INDUSTRIAL UNIVERSIDAD DE SANTANDER Escuela de Fsica
Laboratorio de Fsica III L4: OSCILACIONES ROTATORIAS LIBRES Y FORZADAS-M INTRODUCCIN: El pndulo de Pohl es un sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un resorte helicoidal que puede girar alrededor de un eje horizontal. El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magntico producido por una bobina en el anillo de cobre. El momento de fuerzas que ejerce el campo magntico sobre las corrientes inducidas es proporcional a la velocidad angular de rotacin y de sentido contrario a sta. La intensidad del campo magntico es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, la fuerza sobre dichas corrientes es tambin proporcional al campo magntico. El momento de frenado es proporcional, por tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente que pasa por la bobina. La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable, que dispone de una rueda impulsora y una excntrica unida a una biela. La biela se atornilla a una varilla que puede girar alrededor del mismo eje y cuyo extremo est unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura que permite ajustar la amplitud de la oscilacin forzada. La varilla impulsora y el disco giran independientemente uno del otro, solamente estn conectados por el muelle helicoidal. OBJETIVOS: Parte A: Medir la amplitud de oscilaciones rotatorias como funcin de tiempo Determinar la constante de amortiguamiento y el decremento logartmico Investigar la forma de la transicin para el caso de la oscilacin dbilmente amortiguada al caso lmite Parte B: Medir la amplitud de las oscilaciones rotatorias forzadas como funcin de la frecuencia de excitacin para varias constantes de amortiguamiento Determinar la frecuencia natural del oscilador Investigar el cambio de fase entre el excitador y el oscilador FUNDAMENTO TERICO Oscilaciones libres amortiguadas Los fenmenos oscilatorios (y ondulatorios) son bien conocidos por todas partes debido a su presencia en la naturaleza y la tcnica. Su investigacin es as en ambos desde punto de vista experimental como desde el punto de vista terico un tema importante que permite estudiar los mtodos y conceptos fundamentales de la fsica. Las oscilaciones rotatorias son un caso especial entre varios modelos de osciladores mecnicos (pndulo compuesto, pndulo de resorte, etc.) qu permite investigar los fenmenos ms importantes que ocurren en todos los tipos de oscilaciones.
Fig. 1: Representacin esquemtica de varias curvas de oscilaciones amortiguadas: (A) el caso dbilmente amortiguado: 02 > 2. (B) el caso fuertemente amortiguado: 02 < 2 comparado con una oscilacin amortiguada del tipo (A). (C) caso limite no peridico: 02 = 2 comparado con el caso fuertemente amortiguado (B).
El movimiento de un sistema oscilante (rotatorio) libremente amortiguado puede describirse por la ecuacin diferencial d 2 d (1) I 2 k D 0 dt dt I es el momento de inercia; D: la cantidad direccional (constante de torsin); k: el coeficiente de amortiguamiento (coeficiente de friccin); : el ngulo de rotacin Con la constante de amortiguamiento k (2) 2I Con la frecuencia angular natural de una oscilacin no amortiguada D (3) 0 I y la frecuencia angular de la oscilacin amortiguada 2 (4) 0 2 la ecuacin (1) puede resolverse por
t 0 e t cos t
(5)
0: ngulo inicial de rotacin en el instante t = 0; : constante de amortiguamiento; 0: frecuencia caracterstica de un sistema "no amortiguado"; : frecuencia angular de la oscilacin amortiguada. De la ecuacin (5) sigue que la amplitud disminuye por el factor de amplitud e-t (Fig. 1 - caso (A)). As despus de que un tiempo 1/e la amplitud ha disminuido a 1/e de su valor inicial 0. Es ms, de la ecuacin (5) sigue que el cociente de dos amplitudes sucesivas n y n + 1 es constante. n (6) q e t n1 q: razn de amortiguamiento
n (7) ln q n1 Sin embargo, segn la ecuacin (5) las oscilaciones slo ocurren cuando la frecuencia angular (es decir la ecuacin (IV)) tiene un positivo radiante (Fig. 1: caso (A)): 2 0 2 T ln
El exponente se llama decremento del logaritmo
Si 02 < 2 la solucin tiene la forma
(8) t 0 e t e t e t El sistema oscilante se aproxima asintticamente a la posicin de equilibrio despus de una oscilacin (para el caso llamado fuertemente amortiguado o sobre-amortiguado - Fig. 1 caso (B). La constante de amortiguamiento ms alta hace ms lenta la aproximacin a cero. Si 02 = 2 la solucin tiene la forma (9) t 0 bt e t El amortiguamiento es tan grande que simplemente no hay ms de un cruce a travs de la posicin de equilibrio. Cualquier reduccin en amortiguamiento da una oscilacin. Esto es as llamado caso limite no peridico que es de importancia prctica porque es el tiempo mnimo requerido para alcanzar la posicin cero. Un instrumento de medicin que tiene un indicador de un sistema de movimiento-rollo se disea as con amortiguamiento no peridico (Fig. 1 caso (C).
Parte A En este experimento una rueda de metal que rota con inercia I es usada como oscilador. Un resorte helicoidal acta en la rueda cuando se desplaza un ngulo de su posicin de equilibrio para producir una torsin restauradora M que est dada aproximadamente por: (10) M D Debido a las fuerzas de friccin inevitables (en la pelota expuesta etc.) la amplitud de la oscilacin mecnica disminuye con tiempo. Los Como resultado se producen el una oscilacin amortiguada libre. En muchos (pero no en todos!) los casos, las fuerzas de friccin (torsiones) son proporcionales a la velocidad (angular) en el primer orden de aproximacin: d (11) M F k dt En el pndulo de torsin el amortiguamiento conforme a la ecuacin (XI) se realiza pasando la rueda de metal a travs del campo de un electroimn. Los electrones experimentan la fuerza de Lorentz. As los electrones se despliegan perpendicular al campo del electroimn y la direccin del movimiento de la rueda. Ellos fluyen atrs a travs la parte libre del campo de la rueda (Fig. 2). Como resultado se produce un circuito cerrado de corriente-parsita iparsita. La parte de la rueda de metal en el campo magntico acta como conductor que transporta el movimiento de corriente en que acta una fuerza F opuesta a la direccin de movimiento y proporcional a la velocidad v. Esto genera una torsin de desaceleracin MF.
Fig. 2: Generacin de corriente iparsita.
Oscilaciones armnicas forzadas Las oscilaciones rotatorias son un caso incidental entre los varios modelos de osciladores mecnicos que permite investigar los fenmenos ms importantes que ocurren en todos los tipos de oscilaciones. En este experimento se investigar cmo el oscilador reacciona a una fuerza peridica externa. Al aplicar la torsin peridica (12) M ex M 0 sen ext se obtiene la ecuacin de movimiento para el sistema oscilante rotatorio amortiguado forzado (comprela con ecuacin (1)): d 2 d (13) I 2 k D M 0 senex t dt dt I: el momento de inercia; D: cantidad direccional (torsin restauradora); k: coeficiente de amortiguamiento (coeficiente de friccin);: ngulo de rotacin; M0: Mxima torsin externa;ex = 2: frecuencia de torsin externa La solucin de esta ecuacin diferencial no homognea es la suma de una solucin especfica (particular) y la solucin general de la ecuacin diferencial homognea correspondiente (M0 = 0). La ltima, sin embargo, disminuye exponencialmente (comprela con la ecuacin (5)) y no es muy significativa despus de un perodo suficientemente largo de tiempo.
Fig. 3: (a) Curva de resonancia y cambio de fase entre el excitador y el oscilador (b) para las varias constantes de amortiguamiento.
La siguiente relacin para la solucin especfica puede usarse: t 0 ex sen ext
(14)
Sustituyendo la ecuacin (14) en la ecuacin (13) da despus de varias transformaciones trigonomtricas la amplitud de la oscilacin forzada: (15) M0 I 0 ex 2 0 ex 2 k ex I La frecuencia en que la amplitud de oscilacin es mxima se llama frecuencia de resonancia R (amplitud de resonancia). ste es el caso cuando el radicando en el denominador es mnimo. Igualando la derivada del radicando con respecto a a cero se encuentra la relacin siguiente para la frecuencia de resonancia: k2 2 2 (16) R o 2 o 2 2 2I Con k (constante de amortiguamiento) D (frecuencia natural); 0 2I I El ms bajo amortiguamiento la menor frecuencia de resonancia difiere de la frecuencia natural 0 y la ms grande es la amplitud. En el lmite donde el amortiguamiento desaparece (k 0), la amplitud a la frecuencia de resonancia (ex = 0) tendera hacia infinito (as llamada catstrofe de resonancia). De la ecuacin (15) se sigue que la amplitud de la oscilacin forzada tiende a cero para frecuencias muy altas. Para frecuencias muy bajas ( 0) la amplitud tiende hacia el valor M0/I (qu es diferente de cero). La curva de resonancia no es simtrica con respecto a la frecuencia de resonancia R. Nota: La resonancia en energa tiene que ser distinguida de la resonancia en amplitud considerada arriba. Es posible mostrar que el oscilador posee un mximo de energa cuando la frecuencia de la torsin externa iguala la frecuencia natural: ex = 0 (resonancia en energa). Se obtienen as las resonancias en energa y en amplitud a frecuencias de excitacin diferentes. El cambio de fase 0 entre la excitacin externa y el sistema oscilante esta dado por: 2 (17) tan 2 ex2 0 ex De esta relacin sigue: Para ex << 0 el oscilador y el excitador casi oscilan en fase ( ~ 0). Para ex >> 0 el oscilador y el excitador casi oscilan en oposicin de fase ( ~ ). Para ex = 0 el oscilador se retrasa del excitador exactamente por /2. BIBLIOGRAFIA
ALONSO M., FINN E. Fsica. Volumen I. Ed. Fondo Educativo Interamericano. RESNICK R., HALLIDAY D., Fsica, Parte I Compaa Editorial Continental S.A. TIPLER P. Fsica, editorial Revert S.A. SEARS, ZEMANSKY. Fsica. Ed Aguilar. TIPPENS, PAUL E. Fsica conceptos y aplicaciones, editorial McGraw-Hill SERWAY, RAYMOND A. Fsica. Editorial McGraw-Hill FRANCO GARCA A., Fsica con ordenador Curso Interactivo de Fsica en Internet:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/libres/libres.htm; http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm; http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm; http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/pohl/pohl.htm TEMAS PARA CONSULTA Antes de realizar este experimento usted deber poder definir y explicar los siguientes temas: Ecuaciones del M.A.S. Movimiento Oscilatorio Libre Amortiguado Movimiento Armnico Amortiguado Forzado Pndulo de Pohl EQUIPO
Pndulo de Pohl
Parte A: 1 pndulo de Pohl 1 fuente de alimentacin DC 0... 16V/0... 5A 1 ampermetro, DC, i < 2 A 1 cable de conexin, 100cm, azul 1 par de cables, rojo y azul, 100 cm 1 cronmetro
Parte B: 1 pndulo de Pohl 1 fuente de alimentacin DC 0... 16V/0... 5A 1 fuente de alimentacin plug-in para el pndulo de torsin 1 ampermetro, DC, I < 2 A 1 voltmetro, DC, U < 24 V 1 cable de conexin, 100cm, 2 azul pares de cables rojo y azul, 100cm, 1 cronmetro
ARREGLO EXPERIMENTAL Parte A: Realice el montaje del experimento como se muestra en la Fig. 3. El tiempo es medido por un cronmetro (no mostrado en la Fig. 3). Ponga el indicador de la rueda de metal (3a) en la posicin cero de la escala volviendo a llevar la rueda a (3e).
Fig. 3: arreglo experimental (diagrama esquemtico de conexiones) para observar las oscilaciones rotatorias amortiguadas.
Nota de seguridad La corriente a travs del freno de corriente parsita no debe exceder 2A durante mucho tiempo. Parte B El dispositivo del experimento se muestra en la Fig. 4 esquemticamente. El perodo T del excitador es medido por el cronmetro (no mostrado en la Fig. 4).
Fig. 4: Representacin esquemtica (diagrama de conexiones) del arreglo experimental: (A) el excitador, (B) el freno de corriente parsita.
Notas de seguridad La corriente a travs del freno de corriente parsita no debe exceder 2A durante mucho tiempo. Evite acalorar de las bobinas midiendo demasiado tiempo con corriente grande I0 > 1 A. PROCEDIMIENTO Parte A a) Investigando el amortiguamiento de la oscilacin Ponga la corriente para el electroimn en un valor pequeo, por ejemplo i = 0.18A Mueva el indicador del pndulo a la posicin lmite y la amplitud A en el mismo lado de la escala despus de cada T de oscilacin (para el caso de amortiguamiento dbil despus de 5 o 10 oscilaciones). Adicionalmente, mida varias veces el tiempo para 10 oscilaciones para determinar el perodo de oscilacin T. Indicacin: Si el pndulo alcanza el equilibrio en menos de 10 oscilaciones miden el tiempo varias veces para obtener el valor promedio. Repita el experimento de la misma manera para una corriente ms grande (por ejemplo i = 0.4A). b) Investigando la transicin de la oscilacin al caso lmite Aumente la corriente hasta que el pndulo realice una oscilacin representada por la curva en la Fig. 1 (B). Mueva el indicador del pndulo a la posicin lmite y mida el tiempo tomado para una oscilacin hasta que la posicin de equilibrio se alcance. Determine el perodo de la oscilacin como el valor promedio de varias medidas. Aumente la corriente hasta que el pndulo realice la oscilacin representada por la curva en la Fig. 1 (C). Mida el tiempo tomado por el pndulo cuando se libera desde la posicin lmite. Determine el valor promedio de por ejemplo 5 medidas. Parte B: c) Determinacin de la amplitud como funcin de la frecuencia - registrando la curva de resonancia Ponga la corriente para el electroimn (freno de corriente parsita) a un valor medio, por ejemplo I = 0.4 A. Ponga la frecuencia del excitador ajustando el voltaje aplicado - la salida con un valor pequeo, por ejemplo (~ 0.1 Hz), Nota: el periodo ser grande, superior al minuto.
Orientacin: Mida el voltaje aplicado al excitador sirve en este experimento slo como control. Para medir la amplitud como funcin de la frecuencia del excitador se recomienda determinar el perodo T del excitador y evaluar la frecuencia = 1/T a la vez mientras se realiza el experimento. Mida el perodo del excitador y determine la frecuencia. Para determinar el perodo mida el tiempo 10T para 10 revoluciones de la rueda impulsora. Lea la amplitud cuando la oscilacin forzada ha alcanzado un estado estable y la amplitud de oscilaciones sucesivas son constantes. Nota: Al medir la amplitud como funcin de la frecuencia del excitador, es decir la curva de resonancia, tienen que ser esperados varios minutos hasta que la amplitud sea suficientemente constante y el establecimiento del proceso de la oscilacin forzada se ha completado. Esto se mantiene especialmente para el caso de amortiguamiento dbil. El proceso de establecimiento es particularmente notable cuando se esta cerca de la resonancia. (Por esta razn una corriente media tiene que ser escogida como valor inicial.) Cuando se cambia la frecuencia del excitador a un nuevo valor podra ser necesario reajustar el voltaje del excitador despus de medir y determinar la frecuencia para tener un valor de frecuencia apropiada con respecto al ajuste anterior de frecuencia. En la regin de aumento rpido de la amplitud la frecuencia tiene que ser cambiada en pasos pequeos. Se recomienda detener el oscilador completamente entre los diversos ajustes de la frecuencia del excitador y empezar desde el principio la oscilacin forzada. As el tiempo del proceso de establecimiento se minimiza. Compare los movimientos de los indicadores del excitador y el oscilador. Observe la relacin de fase cualitativamente entre el excitador y el oscilador. Repita el experimento para pequeo (por ejemplo i = 0 A) y grande amortiguamiento (por ejemplo i = 0.7 A). d) Determinacin de la frecuencia natural del oscilador Ponga la corriente del freno de corriente parsita para i = 0 A y desvi el pndulo para realizar las oscilaciones rotatorias libres. Determine la frecuencia natural 0 midiendo 10-veces el perodo T0 para 10 oscilaciones con el freno de corriente parsita desactivado (i = 0 A). Calcule la frecuencia natural 10 0 Tc Nota: La frecuencia natural 0 slo pueden estimarse como un valor lmite de la oscilacin casi no amortiguada. Debido a las fuerzas friccionales inevitables la oscilacin siempre se amortigua. ANALISIS E INTERPRETACIN DE DATOS Parte A a) Investigando el amortiguamiento de la oscilacin Con los datos tomados complete las tablas 1 y 2 de la hoja de datos. En una misma grfica trace las curvas de A como funcin del tiempo t de acuerdo con la Tabla 1. La constante de amortiguamiento puede ser determinada por ejemplo ajustando la ecuacin (5) a los datos experimentales. Alternativamente, ajuste a una lnea recta los datos trazndolas en otra grfica de A como funcin del tiempo t dan la constante de amortiguamiento desde la cual el decremento logartmico puede determinarlo (antelo en la Tabla 3). b) Investigando la transicin de la oscilacin al caso lmite i = 1.3A. El perodo de oscilacin medido fue: ______ i = 1.5A. El perodo de oscilacin medido fue: ______ Para que corriente i = ____. el pndulo alcanza el equilibrio? El perodo de la oscilacin medido es____. Para que corriente i = ____ el pndulo alcanza el equilibrio en t = _____ sin oscilar sobre la posicin cero (crtico). En este caso as llamado a peridico el tiempo de ajuste requerido por el sistema para retornar al equilibrio es un mnimo. Informacin suplementaria Las oscilaciones con una torsin restauradora descrita por la ecuacin (10) se llaman oscilaciones armnicas. El oscilador armnico es slo un caso especial entre sistemas que son capaces de oscilar. La mayora de las oscilaciones reales no son armnicas, es decir la relacin (10) no se satisface estrictamente. Sin embargo, muchas oscilaciones pueden ser consideradas como oscilaciones armnicas por lo menos en una primera aproximacin desarrollando la torsin restauradora (fuerzas) como funcin sobre de la posicin de equilibrio en series y descuidando los trminos no lineales. La ecuacin de movimiento (1) de tal sistema oscilante generalmente no puede resolverse analticamente. Parte B: c) Determinacin de la amplitud como funcin de la frecuencia - registrando la curva de resonancia Con los datos tomados complete las tablas 4 a 6 de la hoja de datos Fase: Para valores de frecuencia pequeos como se mueven el indicador del excitador y el oscilador? Para frecuencias grandes Cmo es la fase entre el indicador del excitador y el oscilador?. Para amplitudes grandes, es decir para las frecuencias cerca de la frecuencia de resonancia, cmo es el desfase entre el indicador del excitador y el oscilador? b) Determinacin de la frecuencia natural del oscilador Cul es el perodo natural medido sobre 10 perodos,10T0 = _____?. Desde el cual la frecuencia: 0 = _______ Curvas de resonancia para corrientes de frenado diferentes. Grafique los datos listados en las tablas 4 a 6. En la curva de resonancia la amplitud (A = 0) como se comporta a medida que se incrementa la corriente de frenado?. Cmo es el pico de la curva de resonancia de acuerdo con la ecuacin (16). Represente la curva terica en la misma figura, ajuste de acuerdo a la ecuacin (15), lstelos en la Tabla 7. Analice y compare estas grficas. La curva de resonancia es simtrica con respecto a la frecuencia de resonancia R? Cul es el valor calculado de la frecuencia de resonancia R (= /2) = _____ Hz para i = 0 A. Corresponde aproximadamente a la frecuencia natural 0 = ______ Hz que se estim midiendo 10-veces el perodo de oscilacin de la oscilacin libre (es decir casi oscilacin no amortiguada) con el freno de corriente parsita desactivada. Los desplazamientos de fase observados estn de acuerdo con la ecuacin (17) y la grfica?
Fig. 5: La biela se puede cambiar de puesto para fijar la amplitud del excitador. Informacin suplementaria Todas las oscilaciones armnicas forzadas llevan a una ecuacin diferencial (II). La solucin de este modelo general del oscilador obtenida en este experimento puede transferirse a otro tipo de oscilaciones as, por ejemplo oscilaciones elctricas forzadas. La influencia de la amplitud del excitador en la amplitud de la oscilacin forzada puede ser investigada por ajustes diferentes de la biela (Fig. 6).
OBSERVACIONES CONCLUSIONES
HOJA DE DATOS (sugerida, llenar con lapicero de tinta durante la prctica) L4: OSCILACIONES ROTATORIAS LIBRES Y FORZADAS-M fecha:___________ grupo_______ subgrupo _______ estudiantes ___________________________________ Instrumento de medicin 1 _________________ sensibilidad _________ Instrumento de medicin 2 _________________ sensibilidad _________
Tabla. 1: Amplitud de oscilacin A medida como funcin de tiempo nT ( n-veces el perodo de oscilacin) para por ej. i = 0.18A e i = 0.25 A.
# oscilaciones = __ i1 = # oscilaciones = __ i2 =
t1
t2
t3
tprom[s]
A [ ] 20.2
t1
t2
t3
tprom [s]
A [ ] 20.2
Tabla. 2: Perodo de oscilacin (valor promedio determinado por 5 medidas) para diferentes corrientes parsitas. Corriente parsita i[A] Periodo de oscilacin T [s]
i1 = i2 =
Tabla. 3: Perodo de oscilacin T (de la Tabla 2). la constante de amortiguamiento (determinada por un ajuste a los datos experimentales trazados en la grfica) y el decremento logartmico para varias corrientes parsitas i. i[A] T [s] [s-1]
Tabla. 4: 10-tiempos el perodo de oscilacin T, frecuencia = 10/T y amplitud de oscilacin A = 0 para I = 0.4 A. 10T [s] [HZ] A [ ]
Tabla. 5: 10-veces el perodo de oscilacin T, frecuencia = 10/T y amplitud de oscilacin A = 0 para I = 0 A. 10T [s] [HZ] A [ ]
Tabla. 6: 10-tiempos el perodo de oscilacin T, frecuencia = 10/T y amplitud de oscilacin A = 0 para I = 0.79A. 10T [s] [HZ] A [ ]
Tabla. 7: Parmetros obtenidos por un ajuste de la ecuacin (15) a las curvas de resonancia. Los parmetros indicados M0 y K se mantienen constantes entre las curvas de ajustes de varias de corriente. i[A] K [rad/s] M0 [Nrad] I [kgrad2] 0 [Hz] para i = 0 A
Observaciones
________________________________________ Vo Bo Profesor (firma)