AYRIK-ZAMANLI 2.0 SSTEMLER
Giri iaret ya da iaretleri zerinde nceden tanml birtakm ilemler yaptktan sonra k
iaret ya da iaretleri reten dzeneklere sistem ad verilmektedir. Ayrk zamanl iaretleri
ileyip yine ayrk zamanl iaret reten sistemlere de ayrk-zamanl sistemler denilmektedir.
ekil 2.1de ayrk-zamanl bir sistemin blok diyagram gsterilmektedir.
Ayrk-Zamanl
Sistem
x[n]
y[n]
ekil 2.1 Ayrk-zamanl bir sistemin blok diyagram eklinde gsterimi
Matematiksel olarak herhangi bir D sistemi,
D
x[n] y[n]
y[n] = D{x[n]}
veya
(2.1a)
(2.1b)
eklinde tanmlanmaktadr.
n, 3 n 3
rnek 2.1: Giri k bantlar aada verilen sistemlere x[n] =
giri
0, aksi taktirde
iareti uygulandnda kta elde edilecek iaretleri hesaplayalm.
(a) y[n] = x[n 1]
(b) y[n] =
n
x[k ] = x[n] + x[n 1] + x[n 2] + ...
k =
zm 2.1:
n 1, 3 n 1 3
n 1, 2 n 4
=
(a) y[n] = x[n 1] =
0, aksi taktirde
0, aksi taktirde
(b) y[n] =
n
x[k ] = x[n] + x[n 1] + x[n 2] + ...
k =
k iaretini (- , -3), [-3, 0), [0, 3) ve [3, ) aralklar iin ayr ayr hesaplayalm.
n
n
k =
k =
x[k ] = 0 = 0
< n < 3 y[ n] =
3 n < 0 y[n] =
n
x[k ] =
k = 3
n
k =
k = 3
3
k =
k = n
3.4 (n 1)(n) 12 n 2 n
=
2
2
2
25
0 n < 3 y[ n] =
n
x[k ] =
k = 3
n 3 y[n] =
n
x[k ] =
k = 3
0
n
k = 3
k =1
x[k ] + x[k ] =
3
n
k = 3
k =4
x[k ] + x[k ] =
3.4 n( n + 1) n 2 + n + 12
+
=
2
2
2
3
n
3
k = 3
k =4
k =1
k + 0 = 2 k = 2
3.4
= 12
2
[-3, 0) ve [0, 3) aralklarndaki zm birletirerek k iaretini,
< n < 3
0,
12 + sgn(n)(n 2 + n)
y[n] =
,
2
12,
3 n <3
n3
eklinde yazabiliriz. imdi de k iaretini MATLAB kullanarak n = [-10,10] aralnda
hesaplayalm.
% Giri iaretinin pozisyon vektr ve rnek deerleri.
n = -10:10;
x = [zeros(1,-3-n(1)) abs(-3:3) zeros(1,max(n)-3)];
N = length(x);
y = zeros(1,N);
% rnek says.
% k iaretini tanmla.
% k iaretini verilen bantaya gre hesapla.
for i = 1:N,
y(i) = sum(x(1:i));
end
Bu kod fragman altrldktan sonra k iareti,
y[n] = [...,0,0,0,0,0,0,0,3,5,6, 6,7,9,12,12,12,12,12,12,12,12,...]
olarak bulunur.
2.1 Ayrk-Zamanl Sistemlerin Blok Diyagramlarla Gsterilmesi
aret toplayc (Signal Adder) : aret toplayc, ayrk-zamanl iki giri iaretinin
toplamn hesaplayp k olarak veren bir sistemdir. Bir iaret toplaycnn blok diyagram
ekil 2.2de gsterilmektedir.
x1[n]
+
y[n]= x1[n] + x2[n]
x2[n]
ekil 2.2 aret toplayc
26
aret arpc (Signal Multiplier): aret arpc, ayrk-zamanl iki giri iaretinin
arpmn hesaplayp k olarak veren bir sistemdir. Bir iaret arpcnn blok diyagram
ekil 2.3te gsterilmektedir.
x1[n]
x
y[n]= x1[n]x2[n]
+
x2[n]
ekil 2.3 aret arpc
Sabit bir say ile arpan sistem : Sabit bir say ile arpan sistem, ayrk-zamanl bir giri
iaretini sabit bir say ile arpp k olarak veren bir dzenektir. Bu sistemin blok diyagram
ekil 2.4de gsterilmektedir.
x[n]
y[n]=Ax[n]
A
ekil 2.4 Sabit say ile arpan sistem
Birim geciktirici (Unit Delay): Birim geciktirici, ayrk-zamanl bir giri iaretini
zaman ekseninde bir birim geciktirip k olarak veren bir sistemdir. Birim geciktiricinin blok
diyagram ekil 2.5te gsterilmektedir.
x[n]
z -1
y[n]=x[n-1]
ekil 2.5 Birim geciktirici
Birim ilerletici (Unit Advance): Birim ilerletici, ayrk-zamanl bir giri iaretini zaman
ekseninde bir birim ilerletip k olarak veren bir sistemdir. Birim ilerleticinin blok diyagram
ekil 2.6da gsterilmektedir.
x[n]
z
y[n]=x[n+1]
ekil 2.6 Birim ilerletici
Herhangi bir ayrk-zamanl sistem yukarda verilen sistem elemanlar kullanlarak
gerekletirilebilmektedir.
rnek 2.2: Giri k bantlar aada verilen sistemlerin blok diyagramlarn izelim.
27
1
( x[n] + y[n 1])
2
1
1
(b) y[n] = x[n] + x[ n 1] + y[n 1]
2
4
(a) y[n] =
zm 2.2:
(a) Sistemin blok diyagram ekil 2.7de gsterilmektedir.
+
x[n]
y[n]
.5
z -1
ekil 2.7 y[n] =
1
( x[n] + y[n 1]) sisteminin blok diyagram
2
(b) Sistemin blok diyagram ekil 2.8de gsterilmektedir.
z -1
+
x[n]
+
.5
ekil 2.8 y[n] =
y[n]
z -1
.25
1
1
x[n] + x[ n 1] + y[n 1] sisteminin blok diyagram
2
4
2.2 Ayrk-Zamanl Sistemlerin Snflandrlmalar
Hafzasz (Static veya Memoryless) sistemler: Hafzasz sistemler, k iaretinin
deerinin giri iaretinin yalnzca o anki deerine bal olduu sistemlerdir. Hafzasz bir
sistemin k iareti,
y[n] = f ( x[ n])
(2.2)
eklinde x[n]ye bal bir fonksiyon olarak ifade edilebilmektedir. Yani, hafzasz bir sistemin
k hibir ekilde giri ve k iaretlerinin gemi ve gelecek deerlerine bal deildir.
Bu zelliinden dolay, hafzasz sistemlerin gerekletirilmesinde bir bellee ihtiya
duyulmamaktadr.
rnek 2.3: Giri k bantlar aada verilen sistemlerden hafzal olanlar tespit edelim.
28
(a) y[n] = 2 x[n]
(b) y[n] = 2 x[n 1]
M
(c) y[n] = x[n k ]
k =0
(d) y[n] = x[n] + 2 x 3 [n]
zm 2.3: (a) ve (d)de verilen sistemlerin k yalnzca x[n]ye bal olduu iin bu
sistemler hafzaszdr. (b) ve (c)'de verilen sistemlerin k ise giri iaretinin gemi
deerlerine bal olduu iin, bu sistemler hafzaldr.
Zamanla-deimez (Time-invariant-TI) sistemler : Zamanla-deimez sistemler, girik karakteristii zamanla deimeyen sistemlerdir. Bir baka ifadeyle, x[n] girii iin y[n]
k veren bir sistem, x[n-k] girii iin y[n-k] k veriyorsa, zamanla-deimez bir
sistemdir. Matematiksel olarak zamanla deimez bir D sistemi,
D{x[n]} = y[n]
D{x[n k ]} = y[n k ]
(2.3)
eklinde tanmlanmaktadr.
rnek 2.4: Giri k bantlar aada verilen sistemlerden zamanla-deimez olanlar
tespit edelim.
(a) y[n] = 2 x[n] + x[n 1]
(b) y[n] = ax[n] + bx 2 [n]
(c) y[n] = f (n) x[n]
zm 2.4:
(a) Bu sisteme x[n-k] giri iareti uygunlanrsa,
D{x[n k ]} = 2 x[n k ] + x[n k 1]
k elde edilir. Giri k bantsndan y[n-k],
y[n k ] = 2 x[n k ] + x[n k 1]
olarak bulunur. D{x[n-k]} = y[n-k] olduundan bu sistem zamanla-deimez bir sistemdir.
(b) Bu sisteme x[n-k] giri iareti uygunlanrsa,
D{x[n k ]} = ax[n k ] + bx 2 [n k ]
k elde edilir. Giri k bantsndan y[n-k],
y[n k ] = ax[n k ] + bx 2 [n k ]
29
olarak bulunur. D{x[n-k]} = y[n-k] olduundan bu sistem zamanla-deimez bir sistemdir.
(c) Bu sisteme x[n-k] giri iareti uygunlanrsa,
D{x[n k ]} = f (n) x[n k ]
k elde edilir. Giri k bantsndan y[n-k],
y[n k ] = f (n k ) x[n k ]
olarak bulunur. D{x[n-k]} y[n-k] olduundan bu sistem zamanla-deien bir sistemdir.
Dorusal (Lineer) sistemler: Bir sistemin, sistemlerin en nemli zelliklerinden biri
olan dorusallk zelliine sahip olabilmesi iin sperpozisyon (superposition) ilkesini
salamas gerekmektedir. Sperpozisyon ilkesi
D{x1[ n]} = y1[n]
D{x2 [ n]} = y 2 [n]
ise
D{ax1[n] + bx2 [n]} = aD{x1[n]} + bD{x2 [n]} = ay1[n] + by 2 [n]
(2.4)
eklinde tanmlanmaktadr. Yani, dorusal ya da lineer bir sisteme iki veya daha fazla
iaretinin lineer kombinazyonu giri olarak uygulanrsa, kta elde edilecek iaret, bu
sistemin iaretlere ayr ayr verecei kn ayn lineer kombinazyonuna eittir. Bu ilkeyi
leklenebilirlik (scaling property) ve toplanabilirlik (additive property) olmak zere iki ayr
zellie blmek mmkndr. leklenebilirlik zellii,
D{x1[ n]} = y1[n]
D{ax1[n]} = a D{x1[n]} = ay1[n]
(2.5)
eklinde tanmlanmaktadr. Toplanabilirlik zellii de,
D{x1[n]} = y1[n] ve D{x2 [n]} = y 2 [n]
D{x1[n] + x2 [n]} = D{x1[n]} + D{x2 [n]} = y1[n] + y 2 [n]
(2.6)
eklinde tanmlanmaktadr. Bir sistemin lineer olabilmesi iin bu iki zellii salamas
gerekmektedir. Lineer sistemlere bir giri uygulanmad taktirde kta bir iaret
olumamaktadr. Yani, lineer bir sistem x[n]=0 girii iin y[n]=0 k vermektedir.
rnek 2.5: Giri k bantlar aada verilen sistemlerden lineer olanlar tespit edelim.
(a) y[n] = (n + 1) x[n]
(b) y[n] = ax[n] + b, b 0
(c) y[n] = 2 x[n] + x[n 2 ]
(d) y[n] = x[n] + 2 x 2 [n]
30
zm 2.5:
(a) Bu sistemin x1[n] ve x2[n] giri iaretleri karsnda srasyla y1[n] ve y2[n] k iaretlerini
rettiini varsayalm.
y1[n] = (n + 1) x1[n]
y 2 [n] = (n + 1) x2 [n]
imdi bu sistemin ax1[n]+bx2[n] iareti karsnda verecei k bulalm.
D{ax1[n] + bx2 [n]} = (n + 1)(ax1[n] + bx2 [n]) = a( n + 1) x1[n] + b(n + 1) x2 [n]
= ay1[ n] + by 2 [n]
O halde, bu sistem sperpozisyon ilkesini salad iin lineer bir sistemdir.
(b) y[n] = ax[n] + b, b 0
D{0} = b 0
Bu sistem 0 girii iin 0 k vermediinden lineer bir sistem deildir.
(c) Bu sistemin x1[n] ve x2[n] giri iaretleri karsnda srasyla y1[n] ve y2[n] k iaretlerini
rettiini varsayalm.
y1[n] = 2 x1[n] + x1[n 2 ]
y 2 [ n] = 2 x2 [n] + x2 [n 2 ]
imdi bu sistemin ax1[n]+bx2[n] iareti karsnda verecei k bulalm.
(
)
D{ax1[n] + bx2 [ n]} = 2( ax1[n] + bx2 [n]) + ax1[n 2 ] + bx2 [n 2 ]
(
)(
= a 2 x1[ n] + x1[n 2 ] + b 2 x2 [n] + x2 [n 2 ]
)
= ay1[ n] + by 2 [n]
O halde, bu sistem sperpozisyon ilkesini salad iin lineer bir sistemdir.
(d) Bu sistemin x1[n] ve x2[n] giri iaretleri karsnda srasyla y1[n] ve y2[n] k iaretlerini
rettiini varsayalm.
y1[n] = x1[n] + 2 x12 [n]
y 2 [ n] = x2 [ n] + 2 x2 2 [ n]
imdi bu sistemin ax1[n]+bx2[n] iareti karsnda verecei k bulalm.
31
D{ax1[n] + bx2 [ n]} = ( ax1[n] + bx2 [n]) + 2( ax1[ n] + bx2 [n]) 2
(
)
= ( ax1[n] + bx2 [n]) + 2 a 2 x12 [n] + 2abx1[n]x2 [n] + b 2 x2 2 [n]
ay1[n] + by 2 [ n]
O halde, bu sistem sperpozisyon ilkesini salamad iin lineer bir sistem deildir.
Nedensel (Causal) sistemler: Nedensel sistemler, k iaretinin deerinin giri
iaretinin yalnzca o anki ve/veya gemi deerlerine bal olduu sistemlerdir. Nedensel bir
sistemin k hibir ekilde giri ve k iaretlerinin gelecek deerlerine bal deildir.
Gerek-zamanda bir iaretin gelecek deerlerini bilmemiz mmkn olmadndan, gerekzamanl sistemlerin tamam nedensel olmak zorundadr. Gerek-zamanl olmayan sistemlerde
nedensel olma zorunluluu yoktur.
rnek 2.6: Giri k bantlar aada verilen sistemlerden nedensel olanlar tespit edelim.
(a) y[n] = x[n] 2 x[ n 1]
(b) y[n] = x[n] + 2 x[n + 2]
(c) y[n] = x[n] + 2 x[n 2 ]
(d) y[n] = ax 2 [n]
(e) y[n] = ax[ n]
(f) y[n] = (n 2 + 2) x[n]
zm 2.6:
(a) Sistemin k giri iaretinin yalnzca o anki ve gemi bir deerine bal olduundan bu
sistem nedenseldir.
(b) x[n+2] teriminden dolay bu sistem nedensel deildir.
(c) n=2 annda sistemin k, x[n2] teriminden dolay, giriin n=4 anndaki deerine bal
olduundan bu sistem nedensel deildir.
(d) Sistemin k giri iaretinin yalnzca o anki deerine bal olduundan bu sistem
nedenseldir.
(e) Negatif n deerleri iin sistemin k giri iaretinin gelecek deerlerine bal
olduundan bu sistem nedensel deildir.
(f) Sistemin k giri iaretinin yalnzca o anki deerine bal olduundan bu sistem
nedenseldir.
Kararl (Stable) sistemler: Bir sistem snrl bir giri iareti iin snrl bir k iareti
retiyorsa, bu sistem snrl giri - snrl k (Bounded Input Bounded Output - BIBO)
anlamnda kararl bir sistemdir. BIBO kararl bir sistem matematiksel olarak,
x[n] M x <
y[n] M y <
(2.7)
eklinde tanmlanmaktadr. Kararsz sistemler snrl bir giri iareti iin snrsz bir k
retebildikleri iin gerek-zamanl sistemlerin BIBO kararl olmasna dikkat edilmelidir.
32
rnek 2.7: Giri k bantlar aada verilen sistemlerden BIBO kararl olanlar tespit
edelim.
(a) y[n] = ay[n 1] + x[n], a > 1, n 0, y[1] = 0
(b) y[n] = x[n] + sin( x[n])
n
(c) y[n] = x[k ], n 0
k =0
(d) y[n] = ax[n] sin( 0 n)
zm 2.7:
(a) Sistemin birim drt iaretine verecei yant hesaplayalm.
y[0] = ay[1] + [0] = 1
y[1] = ay[0] + [1] = a
y[2] = ay[1] + [2] = a 2
...
Buradan sistemin knn n anndaki deeri,
y[n] = a n , n 0
lim
olarak bulunur. a > 1 olarak verildiinden, n y[n] = olacaktr. Sonu olarak, bu sistem
snrl bir giri karsnda snrsz bir k verdiinden kararszdr.
(b) x[n] M x < olduunu varsayalm.
y[n] = x[n] + sin( x[n]) x[n] + sin( x[n])
sin( x[n]) 1 olduundan,
y[n] 1 + x[n] 1 + M x <
olarak bulunur. O halde, bu sistem snrl bir giri karsnda snrl bir k verdiinden
BIBO kararldr.
(c) Sistemin birim basamak iaretine verecei yant hesaplayalm.
n
n
k =0
k =0
y[n] = u[ k ] = 1 = 1 + n
lim y[n] =
n
Bu sistem snrl bir giri karsnda snrsz bir k verdiinden kararszdr.
33
(d) x[n] M x < olduunu varsayalm.
y[n] = ax[ n] sin( 0 n) = a . x[n] . sin( 0 n)
sin( 0 n) 1 olduundan,
y[n] aM x <
olarak bulunur. O halde, bu sistem snrl bir giri karsnda snrl bir k verdiinden
BIBO kararldr.
2.3 Lineer Zamanla Deimez (LTI) Sistemler
Dorusallk (Lineer) ve zamanla-deimezlik zelliklerinin ikisine birden sahip olan sistemler
lineer zamanla-deimez (Linear Time-Invariant, LTI) sistemler olarak adlandrlmaktadrlar.
Tm ayrk-zamanl iaretler,
x[n] =
x[k ] [n k ]
(2.8)
k =
eklinde telenmi birim-drt iaretlerinin toplam eklinde ifade edilebilmektedirler.
rnek 2.8: Aada verilen iaretleri telenmi birim-drt iaretlerinin toplam eklinde
yazalm.
(a) x[ n] = [0, 1, 0, 0, 1, 0, 3]
(b) x[n] = u[n]
(c) x[n] = u[n-1]
(d) x[n] = u[n] - u[n-1]
zm 2.8:
(a) x[ n] = [n + 2] + [n 1] + 3 [n 3]
(b) u[ n] =
u[k ] [n k ] = [n k ] = [n] + [n 1] + [n 2] + ...
k =
k =0
k =
(c) u[ n 1] =
k =1
u[k 1] [n k ] = [n k ] = [n 1] + [n 2] + ...
(d) x[n] = u[n] - u[n-1] = ( [ n] + [n 1] + [ n 2] + ...) ( [n 1] + [n 2] + ...) = [n]
Ayrk-zamanl iaretlerin telenmi birim-drt iaretlerinin toplam eklinde ifade
edilebilmeleri ve LTI sistemlerinin dorusallk ve zamanla-deimezlik zellikleri dikkate
alndnda, bir LTI sisteminin herhangi bir iarete olan yantn birim-drt iaretine olan
yant cinsinden ifade etmek mmkndr.
34
Bir LTI sisteminin birim-drt iaretine verdii yant drt yant (impulse response) olarak
adlandrlmakta ve matematiksel olarak,
h[n] = D{ [n]}
(2.9)
eklinde tanmlanmaktadr. (2.8)de verilen eitlii kullanarak bir LTI sisteminin x[n]
iaretine olan yantn bulmaya alalm.
D{x[n]} = D{ x[k ] [n k ]}
k =
LTI sisteminin toplanabilirlik ve leklenebilirlik zelliklerini kullanarak sistemin yant,
D{x[n]} =
D{x[k ] [n k ]} =
k =
x[k ]D{ [n k ]}
k =
olarak bulunur. Son olarak, LTI sisteminin zamanla-deimezlik zelliini kullanarak
sistemin yant,
D{x[n]} =
x[k ]h[n k ]
(2.10)
k =
eklinde ifade edilebilmektedir. (2.10)da verilen ifade konvolsyon toplam (convolution
sum) olarak adlandrlmakta ve alternatif olarak x[n] * h[n] eklinde de gsterilmektedir. O
halde, drt yant bilinen bir LTI sisteminin herhangi bir iarete olan yant konvolsyon
toplam hesaplanarak bulunabilmektedir. Konvolsyon toplam matematiksel olarak
hesaplanabilecei gibi grafiksel olarak da hesaplanabilmektedir. Toplamn grafiksel olarak
hesaplanabilmesi iin aada verilen drt admn izlenmesi gerekmektedir.
1. Zamanda ters evirme: h[k] zamanda ters evrilerek h[-k] elde edilir.
2. teleme: h[-k] n0 deer telenerek h[n0-k] elde edilir.
3. arpma: x[k] iareti h[n0-k] iareti ile arplarak x[k]h[n0-k] elde edilir.
4. Toplama: Elde edilen x[k]h[n0-k] iaretinin tm deerleri toplanarak y[n0] hesaplanr.
Yukardaki ilemler sonucunda konvolsyon toplamnn n=n0 noktasndaki deeri
hesaplanmaktadr. 2, 3 ve 4. admlar tm n0 deerleri iin (n0=-3,-2,-1,0,1,2,3,)
tekrarlanmaldr.
rnek 2.9: Bir LTI sisteminin drt yant h[n] = [1,2, 3] olarak verilmektedir. Bu sistemin
x[n] = [1, 2,1] iaretine olan yantn hesaplayalm.
zm 2.9: ekil 2.9da x[k]h[n0-k] iareti n0 = -1, 0, 1, 2, 3 deerleri iin gsterilmektedir.
n0 < -1 iin x[k]h[n0-k] = 0 olduundan, y[n] = 0, n < -1
y[1] =
x[k ]h[1 k ] = 1
k =
35
x[k ]h[k ] = 2 + 2 = 4
y[0] =
k =
x[k ]h[1 k ] = 3 + 4 + 1 = 8
y[1] =
y[2] =
k =
x[k ]h[2 k ] = 6 + 2 = 8
k =
x[k ]h[3 k ] = 3
y[3] =
k =
n0 > 3 iin x[k]h[n0-k] = 0 olduundan, y[n] = 0, n > 3
O halde, y[n] = [1, 4, 8,8,3] olarak [-2
-1
0
1
2
3
4
0
-4
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-4
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
4
x bulunur.
2
x[k]
2
1
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-4
1
4
-3
0
-4
2
4
-3
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-4
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
k ] h[ -k ]
0
x [ k ] h[ -1-k ]
2
1
x [ k ] h[ 1-k ]
h[-1-k ]
h[1-k ]
-1
1
0
-4
3
2
1
0
-4
3
h[2-k ]
-2
2
0
-4
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
1
0
-4
3
h[3-k ]
-3
x [ k ] h[ 2-k ]
h[-k ]
0
-4
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
k
1
2
3
4
x [ k ] h[ 3-k ]
h[k ]
3
2
1
0
-4
2
0
-4
6
4
2
ekil 2.9 rnek 2.9da verilen konvolsyon toplamnn grafiksel hesaplanmas
36
n
rnek 2.10: Bir LTI sisteminin drt yant h[ n] = a u[n], a < 1 olarak verilmektedir. Bu
sistemin x[n] = u[n] iaretine olan yantn nce matematiksel sonra da grafiksel olarak
hesaplayalm.
zm 2.10:
(a) Matematiksel olarak:
y[ n] =
x[k ]h[n k ] =
k =
k =
k =0
u[k ]a nk u[n k ] = a nk u[n k ]
Sistemin yantn, n < 0 ve n 0 aralklar iin ayr ayr inceleyelim.
n < 0 y[n] = a nk u[n k ] = 0 (u[n-k] = 0 olduundan)
k =0
n
k =0
k =0
n 0 y[n] = a nk u[n k ] = a nk = a n + a n1 + ... + a + 1 =
O halde, y[n] =
1 a n+1
1 a
1 a n+1
u[ n] olarak bulunur.
1 a
(b) ekil 2.10da x[k]h[n0-k] iareti n0 = 0, 1, 2, 3 deerleri iin gsterilmektedir.
n0 < 0 iin x[k]h[n0-k] = 0 olduundan, nnin negatif deerleri iin y[n] = 0 olacaktr. ekil
2.10un yardm ile pozitif n deerleri iin sistemin yantn hesaplayalm.
y[0] =
y[1] =
y[2] =
y[3] =
x[k ]h[k ] = 1
k =
x[k ]h[1 k ] = a + 1
k =
x[k ]h[2 k ] = a
k =
x[k ]h[3 k ] = a
2
+ a +1
3
+ a2 + a + 1
k =
Buradan y[n] = a n + a n1 + ... + a + 1 =
n 0 yantlar birletirilerek,
y[n] =
1 a n+1
, n 0 olduu akca grlmektedir. n< 0 ve
1 a
1 a n+1
u[ n]
1 a
olarak bulunur.
37
0.5
...
-2
-2
0
h[1-k ]
a2
2
4
6
...
...
-4
-2
0
a3
a4
0.5
a2
2
4
6
a
0
2
1
a3
a4
0.5
a2
4
4
6
...
...
-4
-2
0
k
0
a
2
2
4
2
4
2
6
4
...
...
-4
-2
0
6
a
0.5
...
...
-4
-2
0
a3
0.5
0
-6
6
4
a
a2
0
-6
6
...
-2
2
1
...
-4
0
0.5
0
-6
...
-2
-2
1
...
-4
-4
1
a
a4
0.5
...
...
0.5
0
-6
a
1
h[2-k ]
0
-6
6
...
-4
0.5
1
...
...
...
...
3
0
-6
4
a
1
0
-6
2
x [k ] h[1-k ]
h[-k ]
a2
3
4a
a
0
x [k ] h[-k ]
-4
0.5
0
-6
a4
...
1
0
-6
a3
x [k ] h[2-k ]
0
-6
h[3-k ]
1
a2
x [k ]
a
x [k ] h[3-k ]
h[k ]
1
a2
6
a
...
...
-4
-2
0
k
2
4
6
ekil 2.10 rnek 2.10da verilen konvolsyon toplamnn grafiksel hesaplanmas
MATLABda pozisyon vektrleri nx ve ny olan x ve y iaretlerinin konvolsyon toplam,
z=x*y,
% Konvolsyon toplamnn pozisyon vektr.
nz = nx(1)+ny(1):max(nx)+max(ny);
% Konvolsyon toplam.
z = conv(x,y);
eklinde hesaplanmaktadr.
rnek 2.11: Bir LTI sisteminin drt yant h[n] = [1,2,3, 4,3,2,1] olarak verilmektedir. Bu
sistemin x[ n] = [0, 0,1,1,1,1] iaretine olan yantn MATLAB kullanarak hesaplayalm.
38
zm 2.11:
% Drt yantnn pozisyon vektr ve rnek deerleri.
nh = -3:3;
h = [1 2 3 4 3 2 1];
% Giri iaretinin pozisyon vektr ve rnek deerleri.
nx = 0:5;
x = [0 0 1 1 1 1];
% Sistem yantnn pozisyon vektr ve rnek deerleri.
ny = nh(1)+nx(1):max(nh)+max(nx);
y = conv(h,x);
Yukarda verilen kod fragman altrldktan sonra,
y[n] = [0,0,1, 3,6,10,12,12,10,6,3,1]
olarak hesaplanmaktadr.
2. 4 Konvolsyon Toplamnn zellikleri
Deime zellii (Commutative property)
x1[n] * x2 [n] = x2 [n] * x1[n]
h[n]
x[n]
y[n]
h[n]
x[n]
y[n]
ekil 2.11 Konvolsyon toplamnn deime zellii
Birleme zellii (Associative law)
x1[n] * ( x2 [n] * x3 [n]) = ( x1[n] * ( x2 [n]) * x3 [ n]
x[n]
h1[n]
h2[n]
y[n]
x[n]
h1[n]* h2[n]
ekil 2.12 Konvolsyon toplamnn birleme zellii
Dalma zellii (Distributive law)
x1[n] * ( x2 [n] + x3 [ n]) = x1[n] * x2 [ n] + x1[n] * x3 [n]
39
y[n]
h1[n]
x[n]
x[n]
y[n]
+
h1[n]+h2[n]
y[n]
h2[n]
ekil 2.13 Konvolsyon toplamnn dalma zellii
x1[n] iaretinin m, x2[n] iaretinin k tane rnei var ise, bu iki iaretin konvolsyon toplamnn
m+k-1 tane rnei olacaktr.
2.5 LTI Sistemlerinin zellikleri
Nedensel LTI sistemler: Bir LTI sisteminin nedensel olabilmesi iin, sistemin drt
yant tm negatif n deerleri iin sfr olmak zorundadr. Yani drt yantnn
h[n] = 0, n < 0
bantsn salamas gerekmektedir.
Kararl LTI sistemler: Bir LTI sisteminin BIBO anlamnda kararl olabilmesi iin tm
snrl giriler iin snrl klar retmesi gerekmektedir. Konvolsyon toplamndan
faydalanarak bir LTI sisteminin BIBO kararl olabilmesi iin gerekli art bulmaya alalm.
y[n] =
x[n k ]h[k ]
k =
x[n k ]h[k ]
y[n] =
k =
x[n k ]h[k ]
y[n]
k =
y[n]
x[n k ] h[k ]
k =
x[n] M x < y[n] M x
h[k ]
k =
O halde bir LTI sisteminin BIBO kararl olabilmesi iin sistemin drt yantnn,
h[k ] <
k =
eklinde mutlak toplanabilir olmas gerekmektedir.
40
rnek 2.12: Aadaki LTI sisteminin nedensel ve BIBO kararl olup olmadn tespit
edelim.
y[n] = x[n n0 ], n0 0
Sistemin drt yant
h[n] = [n n0 ]
h[n] = u[ n] = 0, n < 0 olduundan bu sistem nedenseldir.
h[k ] =
k =
[n n ] = 1 olduundan bu sistem BIBO kararldr.
0
k =
rnek 2.13: Drt yant verilen aadaki LTI sisteminin BIBO kararl olabilmesi iin a ve
b sabit saylarnn alabilecei deerler kmesini bulalm.
a n , n 0
h[n] = n
b , n < 0
Bu sistemin nedensel bir sistem olmad ak olarak grlmektedir. BIBO kararl olmas iin
h[k ] =
k =
a < 1,
1
b +a =b
k
k =
k
k =0
k =1
k
+a =
k
k =0
k =1
k
1
k
+ a <
b
k =0
1
< 1 a < 1, b > 1
b
olmaldr.
rnek 2.14: Aadaki LTI sisteminin nedensel ve BIBO kararl olup olmadn tespit
edelim.
y[n] =
n
x[k ]
k =
Sistemin drt yant,
h[n] =
n
[k ]
k =
n 0 h[n] =
n
[k ] = 1
k =
41
n < 0 h[n] = 0
h[n] = u[n]
birim basamak iaretidir.
h[n] = u[ n] = 0, n < 0 olduundan bu sistem nedenseldir.
k =
k =0
h[k ] = 1 = olduundan bu sistem kararl deildir.
Sonlu ve sonsuz drt yantl (Finite/Infinite impulse response, FIR/IIR) LTI
Sistemler: Sonlu drt yantl (FIR) sistemler, drt yantnda sonlu sayda sfrdan farkl
rnek mevcut olan sistemlerdir. Sonsuz drt yantl (IIR) sistemler ise, drt yantnda
sonsuz sayda sfrdan farkl rnek mevcut olan sistemlerdir.
2.6 Fark Denklemleri le Tanmlanan Ayrk-Zamanl Sistemler
Daha nceki blmlerde, drt yant h[n] olan herhangi bir LTI sisteminin giri-k
bantsnn
y[n] =
h[k ]x[n k ]
k =
eitlii ile verildiini grmtk. FIR sistemler iin yukardaki ilemin realize edilmesi sonlu
sayda toplama ve arpma ilemi ve sonlu bellek kullanm ile mmkndr. IIR sistemler iin
ise konvolsyon toplamnn hesaplanmas sonsuz sayda arpma ve toplama ilemi ve sonsuz
bellek kullanm gerektirmektedir. Bu da pratikte mmkn deildir.
rnek 2.15: y[n] =
1n
x[k ]
n + 1 k =0
y[n]in hesaplanmas iin tm x[0], x[1], , x[n] deerlerinin hafzada saklanmas
gerekmektedir. Dolaysyla, y[n] hesaplanmas iin gereken toplama ilemi says ve hafza
gereksinimi n ile beraber lineer olarak artmaktadr. Halbuki, kk bir deiiklikle y[n] daha
efektif bir ekilde hesaplanabilir:
42
y[n] =
1n
x[k ]
n + 1 k =0
n
(n + 1) y[n] = x[k ]
k =0
n 1
(n + 1) y[n] = x[k ] + x[n]
k =0
(n + 1) y[n] = ny[n 1] + x[n]
n
1
y[n] =
y[n 1] +
x[n]
n +1
n +1
O halde, y[n]in hesaplanmas iin yalnzca bir nceki k deeri ve giriin o anki deeri
yeterli olmaktadr. Bu ekilde y[n]in hesaplanmas sadece iki arpma ve bir toplama ilemi
ve bir birim hafza gerektirmektedir. Aynen bu rnekte olduu gibi, baz sistemlerin
karakterize edilmesi iin drt yantnn kullanlmas iyi bir seim olmayabilir. Bunun yerine
sistem knn, giriin o andaki ve eski deerleri ile sistem knn eski deerlerine bal
olarak ifade edilmesi k deerlerinin daha hzl hesaplanmasna olanak tanmaktadr.
zyineli (Recursive) sistemler: Sistem knn, giriin o andaki ve eski deerleri ile
kn eski deerlerine bal olduu sistemlerdir (yukardaki sistemde olduu gibi).
y[n] = F ( y[n 1], y[n 2],..., y[n N ], x[n], x[n 1],..., x[n M ])
zyinesiz (Non-recursive) sistemler: Sistem knn yalnzca giriin o andaki ve eski
deerlerine bal olup, kn eski deerlerine bal olmad sistemlerdir.
y[n] = F ( x[n], x[n 1],..., x[ n M ])
Nedensel bir FIR sisteminin konvolsyon toplam
M
k =
y[n] =
k =0
h[k ]x[n k ] = h[k ]x[n k ]
= h[0]x[n] + h[1]x[n 1] + ... + h[ M ]x[n M ]
y[n] = F ( x[n], x[n 1],..., x[ n M ])
eklinde ifade edilebilmektedir. O halde nedensel bir FIR sistemi zyinesiz bir sistemdir.
2.6.1 Sabit-Katsayl Fark Denklemleri ile Tanmlanan Sistemler
Sabit katsayl fark denklemleri ile tanmlanan sistemler zyineli sistemlerin en basitidir ve
genel olarak
43
N
M
k =1
k =0
y[n] = ak y[n k ] + bk x[n k ]
veya
N
M
k =0
k =0
ak y[n k ] = bk x[n k ] , a0 = 1
eklinde tanmlanrlar. Bu tanmlamada N fark denkleminin ya da sistemin derecesi olarak
adlandrlr. y[n] deerlerini n 0 iin hesaplamak iin balang koullarnn (initial
conditions), y[-1], y[-2], , y[-N], bilinmesi yeterlidir.
rnek 2.16:
hesaplayalm.
y[n] = ay[n 1] + x[n]
fark denklemiyle tanmlanan sistemin kn
Bu sistem birinci derece bir sistemdir. zm:
y[0] = ay[-1] + x [0]
y[1] = ay[0] + x [1] = a( ay[-1] + x [0]) + x[1] = a 2 y[1] + ax[0] + x[1]
y[2] = ay[1] + x [2] = a (a 2 y[1] + ax[0] + x[1]) + x[2] = a 3 y[1] + a 2 x[0] + ax[1] + x[2]
...
n
y[n] = a n+1 y[1] + a k x[ n k ] , n 0
k =0
Grld zere zm iki ksmdan olumaktadr. zmn a n +1 y[1] ksm sfr giri yant
n
(zero-input response), zmn
a
k
x[ n k ] ksm ise sfr durum yant (zero-state
k =0
response) olarak adlandrlmaktadr. Sistemin sfr giri yant sistemin yalnzca balang
koullarna bal olup, sisteme sfr girii verilerek elde edilir. Sistemin sfr durum yant ise
yalnzca giri iaretine bal olup, balang koullarnn sfr olmas durumunda (relaxed)
elde edilir. Sabit katsayl fark denklemi ile tanmlanan bir sisteminin k,
y[n] = y sg [n] + y sd [n]
eklinde iki ksma ayrlabilmektedir. Sistemin sfr giri yant,
N
M
k =0
k =0
ak y[n k ] = bk x[n k ] , a0 = 1
N
ak y sg [n k ] = 0
k =0
44
bantsn salamaktadr. Bu bant sistemin homojen denklemi olarak adlandrlmakta ve
denklemin zm, yh[n], homojen zm (homogeneous solution) olarak bilinmektedir.
Herhangi bir giri iareti, x[n], iin sabit katsayl fark denkleminin zm ise, yp[n], zel
zm (particular solution) olarak adlandrlmaktadr. Bir sistemin zel zm, yp[n],
N
M
k =0
k =0
ak y p [n k ] = bk x[n k ] , a0 = 1
bantsn salamaktadr. Sistemin toplam zm ise
y[n] = y h [n] + y p [n]
homojen ve zel zmlerin toplam eklinde elde edilebilmektedir.
2.6.2 Sabit-Katsayl Fark Denklemlerinin Sfr Giri Yant
Sabit-katsayl fark denklemlerinin sfr giri yant sistemin yalnzca balang koullarna
bal olup, sisteme sfr girii verilerek elde edilir. O halde sistemin sfr giri yantn bulmak
iin,
N
a
k =0
k
y sg [n k ] = 0
eitliini ysg iin zmemiz gerekmektedir. zme ulamak iin ilk olarak zmn
y sg [n] = n
eklinde stel bir fonksiyon olduunu varsayalm. Bu zm bir nceki denklemde yerine
koyarsak,
N
a
k =0
nk
k
=0
n + a1n1 + a2 n2 + ... + a N n N = 0
n N (N + a1N 1 + a2 N 2 + ... + a N 1 + a N ) = 0
eitlii elde edilir. Parantez iindeki polinom sistemin karakteristik polinomu olarak
adlandrlmaktadr. Polinom Ninci dereceden bir polinom olduundan N adet farkl gerek ya
da karmak kk oluacaktr. Kklerin 1, 2, , N olduunu varsayarsak sistemin sfr giri
yant,
n
y sg [n] = C11 + C 2 n + ... + C N n
2
N
45
eklinde bulunmaktadr. Arlk katsaylar, C1, C2, , CN, sistemin balang koullarndan
elde edilmektedir. Sistemin karakteristik polinomunun kklerinden biri, 1, m kere tekrar
ediyorsa sfr giri yant,
n
y sg [n] = (C1 + C 2 n + ... + C m n r 1 )1 + C m+1n + ... + C N n
2
N
eklini almaktadr.
rnek 2.17: y[n] = ay[n 1] + x[n] fark denklemiyle tanmlanan sistemin sfr giri yantn
bulalm.
x[n] = 0 y[ n] = ay[n 1]
y[n] ay[n 1] = 0
y sg [n] = n
n an1 = 0 n1 ( a ) = 0 = a
y sg [ n] = Ca n
y sg [1] = Ca n = Ca 1 = y[1] C = ay[1]
y sg [n] = ay[1]a n = a n+1 y[1]
rnek 2.18: y[n] 3 y[n 1] 4 y[n 2] = 0, y[2] = 0, y[1] = 5 fark denklemiyle
tanmlanan sistemin sfr giri yantn bulalm.
y sg [n] = n
n 3n1 4n2 = 0 n2 (2 3 4) = 0 ( 4)( + 1) = 0 = 1,4
y sg [ n] = C1 (1) n + C 2 4 n
C2
= 0 C 2 = 16C1
16
C
y sg [1] = C1 (1) 1 + C 2 4 1 = y[1] C1 + 2 = 5 C1 4C1 = 5 C1 = 1 C 2 = 16
4
n
n
n+1
n+ 2
y sg [n] = (1) + 16 * 4 = (1) + 4 , n 0
y sg [2] = C1 (1) 2 + C2 4 2 = y[2] C1 +
2.6.3 Sabit-Katsayl Fark Denklemlerinin Drt Yant
Sabit-katsayl fark denklemlerinin drt yant, h[n], sisteme birim-drt iareti
uygulandnda elde edilen ktr. O halde sistemin drt yantn bulmak iin,
N
M
k =0
k =0
ak h[n k ] = bk [n k ]
eitliini h[n] iin zmemiz gerekmektedir. Sistemin balang koullar yalnzca sfr-giri
yantn etkilediinden, drt yant hesaplanrken sistemin relaxed (duraan balang
koullar) olduu dnlr. Bu nedenle drt yantnn sfrdan nceki deerleri sfrdr.
46
h[1] = h[2] = h[3] = ... = 0
Sisteme uygulanan giri, birim-drt iareti, n>0 iin sfr olduundan, drt yant, h[n], n>0
iin sistemin sfr giri yant (homojen zm) formatnda olacaktr. O halde drt yant,
h[n],
h[n] = C0 [n] + y h [ n]u[n]
eklinde ifade edilebilmektedir. Drt yantnn birinci ksm, C0 [n] , birim-drt giriinin
yalnzca n=0 iin olan etkisini iermektedir. Fark denkleminden hesaplanan h[n] deerlerinin
ilk birka rnei bilinmeyen katsaylarn hesaplanmasnda kullanlmaktadr.
rnek 2.19: y[n] 3 y[n 1] 4 y[n 2] = x[n] + 2 x[n 1] fark denklemiyle tanmlanan
sistemin drt yantn bulun.
2 3 4 = 0 ( + 1)( 4) = 0 = 1,4
yh [n] = C1 (1) n + C2 4 n
h[n] = C0 [ n] + yh [ n]u[n]
h[n] = C0 [n] + (C1 ( 1) n + C2 4 n )u[n]
Katsaylar hesaplamak iin fark denkleminden drt yantnn ilk rneini hesaplayalm:
h[n] 3h[ n 1] 4h[n 2] = [n] + 2 [n 1]
h[0] 3h[1] 4h[2] = [0] + 2 [ 1] h[0] = [0] = 1
h[1] 3h[0] 4h[1] = [1] + 2 [0] h[1] 3 = 2 h[1] = 5
h[2] 3h[1] 4h[0] = [2] + 2 [1] h[2] 15 4 = 0 h[2] = 19
imdi bu deerleri yerine koyalm:
h[n] = C0 [n] + (C1 (1) n + C 2 4 n )u[ n]
h[0] = C0 + C1 + C 2 = 1
h[1] = C1 + 4C2 = 5
h[2] = C1 + 16C2 = 19
6
20C2 = 24 C 2 =
5
24
1
C1 = 4C 2 5 =
5 =
5
5
16
C0 = 1 C1 C 2 = 1 + = 0
55
1
6n
h[ n] = ( (1) n + 4 )u[n]
5
5
47
2.6.4 Sabit-Katsayl Fark Denklemlerinin Sfr Durum Yant
Sfr durum yant, ysd[n], yalnzca giri iaretine bal olup, balang koullarnn sfr olmas
durumunda (relaxed) sistemin verdii yanttr. ysd[n]
n
y sd [n] = x[n] * h[n] = h[ k ]x[n k ]
k =0
sistemin giri iareti ile drt yantnn konvolsyon toplamndan elde edilmektedir.
2.6.5 Sabit-Katsayl Fark Denklemlerinin Toplam Sistem Yant
Sabit-katsayl fark denklemlerinin toplam sistem yant sfr giri yant ile sfr durum
yantnn toplamna eittir. y[n]
N
N
n
i =1
i =1
k =0
y[n] = y sg [n] + y sd [n] = Ci in + x[n] * h[n] = Ci in + h[k ]x[n k ]
eklinde hesaplanabilmektedir.
2.6.6. Sabit-Katsayl Fark Denklemlerinin Drt Yantnn MATLAB ile
Hesaplanmas
rnek 2.20: y[n] y[n 1] + 0.9 y[n 2] = x[n] fark denklemiyle tanmlanan sistemin drt
yantn [-20,100] aralnda MATLAB kullanaraktan hesaplaynz.
% Filtre katsaylar.
a = [1,-1,0.9];
b = [1];
n = -20:100;
x = [n == 0];
h = filter(b,a,x);
% Zaman aral
% Impulse
% Impulse cevap.
% Impulse cevabn izdir.
stem(n,h)
xlabel('n')
ylabel('Impulse Response (h[n])')
grid
48
Impuls e Res pons e (h[n])
1
0.5
0
-0.5
-1
-20
0
20
40
n
60
49
80
100