). 3.- Presión absoluta (Pa).Es la presión total que soporta un gas dentro de un recipiente, tomando como referencia el vacío absoluto. Pa = Pm + Pb NOTAS: h 1.- Cuando el recipiente de gas está abierto, la Pm es cero y la Pa = Pb. 2.- La presión a nivel del mar es la “unidad” para medir las presiones y se llama “Una atmósfera”. 3.- Sus equivalencias son: Ejemplo: Un cuerpo está sumergido, en mercurio, a 0,60 cm de profundidad. La densidad del Hg es 13,6 g/cm3, ¿Cuál es la presión que soporta el cuerpo? g P = h . δ = 0,60 cm . 13,6 ––– cm2 N P = 800,5 ––– m2 P = 800,5 Pa PRESIÓN NEUMÁTICA O PRESIÓN DE GASES Se debe a la colisión o golpeteo de las moléculas gaseosas entre sí y a la colisión o golpeteo de las moléculas con las paredes de recipiente que los contiene. Es de tres clases: 1.- Presión atmósferica o barométrica (Pb).Es la presión que ejerce la masa gaseosa que rodea la Tierra sobre todo el cuerpo que está en ella. (Presión del aire). P.s.i.g. (pound square inch gauge) que quiere decir “libra por pulgada cuadrada manométrica”; y P.s.i.a., quiere decir “libras por pulgada cuadrada absoluta”. P.s.i.a. = P.s.i.g + P.s.i 1 atm = 760 mm Hg = 14,7 psi N = 1,033 kg/cm2 = 10,13 . 104 ––– m2 = 10,13 . 104 Pa 1 atm = 10,33 m H2O = 29,9 pulg Hg. 4.- P.s.i. son las iniciales de “pound square inch” que quiere decir en inglés “libras por pulgada cuadrada”. - 222 - FORMULARIO MATEMÁTICO TEORÍA ATÓMICO MOLECULAR Hay muchas teorías que han intentado explicar y describir la arquitectura, estructura y características del átomo y de la molécula. Es decir han imaginado al átomo en formas o modelos diferentes; sin embargo, el modelo de Bohr-Sommerfeld mejorado con el aporte científico de Dirac, Jordán, Schrodinger, Pauling, Heissemberg y otros, es el modelo actual. La teoría actual sostiene que “el electrón puede estar ubicado en cualquier parte del átomo, pero existe mayor probabilidad de encontrarse en su correspondiente nivel de energía”. Si no de esta otra manera, guardando la máxima simetría: El concepto actual del átomo afirma que, es un sistema energético en equilibrio, constituido por “cáscaras energéticas”, configuradas por la nube de electrones que giran alrededor del núcleo. El diámetro del núcleo, en promedio, es de 10-12 cm. el diámetro del átomo, en promedio, es 10-8 cm. La masa está prácticamente concentrada en el núcleo y varía entre 2 . 10-22g y 4 . 10-24g. ESTRUCTURA PARTICULAR DEL ÁTOMO PRINCIPALES CONCEPTOS REGLA DE HUND Los electrones tratar de ocupar el mayor número de orbitales en determinado subnivel. Por ejemplo: si en el subnivel “p” hay por ejemplo 3 electrones, (el cual tiene 3 orbitales), los electrones no se distribuyen así: NÚCLEO Si no de esta otra manera, guardando la máxima distribución. TENDENCIA A LA MÁXIMA SIMETRÍA Los electrones de un subnivel se distribuyen en los orbitales guardando la mayor simetría. Por ejemplo: El subnivel “d” tiene 5 orbitales, supóngase que es un átomo que tiene sólo 4 electrones en este subnivel; su distribución no es así: PROTON "p" masa: 1u.m.a. (carga + 1) o 1,67252 . 10-24 g ; NEUTRON "n" masa: 1u.m.a. o 1,67282 . 10-24 g ; (carga 0) ELECTRON "e" masa: 1u.m.a. / 1 874 o 0,91091 . 10-27 g ; (carga -1) - 223 - CROQUIS DE UN ÁTOMO Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 indican los niveles, se llaman también números cuánticos principales. Nótese que los niveles se van acercando a medida que se alejan del núcleo. Q P O N M L K DISTRIBUCIÓN ELECTRÓNICA DE LOS ELEMENTOS NÍVELES DE ENERGÍA Son zonas, como cáscaras esféricas, que rodean al núcleo, configuradas por la presencia de un cierto número de electrones que circulan alrededor del núcleo. El número máximo de niveles que puede tener un átomo es 7, se le nombra con los nùmero cuánticos, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 o las letras K, L, M, M, O, P, Q. El número máximo de electrones en cada uno de estos niveles es de 2, 8, 18, 32, 32, 18, 8, repetidamente. SUB-NIVELES 7 6 5 4 3 2 1 Son zonas en las que se subdivide los niveles. El número máximo de subniveles que puede tener un nivel es 4, se les nombra con las letras “s”, “p”, “d”, “f”. El número máximo de electrones en cada uno de estos subniveles es de 2, 6, 10, 14, respectivamente. NÚCLEO NÚMEROS CUÁNTICOS NÚCLEO Parte central del átomo, formado por el conjunto de protones y neutrones. ISÓTOPOS Son elementos químicamente iguales por tener el mismo número de protones en su núcleo, pero físicamente diferentes por tener masas distintas debido a que en su núcleo tienen distintos número de neutrones. Ejemplo: Los 3 isótopos de hidrógeno: p Protio ISÓBAROS.Son elementos químicamente diferentes, por tener diferente número de protones, pero físicamente iguales por tener igual masa en su núcleo. Ejemplo: los isóbaros de Na y Mg. Aquí sus núcleos. 11p 12n Na 12p 11n Mg M = Momento Magnético. Y su variación es de -L a + L. UNA REGLA PARA LA DISTRIBUCIÓN ELECTRÓNICA S = Nº cuántico por spin y sus valores 1 1 son + –– y - –– 2 2 p+n Deuterio p+2n Tritio Para conocer la distribución y posición de los electrones en los niveles, subniveles y orbitales se les presenta por 3 números cuánticos. nlx n = número cuántico principal, indica el nivel (puede ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) l = número cuántico azimuta o subnivel (puede ser 0, 1, 2, 3 o s, p, d, f, respectivamente y su variación es de 0 a (n-1)). x = número de electrones en el sub-nivel. - 224 - FORMULARIO MATEMÁTICO VALENCIA 1 2 1s 2s 2 3 4 2p 6 Es la “fuerza” con la que un átomo “retiene” los electrones que “gana” o también “fuerza” con la que trata de “recuperar” electrones que haya “perdido”. 5 6 KERNEL Es la parte de un átomo sin considerar la última capa. 7 8 4f14 Ejemplo: 2 3s2 4s2 5s2 6s2 7s2 3p6 4p6 5p6 6p6 7p6 3d10 4d10 5d10 6d10 5f14 Salta un electrón 8+ 8n 8+ 8n - Átomo de 0 Kernel de 0 En los rellenados de las diagonales (7) y (8), se hace saltar un electrón y luego se prosigue de manera normal. Ejemplo: 1) Indicar la estructura electrónica del elemento z = 28. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d8 Ejemplo: 2) z = 57, utilizando el paso del salto del electrón. 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 5d1 NOMENCLATURA LEWIS 1) El Kernel del átomo se representa por el símbolo del átomo. 2) Los elementos de la última capa se distribuye por orbitales. 3) Alrededor del Kernel (símbolo), se traza un cuadrado imaginario, haciendo corresponder cada lado del cuadrado a un orbital de la última capa. 4) Los electrones de la última capa se representa alrededor del Kernel sobre los lados del cuadrado imaginario, mediante cualquiera de estos símbolos: x, o, *, ∆, etc. CONCEPTO ADICIONALES ELECTRONEGATIVIDAD Es una medida de la fuerza con que un átomo atrae los electones de otros, en un enlace químico. La electronegatividad de los elementos, en la tabla periódica, aumenta de abajo hacia arriba en cada grupo y de izquieda a derecha en cada período. AFINIDAD Energía que atrae y une a los átomos para formar moléculas o compuestos químicos. S Ar Na - 225 - ENLACE IÓNICO Es el que se forma por la atracción electrostática de dos iones, de carga contraria. ENLACE COVALENTE Se origina por la coparticipación de pares de electrones entre dos átomos. Puede ser puro o polar. ENLACE COVALENTE PURO Es el que se produce entre dos átomos del mismo elemento. Ejemplo: ENLACE COVALENTE POLAR Entre átomos pertenecientes a elementos diferentes, creándose una polaridad electrostática. CH4 H H2 H H H2O A continuación, la tabla más usada, es la tabla larga, diseñada por Werner.Está dividida en zonas s, p, d, f. Las zonas s, p, d, f, son los lugares donde están los elementos cuyo sunivel más externo es esa letra. Las columnas verticales se denomina grupos, se designa con números romanos y una letra A o B. Si el grupo está conformado por elementos típicos la letra es “A”, si está conformado por elementos de transición la letra es “B”. La relación o semejanza de las propiedades químicas es vertical, a excepción del grupo VIII, que no lleva letra, donde la relación de propiedades químicas es horizontal. C H O2 O O H H Zona “p” Elementos típicos representativos Zona “s” Elementos típicos representativos Zona “d” Elementos de transmision Gases Nobles Zona 4f Zona 5f Elementos de transición Interna - 226 - TABLA PERIÓDICA DE LOS ELEMENTOS 4B 5B 6B 7B 8 8 8 1B 2B 3A 4A 5A 6A 7A 0 GRUPOS 1A 2A 3B PERÍODOS g H 1 Estado Físico s 79 Nº Atómico Símbolo s 5 s 6 g 2,3,5,4,2,1 12,011 1s22s2 2p3 s 15 7 g 8g 9 1 18,998 1s22s2 2p5 s 16 g 17 g 1 1 1,008 4,003 1s2 He 0 2 1s1 s 2 4f145d106s1 s 3 10,811 1s22s2 2p1 13 s 4 28,086 3s 2 3p 2 s 14 2,4,3 12,011 1s22s2 2p2 1 6,939 1s2 2s1 Li 3 s 2 9,012 1s2 2s1 Be 4 Estado de oxidación (Valencia) Au Peso Atómico Distribución Electrónica B N Al Si P C 2 15,999 1s22s2 2p4 3,1 196,967 O F g 0 20,183 1s22s2 2p6 g 6,3,4,2 32,064 18 Ne 10 3 3 26,982 3s2 3p1 21 s 4,3 47,90 3d2 4s2 s 4 91,22 2,3, 4, 6, 8 101,07 1 107,870 4d10 5s1 s 79 4d7 5s1 s 2, 3, 4, 6,8 190,2 4f145d66s2 4f145d76s2 108 s 109 s 76 2, 3, 4, 6 192,2 s 77 s 78 4d8 5 s1 4d10 5s0 4d1 5s2 s 4 178,49 5 180,948 6, 5, 4, 3,2 180,948 4f145d46s2 106 s 107 s 4f145d56s2 4f145d36s2 105 s 4f145d26s2 104 s 72 s 73 s 74 7, 6, 4, 3,2 180,85 s 75 5, 3 92,906 4d4 5s1 4d5 5s1 40 s 41 6, 5, 4, 3, 2 95,94 2, 3, 6 102,905 2,4 106,4 s 42 s 43 s 44 s 45 s 46 s 47 2 112,40 4d10 5s2 s 48 s 3d6 4s2 3d10 4s1 3d10 4s2 s Na 11 s Mg 12 S 2,3,5,1 30,974 3s 2 3p 3 Cl 3s2 3p4 Ar 6,3,4,2 32,064 3s2 3p5 (Ne) Ti 5, 4, 3, 2 50,942 3d3 4s2 2,3 58,933 3d7 4s2 3 69,72 2,1 63,54 2 65,37 6, 3, 2 51,996 3d5 4s2 7, 6, 4, 2, 3 54,938 3d5 4s2 2,3 58,71 3d8 4s2 2,3 55,847 22 s 1 22,999 3s1 2 24,312 3s2 0 39,948 3s2 3p6 32 s s FORMULARIO 4 39 (Ar) Zr Nb 7 (99) 5 4d 5s1 1 39,102 4s1 K Co Ga Cu 19 s 2 40,88 Ca 20 s 3 44,956 Sc V Zn 23 s Cr Mn Ni 24 s 25 s Fe 26 s s 31 27 s s 29 s 30 28 4 72,99 Ge As 33 s 8,4,2 78,96 3,5 74,922 3d104s24p3 49 s 50 s 51 Se 34 l 1,3,5 126,904 3d104s24p4 3d104s24p5 s 52 s 53 Br 35 g 0 83,80 3d104s24p5 g 54 Kr 36 4s2 3d1 4s2 3d104s24p1 3d104s24p2 - 227 Mo Ru Rh Pd Cd Tc Ag 57 5 Hf Ta W Re Pt Os Ir Au l s 1 85,47 Rb 37 s Sr 38 s 3 88,905 Y 3 114,82 In 4,2 118,69 4d105s25p1 4d105s25p2 Sn 2,3,5 121,75 4d105s25p3 Sb Te I 6,4,2 127,60 4d105s25p4 Xe 2,1,3,5,7 126.904 4d105s25p5 (Kr) 5s1 2 87,62 5s2 4d1 5s2 0 131,30 4d105s25p6 6 89 s s (Xe) Rf Db (265) (264) (263) (266) 5f146d4 7s2 5f146d5 7s2 5f146d6 7s2 5f146d7 7s2 1 132,905 Cs 55 s 2 137,34 Ba 56 s 6s1 6s2 3 138,91 5d1 6s2 110 s La 2,1 2,4 3,1 4,2 3,5 3,1 4,2 4,2 0 200,59 195,09 196,967 207,19 208,980 204,37 (209) (210) (222) 4f145d96s1 4f145d106s1 4f145d106s2 4f145d106p1 4f145d106p2 4f145d106p3 4f145d106p4 4f145d106p5 4f145d106p6 111 s 112 s 114 s 116 s 118 Hg 80 s Ti 81 s Pb 82 s Bi 83 s Po 84 s At 85 g Rn 86 7 (261) (262) 5f146d2 7s2 5f146d3 7s2 s s (Rn) Ce Pr 3 144,24 4f45d0 6s2 92 s 8,5,4,3 238,03 5f36d1 7s2 5,4 (231) 5f26d0 7s2 58 s 59 s 60 s 61 s 1 (223) Fr 87 s 2 (226) Ra Sg Mt 88 s 7s1 7s2 3 (227) 6d1 7s2 Ac Bh Hs Uun Uuu Uub Uuq (272) (269) (277) 5f146d9 7s1 5f146d107s1 5f146d107s2 Uuh (285) 5f146d10 7s27p2 Uuo (289) 5f146d10 7s27p4 (293) 5f146d10 7s27p6 MATEMÁTICO 6 3,4 140,12 4f15d1 6s2 3,4 140,907 4f35d0 6s2 91 s s 90 s Nd 3 (147) Pm Sm 62 s Eu 4f55d0 6s2 93 s 3,2 150,35 4f65d0 6s2 94 s 63 s Gd 3,2 151,96 4f75d1 6s2 95 s 64 s Tb 3 157,25 4f75d1 6s2 96 s 65 s Dy 3,4 158,924 4f85d1 6s2 97 s 66 s 3 164,930 3 162,50 4f95d1 6s2 98 s 4f105d1 6s2 99 s Ho 67 s Er 68 s 3,2 168,934 3,2 167,26 4f115d1 6s2 100 s 4f135d1 6s2 Tm 69 s 3,2 173,04 4f145d0 6s2 101 s 102 s Yb 70 s 3 174,97 4f145d1 6s2 103 Lu 71 7 4 232,038 6s2 7s2 Th Pa U Np 6,5,4,3 (237) 5f56d0 7s2 6,5,4,3 (242) 5f66d0 7s2 Pu 6,5,4,3 (243) 5f76d0 7s2 Am Cm 4,3 (247) 3 (247) 5f76d1 7s2 5f86d1 7s2 Bk Cf 3 (254) 3 (249) 5f96d1 7s2 5f106d1 7s2 Es 3 (253) 11 1 5f 6d 7s2 Fm 3 (256) 12 1 5f 6d 7s2 Md No 3 (254) 5f136d1 7s2 3 (257) 5f146d1 7s2 Lw GRUPOS PRINCIPALES DE LA TABLA I A : Metales alcalinos II A : Metales alcalinos térreos IV A : Carbonoides o familia del Carbono VA : VI A : VII A : O: Nitrogenoides o familia del Nitrógeno Anfígenos o familia del Oxígeno Halógenos Gases nobles NOMENCLATURA Es el estudio de los “nombres de los elementos y de los compuestos” y es también el estudio de la “escritura de las fórmulas”. Metal E L E M E N T O { { + Metal = Aleación + Oxigeno = Oxído u Oxído básico + Agua = Hidróxidos + Hidrógeno = Hidruro O X i S A L E S + Metal = Sal haloidea Anhidrido u Oxído básico Acido hidrácido Metaloide + Oxigeno = + Agua = Oxiácidos + Hidrógeno = - 228 - FORMULARIO MATEMÁTICO NOMENCLATURA QUÍMICA NOMBRE DE LOS ÁTOMOS EN SU ESTADO IÓNICO ANIONES Son elementos que han generado electrones, por eso su valencia es negativa. Tienen una sola valencia negativa, se les nombra haciendo terminar en URO su nombre genitivo. HALÓGENOS Grupo VII-A en la Tabla Periódica Flúor : Cloro : Bromo : Lodo : Fº + 1e = F-1 Clº + 1e = Cl-1 Brº + 1e = Br-1 Iº + 1e = lFluorURO clorURO BromURO YodURO CATIONES Son elementos que han perdido electrones, por eso su valencia es positiva. Pueden ser con una sola valencia positiva, son los UNIVALENTES y los POLIVALENTES que pueden ser con dos, con tres, con cuatro y hasta con 5 valencias positivas distintas. A) UNIVALENTES MONOVALENTES Litio Sodio : Liº - 1e = li+1 : Naº - 1e = Na+1 Litio o Lítico Sodio o Sódico Potasio o Potásico Cesio o Césico Plata o Argéntico Potasio : Kº - 1e = K+1 Cesio Plata : CSº - 1e = Ce+1 : Agº - 1e = Ag+1 ANFÍGENOS Grupo VI-A en la Tabla Periódica Oxígeno : Azufre : Oº + 2e = O-2 Sº + 2e = S-2 -2 DIVALENTES Calcio : Caº - 2e = Ca+2 Calcio o Cálcico Oxígeno SulfURO SeleniURO TelorURO Selenio : Seº + 2e = Se Teluro Magnesio : Mgº - 2e = Mg+2 Magnesio o Magnésico Estroncio : Srº - 2e Bario Zinc = Sr+2 Estroncio o Estróncico : Teº + 2e = Te-2 NITRÓGENOIDES Grupo V-A en la Tabla Periódica Nitrógeno : Fósforo : Nº + 3e = N -3 : Baº - 2e = Ba+2 Bario o Bárico : Znº - 2e = Zn+2 Zinc o Zínico NitrURO FosfURO TRIVALENTES Pº + 3e = P-3 Arsénico : Asº + 3e = As-3 ArseniURO Aluminio : Alº - 3e = Al+3 Aluminio o Alumínico Bismuto o Bismútico Boro o Bórico CARBONOIDES Grupo IV-A en la Tabla Periódica Carbono : Silicio : Cº + 4e = C -4 Bismuto : Biº - 3e = Bi+3 CarbURO SiliciURO Boro : Boº - 3e = Bo+3 Siº + 4e = C-4 - 229 - B) POLIVANTES Que tienen “dos valencias positivas distintas” Cuando está con su MENOR valencia se le hace terminar en OSO y cuando con su MAYOR valencia, en ICO. Fierro: Feº - 2e = Fe+2 Feº - 3e = Fe+3 Cuº - 1e = Cu+1 Cuº - 2e = Cu+2 FerrOSO FérrICO CuprOSO CúpriCO MercuriOSO MercúrICO AurOSO AurICO CobaltOSO CobáltICO NiquelOSO NiquélICO PlatinOSO PlatínICO Que tienen “cuatro valencias positivas distintas” Cuando está con su MAYOR valencia se le antepone el prefijo PER y se hace terminar en ICO, u los otros tres igual que el caso anterior. Cloro: Clº Clº Clº Clº Brº Brº Brº Brº 1e 3e 5e 7e 1e 3e 5e 7e = = = = = = = = Cl+1 Cl+3 Cl+5 Cl+7 Br+1 Br+3 Br+5 Br+7 HIPO clorOSO clorOSO clórICO PER clórICO HIPO bromOSO bromOSO bromICO PER brómICO HIPO uranOSO uranOSO uránICO PER uránICO Cobre: Bromo: Mercurio: Hgº - 1e = Hg+1 Hgº - 2e = Hg+2 Oro: Auº - 1e = Au+1 Auº - 3e = Au+3 Coº - 2e = Co+2 Coº - 3e = Co+3 Niº - 2e = Ni+2 Niº - 3e = Ni+3 Ptº - 2e = Pt+2 Ptº - 3e = Pt+3 Uranio: Uº - 3e = U+3 Uº - 4e = U+4 Uº - 5e = U+5 Uº - 6e = U+6 Cobalto: Níquel: NOMBRE DE LOS COMPUESTOS FUNCIÓN QUÍMICA Es una serie de características que le son comunes a ciertos cuerpos y que por esta razón se agrupan en una “Función Química”. Existen las siguientes funciones: Platino: Que tienen “tres valencias positivas distintas” Cuando está con su MENOR valencia se le antepone HIPO y se le hace terminar en OSO y los otros dos igual que el caso anterior. Azufre: Sº - 2e = S+2 Sº - 4e = S+4 Sº - 6e = S+6 Selenio: Seº - 2e = Se+2 Seº - 4e = Se+4 Seº - 6e = Se+6 Titanio: Tiº - 2e = Ti+2 Tiº - 3e = Ti +3 FUNCIÓN I Anhídrido II Oxido III Acido a) Hidrácido b) Oxácido IV Base V Sal a) Hidrácida Acida Básica Neutra b) Oxácida Acida Básica Neutra ELEMENTOS QUE LO IDENTIFICA m+O m+O H+m H+m+O M + (OH) COMPUESTO B B B T T HIPO SulfurOSO SulfurOSO SulfúrICO HIPO SeleniOSO SeleniOSO SelénICO HIPO TitanOSO TitanOSO TitanICO M+m+H M + m +(OH) M+m M+m+O+H M + m + O + (OH) M+m+O T C B C C T Tiº - 4e = Ti+4 - 230 - FORMULARIO MATEMÁTICO LEYENDA: m = metaloide M = metal H = hidrógeno O = oxígeno NOMBRE DE LOS ANHÍDRIDOS Compuestos por metaloide y oxígeno, se les llama también “óxidos ácidos”, porque con agua dan ácido oxácido. METALOIDE + OXÍGENO = ANHÍDRIDO Un anhídrido se le nombra con la palabra “anhídrido”, seguido del nombre iónico del metaloide. Ejemplos: SO o S+2O-2 SO2 o S+4O-2 SO3 o S+6O-2 +1 Cl2O o Cl2 O-2 Ejemplos: B = binario T = ternario C = cuaternario FeO o Fe+2O-2 -2 Fe2O3 o Fe2+3O3 óxido ferrOSO óxido férrICO óxido de Sodio óxido cúprOSO óxido de aluminio Na2O o Na2+1O-2 Cu2O o Cu+1O-2 2 Cl2O3 o Al+3O-2 2 3 NOMBRE DE LOS PEROXIDOS Peróxidos, son óxidos que tienen más oxígeno de lo que permite la valencia máxima del metal. Se forma agregando un átomo de oxígeno al óxido que forma el metal con su máxima valencia. Se les nombra con la palabra PERÓXIDO, seguido del nombre iónico del metal. BaO + O = BaO2 PERÓXIDO de bario PERÓXIDO de hidrógeno (agua oxigenada) PERÓXIDO cúprico PERÓXIDO plúbico anhídrido HIPO sulfurOSO anhídrido sulfurOSO anhídrido sulfúrICO anhídrido HIPO clorOSO H2O + O = H2O2 CuO + O = CuO2 PbO2+ O = PbO3 +3 Cl2O3 o Cl2 O-2 anhídrido clorOSO 3 +5 Cl2O5 o Cl2 O-2 anhídrido clórICO 5 +7 Cl2O7 o Cl2 O-2 anhídrido PER clórICO 7 Mn2O3 + O = Mn2O4 PERÓXIDO mangánico NOMBRE DE LOS ÁCIDOS Son compuestos que al disolverse en agua siempre producen iones H o H3O+. Son de sabor agrio, enrojecen el papel de tornasol, decoloran la fenolftaleína. Son de dos clases: Hidrácidos y Oxácidos. A) ÁCIDOS HIDRÁCIDOS Son compuestos binarios constituidos por “H” y metaloide (especialmente halógeno). ÁCIDO HIDRÁCIDO N2O3 o N+3O-2 2 3 N2O5 o N+5O-2 2 5 anhídrido nítrOSO anhídrido nítrICO NOMBRE DE LOS ÓXIDOS Compuestos de metal y oxígeno, se les llama también “óxidos básicos” porque con el agua dan bases. HIDROGENO + METALOIDE = METAL + OXÍGENO = ÓXIDO Un óxido se le nombra con la palabra “óxido” seguido del nombre iónico del metal. Cuando estos compuestos están libres son gaseosos y se acostumbra a nombrarlos con el “nombre iónico del metaloide”, seguido de la palabra “de - 231 - hidrógeno”. Cuando están disueltos en agua se prefiere llamarlos con la palabra “ácido” seguido del nombre del metaloide terminado en hídrico. Ejemplos: HCI clorURO de hidrógeno o ácido clorHÍDRICO YodURO de hidrógeno o ácido yodHÍDRICO BromURO de hidrógeno o ácido bromHÍDRICO H3PO5 3 +1 o H3 P+5O-2 3 ácido fosfórICO (P+5) (Cr+6) H2CrO o H+1Cr+6O-2 ácido crómICO 2 3 +1 H2Cr2O7 o H2 Cr+6O-2 ácido dicrómICO (Cr+6) 2 7 H2MnO4 o H+1Mn+6O-2 ácido mangánICO (Mn+6) 2 4 HMnO4 o H+1Mn+7O-2 ácido PERmangánICO 4 (Mn+7) C) ÁCIDOS ESPECIALES • ÁCIDO POLIHÍDRATADOS Son aquellos que se combinan con cantidades variables de agua. Cuando el metaloide es de “valencia impar” HI HBr B) ÁCIDOS OXÁCIDOS Son compuestos ternarios de hidrógeno, oxígeno y metaloide; resultan de la combinación de un anhídrido con el agua. ANHÍDRIDO + AGUA = ÁCIDO OXÁCIDO Se les nombra con la palabra “ácido” seguido del “nombre iónico del metaloide”. Ejemplos: +1 -2 H2SO4 o H2 S+6O4 +1 H2SO3 o H2 S+4O-2 3 Se les nombra anteponiendo la palabra META, PIRO y ORTO, al nombre iónico del metaloide, según que la combinación del anhídrido se haya hecho en 1, 2 o 3 moléculas de agua. Ejemplo: Fósforo con valencia +3: P2O3 + H2O = 2HPO2 ácido METAfosforOSO ácido PIROfosforOSO ácido ORTOfosforOSO ácido sulfúrICO ácido sulfúrOSO (S+6) (S+4) (N+3) P2O3 + 2H2O = H4P2O5 P2O3 + 2H2O = 2H3PO3 Cuando el metaloide es de “valencia par” -2 HNO2 o H+1N+3O2 ácido nitrOSO Ejemplo: Carbono con valencia + 4: (N ) +5 HNO3 o H N +1 +5 O-2 2 ácido nítrICO CO2 + H2O = H2CO3 2CO2 + H2O = H2C2O5 CO2 + 2H2O = H4CO4 ácido METAcarbónICO ácido PIROcarbónICO ácido ORTOcarbónICO HCIO o H+1CI+1O-2 ácido HIPOclorOSO (Cl+1) HCIO2 o H+1CI+3O-2 ácido clorOSO 2 HCIO3 o H+1CI+5O-2 ácido clórICO 3 HCIO4 o H CI +1 +7 (CI+3) (CI+5) (CI ) -7 Se les nombra de la siguiente manera: 1 anhídrido + 1 agua = META O-2 4 ácido PERclórICO ácido fosforOSO 2 anhídridos + 1 agua = PIRO (P+3) 1 anhídrido + 2 aguas = ORTO H3PO3 o H+1P+3O-2 3 - 232 - FORMULARIO MATEMÁTICO • POLIÁCIDOS Son aquellos que tienen más de dos átomos de metaloide en su molécula. Se les nombra con la palabra ácido, seguido del nombre iónico del metaloide al cual se le antepone BI, TRI, TETRA, etc., según indique el subíndice del metaloiede en la fórmula. NOTA Todos los “piro-ácidos”, además de ser tales, pertenecen también al grupo de los “poliácidos” porque tienen 2 metaloides en su molécula. Ejemplos: HNSO H2CSO HCIOS ácido THIOnitroso (del HNO2) ácido THIOcarbonoso (del H2CO2) ácido THIOcloroso (del HCIO) H2CSO2 ácido DI THIOcarbónico (del H2CO3) HCISO2 ácido DI THIOclórico (del HCIO3) HCIS2O2 ácido DI THIOperclórico (del HCIO4) HCIS3O ácido TRI THIOperclórico (del HCIO4) Ejemplos: H4P2O7 H4B2O5 H4N2O5 H4N2O7 Otros ejemplos: H2B4O7 H2C3O7 H2S4O13 H2Si3O7 • THIOÁCIDOS Son ácidos que resultan de sustituir uno o más oxígenos del ácido oxácido, por azufre S-2 Se les nombra con el prefijo THIO, anteponiendo DI, TRI, etc., según el número de O-2 que hayan sido sustituidos por S-2. Si la sustitución es total, se le antepone SULFO al nombre del ácido. N2O5 + H2O2 = H2N2O7 ácido PEROXInítrico Cl2O7 + H2O2 = H2Cl2O9 ácido PEROXIperclórico CO2 + H2O2 = H2CO4 ácido PEROXIcarbónico 2SO3 + H2O2 = H2S2O8 ácido PEROXIdisulfúrico ácido TETRAbórico ácido TRIcarbónico ácido TETRAsulfúrico ácido TRIsilícico ácido DI fosfórico o pirofosfórico ácido DI bórico o pirobórico ácido DI nitroso o piro nitroso ácido DI nítrico o piro nítrico H2S3O2 H2S4O H2S5 ácido DI THIO SULFÚRICO (del H2SO4) ácido TRI THIOsulfúrico (del H2SO4) ácido TETRA THIOsulfúrico SULFOsulfúrico (del H2SO4) ácido TETRA THIOperclórico SULFOperclórico (del HCIO4) HCIS4 • PEROXÁCIDOS Son aquellos ácidos que se forma reaccionando el anhídrido de mayor valencia del metaloide, con agua oxigenada, H2O2. Se les nombra con la palabra “ácido” seguida del “nombre iónico del metaloide” anteponiendo la palabra PER o PEROXI. Ejemplos: P2O5 + 3H2O2 = H6P2O11 ácidoPEROXIortofosfórico SO3 + H2O2 = H2SO5 ácido PEROXIsulfúrico - 233 - RADICALES HALOGÉNICOS Son restos de la molécula de un ácido al cual de le ha quitado uno o más H+. Puede ser Radical halogénico hidrácido o Radical halogénico oxácido. A) RADICAL HALOGÉNICO HIDRÁCIDO Es el residuo del ácido halogénico al que se le ha quitado uno o más H+. Se le nombra haciendo terminar en URO el nombre genérico del ácido; anterior poniendo BI, o posponiendo la palabra ÁCIDO si queda todavía H+. Ejemplos: Cl-1 Cloruro (del HCI) l-1 S-2 F -1 (HSO4)-1 SulfATO ÁCIDO o BI sulfato (del H2SO4) SulfATO (del H2SO4) CarbonATO (del H2CO3) PEROXI disulfATO (del H2S2O8) CarbonATO ÁCIDO o BI carbonATO (del H2CO3) FosfATO DI ÁCIDO o BI DI fosfATO (del H3PO4) PIRO fosfATO DI ÁCIDO (del H4P2O7) THIO carbonATO (del H2CO3) DI THIO bicarbonATO (del H2CO3) PEROXI perclorATO (del H2Cl2O9) (SO4)-2 (CO3)-2 (S2O8)-2 (HCO3)-1 (H2PO4)-1 (H2P2O7)-2 Yoduro (del HI) Sulfuro (del H2S) Fluoruro (del HF) (CSO2)-2 (HCS2O)-1 (SH)-1 Sulfuro ácido o BI sulfuro (del H2S) (TeH)-1 Teloruro ácido o BI teloruro (del H2Te) B) RADICAL HALOGÉNICO OXÁCIDO Es el que resulta de quitarle 1 o más H+ a la molécula del ácido oxácido. Se les nombra cambiando la terminación OSO por ITO la terminación ICO por ATO, al nombre del ácido del que deriva; seguido de la palabra ÁCIDO, o anteponiendo el prefijo BI siempre y cuando haya restos de H+ en el radical, sin cambiar ningún prefijo al nombre del ácido. Ejemplos: (CIO2)-1 (CIO3)-1 (CIO4)-1 (NO2)-1 (NO3)-1 ClorITO (del HCIO2) ClorATO (del HCIO3) PlerclorATO (del HCIO4) NitrITO (del HNO2) NitrATO (del HNO3) (Cl2O9)-2 NOMBRE DE LAS BASE o HIDRÓCIDOS Son compuestos que resultan de la combinación de un óxido con el agua. Se caracterizan por la presencia del grupo (OH)-. Colorea de violeta el papel de tornasol y de rojo la fenolftaleína. ÓXIDO + AGUA = BASE o HIDRÓXIDO Se les nombra con la palabra “hidróxido” seguido del “nombre iónico” del metal. Ejemplos: Hg(OH)2 o Hg+2(OH)-1 hidróxido mercúrico 2 Pb(OH)2 o Pb+2(OH)-1 hidróxido plumboso 2 Pb(OH)4 o Pb+4(OH)-1 hidróxido plúmbico 4 - 234 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ni(OH)2 o Nl+2(OH)-1 hidróxido hiponiqueloso 2 Ni(OH)3 o Ni+2(OH)-1 hidróxido niqueloso 3 Ni(OH)4 o Ni+4(OH)-1 4 NOMBRE DE LAS SALES Resultan de la combinación de un ácido (hidrácido u oxácido) con una base, por consiguiente siempre están conformadas por un “catión” que es metal de la base y el “anión” que es el “radical halogénico” del ácido. Puede ser sal hidrácida u oxácida. hidróxido niquélico (HS)2Fe ICa(OH) (HS)4Pb Sulfuro ácido ferroso o bilsulfuro de fierro Yoduro básico de calcio Sulfuro ácido plúmbico o bisulfuro plúmbico S3[(OH)Pb]2 Sulfuro básico plúmbico Cl (OH)Au I(OH)2Mn Cloruro básico áurico Yoduro DI básico mangánico S [(OH)3Pb]2 Sulfuro TRI básico plúmbico B) SALES OXÁCIDAS S A L E S A) SALES HIDRÁCIDAS Resultan de la combinación de un ácido hidrácido con una base ÁCIDO HIDRÁCIDO + BASE = SAL HIDRÁCIDA { Hidrácidas Oxácidas { { Neutras: No tienen ni H+ ni (OH)Ácidas: Tienen H+ Básicas: Tienen (OH)Neutras: No tienen ni H+ ni (OH)Ácidas: Tienen H+ Básicas: Tienen (OH)- Resultan de la combinación de un ácido oxácido con una base. ÁCIDO OXÁCIDO + BASE = SAL OXÁCIDA Se les nombra con el nombre iónico de radical halogénico (seguido de la palabra “ácido” si hay H+) seguido del nombre iónico del metal (anteponiendo la palabra “básico” si hay (OH)-). Ejemplos: (CIO)2Pb (CIO)4Pb (NO3)3Fe (NO3)2(OH)Fe (Cr2O7)3Au hipoclorito plumboso hipoclorito plúmbico nitrato férrico nitrato básico férrico dicromato áurico Permanganato dibásico mangánico Borato ácido mercurioso o borato mercurioso. Carbonato ácido de calcio o bicarbonato de calcio. PEROXIsulfato plúmbico Se les nombra con el nombre iónico del radical halogénico (seguido de la palabra “ácido” si tienen H+) seguido del nombre iónico del metal (anteponiéndole la palabra “básico” si tiene (OH)-). Ejemplos: CINa Cl2Cu Cloruro de sodio Cloruro cúprico (MnO4)(OH)2Mn (HBO3)Hg2 (HCO3)2Ca (SO5)2Pb - 235 - (HCSO2)2Ca THIOcarbonato ácido de calcio o BI THIOcarbonato de calcio (HCO4)2Ca Bi PEROXIcarbonato de calcio o PEROXIcarbonato ácido de calcio a) Por ejemplo en el HPO2, el fósforo es de valencia +3, el ácido tiene un solo H+ que es insustituible, luego este ácido no da sales. b) El ácido PIRO FOSFOROSO, H4P2O5, puede dar sales mono, di y tri ácidas. Ejemplos: AIHP2O5 PIRO fosfito de aluminio SALES DOBLES Son las sales que tienen dos metales. Se les nombra igual que cualquiera de las sales sólo que antes de nombrar los iones metálicos se escribe la palabra “doble”. (SO4)2AlK (HSO4)KNa PO4Na(OH)Mg (HCO3)6AlFe Sulfato doble de aluminio y potasio Sulfato ácido doble de potasio y sodio Fosfato doble de sodio básico de Magnesio Bicarbonato doble de aluminio férrico AI2(H2P2O5) PIRO fosfito DI ácido de aluminio Fe3(HP2O5)2 PIRO fosfito ácidoferroso Fe(H3P2O5)3 PIRO fosfito TRI ácido férrico ÓXIDOS DOBLES Resultan de escribir en una sola forma las fórmulas de los óxidos terminados en OSO e ICO. Se les nombra con la palabra ÓXIDO seguida de los “nombres iónicos” de los metales. FeO + Fe2O3 2SnO + SnO = Fe3O4 óxido ferroso férrico = Sn3O4 óxido estañoso estánico PECULIARIDADES DE LOS ÁCIDOS DEL FÓSFORO 1.- El ácido con P de Val + 1 da sólo el ácido ORTO: H3PO2 ácido ORTO fosforoso o HIPOFOSFOROSO 2PbO + Pb2O3 = Pb3O4 óxido plumboso plúmbico MnO + Mn2O3 = Mn3O4 óxido manganoso mangánico RADICALES CATIONES COMPUESTOS Son derivados de algunos HIDRUROS a los cuales se les agrega un H+, dando origen a un radical positivo monovalente. Se les nombra haciendo terminar en ONIO el nombre del hidruro que lo origina. 2.- En el ácido hipofosoforoso sólo un hidrógeno es sustituido por metal, los otros dos son insustituibles, de manera que las sales son siempre DI-ÁCIDAS y cuando se lee la fórmula casi siempre se prescinde la mención de esta di-acidez. Ejemplo: (H2PO2)Pb (H2PO2)6CaPb Hiposulfito plumboso Hiposulfito doble de calcio plúmbico Ejemplos: NH3 + H+ = PH3 + H+ = (NH4)+ (PH4)+ (AsH)4 (H3O)+ (H3S)+ + AnONIO FosfONIO ArsONIO HidONIO SulfONIO 3.- En los ácidos formados con el fósforo Val +2, siempre hay un HIDRÓGENO INSUSTITUIBLE, de manera que sus sales son “mono ácidas” y/o “di-ácidas”. AsH3 + H+ = H2O + H+ = H2S + H+ = - 236 - FORMULARIO MATEMÁTICO ANFOTERISMO DEL CROMO, NITROGENO Y MANGANESO Según la valencia, estos elementos pueden funcionar como metales o como metaloides, por consiguiente con el oxígeno pueden formar óxidos o anhídridos, y éstos con el agua a su vez forman BASES ó ÁCIDOS respectivamente. Ver el siguiente cuadro. MÁS OXÍGENO CrO Cr2O3 CrO3 N2O NO NOMBRE DEL COMPUESTO óxido cromoso óxido crómico anhidrido crómico MÁS AGUA Cr(OH)2 Cr(OH)3 H2CrO4 N(OH) N(OH)2 NOMBRE DEL COMPUESTO hidróxido cromoso hidróxido crómico ácido crómico ELEMENTO VALENCIA Cr Cr Cr +2 +3 +6 N N +1 +2 óxido nitroso óxido nítrico o monoxido de nitrógeno óxido de nitrógeno o bioxído de nitrógeno hidróxido nitroso hidróxido nítrico N +4 NO2 N(OH)4 hidróxido nitrógeno N N Mn Mn Mn +3 +5 +2 +3 +4 N2O3 N2O5 MnO Mn2O3 MnO2 anhidrido nitroso anhidrido nítrico óxido manganoso óxido mangánico óxido de manganeso o dióxido de manganeso HNO2 HNO3 ácido nitroso ácido nítrico Mn(OH)2 hidróxido manganoso Mn(OH)3 hidróxido mangánico Mn(OH)4 hidroxído de manganeso Mn Mn +6 +7 MnO3 Mn2O7 anhidrido mangánico anhidrido permangánico H2MnO4 HMnO4 ácido mangánico ácido permangánico - 237 - UNIDADES QUÍMICAS DE MEDIDA ÁTOMO-GRAMO Y MOLÉCULA-GRAMO ÁTOMO Es un corpúsculo elemental de extremada pequeñez, constituido por un “núcleo” que contiene protones y neutrones y una población de electrones que giran alrededor del núcleo, formando lo que se llama “envoltura” y que es un verdadero conjunto de cáscaras esféricas energéticas. MOLÉCULA Es la mínima porción de una sustancia, conformada por un átomo o un grupo de átomos, que puede existir en estado de libertad, sin tendencia a la combinación. NÚMERO DE AVOGRADO 6,023. 1023 indica: a) El número de átomos que hay en una porción de elemento que se llama “átomo-gramo”. b) También el número de moléculas de una sustancia que hay en una porción de sustancia que se llama “molécula-gramo”. ÁTOMO-GRAMO Es una porción de elemento donde hay 6,023 . 1023 átomos y cuyo peso en gramos numéricamente es igual a su peso atómico. Ejemplo: P.a. Au = 197 Luego una barrita de 197 g Au se llama átomo-gramo y en esta barrita hay 6,023 . 1023 átomos de Au. El número de “átomo-gramos” que hay en un peso cualquiera de elemento se calcula así: W # At – g = ––– A W A = peso de una porción de elemento, en g = peso atómico expresado en gramos. # At-g = número de at-g MOLÉCULA-GRAMO o MOL Es una porción de una sustancia donde hay 6,023 . 1023 moléculas, cuyo peso en gramos es numéricamente igual a su peso molecular. Ejemplo: P.m. H2O = 18 Luego: 18 g H2O se llama “molécula-gramo” o “mol” y en él hay 6,023 . 1023 moléculas de H2O. El número de moles que hay en un peso cualquiera de sustancia se calcula así: W n = ––– M W = peso cualquiera de sustancia, en “g” M = peso molecular expresado en gramos, se llama mol. n = número de moles Ejemplo: ¿Cuántas moles de NaOH hay en 70 g? Dato: P.m. de NaOH = 40 Luego: MNaOH = 40 g/mol ∴ 70 g n = –––––––– = 1,75 mol de NaOH 40 g/mol EL ESTADO GASEOSO GAS Es un estado de la materia en la que las moléculas gozan de movimiento libre e independiente, alejándose y acercándose entre sí en forma desordenada. Sus movimientos son rectilìneos, caóticos y elásticos. - 238 - FORMULARIO MATEMÁTICO El volumen “V” que ocupa, la temperatura “T” y la presión “P” que ejerce, son variables en los gases, y según como varían se relacionan como leyes permanentes. SÓLIDO Forma y volumen Definido LÍQUIDO Sólo volumen definido LEY DE CHARLES “A presión constante, los volúmenes de un gas varían en forma directamente proporcionales a las temperaturas absolutas”. El proceso se llama “isobárico”. V1 V2 ––– = ––– T1 T2 P P GAS Ni forma ni volumen definido V1 { T1 V2 { T2 LEY GENERAL DE LOS GASES “En todo gas ideal el producto de la presión absoluta por el volumen, dividido entre la temperatura absoluta es constante”. P1 . V1 P2 . V2 –––––– = –––––– T1 T2 LEY DE BOYLE Y MARIOTTE “A temperatura constante, los volúmenes de un gas varía en forma inversamente proporcionales a las presiones absolutas”. El proceso se llama “isotérmico”. P1V1 = P2V2 P1 P2 V1 P LEY DE GAY-LUSSAC “A volúmenes constantes, las presiones absolutas varían en forma directamente proporcional a las temperaturas absolutas”. El proceso se llama “isométrico” o “isócoro”. P1 P2 ––– = ––– T1 T2 P V1 { { T1 V2 { T2 V2 T { T - 239 - DENSIDAD DE UN GAS La densidad de un gas es variable y depende de las condiciones, es decir depende de la temperatura que tiene y del volumen que está ocupando, en todo caso, la densidad es: LEY DE DIFUSIÓN o LEY DE GRAHAM “La velocidad de difusión de los gases es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de sus masas moleculares o de sus densidades”. ____ V1 √Pm2 ––– = –––––– ____ V2 √Pm1 ___ V1 √D2 ––– = ––––– ___ V2 √D1 W δ = ––– V N Unidades SI: ––– m3 Pero que está sometida a una variación que depende de la presión y temperatura, según la siguiente ley: δ1 P1 T2 ––– = ––– . ––– δ2 P2 T1 NH4CL (Blanco) Vapor de HCL HCL P.m. 36,5 (Verdoso) Vapor de NH3 P.m. 17NH3 (Incoloro) ECUACIÓN UNIVERSAL DE LOS GASES P=k P.V=n.R.T P = presión de un gas en reposo V = volumen que ocupa ese gas en reposo. N = número de moles que contiene R = constante general de los gases, cuyo valor depende de las unidades que se usan. T = temperatura absoluta del gas. Valores que se emplea para R, según las unidades que se usa en el problema; T=k atm . L R = 0,082 ––––––– mol . K Esta ley dice: “La densidad de un gas varía en forma directamente proporcional a su presión absoluta y en forma inversamente proporcional a su temperatura absoluta”. mmHg . L R = 62,4 ––––––––– mol . K psia . ft3 R = 10,7 ––––––––– Mol-lib . R - 240 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplo: Calcular el peso de CO2 encerrado en un recipiente y que está a 800 mmHg de presión, a 67ºC y ocupa un volumen de 84,96 litros. Cálculo de la masa: De: P . V = n . R . T mR ⇒ P . V = –– . –– MT P.V.M ∴ m = –––––––– R.T Adecuando los datos: P = 800 mmHg T = 67ºC + 273 = 340 K V = 84,96 L g M = 44 ––– mol mmHg . L R = 62,4 ––––––––– mol . K Sustituyendo en (I) los datos adecuados: 800 . 84,96 L . 44 g/mol m = ––––––––––––––––––––– = 140 g mmHg . L 62,4 ––––––––– . 340 K mol . K Pero: w = m . g Luego: (I) MEZCLA DE GASES Es la reunión de dos o más gases en la que cada uno conserva sus características. LEYES DE DALTÓN 1.- “En una mezcla de gases que ocupa un volumen, la presión total es igual a la suma de las presiones parciales”. PT = p1 + p2 + p3 + … PT = presión de la mezcla p = presión parcial de cada gas 2.- “En una mezcla de gases, las presiones parciales son directamente proporcionales al número de moles o número de moléculas”. PT p1 p2 p3 ––– = ––– + ––– + ––– + … nT n1 n2 n3 PT = presión total de la mezcla p = presiones parciales nT = total de moles de la mezcla n = moles de cada gas en la mezcla Ejemplo: Se mezcla 3 moles de O2 y 2 moles de CO2. La presión total es de 1000 mm de Hg. Calcular la presión parcial de cada gas. PT p1 ––– = ––– nT n1 de donde: m m w = 140 g . 9,8 –– = 1,37 kg . –– 2 s s2 Por lo tanto: w = 1,37 N de CO2 HIPÓTESIS DE AVOGRADO Y AMPERE “En volúmenes iguales de gases distintos que estén a la misma presión y a la misma temperatura existe el mismo número de moléculas”. PT p1 = n1 ––– nT Sustituyendo los datos: Para el O2: 1000 mm pO2 = 3 mol ––––––––– = 600 mm Hg 5 mol - 241 - Para el CO2: 1000 mm pCO2 = 2 mol ––––––––– = 400 mm Hg 5 mol Mm = fm1 . M1 + fm2 . M2 + … Mm = peso promedio de una mol de la mezcla. fm1, fm2 = fracción molar de cada gas. M1, M2 = valor de la mol de cada gas. Ejemplo: Se mezcla 2 mol de He con 5 mol de CH4. Calcular el Pm promedio. Mm = fmHe . MHe + fmCH4 . MCH4 (I) Cálculo de las fracciones molares: nHe = 2 mol LEY DE AMAGAT “Cuando se mezcla gases distintos, todos a la misma presión y a la misma temperatura, manteniendo esa misma presión y temperatura al ser mezclados, el volumen de la mezcla es igual a la suma de los volúmenes parciales”. VT = v1 + v2 + v3 + … NÚMERO DE MOLES, VOLUMEN Y PRESIÓN PARCIALES RELACIONADO EN PORCENTAJE % n1 = % v1 = % p1 n1 = número de moles de uno de los gases en la mezcla. v1 = volumen parcial que ocupa uno de los gases. p1 = presión parcial que ejerce uno de los gases. FRACCIÓN MOLAR Es la relación entre las moles de uno de los gases que hay en la mezcla y el total de moles de la mezcla de gases. n1 fm1 = ––– nT fm1 = fracción molar. n1 = número de moles de uno de los gases en la mezcla. nT = número total de las moles que hay en la mezcla. PESO MOLECULAR DE UNA MEZCLA DE GASES Para calcular en Pm, se calcula el peso promedio de una mol de mezcla, ya que numéricamente el Pm, y la mol de un gas son iguales. Sumando: nCH4 = 5 mol ––––––––––––– nT = 7 moles n1 Sabiendo que: fm1 = ––– nT 2 mol fmHe = ––––– = 0,2857 7 mol 5 mol fmCH4 = ––––– = 0,7143 7 mol Además: MHe= 4g /mol y MCH4 = 16gr /mol Sustituyendo en (I) Mm = 0,2857 . 4 g/mol + 0,7143 . 16g /mol g = 12,6716 ––– mol numéricamente Mm = Pm ∴ Pm = 12,6716 GASES HÚMEDOS GAS HÚMEDO Es aquel gas que está mezclado con algún vapor (de agua, de gasolina, de éter, de alcohol, etc.). Para calcular la presión del gas húmedo, se aplica la Ley de Daltón: - 242 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplo: PH = Pv + Pg Por consiguiente: Pg = PH - Pv Donde: Pg = presión del gas (seco). PH = presión total del gas húmedo. Pv = presión del vapor. HUMEDAD RELATIVA Se denomina Humedad Relativa al porcentaje de vapor de agua que tiene un gas con respecto a su punto de saturación de vapor. Cuando el gas está totalmente saturado de vapor de agua la humedad relativa es 100% pv Hr = ––– . 100 ps o: w1 Hr = ––– . 100 wT Hr = humedad relativa. pv = presión parcial del vapor de agua a determinada temperatura. ps = presión parcial del vapor de agua, cuando la mezcla está saturada de vapor, a la misma temperatura. w1 = peso de vapor de agua presente en un determinado volumen (llamado también humedad absoluta). wT = peso total de vapor de agua necesario para que el volumen de gas anterior llegue a su total saturación. A 20º C la presión de saturación de humedad de un gas es 17.5 mm (este dato está tabulado en los libros), pero al momento de la medida, la presión parcial del vapor es 14 mm. ¿Cuál es la humedad relativa? pv 14 mm H.r. = ––– . 100 = –––––––– . 100 = 80% ps 17,5 mm DETERMINACIÓN DE PESOS ATÓMICOS 1.- Peso atómico aproximado: MÉTODO DEL M.C.D. o de CANIZZARO Se determina los pesos del elemento en el peso molecular de dos o más compuestos que contengan dicho elemento; el M.C.D. de estos pesos es el P.a. aproximado del elemento cuyo peso atómico se busca. 2.- Peso atómico exacto: MÉTODO EL CALOR ESPECÍFICO Se necesitan conocer las siguientes proposiciones: a) LEY DE DULONG Y PETIT Pa . Ce = 6,4 Pa = Peso atómico. Ce = Calor específico. b)PESO EQUIVALENTE o EQUIVALENTE GRAMO Es una porción del elemento, en gramos, que se combina o desplaza 8 g de oxígeno, 1,008 g de hidrógeno, o 35,46 g de cloro. Matemáticamente se calcula así: A Eq - g = –– V Eq - g = equivalente-gramo. A = átomo-gramo del elemento o P.a. expresado en gramos. V = valencia del elemento. - 243 - NOTA.Un elemento tiene tantos equivalentes como valencias tenga. ∴ 5g Eq-g M –––– = –––––– 1,2 g 8g de donde: Eq M = 33,3 g Ejemplo: 56 g Eq-g Fe+2 = –––– = 28 g 2 56 g Eq-g Fe+3 = –––– = 28 g 3 Fe (del ferroso) LEYES DE LAS COMBINACIONES QUÍMICAS LEYES PONDERALES Fe (del férrico) LEY DE LA COMBINACIÓN EQUIVALENTE DE LOS ELEMENTOS “Los pesos de dos elementos que se combina, o son sus equivalentes los que se combina o son proporcionales a estos pesos equivalentes”. W1 Eq1 ––– = ––– W2 Eq2 W1 = peso de un elemento que se combina con el peso W2 de otro elemento. W2 = peso del otro elemento que se combina con el peso de W1 del elemento anterior. Eq1 = peso equivalente del elemento 1. Eq2 = peso equivalente del elemento 2. Ejemplo: 5 gramos de un metal se oxida con 1,2 g de oxígeno. ¿Cuál es el equivalente del metal? PROCEDIMIENTO: WM = 5 g WO2 = 1,2 g Eq-g M = ? Eq-gO2 = 8 g Son las que gobiernan las masas (o los pesos) de los cuerpos que reaccionan y de los cuerpos que resultan. Son 4: 1.- LEY DE CONSERVACIÓN DE LA MATERIA o DE LAVOISIER “La masa de un sistema permanece invariable, cualquiera que sea la transformación que ocurra dentro de él”. 2.- LEY DE LAS PROPORCIONES DEFINIDAS o DE PROUST “Cuando dos o más sustancias se combinan para formar un cuerpo determiando, lo hacen siempre en una proporción fija y constante”. 3.- LEY DE LAS PROPORCIONES MÚLTIPLES o DE DALTÓN “Lo pesos de un elemento, que se combinan con un mismo peso de otro para formar compuestos distintos varían según una relación muy sencilla”. 4.- LEY DE LAS PROPORCIONES RECÍPROCAS o DE WENZEL-RITCHER “Los pesos de dos o más cuerpos que reaccionan con un mismo peso de otro, son los mismos, o sus múltiplos, los que reaccionan entre sí, el caso de ser suceptibles de reaccionar”. LEYES VOLUMÉTRICAS Son las que regulan o gobiernan los volúmenes de los gases que reaccionan y los volúmenes de los gases producidos. - 244 - FORMULARIO MATEMÁTICO 1.- LEYES VOLUMÉTRICAS o DE GAY-LUSSAC “En cualquier reacción química, los volúmenes de las sustancias gaseosas que reaccionan y los volúmenes de las sustancias gaseosas producidas, están relacionados por números enteros sencillos y constantes”. CONTRACCIÓN En una reacción química, es la disminución que experimentan los volúmenes de las sustancias gaseosas que reaccionan”. N2 + 3H3 1 vol 3 vol s-v C = ––––– s C = contracción. s = suma de volúmenes gaseosos reactantes. v = suma de volúmenes gaseosos que resultan. Ejemplo: Para la ecuación (1): 4-2 1 C = ––––– = –– 4 2 CONCENTRACIÓN La concentración de una solución es la que indica la “cantidad relativa” de soluto que hay en una solución. FORMAS DE EXPRESAR LA CONCENTRACIÓN FORMAS FÍSICAS 1.- EL PORCENTAJE POR PESO: peso soluto % de soluto = ––––––––––––– . 100 peso solución Ejemplo: Se disuelve 3 gramos de sal en 12 g de agua. ¿Cuál es la composición porcentual? 3g % de sal por peso = –––––––– . 100 = 20% 3 g + 12 g 2.- GRADOS BAUME Es una forma de medir las concentraciones de las soluciones líquidas de acuerdo a su densidad. La escala de Baumé es una escala de densidades que toma como puntos de referencia la densidad de agua pura y la densidad de una solución de NaCl al 10%. Para líquidos más densos que el agua, la densidad del agua es 0º Bé y la densidad de la solución de NaCl al 10% corresponde a 10º Bé. Para líquidos menos densos que el agua, por ejemplo: soluciones de gases en agua, la densidad de la solución de NaCl al 10% corresponde a 0º Bé y la del agua pura corresponde a 10º Be. Por eso, hay densímetros Bé para líquidos más densos que el agua y otros para líquidos menos densos. Para líquidos más densos que el agua: 145 n = 145 - –––– p.e ¸ 2 NH3 2 vol (1) EL ESTADO LÍQUIDO SOLUCIONES SOLUCIÓN Mezcla homogénea de dos sustancias, en la que una es el “solvente” y la otra es el “soluto”. SOLVENTE Sustancia en la cual se disuelve otra sustancia (generalmente es el agua). SOLUTO Sustancia que se disuelve en el solvente. Solución = solvente + soluto - 245 - Para líquidos menos densos que el agua: 140 n = –––– - 130 p.e n = ºBé p.e. = peso específico de la solución. 258 g Eq - gAl+3 = ––––– = 86 g de KAI(SO4)2 3 258 g (SO4)-2 = ––––– = 64,5 g de (SO4)2 4 2 MILI-VALENTE Es la milésima parte de un equivalente. FRACCIÓN MOLAR EN UNA SOLUCIÓN Es la proporción de moles de soluto o solvente que hay en una solución, o en otras palabras es el “tanto por uno” de soluto o solvente en la solución. n1 fm1 = ––– nT fm1 = fracción molar del soluto o solvente (según) n1 = número de moles de soluto o solvente (según) nT = número total de moles de la solución. EQUIVALENTE-GRAMO (Eq-g) DE COMPUESTOS a.- De un ácido: M Eq - gA = –––– #H+ #H+ = número de hidrógenos iónicos que contiene la molécula de ácido. b.- De una base: M Eq - gB = –––––– #(OH)(OH)- = número de grupos oxhidrilo iónico que contiene la molécula de la base. NOTA.La equivalencia se manifiesta en una reacción y está dada por el número de H+ o OH- de una molécula que han sido sustituídos, según sea ácido o base. c.- De una sal: Se da con respecto a uno de los elementos o a uno de los iones que constituyen la sal. M Eq - g S = ––––––––––––––––––––––––––––––– número Eq - g del elemento o radical Ejemplo: Calcular el equivalente del KAI (SO4)2 Con respecto al K+, Al+3 y (SO4)-2 2 FORMAS QUÍMICAS PARA MEDIR LA CONCENTRACIÓN DE LAS SOLUCIONES 1.- MOLARIDAD Está dada por el número que indica el número de moles de soluto que habría en 1 litro de solución. #Moles soluto Molaridad = –––––––––––––– #Litros solución o: n CM = ––– V Ejemplo: Se disuelve 20 gramos de NaCl en 110 cm3 de solución. ¿Cuál es la concentración molar de la solución? Se sabe que: n CM = ––– V (I) 258 g Eq - gK+ = ––––– = 258 g de KAI(SO4)2 1 - 246 - FORMULARIO MATEMÁTICO Donde: w 20 g n = ––– = –––––––––– = 0,341 mol M 58,5 g/mol V = 110 cm3 = 0,110 L Sustituyendo en (I): 0,341 mol mol CM = ––––––––– = 3,1 –––– 0,110 L L ∴ Concentración Molar = 3,1 M 2.- MOLARIDAD Está dada por un número que indica el número de moles de soluto que habría en 1 kg de solvente. #Moles soluto Molalidad = ––––––––––––– #Kg solvente o: n CM = ––– W Ejemplo: Se disuelve 20 g de NaCL en 100 g de agua. Calcular la concentración molal de la solución. Donde: w 20 g n = ––– = –––––––––– = 0,341 mol M 58,5 g/mol w = 100 g = 0,100 kg Sustituyendo en la fórmula: 0,341 mol mol Cm = –––––––––– = 3,41 –––– 0,100 kg kg ∴ Concentración Molal = 3,41 m 3.- NORMALIDAD Está dada por un número que indica el número de equivalentes gramo del soluto que habría en 1 litro de solución. o: # Eq-g CN = ––––––– V Ejemplo: Se disuelve 30 gramos de Ca(OH)2 en 120 cm3 de solución. Calcular la concentración normal de la solución. w 30 g # Eq - g = –––––– = –––––––––– = 0,81 eq - g Eq - g 37 g/eq-g V = 120 cm3 = 0,120 L Sustituyendo en la fórmula: 0,81 eq - g eq - g –––––––––– = 6,75 –––––– 0,120 L L Concentración Normal = 6,75 N DILUCIÓN Y AUMENTO DE LA CONCENTRACIÖN Cuando a una solución se añade solvente la solución se diluye, es decir baja la concentración. Cuando de alguna manera se le extrae solvente; es decir, se le disminuye el solvente, la solución se concentra, sube su concentración. En todo caso, se cumple la siguiente propiedad: C1V1 = C2V2 C1 = concentración de la solución al principio. V1 = volumen de la solución al principio. C2 = concentración de la solución al final. V2 = volumen de la solución final. #Eq - g soluto Normalidad = –––––––––––– #lit solución - 247 - DETERMINACIÓN DE PESOS MOLECULARES MÉTODO GASOMÉTRICO Este método se usa para sustancias gaseosas, y si no lo es, previamente se transforma en gas. Como la “mol” de cualquier sustancia, y el “peso molecular” son numéricamente iguales, lo que se determina es el peso de la mol y de ahí se infiere el P.m. Puede calcularse de las siguientes maneras: a) Basado en la ecuación general de los gases: m π . V = ––– . R . T M m.R.T M = ––––––––– π .V (I) M = masa de una mol de soluto, en “g/mol”. M = masa de soluto disuelto, en “g”. R = constante de los gases 0,082. T = temperatura absoluta de la solución, en “K”. m.R.T M = ––––––––– P.V (I) π = presión en atmósfera, ejercido por la columna de altura “h”, en “atm”. V = volumen de la solución en litros. Ejemplo: b) Conociendo la densidad relativa del gas con respecto al aire (Dr): P.m. = 28,96 . Dr (II) c) Conociendo la densidad del gas en C.N. (Dn): L M = 22,4 –––– . Dn Mol (III) Se disuelve 3 gramos de una sustancia en 150 cm3 de una solución, se deposita en un tubo de prueba de base semipermeable y se introduce dentro de otro recipiente mayor que contiene el disolvente; después de unos minutos el nivel de la solución, en el tubo, sube 2 cm. Si la temperatura del sistema es 27°C y la densidad de la solución al final 2,1 g/cm3, calcular el P.m. del soluto. Adecuando los datos: MÉTODO OSMÓTICO m=3g Se funda en el fenómeno de la ósmosis y se usa para calcular pesos moleculares de sólidos y líquidos disolviendo en un disolvente líquido. Atm . L R = 0,082 ––––––– mol . K T = 27° + 173 = 300 K P = π atm h g g π = H . δ = 2 cm . 2,1 –––– = 4,2 –––– 3 cm cm2 kg = 4,2 . 10-3 –––– cm2 1 π = 4,2 . 10-3 . –––––– atm = 4,066 atm 1,033 V = 150 cm3 = 0,150 L - 248 - FORMULARIO MATEMÁTICO Sustituyendo en la fórmula (I): Atm . L 3g . 0,082 ––––––––– . 300°K mol . K g M = ––––––––––––––––––––––––––– = 121 –––– 4,066 atm . 0,150 atm mol ∴ P.m. = 121 M = masa de una mol del soluto. Ke = constante crioscópica propia de cada líquido. m = masa disuelta de soluto, en gramos. W = masa del disolvente, en gramos. C = descenso del punto de cristalización del solvente. Ejemplo: Se disuelve 4 gramos de una sustancia en 40 gramos de benceno y el punto de congelación de esta solución es 5,2 °C menor que el punto de congelación del benceno puro. Si la constante crioscópica del benceno es 4,9°C, calcular el P.m. del soluto. m . 100 4 g . 1000 M = Ke ––––––– = 4,9 °C ––––––––––– W.C 40 g . 5,2°C = 94,23 g/mol ∴ P = 94,23 .m. MÉTODO EBULLOSCÓPICO Se funda en el aumento que experimenta el punto de ebullición de un líquido cuando contiene alguna sustancia en solución. Sirve para calcular pesos moleculares de sólidos y líquidos disolviéndolos en un líquido. m . 100 M = Ke –––––––– W.E M = masa de una mol de soluto, en “g/mol”. Ke = constante ebulloscópica propia de cada disolvente. m = masa del soluto, en gramos, disuelto. W = masa del solvente, en gramos. E = ascenso ebulloscópico, es decir diferencia entre el punto de ebullición de la solución y el solvente puro. Ejemplo: Se disuelve 3 gramos de un cuerpo en 30 gramos de agua. Si la constante ebulloscópica del agua es 0,52 y el ascenso ebulloscópico de la solución es 0,78. ¿Cuál es el peso molecular del cuerpo disuelto? 3 g . 100 M = 0,52 °C ––––––––––––– = 66,67 g/mol 30 g . 0,78 °C ∴ P.m. = 66,67 TERMOQUÍMICA DEFINICIÓN Y CONCEPTOS Es la parte de la química que estudia la energía calorífica (producida o consumida) que acompaña a todo proceso químico. La cantidad de calor que produce o consume un proceso químico se mide en calorías o joule, muy poco en Btu. CALOR DE REACCIÓN Es el calor que entra en juego en una reacción cuando la transformación se hace a temperatura y presión constantes. CALOR DE FORMACIÓN Es la cantidad de calor que absorbe o exhala en la formación de una mol de sustancia, por síntesis. CALOR DE COMBUSTIÓN MÉTODO CRIOSCÓPICO Se basa en el descenso que experimenta el punto de congelación de una solución comparado con el punto de congelación del solvente puro: m . 100 M = Kc ––––––– W.C Es el calor desprendido en la combustión total de una mol de una sustancia cualquiera. - 249 - LEY DE HESS “La cantidad de calor que intervienen en una reacción química, es la misma, así la reacción se realice en una o varias etapas”. EQUIVALENCIA DE UNIDADES 1 caloría 1 B.t.u. 1 kilo cal 1 joule 1 cal = = = = = 0,00396 B.t.u. 252 calorías 1000 calorías 0,24 cal 4,186 J EQUILIBRIO QUÍMICO Es un estado en el cual la velocidad de reacción de los cuerpos reactantes es igual a la velocidad de reacción de los productos para reproducir los reactantes. Sea la reacción: A+B » C+D El equilibrio químico en una reacción se produce a partir del momento en que las concentraciones de los reactantes y de los productos se mantiene constante. [A], [B] : concentraciones de A y B al momento del equilibrio. [C], [D] : concentraciones de C y D al momento del equilibrio. DEFINICIÓN DE LAS UNIDADES CALORIMÉTRICAS CALORÍA Es una unidad para medir la cantidad de calor: “Es la cantidad de calor que absorve o que necesita 1 gramo de agua líquida pura, para subir su temperatura en 1°C (de 15°C a 16°C)”. B.T.U. (British Terminal United) Equilibrio Químico [A] [B] [C] Es una unidad inglesa para medir la cantidad de calor: “Es la cantidad de calor que absorbe o que necesita 1 libra de agua líquida pura para subir su temperatura en 1°F . [D] CALOR GANADO O PERDIDO “q” CUANDO VARÍA LA TEMPERATURA 1.- Cuando la temperatura aumenta (gana): g = m . C.E. . (tf - ti) 2.- Cuando su temperatura disminuye (pierde): q = m . C.e. . (ti - tf) q = cantidad de calor ganado o perdido. Tiempo FACTORES QUE AFECTAN LA VELOCIDAD DE LA REACCIÓN PARA LLEGAR AL EQUILIBRIO QUÍMICO a.- Naturaleza de las sustancias que reaccionan. b.- Temperatura. c.- Agentes catalizadores. d.- Concentración y presión. REACCIONES REVERSIBLES Son aquellos en las que los productos originados pueden reaccionar entre sí, para regenerar los productos primitivos. m = masa del cuerpo que modifica su temperatura. C.e. = calor específico del cuerpo. Ti Tf = temperatura inicial. = temperatura al final. - 250 - FORMULARIO MATEMÁTICO REACCIONES IRREVERSIBLES Son aquellas en las que los productos originados no reaccionan entre sí para regenerar los primitivos. LEY DE GULBERG Y WAAGE O DE LA ACCIÓN DE LAS MASAS “La velocidad de reacción es proporcional a la concentración de los reactantes”. Constante de concentración Kc: [C]c [D]d Kc = ––––––––– [A]a [B]b Kc = constante de equilibrio por concentración. a, b, c, d, coeficientes de las sustancias A, B, C, D. en una reacción química así: aA + bB RELACIÓN ENTRE Kp y Kc Sea la reacción gaseosa: aA + bB » cC + dD Kp = Kc (RT)∆n Donde: ∆n = (c + d) - (a + b) LEY DE VAN´T HOFF “Cuando se aumenta la temperatura de un sistema en equilibrio, éste se desplaza en el sentido en que absorbe calor”. LEY DE CHATELIER Es más general que la de Van´t Hoff: “Los sistemas en equilibrio reaccionan tendiendo a reducir al mínimo el efecto de un cambio externo impuesto al sistema”. » cC + dD ÁCIDOS Y BASES ÁCIDOS Son aquellas sustancias que al disolverse en agua se ionizan, uno de cuyos iones siempre es el ión H+ o “protio”, el cual enrojece al papel tornasol. CONSTANTE DE EQUILIBRIO DE IONIZACIÓN Ki Los ácidos disueltos en agua se ionizan en iones H+ y radicales halogénicos A-. La constante Ki de ionización se calcula igual que Kc. Ejemplo: H2SO4 » 2H+ + SO=4 Agua Pura [H+]2 [SO4=] Ki = –––––––––– [H2SO4] CONSTANTE DE EQUILIBRO DE PRESIÓN PARCIAL Kp En la mayor parte de sistemas gasesoso es convenientes expresar la concentración de los gases en términos de la presión parcial. Ejemplo: nA + mB Rojo papel tornasol » sC + qD H+ (SO4)= H+ Solución de H2SO4 [PC]s [PD]q Kp = –––––––––– [PA]n [PB]m pA, pB, pC, pD, presiones parciales de los gases A, B, C, D. - 251 - BASES Son aquellas sustancias que al disolverse en agua se ionizan, uno de cuyos iones es el ión (OH)- llamado ixhidrilo, que colorea de azul violeta al papel tornasol. Se ioniza así: H2O → H+ + OHLa concentración de: [H+] = 1,0 . 10-7 ión-g/L La concentración de: Agua pura ∴ papel tornasol violeta TIPOS DE SOLUCIONES SOLUCIÓN NEUTRA: (OH) Ca+2 (OH) [H+] = [OH-] = 1,0 . 10-7 ión-g/L SOLUCIÓN ÁCIDA: Cuando: Soluución de Ca(OH)2 [H+] > [OH-] SOLUCIÓN BÁSICA: Cuando: [H+] < [OH-] [ OH- ] = 1,0 . 10-7 ión-g/L Kw = 1,0 . 10-14 ión-g/L ÁCIDOS Y BASES FUERTES Son aquellos ácidos o bases que al disolverse en agua se ionizan en un alto porcentaje. ÁCIDOS Y BASES DÉBILES Son aquellos ácidos o bases que al disolverse en agua se ionizan en un bajo porcentaje. Así, por ejemplo: HCI (ácido clorhídrico) es un ácido fuerte porque al disolverse en agua, un alto porcentaje está disociado en iones H+ y Cl-; mientras que CH3 –– COOH (ácido acético) es un ácido débil porque sólo un bajo porcentaje del CH3 –– COOH se ha disociado en iones H+ y CH3COO-. CONSTANTE DE IONIZACIÓN DEL AGUA (Kw) El agua es el más débil de los ácidos y el más fuerte de las bases. CONCEPTO DE “pH” El “pH” es una manera de expresar la concentración de los iones H+ en una solución. Se expresa por el logaritmo vulgar de la inversa de la concentración del H+. La concentración [H+] del H+ se expresa en ión-g/L o átomo-g/L : 1 pH = log –––– [H+] - 252 - FORMULARIO MATEMÁTICO ELECTRO-QUÍMICA Es el estudio de las reacciones químicas producidas por la acción de la corriente eléctrica y también es el estudio de las reacciones químicas que producen corriente eléctrica. Algunas unidades eléctricas. 1 coulomb Ampere = –––––––––– 1 segundo o: q I = –– t UNIDAD DE MASA COULOMB ELECTRÓLISIS Es la cantidad de masa eléctrica que se necesita para depositar 0,00118 gr de Ag en un proceso electrolítico. 1 coulombio <> 6,25 . 1018 electrones Es el fenómeno de la descomposición química de una sustancia disuelta (electrolito), generalmente en el agua, por la acción del paso de la corriente eléctrica. Fuente de energia FARADAY Es una unidad mayor de masa eléctrica, equivale a 96 500 coulombs, es la cantidad de masa eléctrica que al circular en un proceso electrolítico, deposita 1 Equivalente gramo de sustancia en los electrodos. 1 faraday <> 0,623 . 10 electrones Cl1 faraday <> 9,65 . 104 coulombio 23 + Anodo Cátodo Celda electrolítica H+ Electrolito ELECTRO-EQUIVALENTE Es la cantidad de sustancia depositada en un electrodo por un coulomb de corriente, en un proceso electrolítico. Por ejemplo: 0,00118 g Aag es el electroequivalente de la plata porque es depositado por un coulomb. Solución electrolítica LEYES DE FARADAY 1.- “La cantidad de sustancia depositada en un electrodo es proporcional a la cantidad de corriente que circula por una solución”. W=αq W = peso de sustancia que se libera o que se deposita en los electrodos. α = constante propia de cada sustancia que se va a descomponer y que depende de su equivalente-gramo. q = cantidad de corriente que circula. UNIDADES DE INTENSIDAD AMPERE Es una unidad para medir la frecuencia o intensidad con que se desplaza la corriente, equivale al desplazamiento de 1 coulombio en 1 segundo. - 253 - 2.- “Las cantidades de sustancias distintas depositadas en los electrodos, de procesos distintos, por la misma cantidad de corriente, son proporcionales a sus pesos equivalentes”. QUÍMICA ORGÁNICA BREVES NOCIONES y NOMENCLATURA OBJETIVO DE LA QUÍMICA ORGÁNICA Es estudiar los derivados del carbono. Wa Eq a ––– = ––––– Wb Eq b CARÁCTERÍSTICAS RESALTANTES DEL CARBONO 1.- El carbono es tetravalente. Se le representa por un tetraedro regular. nq + - 2.- Los átomos de carbono pueden unirse entre ellos por enlace simple, doble y triple. C El carbono y sus cuatro valencias - + nq - + =C-C= enlace simple = C =C = enlace doble + –– C ≡ C –– enlace simple - 254 - FORMULARIO MATEMÁTICO DIVISIÓN DE LA QUÍMICA ORGÁNICA La función orgánica que se estudia en Química Orgánica se divide en dos grandes series: ACICLÍCA y CICLÍCA. Saturados: enlace simple entre carbonos ACICLÍCA o grasa, o alifática o forménica (cadena abierta) No saturados Etilenos: olefinos o alquenos; enlace doble entre carbonos Acetilenos o alquinos: enlace triple entre carbonos Alicíclica: cadena hasta d 5 carbonos Carbocíclicas CICLÍCA o aromática (cadena abierta) Bencénica: El benceno y sus derivados Heterocíclicas: Cuando algunos vertices de la cadena cerrada son distintos del C SERIE ACÍCLICA Son compuestos orgánicos de cadena abierta. Se clasifican en SATURADOS y NO SATURADOS. FUNCIONES FUNDAMENTALES Alcohol Aldehíbido Cetona Äcido FUNCIONES ESPECIALES Eter Ester Sal orgánica Amina Amida Nitrito Cianuro FUNCIONES QUÍMICAS Se llama así a un conjunto de propiedades análogas a un grupo de compuestos. En la Química Orgánica se puede definir y clasificar las siguientes funciones: FUNCIÓN PRINCIPAL Constituída por H y C; de ésta, derivan otras. 1) Saturadas •Enlace doble 2) No saturadas •Enlace triple - 255 - FUNCIÓN HIDROCARBURO Son compuestos que constan sólo de C e H. Es la función más sencilla pero a la vez la más importante. Los grupos característicos son: CH4 CH3 – CH3 CH3 – CH2 – CH3 : Metano o protano : Etano o deutano : Propano o tritano : Butano o tetrano pentano exano heptano Etc. -CH3 Grupo funcional Primario Monovalente = CH2 Grupo funcional secundario divalente CH3 – CH2 – CH2 – CH3 CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CH3 : CH3 – (CH2)4 – CH3 CH3 – (CH2)5 – CH3 : : ≡ CH Grupo funcional terciario, trivalente. A) FUNCIONES PRINCIPALES Constituídos sólo por Carbonos e Hidrógenos. Los 4 primeros hidrocarburos; es decir, hasta el C4, son gaseoso. Del C5 al C17 son líquidos, del C18 en adelante son sólidos. Fórmula general: 1.- SERIE SATURADA O ALKANA Son hidrocarburos de cadena abierta con un solo enlace entre carbonos. n: 1, 2, 3, … Ejemplo: H H C H o: CH3 – CH2 – CH2 - CH3 NOMENCLATURA “Se les nombra con la palabra griega que indica el número de carbonos de la cadena principal y se le hace terminar en ANO”. Los 4 primeros componentes de esta serie tienen nombres especiales, con los cuales son más conocidos: CH3 – CH2 – NOMENCLATURA “Se les nombra cambiando la terminación ANO del hidrocarburo (o la terminación OL del alcohol), por la terminación IL o ILO”. H C H H C H H C H H RADICALES HIDROCARBUROS O RADICALES ALCOHÓLICOS Son aquellos que resultan al quitarle un “H” a un hidrocarburo saturado (o quitar un “OH” a un alcohol mono alcohol, lo que se verá más adelante). Ejemplo: CH3 – CH3 Si se quita H resulta en: CnH2n+2 - 256 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplos: HCH3 origina el CH3 – CH3 – CH3 origina el CH3 – CH2 – CH3 – CH2 – CH3 origina el CH3 – CH2 – CH2 – CH3 – CH2 – CH2 – CH3 origina el CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CH3 origina el CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – CH2 – HIDROCARBUROS SATURADOS CON RAMIFICACIONES Son aquellos que tienen cadenas laterales conformadas por radicales hidrocarburos. NOMENCLATURA “Se numera el hidrocarburo, eligiendo como cadena principal la cadena más larga, la cual puede ser toda horizontal, toda vertical o quebrada, empezando por el lado más cercano a la cadena lateral; luego, se nombra los radicales, indicando el número de carbonos donde están enlazados, luego se lee el nombre del hidrocarburo principal”. Ejemplos: i) 1 2 3 4 5 CH3 – CH – CH – CH2 – CH2 – CH2 – CH3 CH3 CH3 6 CH2 7 CH2 8 CH3 Dimetil – 2 . 3 – etil – 5 – octano ii) 5 4 3 2 1 ii) 1 2.- SERIE NO SATURADA Son aquellos hidrocarburos cuyos carbones están unidos por dos o tres enlaces. ALQUENOS O HIDROCARBUROS CON ENLACE DOBLE Llamados también etilénicos, olefinos o alquenos. Son aquellos en cuya cadena principal hay uno o más carbonos unidos por enlaces dobles. NOMENCLATURA “Se les nombra con la palabra griega que indica el número de carbonos que tiene la cadena principal, haciendo terminar en ENO, precedida esta terminación por di, tri, etc., según el número de enlaces dobles que tenga la cadena principal, ubicando con una numeración adecuada que empiece por el extremo más cercano al enlace doble”. Ejemplos: i) 5 4 3 2 1 CH3 – CH2 – CH = CH – CH3 Pent – ENO – 2 2 3 4 5 6 7 8 9 metlL etlL proplL butlL pentlL CH3 – CH = CH – CH = CH – CH = CH – CH2 – CH3 Nona – TRI – ENO – 2 . 4 . 6 Fórmula general cuando el hidrocarburo tiene un solo enlace doble: CnH2n CH3 – CH2 – CH – CH – CH3 CH3 Metil – 2 – pentano - 257 - ALQUINOS O HIDROCARBURO DE ENLACE TRIPLE Llamados también acetilénicos o alquinos. Son aquellos hidrocarburos en los cuales algunos de sus carbonos, de la cadena principal, están unidos por enlaces triples. NOMENCLATURA “Se les nombra con la palabra griega que indica el número de carbonos de la cadena principal seguido de la terminación INO, interponiendo la palabra di, tri, etc., para indicar el número de veces que se repite el enlace triple; finalmente, se ubica los enlaces triples con números de los carbonos de menor numeración de la cadena principal”. Ejemplos: i) 7 6 5 4 3 2 1 CH3 – CH2 – C ≡ C = CH2 – C ≡ CH Hepta di – INO – 1.4 ii) 5 4 3 21 CH3 – CH2 – C ≡ C – CH3 Penta – INO – 2 Fórmula general válida cuando hay un solo enlace triple: CnH2n-2 Ejemplo: i) 1 2 3 4 5 6 7 8 CH ≡ CH – CH – CH2 – CH – CH = CH – CH3 CH3 CH3 Di – metil – 3.5 – octa – eno.6 – ino. 1 ii) 9 8 7 6 5 4321 CH – CH – CH − CH – C ≡ C – C = C = CH2 CH2 CH2 CH3 CH2 CH2 CH2 CH3 Propil. 8 – butil.3 – Nona – di – eno. 1.2 – ino.4 B) FUNCIONES FUNDAMENTALES FUNCIÓN ALCOHOL Resulta de la sustitución, en la función hidrocarburo, de un H por un radical OH. Como la sustitución puede hacerse en un grupo hidrocarburo primario, secundario o terciario, el alcohol resultante será primario, secundario o terciario, cuyos grupos funcionales son; - CH2OH HIDROCARBUROS NO SATURADOS CON CADENAS LATERALES Son aquellos que tienen cadena lateral, designándose como cadena principal la que tiene enlace doble o triple. NOMENCLATURA “Primero se elige la cadena principal, se numera sus carbonos. Luego, se nombra los radicales empezando por los más simples, indicando su ubicación con la numeración de la cadena principal, finalmente se lee la cadena principal”. = CHOH NOMENCLATURA ≡ COH “Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina, haciendo terminar el OL, precedida esta terminación de di, tri, etc., según las veces que se repite el grupo OH”. - 258 - FORMULARIO MATEMÁTICO Ejemplos: i) CH3 – CH2OH etanol Ejemplo: i) ii) CHO – CH2 – CH3 Propan – al CHO – CH3 Etan – al ii) CH3 – CHOH – CH3 Propanol – 2 iii) 1 2 iii) CH2OH – CH2 - CHOH Propano – di – ol – 1 . 3 3 4 5 6 7 CHO - C ≡ C - CH – CH = CH – CHO CH3 Metil.4 – hepta – eno.5 – ino.2 – di – al.1.7 FUNCIÓN CETONA iv) CH2OH – CHOH - CH2OH Propano – tri – ol o glicerina v) 8 7 6 5 4 3 2 1 CH ≡ C – CHOH − CH - CH = C – COH = CH2 C2H5 C2H5 Resulta de sustituir 2H del grupo funcional secundario (=CH2) por un O. El grupo funcional carácterístico es: = CO Di – etil.3.5-OL.2.6 – Octa – di – eno.1.3 – ino.7 NOMENCLATURA FUNCIÓN ALDEHÍDO Resulta de la sustitución de 2H de un hidrocarburo del grupo funcional primario (-CH3) por un O. El grupo carácterístico es: -CHO o: O –C H NOTA: No confundir con el alcohol terciario (≡ COH) iii) 7 6 5 4 3 2 1 ii) CH3 – CO – CO – CH3 Buta – di – ona “Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina, haciendo terminar en ONA”. i) CH3 – CO – CH3 Propan - ona CH3 – CO – CH − CH2 – CO – CH = CH2 CH2 CH3 Etil 5 – hepta – eno.1 – di-ona.3.6 NOMENCLATURA “Se le nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina, haciendo terminar en AL”. - 259 - FUNCIÓN ÁCIDO Resulta de la sustitución del grupo funcional primario (-CH3), 2H por un O y otro H por un OH. El grupo funcional carácterístico se llama carboxílico y es: iii) COOH – CH2 - COOH Propano – di - oico iv) COOH – CH2 – CH2 – CH3 Butan – oico – COOH v) NOMENCLATURA “Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina, haciendo terminar en OICO”. Ejemplos: i) HCOOH Metan - oico COOH – CH3 Etan-oico 8 7 6 5 4 3 2 1 CH3 − CH2 – CH – CH2 − C ≡ C – CH – COOH CH2 CH3 Metil.2 – etil.6 – octa – ino.3-oico.1 CH3 ii) - 260 - FORMULARIO MATEMÁTICO RADICALES ORGÁNICOS RADICAL ALCOHOLICO O RADICAL DE HIDROCARBURO SATURADO Es aquel que resulta al quitarle el grupo OH al alcohol o el H a un hidrocarburo saturado. NOMENCLATURA.“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina, cambiando la terminación ONA del hidrocarburo, u OL del alcohol, por la terminación IL o ILO”. Ejemplos: i) HCH3 original el – CH3 met-il. ii) CH3 – CH2 – CH2 Propil iii) CH3 – CH2 – CH2 – CH2 Butil Fórmula general: CnH2n+1 RADICALES DE HIDROCARBUROS NO SATURADOS Resultan de quitarle 1 H al hidrocarburo NOMENCLATURA.“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina haciendo terminar en ILO”. Ejemplos: i) CH2 = CH2 origina el CH2 – CH – etenilo. ii) 4 3 2 1 iii) 1 2 3 4 5 6 CH2 = CH – CH - CH = CH – CO CH2 1 2 3 4 5 6 CH3 Etil.3 – exa – di – eno.1.4 – ilo.6 CH ≡ C – CH = C = CH – CH2 – Exa – di – eno.3.4 – ino.1-il.6 CH3 – CH2 – CH = CH Buteno.1 – il -1 iii) [(de iii)] 1 2 3 4 5 6 Es necesario indicar la posición del enlace libre, porque con los ejemplos anteriores puede suceder lo siguiente: [(de ii)] 4 3 2 1 – CH2 – CH2 – CH = CH2 Buteno.1 – il – 4 – C ≡ C – CH = C = CH – CH3 Exa – di – eno.3.4 – ino.1-il.1 RADICALES ÁCIDOS Resulta de quitarle un OH al grupo carboxílico (-COOH) del ácido orgánico. NOMENCLATURA.“Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que lo origina, añadiendo la terminaciòn ILO”. Ejemplos: i) CH3 – CO – Etano-ilo ii) CH3 – CH2 – CH2 – CO – Butano-ilo - 261 - C) FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN ÉTER Resulta de quitar (deshidratar) una molécula de agua a dos moléculas de alcohol. 2(CH3 – CH2OH) – H2O NOMENCLATURA “Se les nombra interponiendo la palabra OXI a los nombres de los hidrocarburos que originan los alcoholes”. Ejemplos: i) CH3 – CH2 – O – CH3 Etano oxi-metano ii) CH3 – CH2 – CH2 – CH2 – O – CH2 – CH3 Butano-oxi-etano NOMENCLATURA ESPECIAL Cuando el grupo funcional éter (–O–) une los átomos de carbono de una misma cadena, se le antepone el prefijo EPOXI, indicando con numeración los carbonos donde está injertado el radical –O–, seguido del nombre el hidrocarburo. Ejemplos: i) 5 4 3 2 1 C2H5 – O – C2H5 FUNCIÓN ÉSTER Resulta de sustituir el (H+) del ácido orgánico o mineral por un radical alcohólico. Ejemplo: (CH3 – COOH) + (CH2OH – CH3) CH3 – COO.C2H5 + H2O H.NO3 + (CH2OH – CH3) NOMENCLATURA “Se le nombra con el nombre del radical halogénico del ácido (el nombre del ácido se hace terminar en ATO), seguido del nombre del radical alcohólico”. Ejemplos: i) CH3 – (CH2)4 – COO.C2H5 Exanoato de etilo ii) CH4 – COO.C4H9 Etanoato de butilo iv) SO4 (C3H7)2 Sulfato de propilo v) SO3.(C6H13)2 Sulfito de exilo vi) NO3.C2H5 Nitrato de etilo vii) CIO4 . C3C7 Perclorato de propilo FUNCIÓN SAL ORGÁNICA NO3C2H5+H2O CH3 – CH2 – CH – CH - CH3 O Epoxi.2.3 - pentano ii) CH3 – C = C – CH3 O Epoxi.2.3 – buteno.2 iii) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 CH3 – C ≡ C − CH − CH − C ≡ C – CH = CH2 O Epoxi.5.6 – nona - eno - 1 – di – ino.3.7 Resulta de sustituir el hidrógeno H+ del ácido orgánico por metales o radicales positivos de Química Inorgánica. Ejemplo: CH3 – COO.H + NaOH CH3 – COO.Na + H2O - 262 - FORMULARIO MATEMÁTICO NOMENCLATURA “Se les nombra con el nombre halogénico del ácido, seguido del nombre iónico del metal”. Ejemplos: i) (C3H7 – COO)2 Cu Butanato cúprico ii) (CH3 – COO)3Al Etanoato de aluminio FUNCIÓN AMINA Resulta de la sustitución parcial o total de los H del amoníaco por radicales alcohólicos. N H N H H NOMENCLATURA “Se les nombra con los nombres de los radicales alcohòlicos, seguido de la palabra AMINA”. Ejemplos: CH3 i) N CH3 H i) N N C2H5 H H amoníaco FUNCIÓN AMIDA iii) N C2H5 C2H5 C3H7 Di – etil – propil – amina Resulta de la sustitución parcial o total de los hidrógenos del amoníaco por radicales ácidos. (Radical ácido es lo que queda del ácido al quitarle el grupo OH). H H H N CO–C2H5 H H propano amida NOMENCLATURA “Se les nombra con el nombre del hidrocarburo que origina el radical ácido, segui

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Below is a small sample set of documents:

HKUST - ACCT - 341
Account 341 Group Assignment One TaxationGroup number: Group member List: CHAN Chung Yee Fannie CHAN Ying Tung Kelly CHAN Yuen Yan ac_ccyaj ac_cytae ac_cyyap ac_llyac 08035257Question Onea) GST :From the perspectives of the good and service taxs full
College of E&ME, NUST - MECHATRONI - 123
College of Electrical &amp; Mechanical Engineering, NUSTOLYMPIAD 2010 OFFICIAL REPORTCollege of EMECollege of Electrical and Mechanical Engineering (CEME) came under the NUST banner in 1993, and since then its academic standing has attained a new level of
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The Beat Hotel Response Paper #5 When reading &quot;The Yage Letters&quot; by William S. Burroughs, I was pretty amazed to find out that the book was about letters between William Burroughs and Allen Ginsberg's adventures to South Africa in search for a hallucinati
Parker CC - HIST - 387
Gatekeepers: Kings and the Divine in The Mabinogi The Celts are both an extinct and immortal people. Although their lands, people and pagan culture succumbed to the insatiable growth of Christianity, the Celts left a distinct stamp on the legends and lite
American University in Bulgaria - BUSINESS - 1
@Pep Stores: Retailing to low-income consumersBy Catherine McPherson, Steven Michael Burgess and Mlenpa Jerelsumers in the various markets in which it operates. In addition to its core products of clothing, botwear, and textiles, the stores stock a ran
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Chapter 3: Structure of Metals and CeramicsstructureprocessingpropertiesPerformanceWell now look at the structure of solid materials at the level of arrangements of groups of atoms; that is, crystalline materials.MY2100 Ch 3, Part 1, Slide 1Issues
Mich Tech - MY - 2100
Precipitation Hardening We know from chapter 8 that we can strengthen crystalline materials by making it harder for dislocations to move. We can do this by: Refining Adding Coldgrain size (small effect)solid solution elementsworking second phase preci
Mich Tech - MY - 2100
Summary of Microconstituents in steels The following form on slow cooling of in compositions different than the eutectoid: Primary Primary Fe3C ( + Fe3C) microconstituents (all form below the eutectoid temp.): Pearlite (slow cooling) Bainite (quicker cool
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 11 - Phase TransformationsstructureprocessingpropertiesPerformanceA phase transformation is a change in the number and/or character of the phases that make up the microstructure of a material. Why is this an important topic for us to study?M
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 10: Steel - The Iron/Carbon SystemstructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. What does the phase diagram look like for Fe-C (basic composition of steel)? What microstructures exist in steels?MY2100 Ch 10, Part 3, Slide 1Stee
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 10: Phase Diagrams Containing Eutectic ReactionsstructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. What do phase diagrams look like when 2 or more solid phases exist in the system? What is a microconstituent and why is it important?M
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 10: Phase diagramsstructureprocessingpropertiesPerformancePhase diagrams are a tool we use to understand microstructures in metals and ceramics, and how to control the microstructures during processing to obtain improved properties and perfor
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 9 FailurestructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. How do loading rate, loading history, and temperature affect the failure stress? Why can a cyclic or repeated load or strain cause material failure?MY2100 Ch 9, Part 2, Slid
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 9: FailurestructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. How do flaws in a material initiate failure? How is fracture resistance quantified; how do different material classes compare? How do we estimate the stress to fracture?MY2
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 8: Deformation and Strengthening MechanismsstructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. What controls the strength of metals? How do we make a metal stronger? How can heating change strength and other properties?MY2100 Ch 8, Pa
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 8: Deformation and Strengthening MechanismsstructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. What controls the strength of ceramics? What controls the strength of polymers?MY2100 Ch 8, Part 2, Slide 1Ceramics Ceramics do not yield
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 7: Mechanical PropertiesstructureprocessingpropertiesPerformanceMechanical properties deal with how a material responds to forces. This subject is extremely important to almost every engineer who is using materials or designing structures.MY
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 7: Mechanical PropertiesstructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. Mechanical behavior of ceramics and polymers Ceramics : How do their properties differ from metals? Polymers: How do their properties differ from metals?MY210
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 7: Mechanical PropertiesstructureprocessingpropertiesPerformanceMechanical behavior of metals - plastic deformationMY2100 Ch 7, Part 2, Slide 1ISSUES TO ADDRESS Plastic behavior: At what point do dislocations cause permanent deformation? Wh
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 6: DiffusionstructureprocessingpropertiesPerformanceDiffusion involves atoms moving and changing places and is important in many types of material processes. You are probably more familiar with diffusion in gases and liquids but it also occur
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Chapter 5: Imperfections in SolidsstructureprocessingpropertiesPerformanceAll structures contain defects. These defects are often a very important factor in controlling processing and performance.MY2100 Ch 5, Slide 1ISSUES TO ADDRESS. What types of
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 4: Structure of Polymers structureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO ADDRESS. What are the general structural and chemical characteristics of polymer molecules? What are some of the common polymeric materials, and how do they differ chem
Mich Tech - MY - 2100
Chapter 3: Structure of Metals and CeramicsstructureprocessingpropertiesPerformanceNow: Look at ceramic structures as well as polycrystals and non-crystalline solidsMY2100 Ch 3, Part 2, Slide 1ISSUES TO ADDRESS. How do the structures of ceramic mat
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Atomic Structure and Interatomic BondingstructureprocessingpropertiesPerformanceISSUES TO BE ADDRESSED . What promotes bonding? What types of bonds are there? What properties are inferred from bonding?MY2100 Ch 2, Slide 1Length scales human hair di
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MY2100 - Introduction to Materials Science and Engineering Text: William D. Callister, Jr. &amp; David Rethwisch, Fundamentals of Materials Science and Engineering / An Integrated Approach, John Wiley &amp; Sons, Inc., 3rd edition Instructor: Prof. B.J. Pletka (D
University of Illinois, Urbana Champaign - FSHN - 101
Lecture 11: Food Chemistry: The Basics1. define the terms: functionality (as applied to food systems), elements, compounds (or molecules), mixtures, isotopes, triple point, critical point Functionality: the chemical and physical properties of macronutrie
Edison College - IS - 230
1. Which statement is true? a. Emergency program functions and emergency management core functions are totally separate. b. Emergency program functions can be emergency management functions at the discretion of the emergency manager. c. All emergency prog
Colorado - ANTH - 1190
ANTH 1190: Origins of Ancient CivilizationsArthur A. Joyce, Professor (arthur.joyce@colorado.edu) Guy Hepp, TA (heppg@Colorado.EDU) Morgan Koukopoulos (Johnrobert.Koukopoulos@Colorado.EDU) Jakob Sedig, TA (jakob.sedig@colorado.edu) Dave Williams, TA (dav
Waterloo - MATH - 138
Estimation of functions using Taylor polynomialsCourse notes for MATH 138If a power series a0 + a1 (x p) + a2 (x p)2 + + ak (x p)k + . . . converges to a function f on some interval (p R, p + R) centered at p, then the series coefcients ak must be the T
Waterloo - MATH - 138
Sequences and their limitsNotes for MATH 138The limit ideaFor the purposes of calculus, a sequence is simply a list of numbers x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . that goes on indenitely. The numbers in the sequence are usually called terms, so that x1 i
Waterloo - MATH - 138
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Things to know for the nal examYour nal exam on April 9 will include the broad spectrum of material that we have covered. More weight is placed on material since the mid-term. However, much of the later material depends on solid knowledge of ear
Waterloo - MATH - 138
Final exam Grad TA schedule for Math 138 Winter 2010 Math Faculty Tutorial Center MC4066Time Wednesday April 7 Thursday April 8 Friday April 99:00 AMExamRobert Garbary Kewei Yu Alejandra Vicente Colmenares Omar Leon SanchezClinton Loo Veronika Sheles
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Calculus 2, Solutions to MAPLE Lab Assignment 2Problem 1: Use MAPLE to list the rst 5 Taylor polynomials T1 (x), T2 (x), , T5 (x) centered at 0 for the 2x+1 function f (x) = 4x2 . Solution: The MAPLE commands f:=(2*x+1)/sqrt(4-x^2): n:=5: for i
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Maple Lab Assignment 1Differential Equations in MapleO with DEtools : O ode1 d diff y x , x = x C y x ; ode1 := O dsolve O dsolve O dsolve ode1, y 0 = 1 ode1, y 0 =K 1 ode1, y 0 =K 2 ; y x = K K x C 2 ex 1 ; y x = K Kx 1 ; y x = K K x K ex 1 O
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Calculus 2, MAPLE Lab Assignment 2Due: Monday, March 29 by 11:00 am in the MATH 138 drop boxes outside MC 4066. We can have MAPLE list the rst 7 Taylor polynomials T1 (x), T2 (x), , T7 (x) centered at 0 for the function f (x) = sin x using the f
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Maple Lab Assignment 1Due: Friday, February 26, by 11:00 a.m. in the MATH 138 dropboxes outside of MC 4066. This question is designed to give you some familiarity with the use of Maple in solving differential equations. For practice, type the fo
Waterloo - MATH - 138
Exam Writing Tips1) Do NOT write an exam in order There seems to be a misconception among many students that the questions on an exam are ordered from easy to hard. In fact, many exams I have written as both a student and a teacher had the easy questions
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Assignment 10 SolutionsProblem 1: You may have wondered why odd functions are called odd, and even functions are called even. Here is a possible reason. Suppose f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + . . . for x in an interval (R, R). If f
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 11NOT TO BE HANDED INOur course ends with an introduction to parametrized curves. This material is covered in Stewart, Sections 10.1 and 10.2. Section 10.1 is intended to get you familiar with the notion of a parametrized curve. The
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 10Due by: 11 a.m., MONDAY, March 29Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page of
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Calculus 2, Solutions to Assignment 9Problem 1: For each series below determine whether it converges absolutely, conditionally, or not at all.(a)(1)nn=1n10 2n n10 . Then 2n n+1 n10Solution: Let an =an+1 (n + 1)10 2n 10 = = an 2n+1 n Thus
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 ASSIGNMENT 8 SOLUTIONS WINTER 20101 1. The Integral Test can be applied since f (x) = (2x+1)7 is continuous, positive and decreasing on [1, ). By the remainder estimate for the Integral Test, we want to nd n such that n 1 dx &lt; 105 . (2x + 1)7t
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 9Due by: 11 a.m., Friday, March 19Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page of y
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 8Due by: 11 a.m., Friday, March 12Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page of y
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 7Due by: 11 a.m., Friday, March 5Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page of yo
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Assignment 7 SolutionsProblem 1: Find the sums of the following series. n (a) 23n1 n=0 Solution:n 23n1=n=0n=02 n = (23 )n 82n=0 8nNote: Geometric Series with a = 2, |r| &lt; 1=2 1=16 83 + 2n 3n+2 n=0 Solution: (b)n=0 3 + 2n = 3n+2
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Calculus 2, Solutions to Assignment 6Problem 1: We can sense that 3 + 3+12 n12 n 9 as n . Given any12 n&gt; 0, show that if n &gt;1 n27, then 9 &lt; . This proves from scratch that 3 +1 n2 9. Hint. You know that12 n 6 n1 nalways.Solution:
Waterloo - MATH - 138
MATH 138 Assignment 5 Solutions Winter 2010Note: A rst-order linear dierential equation (D.E.) is of the form dy + P (x) y = Q (x) dx and the integrating factor for such a D.E. is R I (x) = e P (x)dx . dy + y = cos (ex ) dx is of the form (1) with P (x)
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 6Due by: 11 a.m., Friday, February 26Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page o
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 5Due by: 11 a.m., Friday, February 12Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a very good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst p
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 4Due by: 11 a.m., Friday, February 5Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a very good chance it will become lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst pa
Waterloo - MATH - 138
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 3Due by: 11 a.m., Friday, January 29.Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a very good chance it will get lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 1Due by: 11 a.m., Friday, January 15.Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a very good chance it will get lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page
Waterloo - MATH - 138
MATH 138Assignment 2Due by: 11 a.m., Friday, January 22.Place your assignment in the correct drop box. If your assignment falls into the wrong box, there is a very good chance it will get lost. Print your name and I.D. number at the top of the rst page
Memorial University - BUSI - 5301
Chapter 6 Definitions: Economies of Scale: Achieving lower costs through large volume production often made possible by global expansion. Economies of Scope: Achieving economies by having a presence in many product lines, technologies or geographic areas.
University of the West Indies at Mona - ECON - 1003
University of the West Indies at Mona - ECON - 1003
University of the West Indies at Mona - ECON - 1003
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