Wiskunde Opgavencollege 1, 17 December 2010
Les 13
De extra oefeningen zijn optioneel en worden niet besproken op het opgavencollege, de
uitwerkingen ervan komen op blackboard.
Docenten: drs. H. ten Napel (kamer E3.21) en dr. G.J.M. Mare (kamer E3.22).
Assistenten: Thom de Kogel en Thomas van de Leur(kamer E3.39).
Opgavencollege op vrijdag (houdt u aan de indeling):
P1 t/m P3
13 :00-15 :00 in zaal AB.43 (C)
P4 t/m P9
13 :00-15 :00 in zaal AB.42 (B)
P10 t/m P18
15 :00-17 :00 in zaal AB.42 (B)
[indien nodig overloop naar
zaal AB.42 (C)]
******************************************************************************************
Opgave 1
Vind de stationaire punten (met functiewaarden) van de onderstaande functies en classificeer
deze (minimum/maximum/zadelpunt).
a)
f ( x, y ) = 2 x 3 + y 3 3 x 2 + 3 y 2 12 x 90 y
2
1
b)
w( p, q ) = pq 1 q
p
Extra oefening:
1)
h(r , s ) = r 2 + 2 s 2 9r 10 s + 1 rs
2
2)
g ( x, y ) = 1 x 2 + 2 y 2 ln xy , x > 0 en y > 0.
4
Opgave 2
Bij een productieproces worden de (totale) kosten gegeven door de functie:
C ( q1 , q2 ) = q12 + 2q1q2 + 3 q2 2 .
De prijs-afzetfuncties worden gegeven door: p1 = 36 3q1 en p2 = 40 5 q2
a)
b)
Schrijf de winst als functie van q1 en q2 en noem deze functie ( q1 , q2 ) .
Bepaal voor welke q1 en q2 de winst maximaal is en bereken de bijbehorende winst.
Toon aan dat er inderdaad sprake is van een maximum.
Extra oefening:
Een onderneming met twee vestigingen maakt een product met prijs p = 250.
De totale-kostenfuncties van de beide vestigingen zijn resp.
2
TK1 = 20q13 40q1 + 500 en TK 2 = 25q2 + 80 .
1)
Bereken de productieniveaus van de vestigingen waarvoor de totale winst maximaal is
en bereken ook die maximale totale winst.
Opgave 3
Laat f ( x, y ) = 60 x + 80 y 2 xy x 2 2 y 2 .
Vind de extreme waarden van deze functie onder de voorwaarde: 2 x + y = 40
a)
Door middel van substitutie.
b)
Met de methode van Wiskunde Lagrange.
Opgavencollege 1 Les 13
Pag. 1/2
Opgavencollege Wiskunde 1, 17 December 2010
Les 13
Opgave 4
Gegeven is de Cobb-Douglas productiefunctie: f ( K , L ) = 100 K 0.2 L0.8
De prijzen van Kapitaal (K) en Arbeid (L) zijn respectievelijk 10 en 20 per eenheid.
Bereken voor welke waarde van K en L de productie maximaal is bij een budget van 8000.
Opgave 5
Gegeven is de productiefunctie: q (a, k ) = 40 a 4 k
Hierin stellen a en k de hoeveelheden arbeid en kapitaal voor, benodigd voor de productie van
q eenheden.
a)
Bepaal de totale differentiaal in (a, k) = (4, 16).
b)
Benader met behulp van het bij onderdeel a gevonden antwoord de hoogte van de
productie-omvang in het geval dat de hoeveelheid arbeid wordt verhoogd naar 4,3 en
de hoeveelheid kapitaal wordt verlaagd naar 15,8.
De prijzen van arbeid en kapitaal zijn respectievelijk 8 en 4 geldeenheden.
De totale kosten van de inzet van kapitaal en arbeid kunnen dus worden weergegeven door:
TK = 8a + 4k
c)
Bepaal de hoeveelheden arbeid en kapitaal die benodigd zijn teneinde een productieomvang van 320 te bewerkstelligen tegen minimale kosten.
Opgave 6 (extra oefening)
1)
Gegeven is de nutsfunctie: U ( q1 , q2 ) = 2q1 q2 . De prijzen van de goederen 1 en 2 zijn
respectievelijk 4 en 5 per eenheid.
Bereken voor welke waarden van q1 en q2 het nut maximaal is bij een budget van
1000. Toon aan dat er sprake is van een maximum.
2)
Gegeven is de winstfunctie W ( q1 , q2 ) = 40q1 q2 20 000 .
Hierbij zijn q1 en q2 de te produceren hoeveelheden van goed 1 respectievelijk goed 2
per jaar.
De productiekosten van deze goederen zijn respectievelijk 30 en 5 per eenheid.
De producent moet een winst van 340.000 maken.
Bepaal met behulp van de bij dit probleem behorende Langrangefunctie voor welke
hoeveelheden q1 en q2 de productiekosten minimaal zijn. Toon aan dat dit een
minimum is.
Opgavencollege Wiskunde 1 Les 13
Pag. 2/2