VAN UNIVERSITEIT AMSTERDAM
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Afdeling Kwantitatieve Economie
-
Wiskunde 1
27 maart 2009
16:00 18:30
Tijdens het tentamen is het gebruik van het uitgereikte formuleblad en een zakrekenmachine
toegestaan.
Boek, grafische rekenmachine en syllabus mogen niet gebruikt worden.
De puntenverdeling over de verschillende opgaven is: 22, 20, 18, 20, 20.
De uitslag is uiterlijk binnen 18 werkdagen na dit tentamen.
Tentameninzage is mogelijk vanaf de uitslagdatum. Aanmelden bij de cordinator wiskunde 1.
Vanaf maandag 30 maart 2009 zijn de uitwerkingen te raadplegen via:
http://blackboard.ic.uva.nl/
N.B. Begin iedere opgave op een nieuwe pagina.
Opgave 1: (22 punten)
2 x 2 3x
Gegeven is de functie f ( x ) =
ex
a.
Bereken de snijpunten van de grafiek van f met de x-as.
Geef aan op welke intervallen de functie positief dan wel negatief is.
b.
Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt met x = 1 .
Stel een vergelijking op van lijn l .
c.
Bereken de uiterste waarden van f . Ga bij elke uiterste waarde na of het een
maximum of een minimum is.
2 x 2 11x + 10
.
Ga met een berekening na dat: f ( x) =
ex
Bereken de x-cordinaten van de buigpunten van de grafiek van f.
d.
e.
Opgave 2: (20 punten)
Gegeven is de functie f ( x, y ) = x 2 y + c y 6 .
Voor welke waarde van c is de functie f homogeen?
a.
Wat is de graad van homogeniteit van de functie?
Neem in het vervolg aan dat c = 3 en dat z = f(x, y).
b.
Bepaal de totale differentiaal dz in het punt (3, 3).
c.
Benader met behulp van deze differentiaal de verandering van z als de waarde van x
vanuit x = 3 met 2% stijgt en de waarde van y vanuit y = 3 met 3% daalt.
d.
Gegeven is de niveaukromme wel (ook isocurve) met vergelijking f(x, y) = 3. Het
punt (x, y) = ( 2 , 1) ligt op deze niveaucurve. Bepaal de richtingscofficint van de
raaklijn aan deze curve in het punt ( 2 , 1).
Zie ommezijde
1
Opgave 3: (18 punten)
Gegeven is de functie f ( x, y ) =
x2 + y 1
xy
a.
Bereken de cordinaten van de stationaire punten van f en bereken ook de
bijbehorende functiewaarden.
b.
Ga door middel van een berekening voor elk stationair punt na of er sprake is van
een maximum, een minimum of een zadelpunt.
Opgave 4: (20 punten)
Het verband tussen de prijs p en de gevraagde hoeveelheid q van een artikel is gegeven door de
vergelijking: q = (5 p ) e p met p >0.
a.
b.
c.
Bepaal de waarden van p waarvoor geldt dat q > 0 .
Bepaal q( p) .
q
Bepaal de prijselasticiteit van de vraag ( E p ) bij een prijs p = 2 (in 3 decimalen).
d.
Na een prijsdaling vanuit de situatie p = 2 blijkt de gevraagde hoeveelheid met 3% te zijn
toegenomen. Bereken met behulp van het antwoord op vraag c. met hoeveel procent de
prijs dan bij benadering veranderd moet zijn (in 3 decimalen).
Opgave 5: (20 punten)
Gegeven is de productiefunctie: q( K , L) = 3 ( L 1)( K + 3) 2 (in duizenden eenheden)
met K 0 en L 1 . K is de hoeveelheid kapitaal en L is de hoeveelheid arbeid.
a.
b.
c.
De prijs per eenheid arbeid is 4 en de prijs per eenheid kapitaal is 1.
De producent heeft een leveringsverplichting van 4 (duizend) eenheden product.
Bereken de bijbehorende minimale kosten.
Toon aan, dat er inderdaad sprake is van een minimum.
Benader met behulp van de Lagrange multiplier hoeveel de nieuwe minimale kosten
zullen worden wanneer de te leveren productie met 2,5% zal toenemen.
Einde tentamen
2