8
Intgrales CHAPITRE doubles.
e
Dans ce chapitre, nous dnirons lintgrale double dune fonction f (x, y ) sur une rgion borne du plan
e
e
e
e
et nous prsenterons quelques-unes de ces proprits. Ensuite nous verrons comment calculer ces intgrales
e
ee
e
au moyen dintgrales itres. Nous conclurons ce chapitre en discutant des coordonnes polaires et du
e
ee
e
thor`me de changement de variables pour lintgrale double dans ce cas particulier.
ee
e
Soient R, une rgion borne de R2 , cest-`-dire que R est contenue dans un rectangle susamment
e
e
a
grand, et f (x, y ), une fonction dnie et borne sur R. On dnit lintgrale de f (x, y ) sur R, que lon note
e
e
e
e
f (x, y ) dx dy
R
comme tant la limite
e
n
f (xi , yi ) Ai ,
lim
n
max{i |1in}0
i=1
pour laquelle nous considrons toutes les subdivisions de la rgion R en n sous-rgions: R1 , R2 , . . . , Rn , dont
e
e
e
le diam`tre de Ri , cest-`-dire la distance maximale entre deux points quelconques de Ri , est not i , en y
e
a
e
laissant n, le nombre de ces sous-rgions devenir de plus en plus grand et le maximum max{i |1 i n}
e
des diam`tres de ces sous-rgions devenir de plus en plus pr`s de zro; de plus dans cette dnition, (xi , yi )
e
e
e
e
e
peut tre nimporte quel point de Ri et Ai est laire de la sous-rgion Ri .
e
e
Cette limite nexiste pas toujours. Cependant si R est une rgion borne, f (x, y ) est continue sur R et
e
e
que le bord de R consiste en une runion nie de courbes continment drivables, alors lintgrale double
e
u
e
e
f (x, y ) dx dy existe. Dans ce dernier cas, il est possible dinterprter lintgrale double comme le volume
e
e
R
sign de la rgion de R3 comprise entre le graphe de f (x, y ) et R, la partie au-dessus du plan des x, y
e
e
correspondant ` un volume positif, la partie au-dessous du plan des x, y correspondant ` un volume ngatif.
a
a
e
Nous avons illustr ceci dans la gure 8.1 ci-dessous.
e
f(x, y)
y
x
figure 8.1
59
Nous allons maintenant numrer quelques-unes des proprites des intgrales doubles dans la proposition
e
e
e
e
ci-dessous. Elle est dmontre en utilisant la dnition de lintgrale double.
e
e
e
e
Proposition 8.1:
Soient R, R, deux rgions de R2 telles que lintersection R R de celles-ci est contenue dans les bords de
e
R et de R. Soient f (x, y ), g (x, y ) deux fonctions relles et a, b deux nombres rels. Alors:
e
e
a) (r`gle linaire) R (a f (x, y ) + b g (x, y )) dx dy = a R f (x, y ) dx dy + b R g (x, y )) dx dy
e
e
b) RR f (x, y ) dx dy = R f (x, y ) dx dy + R f (x, y ) dx dy
si ces intgrales existent.
e
Exemple 8.1:
Soient a, b, c trois nombres positifs, la rgion rectangulaire R = {(x, y ) R2 | 0 x a, 0 y b} et la
e
fonction constante f (x, y ) = c. Alors
f (x, y ) dx dy =
R
c = abc
R
car abc est le volume du paralllipip`de rectangle trac dans la gure 8.2.
e
e
e
Exemple 8.2:
Soient la rgion trianglaire R = {(x, y ) R2 | 0 x, y 1 et 0 (1 x y )} et la fonction continue
e
f (x, y ) = 1 x y . La rgion R est illustre dans la gure 8.3. Alors
e
e
(1 x y ) dx dy,
f (x, y ) dx dy =
R
R
= volume du ttra`dre T dont les sommets sont (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1),
ee
= (1/6);
car si nous notons par V le volume du ttra`dre T , alors nous pouvons observer que le cube dont les
ee
artes mesurent 1 se dcompose en quatre ttra`dres: ABDE, BCDG, DEGH et BEFG (avec les notations
e
e
ee
de la gure 8.5) congrus ` T et dun ttra`dre rgulier BDEG dont les artes mesurent 2. Le volume
a
ee
e
e
dun ttra`dre rgulier est connu et dans le cas prsent ce volume est (1/3). Donc nous avons lgalit
ee
e
e
e
e
4V + (1/3) = 1, le volume du cube et consquemment le volume V du ttra`dre T est V = 1/6. Nous avons
e
ee
aussi reprsent le ttra`dre T ` la gure 8.4.
e
e
ee
a
c
y
1
b
droite d'quation
x+y=1
y
a
x
1
figure 8.2
figure 8.3
x
Exemple 8.3:
Soient la rgion R correspondant ` lintrieur du cercle de rayon 1 centr ` lorigine dans R2 , cest-`-dire
e
a
e
ea
a
60
R = {(x, y ) R2 |
x2 + y 2 1} et la fonction continue f (x, y ) = x. Alors
f (x, y ) dx dy =
x dx dy = 0,
R
R
car
n
f (x, y ) dx dy =
R
lim
n
f (xi , yi ) Ai
max{i |1in}0
i=1
et on peut considrer des subdivisions de R en sous-rgions telles que la rexion par rapport ` laxe des
e
e
e
a
y de la i-i`me rgion est aussi une sous-rgion de notre subdivision et de choisir les points (xi , yi ) de telle
e
e
e
faon que si (xi , yi ) est le point de la i-i`me rgion et (xi , yi ) celui de la sous-rgion obtenue ` la suite de la
c
e
e
e
a
rexion par rapport ` laxe des y , alors (xi , yi ) est le rsultat de cette rexion sur le point (xi , yi ). Plus
e
a
e
e
prcisment (xi , yi ) = (xi , yi ). En utilisant une dcomposition du demi-disque R+ = {(x, y ) R | x 0}
ee
e
et la dcomposition du demi-disque R = {(x, y ) R | x 0} obtenue ` la suite de la rexion par rapport
e
a
e
a
` laxe des y de la dcomposition prcdente de R+ . Nous avons
e
ee
f (xi , yi ) Ai =
f (xi , yi ) Ai .
i
i
dcomposition de R+
e
dcomposition de R
e
Donc
f (xi , yi ) Ai
+
f (xi , yi ) Ai = 0
i
dcomposition de R+
e
x dx dy = 0.
R
dcomposition de R
e
z
H
Plan d'quation
z=1-x-y
E
G
F
D
y
x
et
i
A
figure 8.4
C
B
figure 8.5
Exemple 8.4:
Si R est une rgion borne de R2 dont le bord consiste en une runion nie de courbes continment
e
e
e
u
direntiables, alors
e
dx dy = aire de R.
R
Ceci est vrai ` cause de la dnition mme de lintgrale double. En eet,
a
e
e
e
n
dx dy =
R
lim
n
max{i |1in}0
Ai
i=1
= somme des aires des sous-rgions
e
= aire de R.
61
La fonction que nous intgrons dans cet exemple est la fonction constante f (x, y ) = 1.
e
Pour valuer toutes les intgrales doubles dans les exemples prcdents, nous navons utiliser que des
e
e
ee
mthodes adaptes ` chaque cas, mais qui ne sont pas gnrales. Nous allons maintenant dcrire comment
e
ea
ee
e
valuer une intgrale double pour des rgions de certains types au moyen dintgrales itres. Pour une rgion
e
e
e
e
ee
e
quelconque, il sut alors de la dcouper en rgions sur lesquelles nous pouvons eectuer des intgrales itres
e
e
e
ee
et dutiliser la proposition 8.1 b).
Proposition 8.2:
a) Si la rgion R est la rgion borne ` gauche par la droite verticale dquation x = a, ` droite par celle
e
e
ea
e
a
dquation x = b, suprieurement par le graphe de la fonction y = g2 (x) et infrieurement par celui de la
e
e
e
fonction y = g1 (x), cest-`-dire R = {(x, y ) R2 | a x b, g1 (x) y g2 (x)}. Alors
a
b
g2 (x)
f (x, y ) dy dx
f (x, y ) dx dy =
R
a
g1 (x)
si ces intgrales existent et o` il faut considrer x comme une constante dans lintgrale
e
u
e
e
g 2 ( x)
f (x, y ) dy
g1 (x)
et que lon int`gre par rapport ` y . Le rsultat de cette derni`re intgrale est une fonction de x que lon
e
a
e
e
e
int`gre par rapport ` x sur lintervalle [a, b].
e
a
b) Si la rgion R est la rgion borne suprieurement par la droite horizontale dquation y = d, infrieurement
e
e
e
e
e
e
par celle dquation y = c, borne ` gauche par le graphe de la fonction (de y ) x = h1 (y ) et ` droite par
e
ea
a
celui de la fonction (de y ) x = h2 (y ), cest-`-dire R = {(x, y ) R2 | c y d, h1 (y ) x h2 (y )}. Alors
a
d
h2 (y )
f (x, y ) dx dy =
R
f (x, y ) dx dy
c
h1 (y )
si ces intgrales existent et o` il faut considrer y comme une constante dans lintgrale
e
u
e
e
h2 (y )
f (x, y ) dx
h1 (y )
et que lon int`gre par rapport ` x. Le rsultat de cette derni`re intgrale est une fonction de y que lon
e
a
e
e
e
int`gre par rapport ` y sur lintervalle [c, d].
e
a
Nous avons illustr dans la gure 8.6 chacun de ces cas: a) et b).
e
courbe
d'quation
y = g2(x)
y
a
courbe
d
d'quation
x = h1(y)
courbe
d'quation
y = g1(x)
y
courbe
d'quation
x = h2(y)
c
bx
figure 8.6 (a)
figure 8.6 (b)
x
Esquisse de la preuve: Nous nallons dmontrer que lnonc a) de la proposition. b) peut tre dmontr
e
e
e
e
e
e
de faon analogue. Notons par h(x) lintgrale
c
e
g2 (x)
f (x, y ) dy.
g1 (x)
62
Pour calculer lintgrale
e
b
a
h(x) dx, il faut valuer la limite
e
n
h(xi ) (ai ai1 )
lim
n
max{ai ai1 |1in}0
()
i=1
pour laquelle nous considrons toutes les subdivisions de lintervalle [a, b] : a = a0 < a1 < a2 < . . . < an1 <
e
an = b. Pour calculer
g2 (xi )
h(xi ) =
f (xi , y ) dy,
g1 (xi )
il faut valuer la limite
e
mi
f (xi , yj )(cj cj 1 )
lim
m
i
max{cj cj 1 |1j mi }0
j =1
pour laquelle nous considrons toutes les subdivisions de lintervalle [g1 (xi ), g2 (xi )]. En remplacant dans (),
e
nous obtenons
mi
n
() =
lim
n
f (xi , yj )(cj cj 1 ) (ai ai1 ).
lim
m
max{ai ai1 |1in}0
i
max{cj cj 1 |1j mi }0
i=1
j =1
Mais le produit cartsien des subdivisions de [a, b] et [g1 (xi ), g2 (xi )] nous permet de construire une subdie
vision de R et il est alors possible de vrier que
e
N
() =
f (xi , yi ) Ai ,
lim
N
max{i |1iN }0
i=1
pour laquelle nous considrons toutes les subdivisions de la rgion R en N sous-rgions: R1 , R2 , . . . , RN , en
e
e
e
y laissant N , le nombre de ces sous-rgions devenir de plus en plus grand et le maximum max{i |1 i N }
e
des diam`tres de ces sous-rgions devenir de plus en plus pr`s de zro. On a bien
e
e
e
e
b
h(x) dx =
a
f (x, y ) dx dy.
R
Ainsi a) est dmontr.
e
e
Exemple 8.5:
Nous allons reprendre lintgrale de lexemple 8.2. Dans ce cas, nous avons que R = {(x, y ) R2 | 0 x
e
1, 0 y 1 x}, cest-`-dire lintrieur du triangle de sommets:(0, 0), (1, 0) et (0, 1). En dautres mots, nous
a
e
sommes dans la situation de la proposition 8. 2 a) avec a = 0,b = 1, g1 (x) = 0 et g2 (x) = 1 x. Nous avons
reprsent R ` la gure 8.7. Nous obtenons donc
e
ea
1x
1
(1 x y ) dx dy =
R
1
(1 x y ) dy dx =
0
0
0
1
(1 x)(1 x)
=
0
1
=
0
1
=
2
(1 x)y
(1 x)2
2
(1 x) 0
(1 2x + x2 )
1
2x2
x3
dx =
x
+
2
2
2
3
1
02
03
11+
02
+
3
2
3
63
1
=.
6
x=1
x=0
y2
2
02
2
y =1x
dx
y =0
dx
y
1
droite d'quation x + y = 1
x
1
figure 8.7
Exemple 8.6:
Soit R, la rgion dans le premier quadrant comprise entre les deux paraboles respectivement dquation
e
e
y = 2x2 et y = x2 et sous la droite horizontale dquation y = 1. Ainsi R = {(x, y ) R2 | 0 y
e
1, y /2 x y }. Nous sommes dans la situation de la proposition 8.2 b) avec c = 0, d = 1, h1 (y ) = y /2
e
e
ea
et h2 (y ) = y . Nous avons reprsent R comme la gure hachure ` la gure 8.8.
droite d'quation y = 1
1
y
parabole d'quation
y = 2x 2
0.8
0.6
0.4
parabole d'quation
y = x2
0.2
0
0.2
0.4
0.6
figure 8.8
0.8
Pour obtenir ces deux derni`res bornes, nous notons pour celle de gauche que
e
y = 2x2
x2 =
y
2
x=
alors que, pour celle de droite, nous avons
y = x2
64
x=
y,
y
;
2
x
1
car x 0 dans ces deux cas. De tout ceci, nous obtenons
1
(x + y ) dx dy =
y
1
(x + y ) dx dy =
R
y/2
0
1
=
0
1
=
0
0
x= y
x2
+ xy
2
dy
x=
y/2
( y )2
( y /2)2
+ yy
+ y /2 y dy
2
2
y (2 2) 3/2
y2
(2 2) 2 5/2
+
y dy =
+
y
4
2
8
2
5
y =1
y =0
(21 8 2)
.
=
40
Noter que nous aurions pu valuer lintgrale ci-dessus comme la somme de deux intgrales itres, chacune
e
e
e
ee
correspondant ` la situation de proposition la 8.2 a). Plus exactement,
a
(x + y ) dx dy
(x + y ) dx dy +
(x + y ) dx dy =
R2
R1
R
dans lesquelles R1 = {(x, y ) R2 | 0 x 2/2, x2 y 2x2 } et R2 = {(x, y ) R2 | 2/2 x
1, x2 y 1}. Nous avons reprsent ces rgions dans la gure 8.9.
e
e
e
y=1
1
y
0.8
y=1
1
y
0.8
y = 2x 2
y = 2x2
0.6
0.6
0.4
y=
0.2
0.2
0
0.4
0.6
0.4
x2
0.8 x 1
R1
y = x2
0.2
0.2
0
0.4
0.6
0.8 x 1
R2
figure 8.9
Consquemment
e
(x + y ) dx dy =
(x + y ) dx dy +
R
R1
2/2
(x + y ) dx dy
R2
2x2
=
1
(x + y ) dy dx +
0
x2
1
(x + y ) dy dx.
2/2
x2
Nous laissons au lecteur le soin de calculer ces deux intgrales itres.
e
ee
Exemple 8.7:
Soit R, la rgion de R2 dans le premier quadrant ` lextrieur du cercle centr ` lorigine de rayon 1 et `
e
a
e
ea
a
lintrieur de celui centr ` lorigine de rayon 2. Ainsi R = {(x, y ) R2 | 0 x, 0 y et 1 x2 + y 2 4}.
e
ea
Nous avons reprsent R ` la gure 8.10.
e
ea
65
y
arc du cercle d'quation
x2 + y2 = 4
2
1
arc du cercle d'quation
x2 + y2 = 1
2
1
figure 8.10
x
Pour valuer lintgrale R x dx dy , il est ncessaire de dcomposer la rgion R en deux rgions pour
e
e
e
e
e
e
lesquels nous pouvons utiliser la proposition 8.2. Nous pouvons considrer la dcomposition suivante:R =
e
e
R1 R2 avec
R1 = {(x, y ) R2 | 0 y 1, 1 y 2 x 4 y 2 } et
R2 = {(x, y ) R2 | 1 y 2, 0 x
4 y 2 }.
Nous avons reprsent R1 et R2 ` la gure 8.11.
e
e
a
y
y
x2 + y 2 = 4
2
y=1
x2 + y 2 = 1
y=1
1
1
R1
x2 + y 2 = 1
x
2
figure 8.11
1
x dx dy =
x dx dy +
R1
1
=
0
1
=
0
1
=
0
x2
2
x=
x=
x dx dy =
R2
0
4y 2
2
dy +
1
1y 2
4 y2
1 y2
2
2
x=
x2
2
x
2
R2
4y 2
2
x dx dy
x dx dy +
1y 2
0
1
4y 2
dy
2
2
dy +
1
dy +
1
( 4 y 2 )2
02
2
2
4 y2
dy =
2
1
0
3
dy +
2
2
2
1
3 y =2
=
3
y
2
=
3
3
(1) (0) +
2
2
+ 2y
y =0
y
6
y =1
2 (2)
4y 2
x=0
( 1 y 2 )2
( 4 y 2 )2
2
2
y =1
1
1
De tout ceci, nous obtenons
R
x2 + y 2 = 4
2
23
6
2 (1)
13
6
=
7
.
3
Nous aurions pu considrer une autre dcompositon: R = R1 R2 avec
e
e
R1 = {(x, y ) R2 | 0 x 1,
1 x2 y
R2 = {(x, y ) R2 | 1 x 2, 0 y
66
4 x2 }
4 x2 }.
et
dy
y2
dy
2
et nous aurions alors
1
x dx dy =
R
0
4x2
2
4x2
x dy dx +
1x2
x dy dx.
1
0
Nous avons reprsent R1 et R2 ` la gure 8.12.
e
e
a
y
2
1
R'
1
x=1
1
x2 + y 2 = 1
x
2
x2 + y 2 = 4
2
x=1
1
x2 + y 2= 1
y
x2 + y 2 = 4
figure 8.12
1
R'
2
2
x
Lexemple prcdent illustre bien comment procder en gnral. Il sut seulement dcomposer la rgion
ee
e
ee
e
e
dintgration R en rgions sur lesquelles nous pouvons utiliser la proposition 8.2.
e
e
Il y a plusieurs faons de dcrire les points du plan. Parmi tous ces syst`mes de coordonnes, cest
c
e
e
e
une litote que de dire que les coordonnes polaires sont non ngligeables. Nous discuterons donc de ces
e
e
coordonnes polaires, ainsi que du thor`me de changement de coordonnes pour les intgrales doubles dans
e
ee
e
e
le cas du changement des coordonnes cartsiennes aux coordonnes polaires.
e
e
e
Au point (x, y ) du plan R2 , nous pouvons lui associer ses coordonnes polaires (r, ) pour lesquelles r est
e
la distance entre le point (x, y ) et lorigine (0, 0) alors que est la mesure (dans le sens inverse des aiguilles
dune montre) de langle form par la demi-droite des x positifs et la demi-droite commenant ` lorigine et
e
c
a
passant par le point (x, y ). Ainsi nous avons 0 r et 0 < 2 . Les changements de coordonnes sont les
e
suivants:
x = r cos()
r = x2 + y 2
et
y = r sin()
= arctan(y/x).
Ceci est une consquence simple de la dnition de r et . Nous avons reprsent ceci ` la gure 8.13.
e
e
e
e
a
y
(x, y)
r
q
figure 8.13
x
Nous dcrirons dans un chapitre ultrieur le thor`me gnral pour un changement quelconque de
e
e
ee
ee
syst`mes de coordonnes. Prsentement nous nous limiterons au changement de coordonnes cartsiennes
e
e
e
e
e
aux coordonnes polaires.
e
Proposition 8.3:
Soient R, une rgion du plan des x, y , R = {(r, ) [0, ) [0, 2 ) | (r cos(), r sin()) R}, la rgion
e
e
67
correspondante dans les coordonnes r, et f : R R une fonction relle telle que lintgrale double
e
e
e
f (x, y ) dx dy existe. Alors lintgrale double R f (r cos(), r sin()) r dr d existe et nous avons
e
R
f (x, y ) dx dy =
R
Preuve: Pour dterminer si
e
f (r cos(), r sin()) r dr d.
R
f (r cos(), r sin())r dr d existe, il nous faut considrer la limite
e
R
n
lim
n
f (ri cos(i ), ri sin(i )) ri (ri ) (i ),
max{i |1in}0
i=1
pour laquelle nous considrons toutes les subdivisions de R en n sous-rgions. Voir la gure 8.14.
e
e
q
y
i -ime sous- rgion
i -ime sous-rgion
correspondante
R
R'
r
x
figure 8.14
A chacune de ces subdivisions de R, nous obtenons une subdivision de R en utilisant le changement de
variables:x = r cos(), y = r sin(). A la i-i`me sous-rgion de la subdivision de R, la rgion correspondante
e
e
e
dans R est comme dans la gure 8.15. Laire de cette petite rgion hachure sera ri (i ) (ri ). Parce
e
e
que R f (x, y ) dx dy existe et par la dnition de lintgrale, nous avons
e
e
n
f (ri cos(i ), ri sin(i )) ri (ri ) (i ) =
lim
n
max{i |1in}0
f (x, y ) dx dy.
R
i=1
Consquemment
e
f (x, y ) dx dy =
R
f (r cos(), r sin()) r dr d.
R
y
aire de cette rgion
est r Dqi Dr
i
i
longueur de ce
ct est r Dqi
i
Dqi
Dr
i
r
i
figure 8.15
68
x
Nous allons maintenant illustrer comment cette proposition peut tre utilise. Le premier exemple est
e
e
tr`s simple et les suivants sont un peu plus diciles.
e
Exemple 8.8:
Soit R, lintrieur du cercle de rayon 1 centr ` lorigine. Alors nous savons ` cause de lexemple 8.4 que
e
ea
a
dx dy = aire de R = .
R
Vrions que cest bien ce que nous obtenons au moyen de la proposition 8.3. La rgion R correspondant `
e
e
a
R est R = {(r, ) | 0 r 1, 0 2 }. Donc
R
r
r d dr =
r dr d =
0
0
0
R
=2
1
2
1
dx dy =
1
2r dr =
dr =
0
=0
2r2
2
r =1
= .
r =0
Exemple 8.9:
Calculons lintgrale de lexemple 8.7 en utilisant les coordonnes polaires. Rappelons que R = {(x, y )
e
e
R2 | 0 x, 0 y, 1 x2 + y 2 4}. La rgion R correspondant ` R dans le plan des coordonnes polaires
e
a
e
sera R = {(r, ) | 0 /2, 1 r 2}. Donc de la proposition 8.3, nous obtenons
/2
x dx dy =
R
R
/2
=
0
=
2
r2 cos() dr d
(r cos()) r dr d =
7
3
0
r3
cos()
3
r =2
/2
d =
0
r =1
/2
cos() d =
0
1
7
sin()
3
23
13
cos()
cos() d
3
3
=/2
=
=0
7
7
(1 0) = .
3
3
Exemple 8.10:
Soit D la rgion du premier quadrant ` lintrieur du cercle centr ` lorigine de rayon R > 0 et dans le
e
a
e
ea
demi-plan ne contenant pas lorigine et dont le bord est la droite passant par les points (0, R) et (R, 0). En
dautres mots, D = {(x, y ) R2 | x2 + y 2 R2 , R (x + y )}. Nous allons maintenant valuer lintgrale
e
e
(x + y )/(x2 + y 2 ) dx dy en utilisant les coordonnes polaires. Dterminons premi`rement la rgion D
e
e
e
e
D
correspondant ` D dans les coordonnes polaires. Nous avons reprsent la rgion D dans la gure 8.16.
a
e
e
e
e
x2 + y 2 = R2
R
R
x+y=R
figure 8.16
De cette gure, nous avons clairement 0 /2. Pour un x entre 0 et /2, alors la borne
e
infrieure rmin pour les valeurs de r est dtermine par la droite dquation x + y = R. Nous obtenons alors
e
e
e
e
pour cette borne
R
r cos() + r sin() = R
rmin =
.
(cos() + sin())
Donc
D=
(r, ) 0 /2,
R
rR
(cos() + sin())
69
.
De la proposition 8.3, nous obtenons
D
(x + y )
dx dy =
(x2 + y 2 )
D
/2
(r cos() + r sin())
r dr d
((r cos())2 + (r sin())2 )
R
(cos() + sin()) dr d
=
R/(cos( )+sin( ))
0
r =R
/2
(cos() + sin())r
=
d
R
r = (cos()+sin())
0
/2
(cos() + sin())R (cos() + sin())
=
0
R
(cos() + sin())
=/2
/2
R(cos() + sin() 1) d =
=
d
R sin() R cos() R
0
=0
R.
= (R(1) R(0) R(/2)) (R(0) R(1) R(0)) = 2
2
Pour terminer ce chapitre, nous indiquons des notations utilises pour certaines intgrales doubles.
e
e
b
d
bd
b
d
f (x, y ) dx dy signie a c f (x, y ) dx dy , alors que a c f (x, y ) dy dx signie a c f (x, y ) dy dx.
bd
ac
Ces deux intgrales sont en gnral direntes. Certains auteurs crivent lintgrale
e
ee
e
e
e
sous la forme
b
a
dx
g2 (x)
g 1 ( x)
lordre dintgration. De
e
ou encore
d h2 (y )
c h1 (y )
b
a
b g (x)
f (x, y ) dy ou encore a g12(x) f (x, y ) dy dx dans laquelle
d
h (y )
d
mme, ils crivent c h12(y) f (x, y ) dx dy sous la forme c
e
e
g2 (x)
g1 (x)
f (x, y ) dy dx
lordre dy dx indique
dy
h2 (y )
h1 (y )
f (x, y ) dx
f (x, y ) dx dy .
Exercice 8.1:
Evaluer chacune des intgrales doubles suivantes:
e
a)
R
(x + y ) dx dy o` R est lintrieur du triangle dont les sommets sont (0, 1), (2, 5) et (2, 7),
u
e
b) R (xy ) dx dy o` R est la rgion du plan comprise ` lintrieur des deux paraboles respectivement
u
e
a
e
dquation y = x2 et y = x2 + 4x,
e
c)
x dx dy o` R est lintrieur du quadrilat`re dont les sommets sont (0, 1), (5, 1), (3, 1) et (2, 1),
u
e
e
R
d) R x2 y dx dy o` R est la rgion du plan ` lintrieur du cercle centr ` lorigine de rayon 1 et au-dessus
u
e
a
e
ea
de la droite horizontale dquation y = 1/2,
e
e)
y dx dy o` R est lintrieur du triangle ayant pour sommets (0, 0), (2, 4) et (3, 2),
u
e
R
f)
35x
e xy 2
12
g)
462
(x
12
h)
R
dx dy ,
+ xy ) dy dx,
(x + 2y ) dx dy o` R = {(x, y ) R2 | x2 y (4 2x x2 )},
u
i)
R
x2 y dx dy o` R = {(x, y ) R2 | x2 y ((3/2) x + (x2 /2)},
u
j)
R
1/(x + y )3 dx dy o` R = {(x, y ) R2 | x, y 1, x + y 3},
u
70
Exercice 8.2:
Ci-dessous a dnotera un nombre rel positif (a > 0). Evaluer chacune des intgrales doubles suivantes:
e
e
e
a) R xy dx dy o` R est la rgion du plan ` lintrieur du cercle de rayon 2 centr ` lorigine et dans le
u
e
a
e
ea
premier quadrant,
b)
R
(x2 + y 2 ) dx dy o` R = {(x, y ) R2 | 1 x2 + y 2 2, 0 y },
u
c)
R
y 2 dx dy o` R est la rgion du plan a lintrieur du cercle de rayon 1 centr au point (0, 1),
u
e
`
e
e
d)
R
y
e)
R
xy dx dy o` R = {(x, y ) R2 | (x 1)2 + y 2 1, 0 y x},
u
f)
R
g)
R
x dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | (x + 1)2 + y 2 1},
u
h)
R
y/(a2 + x2 ) dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | x2 + y 2 a2 , x, y 0},
u
i)
R
x2 + y 2 dx dy o` R = {(x, y ) R2 | 4 x2 + y 2 , x2 + 4y 2 16, 0 y },
u
(xy y 2 ) dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | 0 y, x2 + y 2 a2 },
u
1/(1 + x2 + y 2 )2 dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | x2 + y 2 1}.
u
Exercice 8.3:
Evaluer chacune des intgrales doubles suivantes:
e
a)
R
|x + y | dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | |x| < 1, |y | < 1},
u
b)
R
xy/(1 + x2 + y 2 ) dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | 0 x 1, 0 y 1, x2 + y 2 1}.
u
Exercice 8.4:
Pour tout nombre rel r > 0, posons
e
D(r) = {(x, y ) R2 | x 0, y 0, x2 + y 2 r2 }
a) Calculer I (r) =
D (r )
et
C (r) = {(x, y ) R2 | 0 x r, 0 y r}.
cos(x2 + y 2 ) dx dy .
b) () Montrer que limr J (r) existe o` J (r) =
u
C (r )
cos(x2 + y 2 ) dx dy .
c) Est-ce que limr I (r) = limr J (r)?
Exercice 8.5():
Evaluer lintgrale
e
nombre rel.
e
R
(x2 + y 2 ) dx dy , o` R = {(x, y ) R2 | x2 + y 2 2ax, x2 + y 2 2ay } et a est un
u
71