Bab_5_MatDas_A2_Turunan_di_Rn
49 Pages

Bab_5_MatDas_A2_Turunan_di_Rn

Course Number: MATHEMATIC 15, Spring 2011

College/University: Universitas Indonesia

Word Count: 8745

Rating:

Document Preview

B A B 5 Turunan di R n 5 Turunan di Rn BAB 5 5.1 Fungsi n Variabel dan Pemodelan Matematika 5.2 Limit dan Kekontinuan 5.3 Turunan Parsial 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Bidang Singgung Nilai Ekstrim Metode Pengali Lagrange Metode Kuadrat Terkecil B A B 5 Turunan di R n 3. Memvisualisasikan grafik permukaan dan 4. 5. 6. 7. Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa...

Unformatted Document Excerpt
Coursehero >> Indonesia >> Universitas Indonesia >> MATHEMATIC 15

Course Hero has millions of student submitted documents similar to the one
below including study guides, practice problems, reference materials, practice exams, textbook help and tutor support.

Course Hero has millions of student submitted documents similar to the one below including study guides, practice problems, reference materials, practice exams, textbook help and tutor support.

A B B 5 Turunan di R n 5 Turunan di Rn BAB 5 5.1 Fungsi n Variabel dan Pemodelan Matematika 5.2 Limit dan Kekontinuan 5.3 Turunan Parsial 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Bidang Singgung Nilai Ekstrim Metode Pengali Lagrange Metode Kuadrat Terkecil B A B 5 Turunan di R n 3. Memvisualisasikan grafik permukaan dan 4. 5. 6. 7. Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu 1. Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut. 2. Merepresentasikan sebuah fungsi dua peubah sebagai grafik permukaan, dan membuat sketsa kurva ketinggian dengan bantuan TIK. 8. 9. kurva ketinggian secara tepat. Menghitung turunan parsial dan gradien Menggunakan gradien untuk mencari bidang singgung, turunan berarah, dan menginterpretasikan secara geometri Menggunakan aturan rantai untuk mengevaluasi turunan fungsi n peubah. Mencari dan mengklasifikasikan titik kritis dari fungsi multivariabel dengan menggunakan uji turunan kedua. Menggunakan metode Lagrange untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi multivariabel dengan kendala. Menggunakan metode kuadrat terkecil untuk melakukan prediksi. Pendahuluan Fungsi dua atau lebih variabel adalah bagian penting dari pelajaran kalkulus yang merupakan perluasan dari fungsi satu variabel pada Matematika Dasar A1. Pada bab ini dipelajari materi turunan fungsi dua atau lebih variabel serta aplikasinya. Subbab 5.1 membahas pengertian fungsi n variabel dan beberapa contoh pemodelan masalah nyata ke suatu fungsi n variabel. Subbab 5.2 memuat penjelasan ringkas tentang limit dan kekontinuan dari fungsi n variabel. Turunan parsial adalah topik dari Subbab 5.3 yang dilanjutkan dengan aturan rantai untuk mencari turunan parsial dari fungsi komposisi pada Subbab 5.4. Pada Subbab 5.5 dibahas mengenai turunan berarah dan vektor gradien. Subbab 5.6 membahas mengenai bidang singgung. Kemudian salah satu aplikasi fungsi n variabel, yaitu mencari maksimum dan minimum fungsi serta mencari dimana ekstrim terjadi, dibahas pada Subbab 5.7. Subbab 5.8 adalah lanjutan dari subbab 5.7 mengenai mencari maksimum minimum namun kali ini dengan kendala menggunakan metode pengali Langrange. Pada akhir bab, Subbab 5.9, dibahas mengenai metode kuadrat terkecil. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U nive rsi tas I ndonesi a |2 B A B 5 Turunan di R n 5.1 Fungsi n Variabel dan Pemodelan Matematika Pendahuluan, Fungsi Dua Variabel, Grafik Fungsi Dua Variabel, Kurva Ketinggian, Komputer Grafika, Peta Kontur Pendahuluan Dalam masalah sains dan tekonologi, fungsi yang menyatakan masalah nyata lebih sering merupakan fungsi dua atau lebih variabel daripada fungsi dalam satu variabel saja. Beberapa contoh dari masalah fungsi beberapa variabel dalam sains adalah: Dalam kimia fisika, setiap variabel (tekanan), V (volume), dan T (suhu) dalam hukum gas ideal (dengan n dan R adalah konstanta) merupakan fungsi dari dua variabel lainnya. Keuntungan suatu perusahaan manufaktur merupakan fungsi dari variabel-variabel penjualan, biaya dari masingmasing bahan baku, biaya overhead dan lain-lain. z x Gambar 1 y Salah satu aplikasi sederhana pada fungsi n variabel yaitu mencari nilai ekstrim. Contohnya, misalkan kita ingin meminimumkan biaya pembuatan kotak akuarium dengan volume 48 m3. Biaya pembuatan kaca akuarium bagian depan dan belakang adalah Rp 12.000,00 /m2 dan biaya pembuatan kaca akuarium bagian atas dan bawah adalah Rp 24.000,00 /m 2, sedangkan biaya pembuatan kaca akuarium untuk sisi kanan dan kiri adalah Rp 36.000,00 /m2. Gambar 1 mengilustrasikan kotak akuarium dengan sisi-sisi , y, z. Misalkan biaya total pembuatan akuarium dinyatakan oleh T, maka diperoleh Karena diketahui bahwa volume kotak akuarium adalah 48m3, maka Dari persamaan T dan V kita dapat mencari penyelesaian ukuran panjang, lebar dan tinggi akuarium yang meminimumkan biaya pembuatannya. Masalah meminimumkan ini lebih lanjut akan dibahas pada Subbab 5.7. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |3 B A B 5 Turunan di R n Fungsi Dua Variabel Fungsi bernilai real dari satu variabel adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap elemen di daerah asal D dengan tepat satu bilangan real. Daerah asal D dari fungsi satu variabel merupakan himpunan bagian dari bilangan real. Apabila daerah asal D merupakan himpunan bagian dari bidang maka fungsi yang dibicarakan merupakan fungsi dari dua buah variabel. DEFINISI 5.1 Fungsi Dua Variabel Suatu fungsi dua variabel, yang didefinisikan di daerah asal D pada bidang, adalah aturan f yang mengaitkan setiap pasangan terurut di D dengan tepat sebuah bilangan real, ditandai oleh . Himpunan nilai-nilai f disebut jangkauan. Jika , maka disebut variabel bebas fungsi dan z adalah variabel terikat. Daerah asal dan jangkauan Contoh 1 Tentukanlah daerah asal dari fungsi Penyelesaian Himpunan yang memenuhi fungsi di atas adalah semua sedemikian sehingga , yaitu cakram dengan jari-jari 4, dan pusat di titik asal (0,0). Contoh 2 Tentukan dan gambarkanlah daerah asal dari fungsi y2 x Gambar 2 Penyelesaian Daerah asal dari f adalah semua sedemikian sehingga dan titik tidak termasuk. Dari ketaksamaan diperoleh daerah . Maka daerah asalnya adalah seperti pada Gambar 2. Coba kalian tentukan daerah asal dari fungsi M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |4 B A B 5 Turunan di R n R (x0,y0) Daerah asal dimana fungsi terdefinisi adalah merupakan bagian dari bidang yang dapat memiliki titik interior, titik batas seperti daerah asal fungsi yang didefinisikan di interval. Definisi terminologi tersebut di ruang berdimensi dua adalah sebagai berikut. Gambar 3 DEFINISI 5.2 Interior, Batas, Buka dan Tutup (Ruang-2 dimensi) 1. Titik di daerah R pada bidang-xy adalah titik interior R jika merupakan pusat dari cakram yang seluruhnya terletak di R (Gambar 3). 2. Titik adalah titik batas R jika setiap cakram berpusat di memuat titik yang terletak diluar R maupun yang didalam R (Gambar 4). 3. Himpunan titik-titik interior disebut interior R dan himpunan titik-titik batas disebut batas R. 4. Daerah R dikatakan buka jika seluruhnya terdiri dari titiktitik interior (Gambar 5a). Daerah R dikatakan tutup jika R memuat seluruh titik batasnya (Gambar 5b). R (x0,y0) Gambar 4 Grafik Fungsi Dua Variabel Grafik fungsi dua variabel adalah gambar dari persamaan . Grafik ini berbentuk permukaan di ruang dengan koordinat titiknya adalah yang memenuhi persamaan . Karena setiap titik di daerah asal berkorespondensi dengan tepat satu titik z, akibatnya setiap garis yang tegak lurus terhadap bidangmemotong permukaan di tepat satu titik. Contoh 3 Sketsalah grafik dari Penyelesaian Grafik persamaan bidang. Untuk menentukan bentuk bidang Gambar 5b merupakan sebuah , Gambar 5a mula-mula kita cari titik-titik potong bidang tersebut terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut : M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |5 B A B 5 Turunan di R n (0,0,6) sehingga diperoleh titik-titik potong bidang z (0,12,0) (18,0,0) dengan sumbuadalah . Kemudian kita buat garis yang menghubungkan titik-titik tersebut seperti Gambar 6. Maka, diperoleh grafik dari yang berbentuk segitiga seperti Gambar 7. with(plots): implicitplot3d(z=6-1/3*x-1/2*y,x=-2..25,y=2..15,z=0..8); Gambar 6 adalah bidang Contoh 4 Sketsalah grafik dari . Gambar 7 Penyelesaian Untuk menentukan grafik atau mula-mula kita gambar dulu grafik ketika (atau ) yaitu grafik persamaan yang merupakan grafik parabola terbuka ke bawah seperti yang ditunjukkan Gambar 8. z 9 y2 Berikutnya kita gambar kurva kontur untuk nilai z yang berbedabeda misalnya untuk dan dengan daerah alas berbentuk lingkaran seperti pada Gambar 9. Bila kita perhatikan kedua grafik 8 dan 9, grafik persamaan menjadi grafik paraboloida seperti Gambar 10 berikut. Gambar 8 z 8 z z z z 2 z 1 4 7 z z 5 3 6 Gambar 9 Gambar 10 M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |6 B A B 5 Turunan di R n with(plots): implicitplot3d(z=9-x^2-y^2,x=-4..4,y=-4..4, z=0..9); Contoh 5 Sketsalah grafik dari Penyelesaian Untuk menentukan gambar grafik Gambar 11 atau yang ekivalen dengan grafik . persamaan di atas bidang , mula-mula kita gambar dulu grafik ketika (atau ) yaitu grafik persamaan yang merupakan grafik setengah elips seperti yang ditunjukkan Gambar 11. Berikutnya kita gambar kurva kontur untuk nilai z yang berbedabeda dengan daerah alas berbentuk elips seperti pada Gambar 12. Bila kita perhatikan kedua grafik di atas, grafik persamaan Gambar 12 Gambar 13 berikut. menjadi grafik elipsioda seperti Gambar 13 with(plots): implicitplot3d(2*x^2+y^2+2*z^2=4,x=-2..2,y=-3..3, z=0..2); Coba kalian tentukan grafik bentuk apakah yang akan muncul dari persamaan M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |7 B A B 5 Turunan di R n Kurva Ketinggian Untuk menggambar permukaan dari fungsi seringkali amat sukar. Cara lain yang lebih mudah adalah cukup dengan menggambarkan peta kontur. Setiap bidang memotong permukaan di suatu kurva. Proyeksi kurva ini di bidangdisebut kurva ketinggian. Himpunan kurva-kurva ketinggian inilah yang disebut sebagai peta kontur. Contoh 6 Sketsalah peta kontur untuk 4. seperti pada Contoh Gambar 14 Penyelesaian Kurva-kurva ketinggian dari yang berhubungan dengan ditunjukkan pada Gambar 14. Kurva-kurva tersebut berbentuk lingkaran. with(plots): contourplot(9-x^2-y^2,x=-5..5,y=-5..5,contours=[4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]); Contoh 7 Sketsalah peta kontur untuk . Penyelesaian Kurva-kurva ketinggian dari yang berhubungan dengan ditunjukkan pada Gambar 15. Kurva-kurva tersebut berbentuk hiperbola. Gambar 15 with(plots): contourplot(2*x^2-y^2,x=-5..5,y=-5..5,contours=[4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]); Coba kalian sketsakan peta kontur untuk Bagaimana bentuk kurva-kurva ketinggian dari ? Grafik Komputer Contoh 8 Sketsalah grafik dari Penyelesaian Misalkan Gambar 16 Gambar 16. . . , maka grafiknya seperti pada M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |8 B A B 5 Turunan di R n with(plots): implicitplot3d(z=x-1/8*x^3-1/5*y^2,x=-4..4,y=4..4,z=-5..5); Contoh 9 Sketsalah grafik beserta konturnya dari . Penyelesaian Misalkan , maka grafiknya adalah Gambar 17 with(plots): contourplot3d(cos((x^2+y^2)^0.5),x=-10..10,y=10..10); Coba kalian gambarkan grafik dari M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U niv ersi tas I ndonesi a |9 B A B 5 Turunan di R n 5.2 Limit dan Kekontinuan Limit Fungsi Dua Variabel, Sifat Limit Fungsi Fua Variabel, Kekontinuan di Titik , Kekontinuan di Himpunan. Limit Fungsi Dua Variabel Secara intuitif, ide limit untuk fungsi dua variabel serupa dengan ide limit pada fungsi satu variabel, yaitu dikatakan limit dari di , jika mendekati apabila mendekati . Menyatakan cukup dekat dengan L tidaklah sukar karena keduanya merupakan bilangan real. Namun untuk menyatakan dekat dengan kita perlu konsep jarak pada bidang datar. Oleh sebab itu definisi formal limit fungsi dua peubah diberikan seperti berikut. DEFINISI 5.3 Limit fungsi dua peubah Fungsi dikatakan memiliki limit L apabila mendekati jika untuk setiap terdapat bilangan sedemikian sehingga untuk setiap di daerah asal f yang memenuhi maka y Penulisannya adalah . b a x Gambar 1 Perlu diingat bahwa pada fungsi satu variabel, mendekati a hanya dari dua arah, sebelah kiri a dan sebelah kanan a. Pada fungsi dua variabel, lintasan untuk mendekati dapat dari segala arah seperti pada Gambar 1. Definisi limit juga berlaku di titik batas maupun titik interior dari daerah asal f. Hal yang perlu diperhatikan hanyalah bahwa titik terletak di daerah asal. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 10 B A B 5 Turunan di R n Sifat-sifat Limit Fungsi Dua Variabel Sifat limit dari fungsi dua variabel serupa dengan sifat limit pada fungsi satu variabel yang telah dipelajari di Matematika Dasar A1, yaitu sifat penjumlahan dan pengurangan, perkalian skalar, perkalian, pembagian dan pangkat seperti berikut. TEOREMA 5.1 Sifat Limit Fungsi Dua Variabel Misalkan dan , maka aturan limit untuk operasi perkalian dengan skalar, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan pangkat adalah: 1. 2. 3. 4. 5. Jika m dan n adalah bilangan bulat , maka Bila Teorema 5.1 kita aplikasikan pada fungsi polinom atau fungsi rasional, maka menghitung limit fungsi apabila dapat dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di . Perhatikan contoh berikut. Contoh 1 Tunjukkan . Penyelesaian Coba kalian tunjukkan M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 11 B A B 5 Turunan di R n Contoh 2 Carilah Penyelesaian Coba kalian tentukan nilai limit berikut Contoh 3 Tunjukkan bahwa f yang didefinisikan sebagai tidak memiliki limit di titik asal . Penyelesaian Fungsi f memiliki nilai di seluruh bidang kecuali di titik asal . Nilai f di sumbu- , kecuali di titik asal, adalah Akibatnya, . Sedangkan nilai f di sumbu-y, kecuali di titik asal, adalah Sehingga, nilai limit fungsi jika menuju titik asal dari sumbu- . adalah Dari pembahasan di atas kita tahu bahwa fungsi f tidak memiliki limit di karena terdapat sembarang titik dekat yang bernilai 1, sedangkan titik lain yang juga dekat dengan memiliki nilai -1. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 12 B A B 5 Turunan di R n Perhatikan lagi contoh berikut. Contoh 4 Tunjukkan bahwa fungsi tidak memiliki limit di titik asal . Penyelesaian Untuk setiap nilai , fungsi f bernilai konstan sepanjang garis karena Dengan demikian, nilai limit fungsi f pada saat berubah-ubah sesuai dengan nilai m, sebab Akibatnya, f tidak punya limit di . Contoh 3 dan Contoh 4 memberikan uraian yang jelas mengenai limit dari fungsi dua variabel. Kedua contoh ini menunjukkan bahwa limit fungsi dua variabel ada jika nilainya selalu sama di setiap lintasan yang mendekati titik tersebut. Hal ini tidaklah berbeda dengan yang telah dipelajari dalam limit fungsi satu variabel dimana limit fungsinya ada jika limit kiri dan limit kanannya sama. Ini memberikan kita suatu uji untuk menunjukkan limit fungsi dua variabel tidak ada. Uji Dua Lintasan untuk Ketakberadaan Limit Jika fungsi lintasan ada. memiliki nilai limit yang berbeda dari dua mendekati , maka tidak Coba kalian tunjukkan bahwa fungsi berikut tidak memiliki limit di M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 13 B A B 5 Turunan di R n Kekontinuan Definisi kekontinuan fungsi dua variabel adalah serupa dengan definisi kekontinuan pada fungsi satu variabel. DEFINISI 5.4 Kekontinuan di Titik, Kekontinuan Fungsi f dikatakan kontinu di titik a. b. c. Fungsi f dikatakan kontinu apabila f kontinu di setiap titik di daerah asal. Seperti halnya limit, kekontinuan juga berlaku di titik batas dan titik interior dari daerah asal f. Secara intuitif, fungsi dua variabel yang kontinu tidak memiliki lompatan, perubahan yang fluktuatif atau perilaku tak terbatas di sekitar . Fungsi polinom selalu kontinu di setiap di bidang dan fungsi rasional juga kontinu di seluruh bidang kecuali di titik-titik yang memberikan nilai pembaginya sama dengan nol. Lebih lanjut, dengan menggunakan sifat limit, kita dapat mengatakan bahwa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi kontinu juga kontinu (dengan mengasumsikan bahwa pembagi nol diabaikan). Teorema berikut dan sifat operasi fungsi kontinu juga banyak digunakan untuk menentukan kekontinuan fungsi dua variabel. f terdefinisi di jika TEOREMA 5.2 Komposisi Fungsi Jika g fungsi dua variabel yang kontinu di dan f fungsi satu variabel yang kontinu di , maka fungsi komposisi yang didefinisikan sebagai kontinu di . Contoh 5 Tentukanlah dimana fungsi f berikut kontinu. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 14 B A B 5 Turunan di R n Penyelesaian Fungsi f adalah fungsi rasional. Maka f kontinu di seluruh bidangkecuali di titik-titik yang menyebabkan pembaginya bernilai nol, yaitu di parabola . Jadi himpunan kekontinuan f adalah . Coba kalian tentukan himpunan kekontinuan fungsi f berikut : Contoh 6 Tentukanlah himpunan kekontinuan fungsi g berikut : Penyelesaian Karena adalah fungsi polinom yang selalu bernilai positif dan kontinu di seluruh bidang- dan adalah fungsi yang terdefinisi dan kontinu di seluruh bilangan real positif, maka kontinu di seluruh bidang- . Coba kalian tentukan himpunan kekontinuan fungsi f berikut : 5.3 Turunan Parsial Turunan Parsial & Interpretasi Geometrinya, Turunan Parsial dan Kekontinuan, Turunan Parsial Orde Tinggi, Keterturunan Turunan Parsial & Interpretsi Geometrinya Perhatikan permukaan fungsi dua variabel pada Gambar 1. Bidang (bidang PQR) memotong permukaan di kurva (busur QR). Kurva ini adalah grafik dari fungsi yang merupakan fungsi satu variabel, yaitu variabel . Kita mendefinisikan turunan parsial f terhadap di titik sebagai turunan biasa dari terhadap di . M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 15 B A B 5 Turunan di R n DEFINISI 5.5 Turunan Parsial terhadap Turunan parsial terhadap x pada titik adalah dengan asumsi limitnya ada. Gambar 1 Ingat ! Notasi " " adalah bentuk lain dari "d." Notasi yang sering digunakan adalah atau Nilai turunan parsial dari f terhadap pada titik memiliki arti geometri kemiringan kurva di titik pada bidang . Garis singgung terhadap kurva pada P adalah garis di bidang yang melalui P dengan kemiringan yang merupakan turunan parsial dari f terhadap pada titik . Turunan parsial pada menyatakan laju perubahan dari f terhadap dengan menganggap tetap yaitu . Ini adalah laju perubahan f pada arah i di . Turunan parsial f terhadap di adalah serupa dengan turunan parsial dari f terhadap pada titik . Pada turunan parsial terhadap di , diangggap tetap yaitu Kemudian kita mencari turunan biasa dari terhadap di . DEFINISI 5.6 Turunan Parsial terhadap Turunan parsial terhadap y pada titik adalah dengan asumsi limitnya ada. Ada beberapa alternatif penulisan turunan parsial : Notasi untuk Turunan Parsial Ada beberapa alternatif penulisan turunan parsial : Jika , maka turunan parsial terhadap berturut-turut adalah dan M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 16 B A B 5 Turunan di R n Contoh 1 Mencari turunan parsial di suatu titik. Carilah nilai dari dan di dari Penyelesaian Untuk mencari , pandang kemudian turunkan f terhadap : sebagai suatu konstanta Selanjutnya, untuk mencari serupa hanya sekarang pandang turunkan f terhadap : kita melakukan hal yang sebagai konstanta kemudian Coba kalian cari turunan parsial dan di dari Contoh 2 Mencari turunan parsial sebagai fungsi. Tentukan dan dari Penyelesaian . dan Coba kalian tentukan dan dari M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 17 B A B 5 Turunan di R n Contoh 3 Mencari turunan parsial fungsi implisit. Tentukanlah jika z adalah fungsi dari dinyatakan sebagai dan yang Penyelesaian Turunkan kedua sisi dari persamaan terhadap dengan menganggap konstan dan adalah fungsi yang terturunkan terhadap . Maka : Coba kalian ulangi pekerjaan di atas yakni menentukan dari fungsi seperti pada Contoh 3. Contoh 4 Mencari kemiringan garis singgung pada kurva dalam arah- . Bidang memotong paraboloida di parabola. Carilah kemiringan garis singgung terhadap parabola di titik . Penyelesaian Kemiringan ini adalah turunan parsial di titik : Jadi, kemiringan garis singgung di titik adalah 2. Coba kalian tentukan kemiringan garis singgung pada kurva parabola yang dihasilkan dari perpotongan dengan paraboloida seperti pada Contoh 4 untuk arah- . M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 18 B A B 5 Turunan di R n Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada fungsi satu variabel dikatakan bahwa jika fungsi terturunkan di suatu titik maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Berbeda dengan fakta tersebut, pada fungsi dua atau lebih variabel, turunan parsial terhadap dan terhadap di suatu titik tidak menjamin kekontinuan fungsi di titik tersebut. Jika turunan parsial dari ada dan turunan parsial tersebut kontinu di seluruh cakram yang berpusat di , barulah kita katakan fungsi kontinu di . Perhatikanlah contoh berikut. Contoh 5 Menunjukkan turunan parsial f ada tetapi f diskontinu. Misalkan a. Tunjukkan dan ada di titik asal . b. Carilah limit f apabila menuju sepanjang garis . c. Buktikan bahwa f tidak kontinu di titik asal . Penyelesaian a. Untuk mencari di titik asumsikan tetap, yaitu . Maka untuk semua . Akibatnya, . Hal yang serupa dilakukan untuk mencari di titik . Maka diperoleh . b. Nilai sepanjang garis adalah 0, kecuali di titik . Maka, c. Karena dan maka f tak kontinu di . Namun demikian, sesuai jawaban a. kita tahu bahwa turunan parsial dan ada di titik asal . Coba kalian tunjukkan bahwa fungsi f berikut memiliki turunan parsial di titik asal akan tetapi tidak kontinu di titik asal . M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 19 B A B 5 Turunan di R n Turunan Parsial Orde Tinggi Turunan parsial orde dua Turunan parsial dan pada dasarnya merupakan fungsi dari dan juga, sehingga kita dapat menurunkannya kembali terhadap dan y. Turunan parsial dari dan inilah yang disebut sebagai turunan parsial kedua dari f. Ada empat turunan parsial kedua karena ada empat kemungkinan urutan penurunan : Fungsi adalah turunan parsial f terhadap terlebih dahulu kemudian terhadap . Sedangkan adalah turunan parsial f terhadap terlebih dahulu kemudian terhadap . dan tidak selalu sama, tetapi apabila kedua turunan ini kontinu maka . Namun apabila kedua turunan parsial ini tidak kontinu di suatu titik atau di suatu cakram di sekitar sebuah titik, maka nilai kedua turunan parsial mungkin tidak sama di tempat tersebut. Contoh 6 Carilah turunan parsial kedua dari fungsi Penyelesaian Karena dan Maka keempat kemungkinan turunan parsial kedua adalah: M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 20 B A B 5 Turunan di R n Karena adalah fungsi polinom dan turunan parsialnya juga fungsi polinom yang selalu kontinu di mana-mana, maka . Coba kalian cari turunan parsial kedua dari fungsi dan tunjukkan bahwa Turunan parsial orde tinggi Turunan parsial orde tiga dan turunan parsial orde yang lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang serupa. Urutan dari turunan parsial tidaklah penting selama fungsi yang terlibat adalah fungsi kontinu. Contoh 7 Carilah dari . Penyelesaian Dari Contoh 6 telah diketahui bahwa maka . Coba kalian cari dari dengan urutan mengintegralkan dan tunjukkan bahwa hasilnya akan sama seperti pada Contoh 7. Keterturunan Ingat kembali keterturunan fungsi satu variabel di Matematika Dasar A1. Suatu fungsi f dikatakan terturunkan apabila ada. Hal ini sama saja dengan mengatakan bahwa grafik f memiliki garis singgung yang tidak vertikal di . M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 21 B A B 5 Turunan di R n Pada fungsi dua variabel, keterturunan juga berkaitan dengan eksistensi bidang singgung. Namun demikian perlu diingat bahwa keterturunan fungsi dua variabel memerlukan lebih dari sekedar turunan parsial yang hanya menyatakan perilaku f dari dua arah saja. Dengan demikian, eksistensi turunan parsial tidak menjamin keterturunan suatu fungsi dua variabel. Apa sajakah yang perlu diperhatikan untuk menentukan keterturunan dari fungsi dua variabel? Misalkan f fungsi satu variabel yang terturunkan di a maka terdapat garis singgung yang melalui yang menghampiri nilai f untuk di sekitar a. Dengan kata lain f hampir linier di sekitar a atau f linier lokal di a. Konsep ini dapat diperluas ke fungsi dua variabel dan kita akan menggunakan karakteristik ini untuk mendefinisikan keterturunan fungsi dua variabel. Namun sebelumnya akan diberikan definisi linier lokal untuk fungsi dua variabel. DEFINISI 5.7 Linier Lokal untuk Fungsi Dua variable Fungsi f dikatakan linier lokal di jika dimana jika dan jika h disini berperilaku seperti perubahan kecil pada fungsi satu variabel. Jadi kita dapat memandang h1 dan h2 sebagai perubahan kecil dan pada fungsi dua variabel. Berikut adalah definisi keterturunan fungsi dua variabel. DEFINISI Keterturunan 5.8 Fungsi Dua atau Lebih Variabel Fungsi f terturunkan di jika f linier lokal di p. Fungsi f terturunkan di himpunan buka R jika f terturunkan di setiap titik di R. Untuk menentukan keterturunan fungsi dua variabel dengan menggunakan definisi tidaklah sederhana. Teorema di bawah ini memberikan karakterisasi suatu fungsi yang terturunkan di setiap titik. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 22 B A B 5 Turunan di R n TEOREMA 5.3 Keterturunan Fungsi Dua Variabel Jika mempunyai turunan parsial dan di cakram D yang interiornya memuat titik , maka terturunkan di . 5.4 Aturan Rantai Aturan rantai fungsi Aturan rantai fungsi dengan dan dengan dan , Turunan fungsi implisit , Ingatkah kalian aturan rantai pada Matematika Dasar A1? Misalkan dengan f dan fungsi yang terturunkan, maka Pada subbab ini kita akan memperluas konsep ini. Aturan Rantai Fungsi dengan dan Jika dengan dan aturan rantai adalah sebagai berikut: maka teorema TEOREMA 5.4 Aturan Rantai Jika dan terturunkan di t dan terturunkan di , maka terturunkan di t dan turunannya adalah Contoh 1 Misalkan dengan dan , carilah M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 23 B A B 5 Turunan di R n Penyelesaian Fungsi adalah fungsi polinom yang terturunkan maka Jika anda perhatikan, Contoh 1 dapat dikerjakan dengan mensubstitusi langsung. Namun ternyata tidak semua masalah dapat dilakukan dengan substitusi langsung. Coba kalian ulangi pekerjaan seperti pada Contoh 1 namun dengan mensubstitusi langsung nilai dan ). Kemudian tunjukkan bahwa hasilnya sama seperti pada Contoh 1. Aturan Rantai Fungsi dengan dan Misalkan dengan dan teorema aturan rantai adalah sebagai berikut : maka TEOREMA 5.5 Aturan Rantai Jika pertama memiliki turunan parsial di dan terturunkan di , maka memiliki turunan parsial terhadap s dan t seperti: 1. 2. dan Contoh 2 Jika dan dengan . dan , carilah Penyelesaian Karena fungsi dan adalah fungsi polinom yang terturunkan dan adalah fungsi logaritma yang juga terturunkan, maka dan ada. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 24 B A B 5 Turunan di R n dan Coba kalian ulangi pekerjaan seperti pada Contoh 2, mencari dan jika diberikan dengan dan . Konsep aturan rantai seperti pada kedua teorema di atas dapat diperluas untuk fungsi tiga atau lebih variabel. Lakukanlah investigasi bagaimana rumus turunan fungsi tiga variabel dengan menggunakan aturan rantai. Carilah pula diagram aturan rantainya. Turunan Fungsi Implisit Kadangkala mendefinisikan secara implisit sebagai fungsi dari namun yang sukar dicari bentuk eksplisitnya. Dalam kasus seperti ini, kita masih dapat mencari dengan menentukan turunan parsial terhadap untuk kedua sisi persamaan sehingga diperoleh Selesaikan persamaan ini sehingga diperoleh sebagai Contoh 3 Carilah dari persamaan berikut : Penyelesaian Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti berikut M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 25 B A B 5 Turunan di R n Kemudian dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita peroleh nilai , Carilah dari persamaan berikut : 5.5 Turunan Berarah dan Vektor Gradien Turunan Berarah, Vektor Gradien, Sifat Aljabar Gradien, Hubungan Turunan Berarah dengan Vektor Gradien T u Turunan Berarah Telah dijelaskan pada Subbab 5.3 bahwa turunan parsial fungsi dua variabel terhadap memiliki arti geometri sebagai laju perubahan f dalam arah i (arah sumbu- ). Tujuan pada bagian ini adalah mempelajari laju perubahan f dalam sebarang arah vektor u . Misalkan dan i dan j vektor satuan dalam arah- dan arah- secara berurutan. Maka turunan parsial dan di p dapat dituliskan sebagai Untuk mencari turunan berarah dalam arah u kita gunakan konsep yang serupa. Maka definisi turunan berarah adalah: DEFINISI 5.9 Turunan Berarah Untuk sebarang vektor u, misalkan Limit ini, jika ada, adalah turunan berarah dari f di p dalam arah u. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 26 B A B 5 Turunan di R n Gambar 1, merupakan interpretasi dari turunan berarah . Vektor u menyatakan garis L pada bidang- yang melalui . Bidang yang melalui L dan tegak lurus bidangmemotong permukaan pada kurva C (garis hijau pada Gambar 1). Garis singgung di titik memiliki kemiringan . Jadi menyatakan laju perubahan f pada arah u. Vektor Gradien Gambar 1 Untuk menghitung turunan berarah dengan menggunakan definisi tidaklah sederhana. Oleh sebab itu diperlukan cara lain untuk menghitungnya yaitu dengan menggunakan vektor gradien. Definisi dari gradien adalah seperti berikut. DEFINISI 5.10 Gradien Misalkan dan turunan parsial di Gradien dari f di p adalah . Interpretasi Geometri Gradien Gradien dari f di p , , adalah suatu vektor. Di setiap titik pada domain , gradien dari f , , adalah vektor normal terhadap kurva ketinggian yang melalui seperti terlihat pada Gambar 2 . Gambar 2 Sifat Aljabar Gradien Dalam banyak hal gradien memiliki sifat seperti turunan. Ingat kembali operator D pada Matematika Dasar A1. D adalah operator linier, maka operator juga linier. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 27 B A B 5 Turunan di R n SIFAT Aljabar Gradien 1. Perkalian dengan konstanta 2. Penjumlahan dan pengurangan 3. Perkalian 4. Pembagian Contoh 2 Misalkan dan Gunakanlah operasi aljabar gradien untuk menghitung hasilnya jika . Penyelesaian Solusi yang diberikan hanya untuk sifat perkalian dengan skalar, penjumlahan dan perkalian. Untuk pembagian dan perngurangan dapat dilakukan sendiri. Karena dan , maka : 1. 2. 3. Misalkan cari nilai gradien berikut dan . Coba kalian Hubungan antara Turunan Berarah dan Vektor Gradien Telah disinggung sebelumnya bahwa kita akan mencari turunan berarah dengan bantuan vektor gradien. Berikut adalah teorema yang menyatakan hubungan anatara turunan berarah dan vektor gradien. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 28 B A B 5 Turunan di R n TEOREMA 5.6 Misalkan f terturunkan di . Maka f mempunyai turunan berarah di p dengan arah vektor satuan dan yaitu Contoh 3 Carilah turunan berarah dari dengan arah Penyelesaian Gradien dari f adalah Jadi, gradien di adalah di titik . Menurut teorema di atas, turunan berarah di titik dengan arah adalah Cara lain untuk menghitung turunan berarah secara langsung adalah dengan menggunakan turunan parsial seperti rumus pada teorema. Coba kalian ulangi pekerjaan seperti pada Contoh 3, mencari turunan berarah dari di titik dengan arah . Lakukan dengan dua cara, yaitu dengan menghitung dan . 5.6 Bidang Singgung Pada fungsi satu variabel kita telah membahas bagaimana mencari garis singgung dari suatu kurva. Dalam fungsi dua variabel terdapat masalah yang serupa, yaitu mencari bidang singgung dari permukaan yang didefinisikan oleh . (Permukaan dapat ditulis sebagai ). M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 29 B A B 5 Turunan di R n Pandang kurva pada permukaan yang melalui titik dan memiliki persamaan parametrik , dan . Maka permukaannya adalah Gradien dari F di , , merupakan vektor normal terhadap kurva ketinggian dari dan melalui P. Jika kurva pada permukaan dan melalui titik seperti di atas kita tuliskan kembali dalam persamaan vektor maka merupakan garis singgung kurva ini. Dengan mencari menggunakan aturan rantai, tidaklah sukar untuk menunjukkan Persamaan ini memiliki makna bahwa gradien pada merupakan vektor yang tegak lurus terhadap garis singgung kurva pada titik ini P (Gambar 1). Ini memberikan definisi bidang singgung sebagai berikut : DEFINISI 5.11 Bidang Singgung Gambar 1 Misalkan adalah permukaan. Misalkan pula F terturunkan di titik pada permukaan, dengan . Maka bidang melalui P yang tegak lurus terhadap disebut bidang singgung terhadap permukaan di P. Persamaan bidang singgung diberikan pada teorema berikut : TEOREMA 5.7 Bidang Singgung Misalkan adalah persamaan bidang pada titik yaitu permukaan. Maka adalah ; Khusus untuk permukaan bidang singgung di titik , persamaan adalah M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 30 B A B 5 Turunan di R n Contoh 1 Carilah persamaan bidang singgung dari permukaan di titik Penyelesaian Misalkan, Dengan menggunakan teorema bidang singgung, mula-mula akan dicari turunan parsial , , dan di titik , Maka persamaan bidang singgung permukaan di titik adalah Gambar 2 Gambar 3 Coba kalian cari persamaan bidang singgung dari permukaan di titik seperti yang ditunjukkan Gambar 3 di atas. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 31 B A B 5 Turunan di R n Contoh 2 Carilah persamaan bidang singgung dari permukaan di titik seperti yang ditunjukkan Gambar 4 di samping. Penyelesaian Dengan teorema bidang singgung, akan dihitung terlebih dahulu dan , yaitu Gambar 4 Maka persamaan bidang singgung permukaan z di titik adalah : Coba kalian cari persamaan bidang singgung dari permukaan di titik Gambar 5. seperti yang ditunjukkan Gambar 5 M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 32 B A B 5 Turunan di R n 5.7 Nilai Ekstrim Nilai Ekstrim, Uji Turunan Kedua untuk Nilai Ekstrim, Mencari nilai maksimum atau minimum dari fungsi multivariabel dan mengetahui dimana nilai ekstrim ini muncul adalah merupakan hal yang penting dalam aplikasi turunan fungsi multivariabel. Tujuan dari subbab ini adalah memperluas teori maksimum dan minimum yang telah diberikan pada fungsi satu variabel di Matematika Dasar A1. Nilai Ekstrim Pada fungsi satu variabel, ingat kembali Matematika Dasar A1, untuk mencari nilai ekstrim kita mencari titik-titik dimana grafik fungsi memiliki garis singgung yang horizontal titik tersebut. Pada titik ini kita periksa apakah terjadi maksimum lokal, minimum lokal, atau pembelokan. Pada fungsi dua variabel , kita mencari titik-titik dimana permukaan memiliki bidang singgung yang horizontal. Pada titik-titik ini akan diperiksa apakah nilai fungsiya merupakan maksimum lokal, minimum lokal atau titik pelana. Definisi nilai ekstrim adalah sebagai berikut: DEFINISI 5.12 Nilai Ekstrim Misalkan f fungsi yang terdefinisi di daerah D. Misalkan pula variabel titik di D dan adalah titik tetap di D. a. adalah nilai maksimum global fungsi f di D jika untuk setiap . b. adalah nilai minimum global fungsi f di D jika untuk setiap . c. adalah nilai ekstrim global fungsi f di D jika adalah nilai maksimum global atau nilai minimum global. Jika N adalah lingkungan dari , maka adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal jika ketaksamaan di atas dipenuhi di . adalah nilai ekstrim lokal fungsi f di D jika nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal. adalah M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 33 B A B 5 Turunan di R n Interpretasi geometri dari nilai-nilai ekstrim ini terdapat pada Gambar 1. Keberadaan nilai ekstrim dijamin oleh teorema berikut : TEOREMA 5.8 Keberadaan Nilai Ekstrim Misalkan f kontinu pada daerah tutup terbatas S, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di S. Jika nilai ekstrim ini ada, dimanakah terjadinya? Serupa dengan masalah fungsi satu variabel, nilai ekstrim terjadi di titik kritis f pada S. Berikut adalah teorema yang menyatakan dimana titik kritis terjadi. Gambar 1 TEOREMA 5.9 Titik Kritis Misalkan f didefinisikan di S yang memuat . Jika adalah nilai ekstrim, maka adalah titik kritis, yaitu adalah salah satu dari: 1. Titik batas S. 2. Titik stasioner f yaitu dimana f terturunkan dan . 3. Titik singular f yaitu titik dimana f tak terturunkan. Misalkan bukan titik batas ataupun titik singular, maka . Karena f memiliki nilai ekstrim di p 0 , misalkan , maka fungsi dan memiliki nilai ekstrim di dan secara berurutan. Lebih lanjut terturunkan di dan terturunkan di karena f terturunkan di dan turunan dari g dan h adalah: Hal ini memberikan syarat perlu untuk ekstrim lokal. TEOREMA 5.10 Syarat Perlu untuk Ekstrim Lokal Misalkan mencapai nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal di titik dan turunan parsial dan ada, maka Dengan kata lain, jika mencapai nilai maksn Contoh 5 Carilah titik di bidang yang terdekat dengan titik asal. Berapakah jarak minimumnya? Penyelesaian Misalkan adalah titik sembarang yang terletak pada bidang . Jarak minimum bidang ke titik asal dimodelkan dalam bentuk . Karena , maka diperoleh bentuk Selanjutnya kita cari titik kritis yang membuat persamaan minimum. Titik kritis yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan adalah Maka jarak minimum dari bidang adalah dengan ke titik asal seperti berikut: . Jarak terdekat bidang ke titik asal adalah 0 karena bidang tersebut memotong titik asal. Carilah titik di paraboloid . Berpakah jarak minimumnya? yang terdekat dengan M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 38 B A B 5 Turunan di R n 5.8 Metode Pengali Lagrange Pendahuluan, Pengali Lagrange dengan Satu Kendala, Pengali Lagrange pada Dimensi Tiga, Pengali Lagrange dengan Dua Kendala, Maksimum dan Minimum Fungsi pada Himpunan Tutup dan Terbatas Pendahuluan Misalkan seorang kontraktor ingin memaksimumkan luas ruangan di sebuah gedung dengan mempertahankan biaya yang dikeluarkan tetap Rp.6.000.000.000,-. Bangunan itu memiliki tinggi 12 meter (3 lantai) dengan setiap lantainya berbentuk persegi. Biaya yang dikeluarkan, yang tergantung pada dimensi lantainya, diberikan oleh fungsi : Dimana menyatakan lebar, menyatakan panjang dari perseginya. Jadi kontraktor tersebut ingin memaksimumkan luas daerah, , dan memenuhi : Pengali Lagrange dengan Satu Kendala Untuk menghadapi masalah di atas kita akan menggunakan metode pengali Lagrange. Metode dinamakan demikian untuk menghormati penemunya yaitu seorang matematikawan Perancis kelahiran Italia yang bernama Joseph Louis Lagrange. Metode ini adalah sebagai berikut : TEOREMA 5.12 Metode Pengali Lagrange (dengan satu kendala) Misalkan dan fungsi yang terturunkan secara kontinu. Jika nilai maksimum (atau minimum ) dari terhadap kendala (1) terjadi di titik P dengan (2) untuk suatu konstanta . , maka M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 39 B A B 5 Turunan di R n Untuk menyelesaikan masalah maksimum atau minimum terkendala, mula-mula tentukan dulu fungsi yang akan dicari maksimum atau minimumnya, terhadap kendala . Berdasarkan persamaan (1), dan persamaan (2), diperoleh sistem persamaan (3) Dengan menyelesaikan persamaan (3) (bila ada penyelesaiannya) diperoleh yang merupakan satu-satunya tempat yang mungkin untuk ekstrim f dengan kendala . Nilai disebut sebagai pengali Lagrange. Langkah terakhir adalah menghitung nilai di setiap penyelesaian sistem persamaan untuk menentukan nilai maksimum atau minimum. Metode pengali Lagrange mungkin tidak dapat menentukan adanya titik-titik pengecualian, seperti titik pelana, tetapi titik pengecualian ini biasanya terjadi pada saat kurva g tidak mulus. Contoh 1 Tentukan maksimum atau minimum (bila ada) dari fungsi dengan kendala . Penyelesaian Kita mau mencari maksimum atau minimum dari fungsi dengan kendala . Karena maka persamaan pengali Lagrangenya adalah Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini diperoleh Berarti, titik-titik kritisnya adalah M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 40 B A B 5 Turunan di R n solve({1=lambda*8*x+mu,1=lambda*18*y,mu=1,x+z4=0,4*x^2+9*y^2-36=0}); Kemudian substitusi titik-titik kritis tersebut ke dalam fungsi sehingga diperoleh Jadi f mencapai maksimum di dan dengan dan nilai maksimum 3 dan mencapai minimum di dengan nilai minimum -3. Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 1, menentukan nilai maksimum atau minimum (bila ada) dari fungsi dengan kendala dengan menggunakan metode Lagrange. Contoh 2 Carilah jarak minimum antara titik asal dengan bidang Penyelesaian Untuk mencari jarak, , minimum dari titik-titik pada bidang ke titik asal, kita gunakan metode pengali Lagrange dengan fungsi tujuan meminimumkan dan kendala Mula-mula kita cari dulu turunan parsialnya seperti berikut M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 41 B A B 5 Turunan di R n Persamaan pengali Lagrangenya adalah Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini diperoleh solve({2*x=lambda,2*y=3*lambda,x+3*y=2}); Jadi jarak minimum dari bidang adalah ke titik asal Pengali Lagrange dengan Dua Kendala Apabila terdapat dua fungsi kendala pada saat mencari maksimum dan minimum, maka kita perlu menambah pengali Lagrange. Misalkan kita mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi dengan kendala dan . Maka metode penyelesaian pengali Lagrange diberikan pada Teorema 5.14 berikut : Gambar 1 TEOREMA 5.13 Metode Pengali Lagrange (dengan dua kendala) Misalkan dan adalah fungsi yang terturunkan secara kontinu. Jika nilai maksimum (atau minimum) dari terhadap kendala (4) terjadi di titik P dengan vektor dan dan keduanya tidak paralel, maka (5) untuk suatu konstanta dan . M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 42 B A B 5 Turunan di R n Seperti pada metode pengali Lagrange dengan satu kendala, dari persamaan (4) dan persamaan (5) diperoleh sistem persamaan (6) dengan lima variabel yang dicari yaitu dari sistem ini memberikan titik kritis. . Penyelesaian Gambar 2 Contoh 2 Tentukan maksimum atau minimum (bila ada) dari fungsi pada elips yang merupakan perpotongan antara silinder dan bidang seperti pada Gambar 2. Penyelesaian Kita mau mencari maksimum atau minimum dari fungsi dengan kendala dan . Karena , maka persamaan pengali Lagrangenya adalah Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini diperoleh Berarti, titik-titik kritisnya adalah dan Kemudian substitusikan titik-titik kritis tersebut ke dalam fungsi sehingga diperoleh Jadi f mencapai maksimum di dengan maksimum 6 dan mencapai mnimum di dengan minimum 2. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 43 B A B 5 Turunan di R n Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 2, menentukan nilai maksimum atau minimum (bila ada) dari fungsi pada elips yang merupakan perpotongan silinder dengan bidang menggunakan metode Lagrange. Maksimum dan Minimum Fungsi pada Himpunan Tutup dan Terbatas Kadangkala kita mencari nilai maksimum atau minimum fungsi pada himpunan yang tertutup dan terbatas oleh S. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah seperti ini adalah : 1. Carilah maksimum atau minimum pada interior S. 2. Carilah maksimum atau minimum di batas S dengan menggunakan metode Pengali Lagrange. 3. Bandingkan hasil pada langkah 1 dan 2 untuk menentukan maksimum atau minimum dari f di S. Contoh 3 Carilah maksimum atau minimum dari pada daerah tutup terbatas yang berupa lingkaran berjari-jari 1, . Penyelesaian Mula-mula kita cari dulu nilai maksimum dan minimum di daerah interior S, Titik kritis untuk daerah interior S adalah . Sedangkan titik kritis pada batas S dicari dengan menggunakan metode Lagrange. Fungsi tujuan kita adalah sedangkan kendala kita adalah . Maka Sehingga sistem persamaan pengali Lagrangenya adalah Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 44 B A B 5 Turunan di R n evalf({solve({2*x+y=-lambda*2*x,2*y+x=lambda*2*y,1-x^2-y^2=0})}); Berarti titik kritis untuk batas daerah S adalah dan . Kemudian substitusikan titik-titik kritis tersebut ke dalam fungsi f, diperoleh f:=(x,y)->10+x^2+y^2+x*y;f(0,0);f(0.71,0.71);f(0.71,0.71); Sehingga nilai maksimum dari fungsi pada daerah S adalah 11.5123, sedangkan nilai minimumnya adalah 10. 5.9 Metode Kuadrat Terkecil Pendahuluan, Metode Kuadrat Terkecil Pendahuluan Misalkan suatu perusahaan botol minum memiliki data biaya produksi botol minum seperti pada Tabel 1: Tabel 1 Jumlah Unit Produksi (ratusan) 2 5 6 9 Biaya Produksi (ratus ribu rupiah) 4 6 7 8 M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 45 B A B 5 Turunan di R n Perusahaan ini ingin memperkirakan biaya produksi apabila mereka akan menaikkan produksi botol minum. Untuk itu akan dicari suatu fungsi biaya yang cukup baik untuk memperkirakan biaya produksi. Grafik dari Tabel 1, apabila kita buat grafiknya seperti pada Gambar 1, adalah mendekati grafik linier. Oleh sebab itu, perusahaan bermaksud mencari fungsi hampiran yang linier, yaitu menentukan nilai m dan n sedemkian sehingga garis (1) merupakan diinginkan. hampiran terbaik untuk fungsi biaya yang Metode Kuadrat Terkecil Karena garis yang diperoleh tidak melalui semua titik data, maka adalah suatu hal yang natural apabila kita ingin mengetahui selisih nilai yang diperoleh dari data pada Tabel 1 dengan nilai yang diperoleh dari persamaan (1). Sebagai contoh, misalkan untuk , yaitu produksi 500 botol minum. Dari Tabel 1, nilai , yaitu biaya produksi 500 botol minum, adalah 6. Sedangkan menurut persamaan (1), nilai adalah . Sehingga selisih nilai adalah Tabel 2 di bawah ini menyatakan seluruh selisih nilai . Tabel 2 Selisih 4 - 2m - n 6 - 5m - n 7 - 6m - n 8 - 9m - n 2 5 6 9 4 6 7 8 2m + n 5m + n 6m + n 9m + n Kriteria hampiran terbaik di sini adalah menentukan m dan n sedemikian sehingga jumlah kuadrat selisih adalah minimum. Dengan menggunakan nilai m dan n ini, garis yang diperoleh disebut garis kuadrat terkecil atau garis least square. Jadi kita meminimumkan fungsi kuadrat selisih, yaitu (2) M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 46 B A B 5 Turunan di R n Perhatikan bahwa persamaan (2) merupakan fungsi dua variabel. Maka untuk mencari yang meminimumkan fungsi digunakan langkah-langkah seperti pada Sub bab 5.7, yaitu kita akan mencari titik kritisnya terlebih dahulu kemudian melakukan uji turunan parsial kedua seperti pada Teorema 5.11. Secara misalkan diberikan data . Kita akan mencari garis sedemikian sehingga fungsi jumlah kuadrat selisihnya, yaitu umum, (3) adalah minimum. Persamaan (3) adalah fungsi dari dua variabel, yaitu m dan n. Untuk mencari titik kritis dari (3) maka kita mencari penyelesaian dari (4) Bagilah persamaan (4) dengan 2 dan sederhanakan. Maka diperoleh persamaan yang disebut persamaan persamaan normal untuk normal. Dengan menyelesaikan kita peroleh teorema berikut : M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 47 B A B 5 Turunan di R n TEOREMA 5.14 Hampiran Kuadrat Terkecil Misalkan adalah himpunan dari k data. Maka koefisien garis kuadrat terkecil adalah penyelesaian dari persamaan normal (5) yang diberikan oleh (6) Contoh 1 Carilah garis kuadrat terkecil dari masalah pada pendahuluan dengan menggunakan Teorema 5.14. Penyelesaian Dengan menggunakan Teorema 5.14, kita dapatkan : dan Maka, persamaan garis kuadrat terkecilnya adalah . M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 48 B A B 5 Turunan di R n Misalkan suatu perusahaan mobil ingin menambah keuntungan dari penjualan mobil-mobilnya. Untuk itu, perusahaan tersebut berniat memasang iklan supaya penjualan mobil-mobilnya tersebut bertambah. Berdasarkan data perusahaan, biaya pemasangan iklan berpengaruh terhadap banyaknya penjualan mobil, seperti ditunjukkan tabel berikut : Biaya Iklan (dalam ratusan ribu) 3 4 5 6 Banyaknya penjualan (dalam puluhan) 5 6 8 9 Tentukan persamaan garis kuadrat terkecil yang menghampiri fungsi linier antara biaya iklan dan banyaknya penjualan. Contoh 2 Dengan menggunakan jawaban Contoh 1, perkirakanlah biaya yang harus dikeluarkan apabila perusahaan ini akan memproduksi 1500 botol minum. Penyelesaian Akan dicari nilai (atau biaya produksi air minum) jika diberikan (atau produksi botol minum) sebanyak 1500. Substitusikan nilai (dalam ratusan) ke dalam persamaan kuadrat terkecil (dalam ratusan ribu) maka diperoleh : Berarti, biaya 87.306.000,00. produksi 1500 botol minum adalah Rp Dengan menggunakan masalah pada problem di atas, coba kalian tentukan berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk memasang iklan supaya banyaknya penjualan mobil bertambah menjadi 100 mobil. M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 49

Find millions of documents on Course Hero - Study Guides, Lecture Notes, Reference Materials, Practice Exams and more. Course Hero has millions of course specific materials providing students with the best way to expand their education.

Below is a small sample set of documents:

HKU - ECON - 1001
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCE STAT 1302 PROBABILITY AND STATISTICS II EXAMPLE CLASS 8 1. Let X1 and X2 be i.i.d. exponential random variables with mean . It is well known that S = X1 + X2 has a gamma distributi
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCE STAT 1302 PROBABILITY AND STATISTICS II EXAMPLE CLASS 9 1. A survey of 223 phone boxes found 53 of them to be out of order. A similar survey of 202 phone boxes found 45 of them out
HKU - STAT - 1302
THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCE STAT 1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 5 (Sketch Solution)^ ^ ^ ^ ^ 1. Let be the mle and s.e.() be the s.e. of . Large-sample theory gives that ( - )/s.e.() N (0, 1)
HKU - STAT - 1302
1/09THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCESTAT1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 1 Section A 1. An experiment with a binary outcome (success or failure) is repeatedly and independently conducted. Let p (0,
HKU - STAT - 1302
2/09THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCESTAT1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 21. For each of the following situations, (i) identify the observed data, (ii) specify the unknown parameter and its corresp
HKU - STAT - 1302
2/09THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCESTAT1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 3 1. For a distribution with mean = 0 and standard deviation , its coefficient of variation cv is defined as cv = /. Let X1 a
HKU - STAT - 1302
THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCE STAT 1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 4 (Sketch Solution)Section AHypotheses & likelihood ratiosA1. Let X be the no. of marked fish among a sample of 2,000 caught f
HKU - STAT - 1302
03/09THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCESTAT1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 4 Section A Hypotheses & likelihood ratiosIn this section, you are required to (i) specify the null and alternative hypothe
HKU - STAT - 1302
HKU - STAT - 1302
3/08THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCESTAT1302 PROBABILITY AND STATISTICS II Assignment 2 (Sketch Solution)1. In what follows, X stands for the random data, x stands for the observed data, stands for the paramete
HKU - STAT - 1302
THE UNIVERSITY OF HONG KONG DEPARTMENT OF STATISTICS AND ACTUARIAL SCIENCESTAT1302 PROBABILITY AND STATISTICS II SUGGESTED SOLUTION TO ASSIGNMENT 3 (MARCH 2008) 1. Question 1 (a) Bias(T1 ) = E(T1 ) - = + - = 0, thus T1 is unbiased. 22MSE(T1 )= E =X1
Nanyang Technological University - BF - 221
Chapter 1, AY 2008-097/20/2009CHAPTER 1 Wealth Planning or Personal Financial Planning1Managing Personal Finances2 ways: Reactive Approach Proactive Approach pp2Needs for Personal Financial Planning Improvestandard of living likelihood of financi
University of Ottawa - PSY - 1102
PSY1102H Lecture Notes April 6, 2011 Group Influence 1. Social facilitation Esay test increase the performance Difficult test would make you performance up, challenge yourselfe Test difficulty You would like to take your time on the test, since you don't
North South University - ACT - 201
CREATI VI TYExecutive summary:Unilever- which is one of the leading multinationals across the globe continue to do business with the aim of making people look good, feel good and get more out of their lives. In this report the vision, company structure
Georgia State - BIOL - 3900
-15GENE MAPPING IN EUKARYOTESCHAPTER OUTLINE EARLY STUDIES OF GENETIC LINKAGE: MORGAN'S EXPERIMENTS WITH DROSOPHILA GENE RECOMBINATION AND THE ROLE OF CHROMOSOMAL EXCHANGE Corn Experiments Experiments D rosophiln CONSTRUCTING GENETIC MAPS Detecting Lin
Georgia State - BIOL - 3890
The pre-lab assignment for the Selective Media lab
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Introduction and Review Introduction and ReviewIntroduction and Review Learning Objectives Learning Objectives 1.Define anatomy and physiology.that make up the human body.2.Describe the different levels of structural o
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Cell Biology and Genetics Cell Biology and Genetics1.Relate plasma membrane structure to active and 2.Define membrane potential and explain how the 3.Describe the structure and function of organelles, 4.Describe the phas
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Integumentary System Integumentary System1.Name the tissue types, major layers, and 2.Compare the structure and locations of 3.List the parts of a hair follicle and explain 4.Describe how the skin accomplishes at least
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Muscular SystemMuscular System: Learning Objectives1. Examine the macroscopic and microscopic anatomy of skeletal muscle. 2. Explain the sliding filament mechanism of muscle fiber contraction. 3. Relate overall muscle s
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Integration of the Nervous System1.Classify general sensory receptors by structure, stimulus detected, and body location. 1.Outline the events that lead to sensation and perception. 1.Explain the structure and function o
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Special SensesSpecial Senses: Learning Objectives1. Describe the location, structure, and afferent pathways of taste and smell receptors. Explain how these receptors are activated. 2.Describe the events involved in the
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Nervous SystemNervous System: Learning Objectives1.Explain the structural and functional divisions of the nervous system. 2.Define neuron, describe its important structural components, and relate each to a functional ro
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Tissues TissuesTissues: Learning Objectives Learning Objectives and function of 1.Name, classify, and describe the structurethe various types of epithelia.2.Define gland, and differentiate between exocrine andendocrin
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Spinal Cord and Spinal NervesSpinal Cord and Spinal Nerves: Learning Objectives 1.Describe the overall structure and function of the spinal cord. 2.Describe anatomical structure of the protective coverings of the spinal
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Endocrine SystemEndocrine System: Learning Objectives1. List the major endocrine organs, and describe their body locations. 2. Describe how hormones are classified chemically. 3. Describe two major mechanisms by which h
Georgia State - BIOL - 1110K
Human Anatomy and Physiology 1110 Autonomic Nervous SystemAutonomic Nervous System: Learning Objectives1.Define autonomic nervous system and explain its relationship to the peripheral nervous system. 2.Compare the somatic and autonomic nervous systems r
Georgia State - BIOL - 1110K
Short Answer (40 points) Please answer questions concisely and write clearly.Robert, a 63 year-old male, lived alone and worked as a radio journalist and university professor. He was diagnosed with the human immunodeficiency virus (HIV) in 1996. Four yea
Georgia State - BIOL - 1110K
Short Answer (40 points) Please answer questions concisely and write clearly.Sheila, a 40 year-old female, had an uneventful pregnancy with her youngest child, Daniel. He was born via cesarean section at 38 weeks and 6 days of gestation, and he weighed 8
Georgia State - BIOL - 1110K
Short Answer (40 points) Please answer questions concisely and write clearly.Geoffrey, a 4.5 month boy, was admitted to the pediatric neurology clinic with developmental delay and an abnormal physical examination. He was born to a 36-year old mother with
Georgia State - BIOL - 1110K
Short Answer (80 points) Please answer questions concisely and write clearly.Max, a 15-year old male arrived at the hospital complaining of constant headaches. Max described the pain as stabbing and severe. It was localized to the left frontal region of
Houghton College - PHYS - 151
If we knew what we were doing, it wouldn't be called research, would it? - Albert EinsteinGenius is 99 percent perspiration and 1 percent inspiration. - Thomas EdisonKinematics Problem: A placekicker must kick a football from a point 36.0 m from the goa
Houghton College - PHYS - 151
If two displacement vectors of 6 meters and 8 meters (with varying directions) are added together, then the resultant could range anywhere between _ meters and _ meters. a. 0, 48 b. 1.33, 48 c. 0, 14 d. 2, 14 e. No such prediction can be made. f. A predic
Houghton College - PHYS - 151
The door shown in A (from the top view) has a dart sticking straight out of it. The vector representing the position of the dart's tail is: ^ T = 3.0nWhat vector represents the position of the dart's tail in B?ABGiven the vectors shown below, write o
Houghton College - PHYS - 151
Below is a graph of position vs. time.x (m)B A Ct (s)Dx (m)At which point am I nearest the origin?B A Ct (s)Dx (m)At which point is my speed the greatest?B A Ct (s)Dx (m)At which point is my speed the least?B A Ct (s)DWhat is average v
Houghton College - PHYS - 151
A soccer ball rolls slowly across the road and down a hill as shown below.Which of the following sketches of ax vs. t is a reasonable representation of the horizontal acceleration of the ball as a function of time?(1)(2)(3)(4)(5) None of the above.
Houghton College - PHYS - 151
A football is kicked into the air at an angle of 45 degrees with the horizontal. At the very top of the ball's path, its velocity is _. a. entirely vertical b. entirely horizontal c. both vertical and horizontal d. zero e. not enough information given to
Houghton College - PHYS - 151
A vehicle is traveling counterclockwise in a circle at a constant speed. At the moment shown below, is the vehicle accelerating? If not, explain. If so, draw the acceleration vector.A vehicle is traveling counterclockwise in a circle. At the moment shown
Houghton College - PHYS - 151
Big Bubba has a mass of 100 kg on the earth. What is Big Bubba's mass on the moon where the force of gravity is approximately 1/6-th that of Earth's?Little Billie weighs 360 N on Earth. What is Little Billie's mass on the moon where the force of gravity
Houghton College - PHYS - 151
Three pictures of equal weight (20 N) are hung by wires in three different orientations. In which orientation are the wires least likely to break?A car is moving toward the right. Then a force is applied causing the force diagram to look as shown below.
Houghton College - PHYS - 151
A ball swings in a horizontal circle at constant speed, as shown. Draw a force diagram for the ball from the top view. (You may neglect gravity.)Top ViewA 1.5 kg ball swings in a horizontal circle at a constant speed of 6.0 m/s, as shown. If the string
Houghton College - PHYS - 151
Which of the force diagrams below represents an object moving counterclockwise and slowing down?You are at the fair in the vertical Loop of Death. When you are at the top of the ride, the frictional force of the track on the cart is: a) ftrack on cart <
Houghton College - PHYS - 151
Draw accurate (proportionate) force diagrams for each of the masses below.5 kg8 kgWrite out Newton's 2nd Law for each of the masses below.5 kg8 kgConsider the movable pulley to be part of the 5 kg mass. Draw accurate force diagrams for each of the m
Houghton College - PHYS - 151
The crate below slides down a ramp with a rough surface. Draw a force diagram for the crate.The 10kg crate below slides down a ramp with a rough surface, with k=0.25. Find the coefficient of kinetic friction.The 10kg crate below slides down a ramp with
Houghton College - PHYS - 151
A glass of water contains a large ice cube. What will happen to the level of the liquid water when the ice melts? a) It will go up. b) It will go down. c) It will remain at the same level.A log floats in a lake such that one half of the log is submerged.
Houghton College - PHYS - 151
A snowball at the top of a mountain breaks in half. One half rolls down the left side and the other down the right side, as shown below. On which snowball does the earth do more work?Two sleds slide down a mountain. One slides down in a curvy fashion whi
Houghton College - PHYS - 151
A snowball at the top of a small mountain breaks in half. One half rolls down the left side and the other down the right side, as shown below. Given that the mountain is 45m tall, determine the speed of each snowball at the bottom.An 80kg sled slides on
Houghton College - PHYS - 151
A snowball at the top of a small mountain breaks in half. One half rolls down the left side and the other down the right side, as shown below. Given that the mountain is 45m tall, determine the change in potential energy of each snowball.A ball moves hor
Houghton College - PHYS - 151
A non-bouncy object is dropped from the top of a 100m building. If the object comes to rest upon hitting the ground, does this defy conservation of energy? Explain.A 0.5 kg toy sinks into the lake. If the buoyant and viscous forces of the water on the to
Houghton College - PHYS - 151
For the following situation, give an expression for conservation of energy: a) in terms of Ui, Uf, Ki, Kf, fk, and d. b) in terms of m, fk and the given numbers.yf = 0.5m 35vi = 5m/sFor the following situation, would the ball travel as high if it were
Houghton College - PHYS - 151
A giant, 1m2 suction cup is stuck to the ceiling. About how many 100kg (220lb) people will it hold? a) 1 b) 2 c) 5 d) 10 e) 50 f) 100 g) 1000A container is filled with oil and fitted on both ends with pistons. The area of the left piston is 10 mm2; that
Houghton College - PHYS - 151
A truck and a car are moving along the road with equal momentum. Each driver hits the brakes. If both vehicles stop in the same time, which brakes applied the greater force? a) The truck's brakes. b) The car's brakes. c) The forces were equal.A ball is m
Houghton College - PHYS - 151
Two objects collide. Under what conditions are the final velocities both zero?You are sitting at your desk and wish to close the door by throwing something at it. You have a bouncy ball and a sticky lump of clay. If both are the same mass, which should y
Houghton College - PHYS - 151
Rotational coordinates are:s = rTherefore:vt = rat = rOLD EQUATIONS vf = vi + at xf = xi + vit + 0.5at2 vf2 = vi2 + 2a(xf xi) xf = xi + 0.5(vi + vf)tNEW EQUATIONS f = i + t f = i + it + 0.5t2 f2 = i2 + 2( f i) f = i +0.5( i + f)tA vehicle is travel