11
Applications CHAPITRE de lintgrale multiple.
e
Ce chapitre sera tr`s bref. Il existe un grand nombre dapplications de lintgrale multiple. Il sut de
e
e
penser aux notions desprance et de variance en probabilits ou encore des quations intgrales. Beaucoup
e
e
e
e
de ces applications seront discutes dans dautres cours. Ici nous nnumrerons que quelques-unes, surtout
e
e
e
relies ` la physique. Plusieurs quantits physiques peuvent tre exprimes comme des intgrales multiples.
ea
e
e
e
e
De tels expressions sont fondes sur la dnition de lintgrale comme la limite dune somme.
e
e
e
Si une quantit de mati`re est contenue dans une rgion R de R3 et (x, y, z ) est la densit par unit
e
e
e
e
e
e
e
de volume au point (x, y, z ), alors le centre de masse (x, y, z ) de celle-ci est dni au moyen dintgrales. En
a
physique, pour un syst`me de n particules, alors la composante x de ce centre par rapport ` laxe des x est
e
dnie par lquation
e
e
m1 x1 + m2 x2 + . . . + mn xn
m1 + m2 + . . . + mn
dans laquelle mi est la masse et xi est la coordonne par rapport ` laxe des x de la position de la i-i`me
e
a
e
e
c
e
e
e
u
particule. On dnit y et z de la mme faon. Si la quantit de mati`re est distribue continment dans
e
la rgion R et (x, y, z ) est la densit au point (x, y, z ), alors nous sommes amens ` dnir son centre de
e
e
eae
masse (x, y, z ) par
x=
x (x, y, z ) dx dy dz
,
(x, y, z ) dx dy dz
R
R
y (x, y, z ) dx dy dz
(x, y, z ) dx dy dz
R
R
y=
et z =
z (x, y, z ) dxdydz
.
(x, y, z ) dx dy dz
R
R
Il est aussi possible dans la situation prcdente de dcrire le moment dinertie par rapport ` un axe.
ee
e
a
Nous nous limiterons ` dcrire ce moment par rapport ` laxe des z . En physique, le moment dinertie dun
ae
a
syst`me de n particules par rapport ` un axe de rotation est dni par lquation
e
a
e
e
2
2
2
m1 r1 + m2 r2 + . . . + mn rn
dans laquelle mi est la masse et ri est la distance laxe ` donn de la i-i`me particule. Si la quantit de
a
e
e
e
mati`re est distribue continment dans la rgion R et (x, y, z ) est la densit au point (x, y, z ), alors le
e
e
u
e
e
moment dinertie I par rapport ` laxe des z comme axe de rotation sera
a
(x2 + y 2 ) (x, y, z ) dx dy dz.
I=
R
Ce moment dinertie permet de dcrire lnergie cintique dun corps rigide qui tourne autour dun axe avec
e
e
e
une vitesse angulaire comme I 2 /2.
Il y a une version 2-dimensionnelle du moment dinertie. Si R est une rgion de R2 et (x, y ) est la densit
e
e
par unit daire au point (x, y ). Alors son moment dinertie par rapport ` laxe des x est R y 2 (x, y ) dx dy .
e
a
Exercice 11.1:
Soient la rgion R ` lintrieur du ttra`dre dans R3 dont les sommets sont (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) et
e
a
e
ee
(0, 0, 1) et la fonction de densit (x, y, z ) = x + y + z . Dterminer le centre de masse de cette rgion.
e
e
e
97
Exercice 11.2:
Dterminer le moment dinertie par rapport ` laxe des z de la rgion R constitue des points de R3 tels que
e
a
e
e
z 0, (x2 + y 2 + z 2 ) 1 et 3z 2 (x2 + y 2 ).
Exercice 11.3:
a) Dterminer le moment dinertie par rapport ` laxe des z de la rgion R constitue des points de R3 tels
e
a
e
e
que 0 z H , (x2 + y 2 ) R2 .
b) Dterminer le moment dinertie par rapport ` laxe des z de la rgion R constitue des points de R3 tels
e
a
e
e
que H/2 y H/2, (x2 + z 2 ) R2 .
Exercice 11.4:
Soient a et b, deux nombres rels tels que 0 < a < b. Considrons le tore T engendr par la rotation du
e
e
e
cercle dquation (y b)2 + z 2 = a2 autour de laxe des z . Calculer la masse T (x, y, z ) dx dy dz de ce tore
e
en sachant que la densit est constante sur les cercles contenus dans des plans parall`les au plan des x, y et
e
e
dont les centres sont situs sur laxe des z et quen un point A, elle est proportionnelle ` la distance de A au
e
a
centre du mridien qui porte A.
e
98