7
Rappel CHAPITRE sur lintgrale simple.
e
Les prochains chapitres traiteront de lintgration. Dans un premier temps, nous rappellerons ce quest
e
lintgrale simple (lintgration pour les fonctions dune seule variable relle), ainsi que le thor`me fondae
e
e
ee
mental du calcul. Ensuite nous dnirons les intgrales multiples, surtout les intgrales doubles et triples;
e
e
e
nous verrons comment les calculer au moyen dintgrales itres, le thor`me de changement de variables
e
ee
ee
pour les intgrales multiples, en particulier pour les coordonnes cylindriques et sphriques.
e
e
e
Dans ce chapitre, nous traiterons de lintgrale simple. Soient deux nombres rels a, b avec a < b et une
e
e
fonction f (x) relle dnie et borne sur lintervalle ferm [a, b], alors lintgrale dnie de f sur [a, b], que
e
e
e
e
e
e
lon note
b
f (x) dx,
a
est la limite
n
f ( xi ) i ,
lim
n
max{i |1in}0
i=1
pour laquelle nous considrons toutes les subdivisions de lintervalle [a, b] en n sous-intervalles [ai1 , ai ], dont
e
la longueur de chacun de ceux-ci est note i = (ai ai1 ), en y laissant n, le nombre de ces sous-intervalles,
e
devenir de plus en plus grand et le maximum max{i |1 i n} des longueurs de ces sous-intervalles devenir
de plus en plus pr`s de zro; de plus, dans cette dnition pour chaque i, xi peut tre nimporte quel point
e
e
e
e
de lintervalle [ai1 , ai ].
Il faut noter que lintgrale dune fonction nexiste pas toujours. En dautres mots, la limite dnissant
e
e
lintgrale nexiste pas toujours. Cependant il est possible de dmontrer que si la fonction ` intgrer f (x) est
e
e
ae
b
continue sur lintervalle [a, b], alors lintgrale dnie a f (x) dx existe. Ce que nous avons dni est lintgrale
e
e
e
e
n
de Riemann et la somme i=1 f (xi ) i est une somme de Riemann. Il existe dautres types dintgrales,
e
notamment lintgrale de Lebesgue. Elles ne sont pas traites dans ces notes. Nous nous concentrerons que
e
e
sur les intgrales dnies de Riemann et, au dernier chapitre, sur les intgrales impropres de Riemann.
e
e
e
n
Dans la partie grise de la gure 7.1, nous avons illustr la somme i=1 f (xi ) i pour une subdivision
e
de [a, b]. Si f (x) est une fonction continue sur lintervalle [a, b], alors il est possible dinterprter lintgrale
e
e
b
f (x) dx comme laire signe de la partie du plan comprise entre le graphe de f (x) et laxe des x, la partie
e
a
au-dessus de laxe des x correspondant ` une aire positive, la partie au-dessous de laxe des x correspondant
a
a
` une aire ngative. Nous avons illustr ceci ` la gure 7.2. Noter que lintgrale dune fonction peut tre
e
e
a
e
e
positive, ngative ou nulle.
e
Le thor`me fondamental du calcul dit que sil existe une fonction F (x) telle que F (x) = f (x) sur
ee
lintervalle [a, b], alors
b
a
b
f (x) dx = F (b) F (a) = F (x) a .
Une fonction F (x) comme ci-dessus est une intgrale indnie ou une anti-drive ou encore une primitive
e
e
ee
pour f (x). Il y a aussi une seconde forme du thor`me fondamental du calcul. Cette seconde forme est la
ee
suivante:
x
d
f (t) dt = f (x).
dx a
La premi`re forme du thor`me fondamental du calcul nous fournit un outil tr`s prcieux pour calculer des
e
ee
e
e
intgrales dnies. Nous illustrerons ceci dans les exemples suivants.
e
e
51
f(x)
f(x)
aire
positive
aire
ngative
b
a
a
x
b
figure 7.2
figure 7.1
Exemples 7.1:
a) Si f (x) = 3x2 2x + 1, alors
2
f (x) dx = x3 x2 + x
1
2
1
= (23 22 + 2) (13 12 + 1) = 5,
car F (x) = x3 x2 + x est une primitive pour f (x). En eet, (x3 x2 + x) = 3x2 2x + 1.
b) Si f (x) = cos(x), alors
/2
cos(x) dx = sin(x)
0
/2
0
= sin(/2) sin(0) = 1,
car F (x) = sin(x) est bien une primitive pour f (x). En eet, (sin(x)) = cos(x).
Pour dterminer une primitive dune fonction f (x) donne, il existe des r`gles de calcul. Dans ce qui
e
e
e
suivra, nous noterons une telle primitive par f (x) dx au lieu de F (x) comme prcdemment. Avec ces
ee
notations, nous avons donc
d
f (x) dx = f (x).
dx
Il faut noter que si F (x) est une primitive de la fonction f (x), alors F (x) + c est aussi une telle primitive
peu importe la valeur de la constante c. Ainsi donc si f (x) a une primitive, elle a alors une innit de
e
primitives. Malgr ceci lintgrale dnie de f (x) sur lintervalle [a, b] a une valeur unique (si elle existe).
e
e
e
Nous numrons ci-dessous ces r`gles de calcul.
e
e
e
Proposition 7.1:
Soient f (x) et g (x) deux fonctions et a et b deux nombres rels. Alors:
e
a) (r`gle linaire) (af (x) + bg (x)) dx = a f (x) dx + b g (x) dx
e
e
b) (r`gle des puissances)
e
xn+1 /(n + 1) + c, si n = 1;
xn dx =
ln(|x|) + c
si n = 1
c) (r`gle du produit) f (x)g (x) dx = f (x)g (x) g (x)f (x) dx
e
d) (r`gle de substitution) f (g (x))g (x) dx = F (g (x)) o` F (x) est une primitive de f (x).
e
u
e) (primitives de fonctions usuelles)
ex dx = ex + c,
ln(x) dx = x ln(x) x + c,
sin(x) dx = cos(x) + c,
cos(x) dx = sin(x) + c.
52
Dans le cas de la r`gle du produit, on parle plutt dintgration par parties. Cest ainsi que nous
e
o
e
dsignerons cette r`gle par la suite. Nous allons maintenant illustrer ces r`gles de calcul dans quelques
e
e
e
exemples.
Exemples 7.2:
a)
x4 2x1 + 5x3 dx =
x4 dx 2
x1 dx + 5
x3 dx
= x5 /5 2 ln(|x|) + 5x2 /(2) + c
par la r`gle linaire et les formules pour les fonctions usuelles;
e
e
b)
x exp(x2 ) dx = (1/2)
2x exp(x2 ) dx = (1/2) exp(x2 ) + c
par la r`gle de substitution;
e
c)
x(sin(x)) dx = x sin(x)
x cos(x) dx =
= x sin(x)
sin(x)(x) dx
sin(x) dx = x sin(x) ( cos(x)) + c
= x sin(x) + cos(x) + c
par intgration par parties;
e
d)
tan(x) dx =
sin(x)/ cos(x) dx =
(cos(x)) / cos(x) dx = ln(| cos(x)|) + c
par la r`gle de substitution;
e
En ce qui concerne la r`gle de substitution, nous pouvons procder de la faon suivante:
e
e
c
f (g (x))g (x) dx =
f (u) du,
o` u = g (x) et du = g (x) dx;
u
= F (u) = F (g (x)),
o` F est une primitive de f .
u
Cette faon de procder justie le fait que lon nomme celle-ci de r`gle de substitution. Nous allons illustrer
c
e
e
ceci par les exemples ci-dessous.
Exemples 7.3:
a)
(2x + 1)
dx =
(x2 + x + 1)2
du
u2
u2 du =
=
=
o` u = x2 + x + 1 et du = (2x + 1) dx
u
u1
+c
(1)
1
+ c en substituant de nouveau u = x2 + x + 1;
(x2 + x + 1)
b)
(ln(x))2
dx =
x
u2 du
o` u = ln(x) et du = x1 dx
u
u3
+c
3
(ln(x))3
=
+ c en substituant de nouveau u = ln(x).
3
=
53
Pour ce qui est de lintgration par parties, nous pouvons procder de la faon suivante:
e
e
c
u = f (x),
f (x)g (x) dx =
u dv
du = f (x) dx,
o`
u
dv = g (x) dx,
= uv
v = g (x),
v du,
= f (x)g (x)
g (x)f (x) dx.
Nous allons illustrer ceci par les exemples ci-dessous.
Exemples 7.4:
a)
xex dx = xex
u = x,
ex dx
o`
u
dv = ex dx
du = dx,
v = ex ,
= xex ex + c.
b)
(ln(x))2 dx = x(ln(x))2
x(2 ln(x) x1 ) dx
u = (ln(x))2 ,
dv = dx,
= x(ln(x))2 2
du = 2 ln(x) x1 dx,
o`
u
v = x,
ln(x) dx,
= x(ln(x))2 2x ln(x) + 2x + c.
Il faut noter que la primitive
ln(x) dx est obtenue aussi par intgration par parties. Plus prcisment,
e
ee
ln(x) dx = x ln(x)
xx
1
u ln(x),
dx
o`
u
dv = = dx,
= x ln(x)
du = x1 dx,
v = x,
.
dx,
= x ln(x) x + c
Dans ce cas, nous avons donc utilis deux fois la mthode dintgration par parties.
e
e
e
Nous terminerons ce chapitre en discutant de lutilisation des fractions partielles pour calculer une
intgrale indnie de la forme P (x)/Q(x) dx pour laquelle P (x) et Q(x) sont des polynmes. Apr`s
e
e
o
e
division de P (x) par Q(x), nous aurons a valuer une intgrale de la mme forme, mais cette fois avec la
`e
e
e
condition supplmentaire que le degr du numrateur est strictement infrieur ` celui du dnominateur. Dans
e
e
e
e
a
e
ce qui suivra, nous allons donc supposer que lintgrale indnie ` calculer est de la forme P (x)/Q(x) avec
e
e
a
degr(P (x)) < degr(Q(x)). Nous allons exprimer P (x)/Q(x) sous la forme dune somme dont les termes
e
e
sont dune des formes suivantes:
Ax + B
A
,
.
(ax + b)k
(ax2 + bx + c)k
Nous serons plus prcis ` ce sujet ci-dessous.
ea
Notons premi`rement que le dnominateur Q(x) sera un produit de facteurs dune des formes suivantes:
e
e
(ax + b)m
2
m
(ax + bx + c)
o` a, b R tels que a = 0 et m est un entier positif;
u
o` a, b, c R tels que a = 0, b2 4ac < 0 et m est un entier positif.
u
Si (ax + b)m est un des facteurs comme ci-dessus, alors dans lexpression de P (x)/Q(x) comme une somme,
nous aurons parmi les termes de cette derni`re, la somme
e
m
k=0
Ak
(ax + b)k
o` A1 , A2 , . . . , Am sont des nombres rels (` dterminer);
u
e
ae
54
si (ax2 + bx + c)m est un des facteurs comme ci-dessus, cest-`-dire avec entre autres b2 4ac < 0, alors dans
a
lexpression de P (x)/Q(x) comme une somme, nous aurons parmi les termes de cette derni`re, la somme
e
m
k=0
( Ak x + B k )
(ax2 + bx + c)k
o` A1 , A2 , . . . , Am , B1 , B2 , . . . , Bm sont des nombres rels (` determiner).
u
e
a
Apr`s avoir exprim P (x)/Q(x) sous cette forme de somme, il nous faut intgrer alors des fonctions
e
e
e
dune des deux formes suivantes:
A
dx,
(ax + b)k
Ax + B
dx.
+ bx + c)k
(ax2
Pour valuer lintgrale indnie
e
e
e
A
dx,
(ax + b)k
il sut dutiliser la substitution u = ax + b. Pour valuer lintgrale indnie
e
e
e
(Ax + B )
dx,
(ax2 + bx + c)k
il faut noter que
(Ax + B )
=
(ax2 + bx + c)k
A
2a
(2ax + b) + B
Ab
2a
(ax2 + bx + c)k
.
Nous devons donc considrer deux types dintgrales indnies:
e
e
e
A
(2ax + b)
dx
2a (ax2 + bx + c)k
B
et
Ab
2a
(ax2 + bx + c)k
dx.
Dans le premier cas, il sut dutiliser la substitution u = ax2 + bx + c; alors que dans le second cas, il faut
premi`rement complter le carr et ensuite utiliser une substitution trigonomtrique. Ce second cas est le
e
e
e
e
plus dicile de tous et les intgrales de ce type que nous considrerons dans ce cours seront parmi les plus
e
e
simples, cest-`-dire m = 1. Nous allons illustrer tout ce processus par un exemple.
a
Exemple 7.5:
(4x5 + 12x4 + 23x3 + 34x2 + 23x + 4)
dx =
(4x4 + 12x3 + 17x2 + 10x + 2)
(6x3 + 24x2 + 21x + 4)
dx apr`s division
e
+ 12x3 + 17x2 + 10x + 2)
(6x3 + 24x2 + 21x + 4)
= (x2 /2) +
dx.
4 + 12x3 + 17x2 + 10x + 2)
(4x
x+
(4x4
Il sut donc dvaluer lintgrale
e
e
(6x3 + 24x2 + 21x + 4)
dx.
(4x4 + 12x3 + 17x2 + 10x + 2)
En sachant que 4x4 + 12x3 + 17x2 + 10x + 2 = (2x + 1)2 (x2 + 2x + 2), nous aurons alors par la thorie des
e
fractions partielles que
(6x3 + 24x2 + 21x + 4)
(6x3 + 24x2 + 21x + 4)
=
= ()
3 + 17x2 + 10x + 2)
+ 12x
(2x + 1)2 (x2 + 2x + 2)
(4x4
55
est tel que
(Cx + D)
A
B
+2
+
2
(2x + 1) (2x + 1)
(x + 2x + 2)
A(2x + 1)(x2 + 2x + 2) + B (x2 + 2x + 2) + (Cx + D)(2x + 1)2
=
(2x + 1)2 (x2 + 2x + 2)
3
2
A(2x + 5x + 6x + 2) + B (x2 + 2x + 2) + C (4x3 + 4x2 + x) + D(4x2 + 4x + 1)
=
(2x + 1)2 (x2 + 2x + 2)
3
(2A + 4C )x + (5A + B + 4C + 4D)x2 + (6A + 2B + C + 4D)x + (2A + 2B + D)
=
.
(2x + 1)2 (x2 + 2x + 2)
() =
En comparant les numrateurs et parce que les dnominateurs sont les mmes, nous obtenons un syst`me
e
e
e
e
de quatre quations linaires ` quatre inconnues A, B, C, D:
e
e
a
2A
5A
6A
2A
+ 0B
+ 1B
+ 2B
+ 2B
+ 4C
+ 4C
+ 1C
+ 0C
+ 0D
+ 4D
+ 4D
+ 1D
= 6,
= 24,
= 21,
= 4.
Par limination, nous obtenons que ce syst`me a une seule solution: A = 1, B = 1, C = 1 et D = 4. En
e
e
dautres mots,
1
1
(x + 4)
(6x3 + 24x2 + 21x + 4)
=
+2
.
2 (x2 + 2x + 2)
2
(2x + 1)
(2x + 1) (2x + 1)
(x + 2x + 2)
Ainsi pour valuer lintgrale (6x3 + 24x2 + 21x + 4)/(4x4 + 12x3 + 17x2 + 10x + 2) dx, il nous faut donc
e
e
considrer les trois intgrales suivantes:
e
e
dx
,
(2x + 1)
dx
(2x + 1)2
et
(x + 4)
dx.
(x2 + 2x + 2)
Pour la premi`re de ces intgrales, nous avons
e
e
1
du
dx
=
o` u = 2x + 1,
u
(2x + 1)
2
u
1
1
= ln(|u|) + c = ln(|2x + 1|) + c ;
2
2
alors que pour la seconde de celles-ci, nous avons en utilisant la mme substitution
e
dx
1
=
2
(2x + 1)
2
=
du
u2
o` u = 2x + 1,
u
1
1
u1 + c =
+c .
(2)(1)
2(2x + 1)
Finalement pour la troisi`me de celles-ci, nous notons premi`rement
e
e
1
(x + 4)
dx =
(x2 + 2x + 2)
2
(2x + 2)
dx +
(x2 + 2x + 2)
3
dx.
(x2 + 2x + 2)
Il est bon dobserver que pour la premi`re intgrale du terme de droite de lquation, le numrateur est la
e
e
e
e
drive du dnominateur. De cette observation, nous obtenons que
ee
e
(2x + 2)
dx =
(x2 + 2x + 2)
du
u
o` u = x2 + 2x + 2
u
= ln(|u|) + c
56
= ln(|x2 + 2x + 2|) + c .
Alors que pour la seconde intgrale du terme de droite de lgalit, nous pouvons lintgrer en compltant le
e
e
e
e
e
carr. Plus prcisment,
e
ee
(x2
3
dx =
+ 2x + 2)
=
3
dx =
+ 2x + 1 + 1)
3 du
o` u = x + 1
u
(u2 + 1)
(x2
= 3 arctan(u) + c
3
dx
((x + 1)2 + 1)
= 3 arctan(x + 1) + c .
De tout ce qui prc`de, nous obtenons alors
ee
(4x5 + 12x4 + 23x3 + 34x2 + 23x + 4)
1
1
1
dx = x2 + ln(|2x + 1|) +
4 + 12x3 + 17x2 + 10x + 2)
(4x
2
2
2(2x + 1)
1
2
+ ln(|x + 2x + 2|) + 3 arctan(x + 1) + c.
2
Cet exemple illustre bien ce quil faut faire pour valuer ce type dintgrale. Trouver lintgrale indnie
e
e
e
e
dune fonction est un probl`me plus dicile que celui de calculer la drive dune fonction. Dans certains
e
ee
cas, il est impossible dexprimer la primitive en termes de fonctions usuelles; par exemple exp(x2 ) dx est
une telle primitive. Mais dans ce derniers cas, il existe tout de mme des tables pour calculer lintgrale
e
e
b
dnie a exp(x2 ) dx quelque soient a, b R.
e
Exercice 7.1:
Calculer les intgrales dnies suivantes:
e
e
a)
23
(x
1
c)
2
0
5x/(2x2 + 1)2 dx;
d)
3
0
x2 ex dx;
e)
4
2
1/(x 1)(x + 1) dx;
f)
1
1/2
4x1 + 5x2 ) dx;
1
b) 0 x3 1 + x2 dx;
1/(4x2 + 4x + 10) dx.
Exercice 7.2:
Calculer les intgrales indnies suivantes:
e
e
a)
cos(x) sin(x) dx;
b)
sin2 (x) dx;
c)
arctan(x) dx;
d) (x 4)/(x2 5x + 6) dx;
e) x5 / 1 + x2 dx;
f)
cos(3x) sin(x) dx.
57
Exercice 7.3:
En utilisant la subdivision de lintervalle [0, 1] en n sous-intervalles gaux et en prenant pour xi le point
e
n
le plus ` droite du i-i`me sous-intervalle, calculer la somme de Riemann i=1 f (xi ) i , ainsi que la limite
a
e
n
limn i=1 f (xi ) i pour les deux fonctions suivantes en sachant que
n
i=
i=1
n(n + 1)
2
n
i2 =
et
i=1
a) f (x) = x
b) f (x) = x2
58
n(n + 1)(2n + 1)
:
6