VAN UNIVERSITEIT AMSTERDAM
Faculteit Economie en Bedrijfskunde
Afdeling Kwantitatieve Economie
Wiskunde 1
25 maart 2011
9:00 11:30 uur
Tijdens het tentamen is het gebruik van het uitgereikte formuleblad en een zakrekenmachine toegestaan.
Boek, grafische rekenmachine en syllabus mogen niet gebruikt worden.
De puntenverdeling over de verschillende opgaven is: 18, 16, 16, 15, 15, 20
Tentameninzage is mogelijk vanaf de uitslagdatum. Aanmelden bij de cordinator wiskunde 1.
Vanaf maandag 4 april 2011 zijn de uitwerkingen te raadplegen via: http://blackboard.ic.uva.nl/
N.B. Begin iedere opgave op een nieuwe pagina.
Tip! Lees eerst het hele tentamen door. Verdeel je tijd verstandig over de opgaven en blijf niet te lang met
een (deel) opgave bezig als je er niet uit komt.
-
Opgave 1
(
)
()
2
2
Gegeven zijn de functies: f (x ) = x 4x 8 ln x
en
g(x ) = x 2 4x + 8 .
Bepaal het domein van de functie f.
Bepaal de x-cordinaat (cordinaten) van het snijpunt (de snijpunten) van de functies f en g.
c. Bepaal de afgeleide functie van f.
d. Onderzoek de functie f op extreme waarden en geef dan ook de aard (min/max) van deze extremen.
e. Geef de lineaire benadering van de functie f (x ) in het punt x = 1 en benader hiermee de functiewaarde
f (x ) in x = 1, 06 .
a.
b.
Opgave 2
2
De vraag naar een bepaald product wordt gegeven door de vergelijking p = 1 (q 10) 2 , met 0 < q < 8 .
2
a.
Bepaal de gevraagde hoeveelheid q als de prijs p gelijk is aan 16.
b.
Laat zien dat
c.
q
Bepaal de prijselasticiteit van de vraag E p als p = 16 .
d.
dq
=
dp
1
2p + 4
.
De prijs p = 16 daalt met 0,2 eenheden. Geef, met behulp van het antwoord bij vraag c, een benadering
van de procentuele verandering in de vraag naar dat product.
Opgave 3
Gegeven is de functie: z = f ( x, y ) = y 3 + e 2 x + y .
a. Bepaal beide partile afgeleiden van de eerste orde.
b.
Bereken de totale differentiaal dz in het punt ( x, y ) = ( ln(4), 2 ) .
Benader, met behulp van deze differentiaal, de verandering van z als de waarde van x met 0,1 toeneemt en
die van y met 0,1 afneemt.
d. We beschouwen de isocurve (of niveaukromme) van punten (x, y) waarvoor z = 1 + e . Het punt
(x, y) = ( 1 , 1) ligt op deze curve. Bepaal de richtingscofficint van de raaklijn aan deze curve in het punt
2
c.
( 1 , 1).
2
Zie ommezijde
Opgave 4
Gegeven is de functie: f ( x, y ) = 2 x 3 + 2 y 3 + 9 x 2 12 y 2 24 x 30 y + 48 .
a.
Bepaal de stationaire punten van f .
b. Bepaal voor elk stationair punt gevonden bij a) of het een minimum, een maximum of een zadelpunt is.
Opgave 5
De gevraagde hoeveelheden q1 en q2 van twee substitueerbare goederen 1 en 2 zijn afhankelijk van de prijzen
p1 en p2 volgens de formules:
q1 =
a.
243 p2
54 p1
en q2 =
2
p1
p2
De prijzen p1 en p2 zijn differentieerbare functies van de tijd t: p1 = p1(t ) en p2 = p2 (t ) , t > 0.
dq1
als functie van de prijzen en de afgeleiden van p1 en p2 .
dt
b. De functies p1 en p2 worden nu gegeven door: p1 = 3 t en p2 = 3t t .
dq
Bereken 1 voor t = 9.
dt
Schrijf de afgeleide
c.
Benader, met behulp van het antwoord bij vraag b, de verandering in de gevraagde hoeveelheid van goed 1
indien t toeneemt van 9 tot 10.
Opgave 6
Gegeven is de productiefunctie q (a, k ) =
160ak
, met a, k >0.
2 a + 5k
a. Toon aan dat de functie q(a,k) homogeen is en bepaal de graad van homogeniteit.
b. De prijs per eenheid arbeid is 20 en de prijs per eenheid kapitaal is 18. De producent heeft een
leveringsverplichting van 900 eenheden product. Stel de totale kostenfunctie C(a,k) op. Bereken de
bijbehorende minimale kosten. Toon aan, dat er inderdaad sprake is van een minimum.
c. Benader de verandering in de minimale kosten als de leveringsverplichting toeneemt naar 905 eenheden
product.
Einde tentamen
Uitwerkingen 25 tentamen wiskunde 1 maart 2011
Opgave 1
Domein van functie f(x): x 0
f (x ) = g(x ) ( x 2 4x ) 8 ln ( x 2 ) = x 2 4x + 8 ln ( x 2 ) = 1
a.
b.
x 2 = e 1 x =
1
1
x =
.
e
e
f (x ) = ( x 2 4x ) 8 ln ( x 2 ) f (x ) = 2x 4
c.
16 2x 2 4x 16
.
=
x
x
2x 2 4x 16
= 0 2x 2 4x 16 = 0 2 (x 4)(x + 2) = 0
x 0
x
x = 2 x = 4 ( voldoen).
f (x ) =
d.
Tekenschema:
f : 0 + + + X 0 + + + + +
-2
0
4
Dus functie f heeft voor x = 2 een relatief minimum van: f ( 2) = 12 8ln 4 0,91 en f
heeft x voor = 4 een absoluut minimum van: f ( 4) = 8 ln16 22,18 .
80
60
40
20
-4
-2
2
4
-20
f (x ) f (1) + f (1) (x 1) f (x ) 3 + ( 18) (x 1)
e
f (x ) 18x + 15. Dus f (1, 06) 18 1, 06 + 15 = 4, 08.
Opgave 2
2
2
a. p = 16 1 q 10q + 48 = 16 q 20q + 64 = 0 ( q 4)(q 16) = 0
2
q = 4; ( q = 16 buiten domein )
b.
p = 1 (q 10) 2 2 2 p + 4 = (q 10) 2 q 10 = 2 p + 4
2
Voor 0 < q < 8 is q 10 < 0 , dus q 10 = 2 p + 4 q = 10 2 p + 4
1
dq
= 1 (2 p + 4) 2 2 =
Dan is
2
dp
1
2p + 4
dp
= q 10 . Omdat q 10 < 0 , is q 10 = 2 p + 4
dq
dq
1
1
= 1 dp =
=
zodat
dp
2p + 4
2p + 4
dq
dq p
1
16
2
q
=
=
c. Voor p = 16 is q = 4 zodat E p =
dp q
3
2 16 + 4 4
2
OF: p = 1 (q 10) 2
2
d.
q
p
q
2 0, 2
E
0, 008333 0,83%
Voor p = 16 en q = 4 :
q
p
4
3 16
Opgave 3
x+ 1 y
a.
e 2
x+ 1 y
f x ( x, y ) = 0 +
=e 2
x
x+ 1 y
e 2
1 x+ 1 y
f y ( x, y ) = 3 y +
= 3y2 + e 2
y
2
2
(
dz = e
b.
dz
x+ 1 y
2
) dx + 3 y
( x , y ) =(ln(4),2) =
2
1 x+ 1 y
+ e 2 dy
2
( 4e ) dx + ( 12 + 2e ) dy
c. z = f ( ln(4), 2) = 8 + 4e 18,87 , x = 0,1, y = 0,1 . Invullen geeft :
dz = ( 4e ) dx + ( 12 + 2e ) dy
z ( 4e ) x + ( 12 + 2e ) y = ( 4e ) 0,1 + ( 12 + 2e ) ( 0,1) = 0, 2e 1, 2.
Geschat volgens de lineaire benadering wordt z ongeveer gelijk aan
18,87 + 0, 2e 1, 2 18,21
.
[ N.B Exact geldt: z = f(ln(4) + 0, 1 , 2 0,1) 18,29]
x+ 1 y
f ( x, y )
dy
e2
dy
e
= x
=
.
=
( 0, 62)
x+ 1 y
( x, y ) = ( 1 , 1)
dx
f y ( x, y )
3+ 1e
2
3 y 2 + 1 e 2 dx
2
d.
2
richtingscofficint raaklijn: = 0, 62 .
Opgave 4
a. Voor de stationaire punten ( x, y ) geldt:
f x ( x, y ) = 6 x 2 + 18 x 24 = 0
f y ( x, y ) = 6 y 2 24 y 30 = 0
Oplossen van dit stelsel leidt tot:
x = 1 of x = 4
6 x 2 + 18 x 24 = 0 6( x 1)( x + 4) = 0
2
6 y 24 y 30 = 0 6( y 5)( y + 1) = 0 y = 5 of y = 1
Er zijn dus 4 stationaire punten:
Punt
( 1, 5)
Functiewaarde
f ( 1,5 ) = 165
( 1, 1)
b.
( x, y )
(-4,-1)
(-4,5)
(1,-1)
(1,5)
Punt
( 4, 5 )
f ( 1, 1) = 51
f xx ( x, y )
-30
-30
30
30
( 4, 1)
Functiewaarde
f ( 4,5 ) = 40
f ( 4, 1) = 176
f yy ( x, y )
f xy ( x, y )
D ( x, y )
aard
-36
36
-36
36
0
0
0
0
>0
<0
<0
>0
maximum
zadelpunt
zadelpunt
minimum
Opgave 5
a.
b.
dq1
dt
dp1
dt
q1
p1
=
=
3
2t
en
dq1
c.
q1
dp2
dt
q1
= 6
Dus:
dt
1
q1 dp1 q1 dp 2
dp
1 dp
+
= 243 ( 2) p13 p2 2 1 + 243 p12 ( 1 ) p2 2 2
2
p1 dt
p 2 dt
dt
dt
p 2
=
=
9
2
Uit t = 9 volgt: p1 = 9 en p 2 = 81 en dus vinden we:
t
dp1
1
6
dt
=
1
2
dp2
dt
=
27
2
3
= ( 6) ( 1 ) + ( 1 ) ( 27 ) = 4
2
6
2
dq1
dt
t = 0. 75 1 = 0. 75
Dus de gevraagde hoeveelheid van goed 1 neemt af met ongeveer 0.75
(Opmerking: t = 9 geeft: q1 =
en t = 10 geeft: q1 =
243 81
243 94.86
9. 492
92
= 27
= 26. 28 dus een afname van 0.72)
Opgave 6
160(ta ) (tk ) t 2 ak
160
=
= t q (a, k )
a. q (ta, tk ) =
2ta + 5(tk ) t (2a + 5k )
De functie is homogeen van de graad 1.
160ak
900)
b. F (a, k , ) = 20a + 18k (
2 a + 5k
800k 2
F
20
=0
=0
(2a + 5k ) 2
a
F
320a 2
= 0 18
=0
k
(2a + 5k ) 2
F
160ak
=0
(
900) = 0
2 a + 5k
800k 2
= 20
(2a + 5k ) 2
320a 2
= 18
(2a + 5k ) 2
160ak
= 900
2 a + 5k
Na deling van de linker- en rechterkant van de eerste twee vergelijkingen op elkaar, volgt:
800k 2
(2a + 5k ) 2 20
=
800k 2 10
18
320a 2
=
7200k 2 = 3200a 2 9k 2 = 4a 2 3k = 2a
2
9
320a
(2a + 5k ) 2
320a 2
= 18
(2a + 5k ) 2
320a 2
160ak
= 18
2
= 900
( 2 a + 5k )
2 a + 5k
160ak
= 900
2 a + 5k
160ak
240k k
= 900
= 900
k = 30
8k
2 a + 5k
a = 45
3k = 2a
3k = 2a
Voor het stationaire punt geldt: a = 45, k = 30 en = 1,6.
c.
De bijbehorende kosten zijn 20a + 18k = 900 + 540 = 1440.
Onderzoek nu naburige punten op de productievoorwaarde:
6400k
720
a = 40
= 900 1900k = 72000 k =
37,89
80 + 5k
19
720
37,89 zijn de kosten gelijk aan 20a + 18k 1482,11.
Voor a = 40 en k =
19
8000k
180
a = 50
= 900 3500k = 90000 k =
25, 71
100 + 5k
7
180
25, 71 zijn de kosten gelijk aan 20a + 18k 1462,86.
Voor a = 50 en k =
7
Beide kosten zijn groter dan 1440. Hieruit volgt dat de minimale kosten gelijk zijn aan 1440.
In het stationaire punt geldt: = 1,6.
5
Met cmin q volgt nu: cmin 1, 6 , dus cmin 8.
De minimale kosten zullen met ongeveer 8 toenemen.