Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff II
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Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff II

Course: PHSC 206, Spring 2012

School: Universidad del Turabo

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Ley de Ohm y Leyes de Kirchhoff Objetivos 1. Introduccin terica a los conceptos de la corriente elctrica, resistencia, fuerza electromotriz, circuitos elctricos, Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff, resistencias en paralelo y en serie. 2. Demostracin experimental de la expresin para un acoplamiento de resistencias en serie. 3. Demostracin experimental de la expresin para un acoplamiento de resistencias en paralelo....

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de Ley Ohm y Leyes de Kirchhoff Objetivos 1. Introduccin terica a los conceptos de la corriente elctrica, resistencia, fuerza electromotriz, circuitos elctricos, Ley de Ohm, Leyes de Kirchhoff, resistencias en paralelo y en serie. 2. Demostracin experimental de la expresin para un acoplamiento de resistencias en serie. 3. Demostracin experimental de la expresin para un acoplamiento de resistencias en paralelo. 4. Demostracin experimental de la Ley de Ohm para un circuito electrico completo. 5. Introduccin a las Leyes de Kirchhoff. 6. Demostracin experimental de la Primera Ley de Kirchhoff. 7. Demostracin experimental de la Segunda Ley de Kirchhoff. Introduccin Terica Hasta ahora en nuestros estudios del electromagnetismo, hemos estudiado la fsica electrosttica, es decir, la fsica de cargas estacionarias. Aqu vamos a expandir nuestros conocimientos un poco ms. En este laboratorio vamos a empezar a estudiar la fsica de las corrientes elctricas, es decir, la fsica de cargas en movimiento. La corriente elctrica es parte integral de la vida de cada persona. Da a da la utilizamos al utilizar aparatos elctricos como lo son las computadoras, lmparas, televisores, radios y enseres; adems una pequea cantidad de corriente recorre los nervios de nuestro cuerpo para regular la actividad muscular. La corriente tambin, esta presente a una escala global, ejemplo de ello lo son las partculas cargadas que son atrapadas en las correas de radiacin Van Allen sobre la atmsfera entre el polo magntico norte de la Tierra y el polo magntico sur. A escala del Sistema Solar enormes correntas de protones, electrones e iones vuelan radialmente desde el Sol en forma de viento solar. A escala de la Galctica, vemos protones grandemente energetizados en forma de rayos csmicos que atraviesan la Va Lctea y llegan a alcanzar el planeta Tierra. No todas las cargas que se mueven constituyen corriente elctrica. La corriente elctrica es igual al flujo neto de carga que pasa a travs de una superficie. Ejemplo: Si se tiene un alambre de cobre y se pasa un plano a travs de este, los electrones libres pasaran en ambas direcciones a una razn de varios billones por segundo; pero esto no constituye una corriente. Si se conectan las puntas del cable a una batera, los electrones fluirn en una misma direccin. El transporte neto de cargas ser la corriente elctrica que fluye en el cable. La Corriente Elctrica Figura 1 2 En la figura 1(a) vemos un lazo aislado el cual tendr cargas al mismo potencial a pesar de que tenga un exceso de cargas. En este lazo no puede existir un campo elctrico, por consiguiente, tampoco acta fuerza elctrica alguna y por lo tanto no hay corriente elctrica. En la parte 1(b) se inserto una batera en el lazo, donde se producir una diferencia de potencial. En este lazo existe un campo elctrico dentro del material, por consiguiente, actan fuerzas elctricas en la conduccin de cargas ocasionando el que estos se muevan. Por lo tanto, el movimiento de estas cargas produce una corriente elctrica. Figura 2 La figura 2 nos muestra la seccin de un conductor por el cual pasa una corriente elctrica. Si el elemento de carga dq que pasa a travs de un plano imaginario como (aa`) en un tiempo dt, la corriente i a travs del plano se define como: i= dq dt (Definicin de corriente) La carga que pasa a travs del plano puede encontrarse integrando para un intervalo de tiempo de 0 a t. q = q = t i t o En donde la corriente i puede variar en el tiempo. En condiciones normales la corriente de los planos aa`, bb` y cc` ser la misma sin importar su localizacin u orientacin, dado que la carga es conservativa. As mismo una carga bajo estas 3 condiciones, debe pasar a travs del plano aa` para cada carga que pasa a travs del plano cc. La unidad de medida para la corriente el en Sistema Internacional es el Coulomb por segundo, tambin conocido como Ampere (A), donde 1 1 ampere = 1 A = 1 coulomb per second = 1 C/s Vimos anteriormente en la figura 1(b) como la corriente se representa con flechas, muy parecidas a un vector pero no son vectores ya que la corriente es una cantidad escalar. Este lo vemos ya que la carga y el tiempo son ambas cantidades escalares y por consiguiente su cociente ser una cantidad escalar tambin. Por lo tanto, las flechas solo se utilizan para indicar la direccin del movimiento de la cargas dentro del conductor. Figura 3 Viendo la figura 3, la relacin de i0 = i1 + i2 es valida para la unin (o nodo) (a) sin importar la orientacin que tengan los tres cables en el espacio, ya que la corriente es un escalar y no un vector. Las flechas de corriente se dibujan en la direccin en la cual las cargas positivas deben moverse, a pesar de que lo que se estn moviendo sean cargas negativas en la direccin opuesta. 4 Densidad de Corriente Elctrica Densidad de corriente es el flujo de cargas que pasa a travs de una seccin de un conductor en un punto en particular, en la misma direccin de la velocidad de las partculas en movimiento. La magnitud de la densidad de corriente es se representa por J , el cual es igual a la corriente por unidad de rea a travs del elemento. La cantidad de corriente puede escribirse como: J A , donde A es un elemento del vector de rea. Este elemento del vector de rea tiene una magnitud igual al elemento de rea y con una direccin perpendicular a la superficie del conductor. Entonces, la corriente total a travs de la superficie es: i = J A Si la corriente es uniforme a travs de la superficie y paralela a A , entonces J es tambin uniforme y paralela a A . Entonces tenemos que: i = J A = J A = JA J= i A Donde A es el rea total de la superficie. De donde podemos ver que la unidad de medida para la densidad de corriente en el SI es (A/m2). Figura 4 5 En la figura 4 vemos como el flujo de carga se representa de una forma similar al flujo elctrico estudiado anteriormente. Vemos adems la transicin desde un cable conductor ancho a uno mas angosto; dado que la carga se conserva durante la transicin, la cantidad de carga y la de corriente no cambian. Pero la densidad de corriente si cambia, esta es mayor en el cable angosto. La Velocidad de Deriva Cuando un conductor no tiene corriente a travs de el, los electrones se mueven de forma aleatoria y el resultado neto es que no hay movimiento. Pero cuando el conductor tiene corriente elctrica a travs de el, estos electrones se mueven con una velocidad de deriva v d en direccin opuesta al campo elctrico aplicado que ocasiona la corriente. La velocidad de deriva es pequea comparada con las velocidades en el movimiento aleatorio. Por ejemplo, en un conductor de cobre los electrones se mueven a una velocidad de 10 -5 o 10-4 m/s, donde las velocidades en el movimiento aleatorio son de alrededor de 106 m/s. i = J A Observando la figura 5 vemos que las cargas positivas acarrean una velocidad de deriva vd en la direccin en que se aplica el campo elctrico E. Por convenio, tenemos que la direccin de la densidad de corriente J y la flecha de la corriente esta dibujada en la misma direccin. Figura 5 6 La carga total de las partculas en una lonigitud L, cada una con una carga e esta dada por la siguiente ecuacin: q = ( nAL)e Dado que todas se mueven a lo largo del cable a una velocidad v d, la carga total que se mueve a travs de cualquier seccin transversal del cable en un intervalo de tiempo dado viene dado por: L vd t= De la ecuacin i = q obtenemos que: t i= q nALe = = nAev d L t vd Resolviendo para vd obtenemos que: vd = i J = nAe ne Y la representacin vectorial es: J = ( ne) v d El producto de ne (C/m3) es el transporte de densidad de carga. Para transportes positivos, ne es positivo, J y vd tienen la misma direccin. Para transportes negativos, ne es negativo, J y vd tienen direccin opuesta. Resistencia y Resistividad Si se aplica la misma diferencia de potencial entre las puntas de unas varitas de cobre y vidrio veremos las caractersticas del conductor de cobre son las 7 de una resistencia elctrica. La resistencia entre dos puntos cualesquiera de un conductor se determina aplicando una diferencia de potencial V entre estos puntos y midiendo la corriente i como resultado. Entonces tenemos que la resistencia R viene dada por: R= V i (Definicin de R) La unidad de medida SI para la r esistencia es el voltio por ampere (V/A), lo que es igual a un ohmio . 1 ohm = 1 = 1 volt per ampere = 1 V/A Una resistor es un conductor cuya funcin en un circuito es el proveer una resistencia especfica. En el diagrama de un circuito el resistor y la resistencia se representan con el siguiente smbolo: i= V R La resistencia de un conductor depende de la manera en que se aplica la diferencia de potencial. Figura 6 En la figura 6 podemos ver una diferencia de potencial aplicado de dos formas distintas a un mismo conductor. La resistividad de un material se puede obtener mediante la siguiente ecuacin: 8 = E J (Definicin de ) En forma vectorial es: E = J Al combinar las unidades de E y J tenemos que las unidades de resistividad , en el SI es ohm-metro ( m): unit ( E ) V m V = = m = m unit ( J ) A m 2 A La conductividad de un material es el reciproco de la resistividad por lo cual tenemos: = 1 (Definicin de ) Las unidades para la conductividad en el SI es ( m)-1. Por loa que se puede escribir as: J =E Una resistencia es un conductor con una resistencia especfica. La figura 7(a) muestra una diferencia de potencial V aplicado al aparato y resulta en una corriente i a travs del aparato medida en V la cual varia en magnitud y polaridad. La polaridad V es tomada arbitrariamente como positiva en el terminal de mayor potencial y negativo en el terminal de menor potencial elctrico. La direccin de la corriente se considera siempre que sale del terminal de mayor potencial (positivo) y llega al terminal de menor potencial (negativo). 9 Figura 7 La Ley de Ohm Georg Simon Ohm fue un Fsico alemn, nacido en el ao 1789 en la ciudad de Erlangen, Bavaria y que muri en el ao 1854 en Munich. Ohm fue el mayor de siete hijos en una familia de clase media baja. Estudi en la ciudad de Colonia, pero su ambicin era conseguir un nombramiento en la universidad. Para esto tena que presentar algn trabajo importante de investigacin. Escogi el nuevo campo de la corriente elctrica iniciado por Volta. Debido a su pobreza, tuvo que construirse sus propios equipos de laboratorio. Equipo Utilizado por Ohm en sus Experimentos. 10 En 1811 obtuvo su doctorado y Ohm se aventuro en sus investigaciones elctricas en cada oportunidad, y sus esfuerzos culminaron con su famosa ley, la cual se public en 1827. En 1849 fue nombrado Catedrtico de Fsica de la Universidad de Munich. Durante su vida la Real Sociedad de Londres premio a Ohm con la medalla Copely en 1841 y la Universidad de Munich le otorgo la ctedra de Profesor de Fsica en 1849. En 1881, en la Exposicin Internacional de Electricidad de Pars, veintisiete aos despus de su fallecimiento, se adopt el ohmio como unidad de la resistencia elctrica en honor a su memoria. Figura 7 La figura 7(b) muestra una grafica de i versus V para un aparato. Dado que la grafica es una lnea recta la razn de i/V es la misma para todos los valores V. Por lo que la resistencia R = V/i es independiente de la magnitud y la polaridad de la diferencia de potencial aplicado V. La figura 7(c) muestra otro aparato conductor. La corriente puede existir en este aparato solo cuando la polaridad de V es positiva y la diferencia de potencial aplicada es ms de sobre 1.5 V. Cuando la corriente no existe, la relacin entre i y V no es lineal; ya que esta en dependencia del valor de una diferencia de potencial V. Este tipo de aparato es llamado un diodo semiconductor pn. (En ingles: semiconducting pn junction diode) La Ley de Ohm dice que la corriente elctrica que pasa a travs de un aparato es siempre directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicado. 11 Vi para llevar esta relacin a una igualdad, introducimos la constante de proporcionalidad que en este caso seria la resistencia R: V = iR La figura 7(b) cumple con la Ley de Ohm ya que la relacin es linear. La figura 7(c) en la que hay un diodo no cumple con la ley de Ohm ya que la relacion, es decir, la grafica es exponencial. Un aparato conductor obedece la Ley de Ohm cuando la resistencia del aparato es independiente de la magnitud y la polaridad de la diferencia de potencial aplicada. En la actualidad, la microelectrnica moderna y muchos de los aparatos que cada da utilizamos como los son las calculadoras, no cumplen con la Ley de Ohm. Si la Ley de Ohm V = iR no se cumple, esta ecuacin es la definicin de la formula de una resistencia y esto aplica para todos los aparatos conductores, obedezcan o no la Ley de Ohm. Si se mide la diferencia de potencial V a lo largo de la corriente i a travs de cualquier diodo, se podr encontrar que esta es la resistencia para un valor de V, como R = V/i. La esencia de la Ley de Ohm es que la grafica de i versus V es lineal y R es independiente de V. La ley de Ohm se puede expresar de una forma ms general al enfocarse en los materiales conductores en vez de los aparatos conductores. E = J , lo cual es anlogo con V = iR. Los materiales conductores obedecen la Ley de Ohm cuando la resistividad del material es independiente de la magnitud y la direccin del campo elctrico aplicado. Todos los materiales homogneos, sean conductores o semiconductores como el silicn puro o silicn con impurezas especiales, obedecen la Ley de Ohm 12 dentro de unos rangos de valores para el campo elctrico. Si el campo es muy fuerte, no se cumplir con la Ley de Ohm para la mayora de los caso. Una Visin Microscpica de la Ley de Ohm Al examinar el proceso de conduccin en un nivel atmico podemos entender porque algunos materiales obedecen la Ley de Ohm. Viendo esto para un metal como el cobre se puede asumir que los electrones de conduccin en el metal estn libres para moverse a travs de la muestra de volumen. Tambin, se puede asumir que los electrones colisionan solamente con los tomos del metal y no con los electrones entre s. La fsica clsica establece que los electrones deben tener una distribucin de velocidad Mawelliana como las de las molculas de un gas; donde la velocidad promedio del electrn debe ser proporcional a la raz cuadrada de la temperatura absoluta. Los movimientos de los electrones no estn gobernados por las leyes de la fsica clsicas, sino por las leyes de la fsica quntica a una velocidad efectiva v efec y esta velocidad es independiente de la temperatura. Ejemplo, para el cobre la veff 1.6 106 m/s. Al aplicar un campo elctrico a una muestra de metal, los electrones modifican sus movimientos aleatorios para moverse en una direccin opuesta al campo con una velocidad media llamado velocidad de deriva v d. La velocidad de deriva de un metal conductor tpico es de unos 5 velocidad efectiva de 1.6 106 m/s. 13 10-7 m/s, lo que es menor que la Figura 8 En la figura 8 vemos la relacin entre estas dos velocidades. Las lneas obscuras muestran un posible patrn aleatorio para un electrn en la ausencia de la aplicacin de un campo elctrico. En este caso el electrn se movera de A hacia B realizando seis colisiones durante su camino. Las lneas claras muestran un posible patrn aleatorio para un electrn bajo la aplicacin de un campo elctrico E y podemos notar que este movimiento se desplaza un poco hacia la derecha desde A hasta B`. En la figura anterior asumimos que vd 0.02veff. y dado que el valor actual es actual vd (10-13)veff, el desplazamiento es exagerado. El movimiento de los electrones de conduccin en un campo elctrico es una combinacin de movimientos debido a las colisiones aleatorias que son el resultado de ese campo. Al considerar todos los electrones libres, tenemos que sus movimientos aleatorios es cero y no contribuyen a la velocidad de deriva. Esta velocidad slo se debe al efecto del campo elctrico sobre los electrones. Si se pone un electrn de masa m en un campo elctrico E, el electrn experimentara una aceleracin regida por la Segunda Ley de Newton. a= F eE = m m La naturaleza de las colisiones experimentadas por los electrones luego de una colisin tpica provoca que el electrn pierda completamente la memoria de cual era su velocidad de deriva previa. Entonces, el electrn comienza a moverse en cualquier direccin, sin importar de qu direccin provena. En un tiempo 14 promedio entre colisiones, un electrn promedio puede adquirir una velocidad vd = a. Por lo que tenemos entonces: v d = a = eE m Combinando estos resultados con ( J = ne vd ), en forma de magnitud obtenemos que: vd = J eE = ne m lo que puede ser escrito como: E =( m )J e n 2 Comparndolo con la ecuacin ( E = J ) en forma de magnitud obtenemos que: = m e n 2 Esta ecuacin puede ser considerada como un planteamiento de que los metales obedecen la Ley de Ohm si podemos comprobar este, para metales, sus resistividades va ser una constante, independiente de la fuerza del campo elctrico aplicado. Tenemos que n, m, & e son constantes, lo que nos permite concluir que el tiempo promedio entre colisiones , es una constante, independiente de la fuerza del campo elctrico aplicado. puede ser considerado como una constante porque la velocidad vd ocasionada por el campo elctrico es mucho ms pequea que la velocidad efectiva del electrn veff 15 Las Leyes de Kirchhoff Gustav Robert Kirchhoff fue un fsico alemn nacido en Knigsberg en el ao 1824. Entro a la Universidad de Konigsberg a la edad de 18 aos y obtuvo su doctorado cinco aos despus. Kirchhoff fue un estrecho colaborador del qumico Robert Bunsen, aplic mtodos de anlisis espectrogrfico (basados en el anlisis de la radiacin emitida por un cuerpo excitado energticamente) para determinar la composicin del Sol. En el ao 1845, enunci las denominadas leyes de Kirchhoff aplicables al clculo de tensiones, intensidades y resistencias entorno de una maya elctrica. Las Leyes de Kirchhoff se basan en la Ley de la Conservacin de la Carga y la Ley de Conservacin de la Energa, basndose en la teora del fsico Georg Simon Ohm, segn la cual la tensin que origina el paso de una corriente elctrica es proporcional a la intensidad de la corriente. En 1847 ejerci como profesor en la Universidad de Berln, y al cabo de tres aos acept el puesto de profesor de fsica en la Universidad de Breslau y en 1854 fue nombrado profesor en la Universidad de Heidelberg. Merced a la colaboracin entre los dos cientficos se desarrollaron las primeras tcnicas de anlisis espectrogrfico, que condujeron al descubrimiento de dos nuevos elementos, el cesio (1860) y el rubidio (1861). En su intento por determinar la composicin del Sol, Kirchhoff averigu que cuando la luz pasa a travs de un gas, ste absorbe las longitudes de onda que emitira en el caso de ser calentado previamente. Aplic con xito este 16 principio para explicar a las numerosas lneas oscuras que aparecen en el espectro solar, conocidas como lneas de Fraunhofer. Este descubrimiento marc el inicio de una nueva era en el mbito de la astronoma. En 1875 fue nombrado catedrtico de fsica matemtica en la Universidad de Berln, donde muri en 1887. El anlisis de algunos circuitos simples cuyos elementos incluyen bateras, resistencias y capacitores en varias combinaciones , se simplifica utilizando las Leyes de Kirchhoff. Recordando, estas reglas surgen de las Leyes de Conservacin de la Energa y de la Carga. Un circuito simple puede analizarse utilizando la Ley de Ohm y las reglas de combinaciones en serie y paralelo de resistencias. Muchas veces no es posible reducirlo a un circuito de un simple lazo. El procedimiento para analizar un circuito ms complejo se simplifica enormemente al utilizar dos reglas llamadas Leyes de Kirchhoff. Antes de plantear las Leyes de Kirchhoff resulta de vital importancia el conocer los siguientes conceptos: Mayas: es cualquier trayectoria cerrada en un circuito elctrico. Nodos (Unin): es cualquier punto de un circuito donde se unen tres o mas conductores elctricos. Ramas: es cualquier trayectoria entre dos nodos consecutivos. Por cada rama pasa una y solo una corriente elctrica. Las Leyes de Kirchhoff dicen as: PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF (Ley de los Nodos): La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo en un circuito elctrico tiene que ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicho nodo. Matemticamente 17 Ientran = Isalen SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF (Ley de las Mayas): La suma algebraica de las cadas de potenciales a travs de todos los elementos de un circuito en una trayectoria cerrada es igual a cero. Figura 9 La primera ley se establece a partir de la Ley de la Conservacin de la Carga. Si se aplica esta regla a la unin que se ve en la figura siguiente se obtiene que: 18 I1 = I2 + I3 La segunda regla se deduce de la Ley de la Conservacin de la Energa. Es decir, cualquier carga que se mueve en torno a cualquier circuito cerrado (sale de un punto y llega al mismo punto) debe ganar tanta energa como la que pierde. Su energa puede decrecer en forma de cada potencial -IR, a travs de una resistencia o bien como resultado de tener una carga en direccin inversa a travs de un artefacto de fuerza electromotriz (fem). La fuerza electromotriz es una medida de la energa suministrada por una fuente de corriente elctrica. Es la energa que supone llevar un elemento de carga en torno al circuito en direccin opuesta a la fuerza electromotriz. Tambin se puede definir como la potencia aportada por una fuente de corriente elctrica por unidad de corriente. Podemos definir matemticamente como = dW dq (Definicin de ) donde dW es el elemento diferencial de trabajo necesario para llevar un elemento diferencial de carga dq desde el terminar de baja potencial (negativa) de la fuente hasta el terminar de alta potencial (positivo). La unidad del SI para la fem es igual a joule por coulomb ( j/C ), el cual ya anteriormente habamos definido como el volt (V). Un artefacto ideal de fem es una fuente en el cual no existe ningn tipo de resistencia interna. Por lo tanto, para un artefacto fem = V, donde V es la diferencia de potencial entre los dos terminales del artefacto. Adems existen artefactos reales de fem los cuales si tienen una resistencia interna. Ejemplo de este tipo es una batera, el cual tiene una determinada resistencia interna. Por ahora 19 solamente vamos a considerar que la fuente de fem utilizada (la bateria) es ideal, aunque en realidad sabemos que la batera no es ideal. Existen limitaciones sobre el nmero de veces que pueden utilizarse la regla de nodos y la de mallas. La regla de nodos puede utilizarse siempre que sea necesario pero considerando que, al escribir una ecuacin, se incluya una corriente que no haya sido utilizada previamente en alguna ecuacin de la regla de nodos. En general, el nmero de veces que puede ser utilizada la regla de nodos es uno menos que el nmero de uniones (nodos) que tenga el circuito. Nmero de ecuaciones de nodos = (n 1); donde n es el nmero de nodos La regla de la mayas puede ser utilizada siempre que sea necesario en tanto que un nuevo elemento de circuito (resistencia o batera) o una nueva corriente aparezca en cada nueva ecuacin. sea, el nmero de ecuaciones de mayas ser: Nmero de ecuaciones de mayas = R - (n 1); donde R es el nmero de ramas en el circuito y n es el nmero de nodos En general, el nmero de ecuaciones independientes que se necesiten debe ser al menos igual al nmero de incgnitas para tener una solucin al problema de un circuito en particular. Mtodo de solucin de problemas. 1. Marcar todos los elementos del circuito con un nombre, letra, suscrito y un valor. 2. Asignar a cada rama del circuito una direccin de corriente dibujando una flecha a lo largo de la rama que indique la direccin del flujo de la corriente. 20 3. Marcar todos los puntos de conexin de elementos del circuito con una letra de referencia. 4. Escribir las ecuaciones de las intensidades para cada unin de tres o ms elementos del circuito. Las corrientes que entran en la unin se consideraran algebraicamente positivas y las que salen negativas. 5. Escribir las ecuaciones del voltaje para cada camino cerrado del circuito. Indicar los voltajes desconocidos en funcin de las intensidades y resistencias. Indicar las polaridades de los voltajes, cuando se establezcan las ecuaciones de los voltajes se deben seguir las siguientes reglas: a) El voltaje de una fuente es positivo cuando la direccin de la corriente que pasa por el circuito, va desde el terminar negativo al positivo y ser negativo en caso contrario. b) La polaridad del voltaje en una resistencia depender de la direccin del flujo de la corriente dentro de ella. Cuando est direccin es opuesta a la direccin en que se ha trazado el voltaje el del lazo, voltaje de la resistencia es negativo. Cuando coincidan la direccin del flujo de la corriente y la asignada a lazo el voltaje es positivo. 6. Resolver simultneamente las ecuaciones de voltaje y corriente. 7. Los voltajes desconocidos pueden determinarse empleando la Ley de Ohm. 8. Comprobar las respuestas obtenidas sustituyendo sus valores en las ecuaciones del voltaje y corriente no empleadas de manera que todos los valores de corriente desconocidas sean utilizadas al menos una vez. 21 Las resistencias en serie Figura 10 La figura 10(a) nos muestra tres resistencias conectadazas en serie a una batera ideal con una fuerza electromotriz fem . Esta descripcin tiene muy poco que ver con la forma en la cual estn dibujadas las resistencias. Ms bien, en serie significa que las resistencias estn cableados uno detrs de otro y que la diferencia de potencial V es aplicada en el punto inicial y final. En general, Cuando una diferencia de potencial V es aplicada a varias resistencias conectadas en serie, las resistencias obtienen corrientes idnticas igual a i. Adems que la suma de las cadas de potenciales a travs de todas las resistencias del circuito es igual a la diferencia de potencial aplicada a dicho circuito elctrico. Varias resistencias conectadas en serie pueden ser reemplazadas con una resistencia equivalente Req el cual tiene la misma corriente i y la misma diferencial de potencial total V que las actuales resistencias del circuito. Para el circuito de la figura 10(a) la Req es representada en la figura 10(b). Para derivar una expresin para Req, vemos que 22 Vt = V1 + V2 + V3 Como V=i R (Ley de Ohm), sustituyendo tenemos que it Req = i1R1 + i2 R2 + i3 R3 Como las resistencias estn conectadas en serie, sus i son todas idnticas y por lo tanto sacando factor comn i y cancelando con it tenemos que Req = R1 + R2 + R3 En general, n Req = Ri i =1 Las resistencias en paralelo 23 (n resistencias en serie) Figura 11 La figura 11(a) nos muestra un circuito elctrico en el cual se encuentran tres resistencias conectados en paralelo a una batera ideal de fuerza electromotriz (fem) . Esta descripcin tiene muy poco que ver con la forma en la cual estn dibujadas las resistencias. Ms bien, en paralelo significa que las resistencias estn cableados directamente en un lado y adems cableados directamente en el otro lado y que adems la diferencia de potencial V es aplicada en cada lado en el cual estos se encuentran conectados. En general, Cuando una diferencia de potencial es aplicada a varias resistencias conectadas en paralelo, la diferencia de potencial ser aplicado a cada resistencia por individual, es decir, las resistencias obtendrn diferencias de potenciales iguales a V. Adems que la suma de las corrientes, aplicando la primera ley de Kirchhoff, ser igual a la corriente neta que fluye en el circuito. Varias resistencias conectadas en paralelo pueden ser reemplazadas con una resistencia equivalente Req el cual tiene la misma corriente diferencial de potencial V y la misma corriente neta i que las actuales resistencias del circuito. La R eq para 24 las resistencias conectadas en paralelo de la figura 11(a) esta representada en la figura 11(b). Para derivar una expresin para Req, vemos que it = i1 + i2 + i3 Como V=i R (Ley de Ohm), i = V/R. sustituyendo tenemos que Vt VV V = 1+ 2+ 3 Req R1 R2 R3 Como las resistencias estn conectadas en paralelo, sus V son todas idnticas y por lo tanto sacando factor comn V y cancelando con Vt tenemos que 1 1 1 1 = + + Req R1 R2 R3 En general, n 1 1 = Req i = 1 Ri 25 (n resistencias en paralelo) Procedimiento Activacin del Programa 1. Seleccione DATASTUDIO. 2. Seleccione, abrir una actividad. 3. Buscar el archivo en DESK/LABS FISICA 2/ LAB 6 Circuitos 4. Resistores.ds. 5. Realice los siguientes comandos: FILE/SAVE ACTIVITY AS. 6. Escoja la direccin de C:/My Documents/Flder del grupo. 7. Escriba el nombre del archivo: LAB6 Circuitos Resistores. 8. Asegure con salvar el documento. Montaje y Medicin de los Circuitos Resistores en Serie 1. Anote en la Tabla I los valores de la resistencia de cada resistor medido con el metro. 2. Usando la ecuacin (3) y los valores obtenidos por el metro, calcule el valor de la resistencia equivalente en serie para los tres los resistores. 3. Conecte en el panel de ensamblaje los tres resistores en serie. 4. Mida la resistencia equivalente en serie de los tres resistores con el metro digital. Anote la medida en la Tabla I. Obtenga un 26 por ciento de error si tomamos como valor estndar el valor real por el metro como referencia. 5. Conecte la fuente de voltaje (Interfase 750) a los puntos inicial y final del arreglo de los tres resistores. 6. Conecte en los canales A, B y C los tres censores de voltaje y luego de forma paralela un censor de voltaje para cada resistor. 7. Comience el programa con un Start y rpidamente aplique un Stop. 8. Anote los resultados de los voltajes para cada resistor y la fuente de voltaje en la Tabla I. Anote tambin la cantidad de corriente total en el circuito. 9. Desconecte la fuente de voltaje y los censores de voltaje de los resistores. 10. Verifica que la suma de los voltajes de estos tres resistores sea igual al voltaje total. Anota los resultados la Tabla I. 11. Utilizando la ley de OHM calcula la resistencia equivalente. Compara el por ciento de error comparado con el obtenido del metro. 12. Usando el valor de la corriente total obtenida, calcula el voltaje de cada para cada resistor y anota los resultados en la Tabla I. 13. Compara cada voltaje mediante por ciento de diferencia, los valores medidos con los valores calculados. 27 Resistores en Paralelo 1. Usando la ecuacin (6) calcule la resistencia equivalente en paralelo para los tres resistores usando los valores obtenidos por el metro. 2. Conecte en el panel de ensamble los tres resistores en paralelo, cuidando el orden de los tres. 3. Mida la resistencia equivalente en paralelo de los tres utilizando un multimetro digital. Anote el valor en la Tabla II. Obtenga el por ciento de error entre la resistencia equivalente real por el multimetro y la obtenida en el paso 1. 4. Conecte la fuente de voltaje (Interfase) nuevamente al circuito. 5. Conecte nuevamente un sensor de voltaje para cada resistor conservando el orden anterior. 6. Comience el programa con un Start y rpidamente aplique un Stop. 7. Anoten los datos de voltajes y corriente totales la Tabla II. 8. Desconecte la fuente de voltaje y los sensores nuevamente. 9. Calcule la corriente en cada resistor usando la ecuacin (4) y los valores de voltaje medido para cada resistor. Anote sus resultados en la Tabla II. 10. Verifique la relacin para la corriente total usando la ecuacin (5) y compare mediante por ciento de diferencia con valor medido de la corriente total. 11. Calcule el porciento de diferencia entre estos dos valores de carga obtenidos. 28 Leyes de Kirchhoff 1. Ensamble el circuito dado en el panel de ensamblaje. 2. Mida las cadas de voltaje en cada resistor con el multimetro digital. 3. Mida las corrientes que fluyen en cada rama del circuito. 4. Compruebe la primera y segunda Ley de Kirchhoff. 5. Anote los resultados. 29 Desarrollo y Anlisis Cmputos de la Primera parte del Experimento (Ley de Ohm): Medicin del valor real de cada resistencia utilizando el multmetro: R1 = 150.6 R2 = 117.8 R3 = 99.2 R4 = 118.4 Cmputo de la Resistencia total Equivalente en el circuito con las resistencias conectadas en serie: R equiv. = R1 + R2 + R3 + R4 R equiv. = 150.6 + 117.8 + 99.2 + 118.4 R equiv. = 486 Al medir experimentalmente la resistencia total del circuito conectado en serie utilizando el multmetro obtuvimos un R Total = 485 Cmputo del % de diferencia de las resistencias conectadas en serie: % diferencia entre las Resistencias = Requiv. (multimetro) Requiv. (exp erimental ) Requiv. (multimetro) + Requiv. (exp erimental ) X 100 2 30 486 485 % diferencia entre las Resistencias en serie = 486 + 485 X 100 2 % diferencia entre las Resistencias en serie = 1 X 100 485.5 % diferencia entre las Resistencias en serie = 0.21% Cmputo de la Resistencia total Equivalente en el circuito con las resistencias conectadas en paralelo: 1 1 1 1 1 R equiv. = R1 + R2 + R3 + R4 1 R equiv. 1 1 1 1 = 150.6 + 117.8 + 99.2 + 118.4 R equiv. = 0.0335 1 R equiv. . 1 . = 0.0335 1 R equiv. = 29.85 Al medir experimentalmente la resistencia total del circuito en paralelo utilizando el multmetro obtuvimos un R Total = 30 31 % diferencia entre las Resistencias = Requiv. (multimetro) Requiv. (exp erimental ) Requiv. (multimetro) + Requiv. (exp erimental ) X 100 2 30 29.85 % diferencia entre las Resistencias en paralelo = 30 + 29.85 X 100 2 % diferencia entre las Resistencias en paralelo = 0.15 X 100 29.925 % diferencia entre las Resistencias en paralelo = 0.50% Computo del % de error de las resistencias conectadas en serie: % de error = Resistencia Terica Resistencia experimental grfico Resistencia Terica % de error de las resistencias en serie = 486 - 484.2 486 X 100 X 100 (%) = 0.37% Computo del % de error de las resistencias conectadas en paralelo: % de error = Resistencia Terica Resistencia experimental grfico Resistencia Terica 32 X 100 % de error de las resistencias en serie = 29.85 - 29.69 29.85 X 100 (%) = 0.54% Cmputos de la Segunda parte del Experimento (Leyes de Kirchhoff): Nodos (Uniones): hay 2 nodos en el circuito y estos son: b, e Ramas: hay 3 ramas en el circuito y estas son: b a d e, b e, b c f e Mayas: hay 3 mayas en el circuito: a b d e, b e, b c f e, a c f d Nmero de ecuaciones de nodos = (n 1); donde n es el nmero de nodos Nmero de ecuaciones de nodos = (2 1) = 1 Aplicamos la Primera Ley de Kirchhoff (Ley de los Nodos): La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo en un circuito elctrico tiene que ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicho nodo. Matemticamente Ientran = Isalen Tenemos entonces la siguiente ecuacin de nodos: i1 = i2 + i3 Nmero de ecuaciones de mayas = R - (n 1); donde R es el nmero de ramas en el circuito y n es el nmero de nodos Nmero de ecuaciones de mayas = 3 - (2 1) = 3 1 33 Nmero de ecuaciones de mayas = 2 Aplicamos la Segunda Ley de Kirchhoff (Ley de las Mayas): La suma algebraica de las cadas de potenciales a travs de todos los elementos de un circuito en una trayectoria cerrada es igual a cero. Tenemos entonces las siguientes ecuaciones de mayas: - i 1 R 1 i2 R 4 = 0 - i 1 R 1 i3 R 2 - i 3 R 3 = 0 Resolvemos las ecuaciones: - i 1 R 1 i2 R 4 = 0 1.66 150.6 i1 118.4 i2 = 0 1.66 150.6 i1 118.4 (-0.00765 + 1.694 i1) = 0 1.66 + 0.90576 150.6 i1 200.57 i1 = 0 i1 = 2.566 / 351.17 i1 = 7.3 mA Tenemos la ecuacin de nodo: i1 = i2 + i3 Despejando para i3, tenemos que: i3 = i1 - i2 Sustituimos i3 en la ecuacin de maya - i1 R1 i3 R2 - i3 R3 = 0 1.66 150.6 i1 117.8 i3 99.2 i3 = 0 1.66 150.6 i1 217 i3 = 0 34 1.66 150.6 i1 217 (i1 - i2) = 0 1.66 150.6 i1 217 i1 217 i2 = 0 1.66 367.6 i1 217i2 = 0 i2 = (1.66 / -217) + (367.6 i1 / 217) i2 = 1.694 i1 0.00765 i2 = 0.0124 0.00765 i2 = 4.7 mA Sustituimos los valores de las corrientes i1 & i2 en la ecuacin de nodos i3 = i1 - i2, para conocer el valor de la corriente i3. i3 = i1 - i2 i3 = 7.3 mA - 4.7 mA i3 = 2.6 mA Cmputos de las cadas de potencial en cada resistencia: VR1 = i1 R1 VR1 = (7.3 mA) (150.6 ) VR1 = 1.10 V VR2 = i3 R2 VR2 = (2.7 mA) (117.8 ) VR2 = 0.32 V VR3 = i3 R3 VR3 = (2.7 mA) (99.2 ) VR3 = 0.27 V 35 VR4 = i2 R4 VR4 = (4.6 mA) (118.4 ) VR4 = 0.54 V Comprobacin de la Primera Ley de Kirchhoff: i1 = i2 + i3 7.3 mA = 4.7 mA + 2.6 mA 7.3 mA = 7.3 mA Comprobacin de la Segunda Ley de Kirchhoff: Mayas del circuito: a b d e, b e, b c f e, a c f d Cambios en el potencial a travs de la trayectoria cerrada a b d e: 1.66 V 1.10 V 0.54 V = 0.02 V Cambios en el potencial a travs de la trayectoria cerrada b c f e: 0.54 V 0.32 V 0.27 V = 0.05 V Cambios en el potencial a travs de la trayectoria cerrada a c f d: 1.66 V 1.10 V 0.32 V 0.27 V = -0.03 V 36 Preguntas del Manual 1. La grfica de Voltaje en funcin de la intensidad I; Refleja experimentalmente la Ley de Ohm? Explique. La grfica de Voltaje en funcin de la intensidad I cumple con la Ley de Ohm; ya que la relacin es lineal. La esencia de la Ley de Ohm es que la grafica de i versus V es lineal y R es independiente de V. La ley de Ohm se puede expresar de una forma ms general al enfocarse en los materiales conductores en vez de los aparatos conductores. E = J , lo cual es anlogo con V = iR. Los materiales conductores obedecen la Ley de Ohm cuando la resistividad del material es independiente de la magnitud y la direccin del campo elctrico aplicado. Todos los materiales homogneos, sean conductores o semiconductores como el silicn puro o silicn con impurezas especiales, obedecen la Ley de Ohm dentro de unos rangos de valores para el campo elctrico. Si el campo es muy fuerte, no se cumplir con la Ley de Ohm para la mayora de los casos. 2. Escriba una ecuacin que describa la curva obtenida en la grfica. Utilice variable fsicas. S y = mx + b, donde y = V (voltaje); m = R (resistencia); b = 0 (intercepto en V). Sustituyendo tenemos entonces que: V = R I + 0 Podemos ver que la ecuacin que describe la lnea recta obtenida en la grfica de Voltaje en funcin de la intensidad I es la Ley de Ohm: V = R I 37 3. Qu tipo de relacin hay entre la intensidad de corriente y la diferencia de potencial o voltaje? La Ley de Ohm dice que la corriente elctrica que pasa a travs de un aparato es siempre directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicado. Vi para llevar esta relacin a una igualdad, introducimos la constante de proporcionalidad que en este caso seria la resistencia R: V = iR Un aparato conductor obedece la Ley de Ohm cuando la resistencia del aparato es independiente de la magnitud y la polaridad de la diferencia de potencial aplicada. 38 Conclusin En este laboratorio comenzamos a estudiar la fsica de las corrientes elctricas, es decir, la fsica de cargas en movimiento. La corriente elctrica es parte integral de la vida de cada persona. Diariamente hacemos uso de ella al utilizar aparatos elctricos como lo son las computadoras, lmparas, televisores, radios y enseres; adems de que una pequea cantidad de corriente recorre los nervios de nuestro cuerpo para regular la actividad muscular. As, que el estudio y comprensin de las caractersticas y de los procesos que acompaan las corrientes elctricas resultan de vital importancia. Tambin, como parte del desarrollo de este experimento estudiamos, analizamos y probamos la valides de la Ley de Ohm y de las Leyes de Kirchhoff para resistencias conectadas en circuitos en paralelo y circuitos en serie. Durante la primera parte del laboratorio estudiamos circuitos elctricos con resistencias conectadas en paralelo y en serie. Para ello utilizando un multmetro, medimos el valor de cada una de las cuatro resistencias y obtuvimos los siguientes datos: R1 = 150.6 , R2 = 117.8 , R3 = 99.2 , y R4 = 118.4 . Computamos la Resistencia total Equivalente en el circuito con las resistencias conectadas en serie, al sumar las cuatro resistencias y obtuvimos un valor total de 486 . Luego al medir experimentalmente la resistencia total del circuito conectado en serie utilizando el multmetro obtuvimos un R Total = 485 . Por lo que, porcentaje de diferencia de las resistencias conectadas en serie fue de 0.21%. Esto nos permite concluir que la Resistencia total Equivalente en un circuito con las resistencias conectadas en serie es igual a la suma de todas las resistencias y que la resistencia total es siempre mayor que la mayor de las resistencias conectadas en el circuito elctrico. 39 Luego computamos la Resistencia total Equivalente en el circuito con las resistencias conectadas en paralelo, al sumar el inverso de cada una de las cuatro resistencias, obtuvimos un valor total de 29.85 . Despus pasamos a medir experimentalmente la resistencia total del circuito conectado en paralelo utilizando el multmetro y obtuvimos un R Total = 30 . Por lo que, porcentaje de diferencia de las resistencias conectadas en paralelo fue de 0.50%. Estos datos, nos llevan a concluir que la Resistencia total Equivalente en un circuito con las resistencias conectadas en paralelo es igual a la suma del inverso de cada una de las resistencias en el circuito y que la resistencia total es siempre menor que la menor de las resistencias presentes en el circuito elctrico. Adems, estudiamos y comprobamos la validez de La Ley de Ohm; la cual dice que la corriente elctrica que pasa a travs de un circuito es siempre directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicado, sea V i. Para llevar esta relacin a una igualdad, introducimos la constante de proporcionalidad que en este caso seria la resistencia R: V = i R. Entonces, utilizando la grfica de Voltaje en funcin de la intensidad I vimos que se cumple con la Ley de Ohm; ya que comprobamos que la relacin existente es lineal, lo que implica una proporcionalidad. Vimos que la grfica de i versus V es lineal y R es independiente de V; por lo que en la grafica R ser la pendiente de la recta. Para el circuito en serie la resistencia fue de 484.2 ; al comparar este resultado con el valor terico de 486 , obtuvimos un error % de 0.37%. Para el circuito conectado en paralelo la resistencia total en la grafica fue de 30 ; y al comparar este resultado con el valor terico de 29.85 , obtuvimos un error % de 0.54%. Dado que y = mx + b, donde y = V (voltaje); m = R (resistencia); b = 0 (intercepto en V), y sustituyendo tenemos entonces que: V = R I + 0. Concluimos que la Ley de Ohm se puede expresar de una forma ms general al enfocarse en los materiales conductores en vez de los aparatos conductores de la siguiente 40 forma: V = iR. Podemos ver que la ecuacin que describe la lnea recta obtenida en la grfica de Voltaje en funcin de la intensidad I es la Ley de Ohm: V = R I Los materiales conductores obedecen la Ley de Ohm cuando la resistividad del material es independiente de la magnitud y la direccin del campo elctrico aplicado. Todos los materiales homogneos, sean conductores o semiconductores como el silicn puro o silicn con impurezas especiales, obedecen la Ley de Ohm dentro de unos rangos de valores para el campo elctrico. Si el campo es muy fuerte, no se cumplir con la Ley de Ohm para la mayora de los casos. Durante el experimento tambin, trazamos la grafica de voltaje versus corriente elctrica para un Diodo. Analizando dicha grafica observamos que es una funcin exponencial, ya que el diodo solo permite el paso de la corriente en un solo lado. Estas observaciones nos permiten concluir que los electrones solo fluyen en un solo sentido y por lo tanto no se cumple la Ley de Ohm para este caso. En la segunda parte del experimento evaluamos las Leyes de Kirchhoff; para lo cual ensamblamos un circuito complejo utilizando las cuatro resistencias conectadas en serie y en paralelo a una fuente electromotriz (fem). Este circuito tena dos nodos, tres mayas y tres ramas, por lo que concluimos que tiene tres corrientes. Utilizando 1a ecuacin de nodo y dos ecuaciones de mayas procedimos a descubrir el calor de cada corriente. Comprobamos la primera Ley de Kirchhoff (Ley de los Nodos), donde la suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo en un circuito elctrico tiene que ser igual a la suma de las corrientes que salen de dicho nodo; ya que i1 = i2 + i3, sea 7.3 mA = 7.3 mA. Al comparar este resultado de la corriente total i1 computada con las Leyes de Kirchhoff, con la corriente total i1 calculada mediante la Ley de Ohm (I = V / R), podemos ver que el resultado fue exactamente el mismo i1 = 7.3 mA. Adems, 41 podemos concluir que esta primera ley es consecuencia de la ley de la conservacin de las cargas. Adems, comprobamos la segunda Ley de Kirchhoff (Ley de las Mayas), donde la suma algebraica de las cadas de potenciales a travs de todos los elementos de un circuito en una trayectoria cerrada es igual a cero. Primeramente, calculamos las corrientes para cada rama del circuito en siguiente manera: i 1 = 7.3 mA, i2 = 4.7 mA, y i3 = 2.6 mA. Luego, calculamos las cadas de potencial en cada resistencia de la forma siguiente: VR1 = 1.10 V, VR2 = 0.32 V, VR3 = 0.27 V, y VR4 = 0.54 V. Dado que podemos concluir que esta segunda ley es consecuencia de la Ley de la Conservacin de la Energa. Es decir, cualquier carga que se mueve en torno a cualquier circuito cerrado (sale de un punto y llega al mismo punto) debe ganar tanta energa como la que pierde. Su energa puede decrecer en forma de cada potencial -IR, a travs de una resistencia o bien como resultado de tener una carga en direccin inversa a travs de un artefacto de fuerza electromotriz (fem). Al tomar los datos que nos ofreci el equipo de medicin, vimos que en un circuito en paralelo el voltaje de la fuente fue prcticamente el mismo en cada uno de sus ramales asociados. Esto nos dio un valor de la fuente (fem) de aproximadamente 1.66 V; el cual calculamos al sumar algebraicamente los cambios en potencial en cada una de las resistencias conectadas en paralelo. En un circuito de resistencias en serie la corriente es la misma a lo largo de cada rama del circuito. Los cambios en el potencial a travs de la trayectoria cerrada [a b d e] resultaron ser 0.02 V, en la trayectoria cerrada [b c f e] fue de 0.05 V y en la trayectoria [a c f d] fue de 0.03 V. Estas diferencias son despreciables, por lo que se puede asumir que son cero, lo cual nos permite comprobar empricamente la segunda Ley de Kirchhoff (Ley de las Mayas). 42 Tambin, comprobamos que al conectarse las resistencias en paralelo la resistencia total del circuito es igual a la suma del inverso de las resistencias parciales. Adems, concluimos que en un circuito en serie se logra obtener una mayor resistencia que cuando se conectan las resistencias en paralelo, lo cual demostramos al comparar los resultados del circuito paralelo con los de serie. Luego de realizar este experimento de circuitos elctricos con resistencias conectadas en serie y en paralelo, podemos mencionar que las fuentes de error pueden deberse a: algn error de precisin de los instrumentos de medicin (multmetro), errores de propagacin al realizar los clculos, fluctuaciones en el voltaje de la corriente que pudieran haber afectado el sensor y la computadora, la resistividad de los cables conductores al paso de la corriente elctrica, la humedad presente en el aire durante el experimento converta al aire en un conductor, las resistencias pudieron haber tenido daos de manufactura, posible variabilidad durante el proceso de produccin de las resistencias, y la conexin de las resistencias. Todos estas observaciones y anlisis realizados a partir del experimento, nos ayudaron a visualizar, tanto fsica como tericamente, el funcionamiento de las resistencias conectadas en serie y en paralelo. Adems, de saber calcular las cargas, voltajes y las resistencias en estos. Adems, logramos obtener destrezas en el uso de otros elementos de prueba como lo fueron el multmetro. Tambin, aprendimos el uso y aplicacin de la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff para resolver circuitos complejos. 43 Referencias Beiser, Arthur. (1992) Modern Technical Physics. Sexta Edicin; New York. Addison Wesley. Ducong, Jos J. (2002) Introduccin a la Fsica II. Primera Edicin; Puerto Rico: Universidad del Turabo. Ducong, Jos J.; Neira, Carlos F.; Rodrguez, Rosa I. (2003) Manual de Laboratorio de Fsica General Parte II Electricidad Magnetismo y ptica. Primera Edicin; Puerto Rico: Universidad del Turabo. Halliday, David; Resnick, Robert y Walker, Jearl. (2001) Fundamentals of Physics Extended. Sexta Edicin; New York. John Wiley & Sons, Inc. Halliday, David; Resnick, Robert y Walker, Jearl. (2005) Fundamentals of Physics Extended Edition. Sptima Edicin; New York. John Wiley & Sons, Inc. Hernndez, Roberto; Fernndez, Carlos y Baptista, Pilar. (2003) Metodologa de la Investigacin. Tercera Edicin; Mxico: McGraw-Hill Interamericana Editores, S. A. de C. V. Kuhn, Karl F. (1996) Basic Physics. Segunda Edicin; New York. John Wiley & Sons, Inc. Murphy, James T.; Zitzewitz, Paul W.; Hollon, James; y Smoot, Robert C. (1989) Fsica: Una Ciencia para Todos. Tr.: Jos N. Caraballo; Quinta Edicin; Ohio: Merrill Publishing Company. 44 Serway, Raymond A. (1996) Physics: For Scientists & Engineers . Cuarta Edicion; Saunders College Publishing Daintith, John (2001) Diccionario de Fsica . Grupo Editorial Norma Educativa. Enciclopedia Britnica 2001. (2001) Segunda Edicin (CD-ROM) The Complete Reference Collection. (1998) (CD-ROM) 45

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Repaso Tercer Examen Fsica 206Tutor: Hctor J. Machn MachnFrmulas0 = 4 107T mALey de Faraday de la induccind B= NdtFem y el campo elctrico inducido = E dsLey de Biot-Savat 0 I d s rdB =4r2Ley de Faradayd BE ds = dtFuerza magntica entr
InterAmerican Ponce - RELIGION - 101
La Existencia de DiosEstrella Aguilar del ValleEn la actualidad, hay una pregunta que sigue presente en nuestras mentes,pues a pesar de todo lo que digamos, sigue siendo un misterio: Existe Dios? Meresulta muy difcil contestar a esta pregunta porque m
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Chapter 1 IntroductionTrue/Falqe Questions1. Primary markets are markets where users of funds raise cash by sehling securities tofunds suppliers.Answer: True Page: 4 Leveh2 Easy2. Secondary markets are markets used by ckrpnrations to raise cash by is
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Chapter 2 Determinants of Interest RatesTrue/False Questions1. The real interest rate is the increment to purchasing power that the lender earns inorder to induce him or her to forego current consumption.Answer: True Page: 46 Level: Medium2. If you e
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FINC 3700 Markets and InstitutionsSummer 2010 ThommesenChapter 05 Sample Test QuestionsMULTIPLE CHOICE. Choose the one alternative that best completes the statement or answers the question.1) A steep upward sloping yield curve indicates that short-ter
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FINA215Problem SolvingFall 2009Solutions to problems on chapter 2, pp. 57-593. a. FV = $5,000 (FVIF 6%/1, 5(1) = $5,000 (1.338226) = $6,691.13b. FV = $5,000 (FVIF 8%/1, 5(1) = $5,000 (1.469328) = $7,346.64c. FV = $5,000 (FVIF 10%/1, 5(1) = $5,000 (1
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Chapter 3 Interest Rates and Security ValuationTrue/False Questions1. If interest rates increase, the value of a fixed income contract decreases and vice versa.Answer: True Page: 69 Level: Easy2. At equilibrium a security's required rate of return wil
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Chapter 03 - Interest Rates and Security ValuationAnswers to Chapter 3 Questions1. 935 = 75(PVIFA rr, 5) + 980(PVIF rr, 5) rr = 8.83%2. 980 = 75(PVIFA Err, 3) + 990(PVIF , 3) Err = 7.97%3. Vb = 1,000(.08) (PVIFA 9%, 10) + 1,000(PVIF 9%, 10) = $935.82
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Answers to Chapter 3 Questions 1. 935 = 75(PVIFA rr, 5) + 980(PVIF rr, 5) rr = 8.83% 2. 980 = 75(PVIFA Err, 3) + 990(PVIF 7 ,3) Err = 7.97%3. Vb = 1,000(.08) (PVIFA 9%, 10) + 1,000(PVIF 9%, 10) = $935.82 4. EXCEL Problem: Bond Value = $1,268.27 Bond Va
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FINA215Problem SolvingFall 2009Problem set on Chapter 3, pp.90-92.1. 935 = 75(PVIFA rr, 5) + 980(PVIF rr, 5) rr = 8.83%4. EXCEL Problem: Bond Value = $1,268.27Bond Value = $1,169.36Bond Value = $1,000.00Bond Value = $862.016. EXCEL Problem: Yield
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Chapter 4 The Federal Reserve System, Monetary Policy, and InterestRatesTrue/False Questions1. Federal Reserve interest rate decisions can be vetoed by the U.S. President or theCongress.Answer: False Page: 90 Level: Easy2. The FOMC is responsible fo
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Answers to Chapter 4 Questions1. As part of the Federal Reserve System, Federal Reserve Banks perform multiple functions.These include assistance in the conduct of monetary policy, supervision and regulation of memberbanks, and the provision of service
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Answers to Chapter 22 Questions1. The length of the repricing period determines which of the securities in a portfolio are ratesensitive. The longer the repricing period, the more securities either mature or need to berepriced, and, therefore, the more
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FINA 215FINANCIAL MARKETS &INSTITUTIONSSPRING 2010Practice problem #10- Chapter 22- p. 63310. a. Duration of GBI=s fixed-rate loan portfolio:Time cash flowPVIFPVCFPVCF*t165.120.89296.96466.96265.120.79726.218112.44365.120.71185.5519
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Answers to Chapter 25 Questions1. Loans sold without recourse means that after selling the loan the originator of the loan can takeit off the balance sheet. In the event the loan is defaulted, the buyer of the loan has no recourse tothe seller for any
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Answers to Chapter 9 Questions 1. This is because stock market movements are sometimes seen as predictors of economic activity in a country. This is also because corporate stocks may be the most widely held of all financial securities. Most individuals ow
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Answers to Chapter 11 Questions1. A depository institution is a financial intermediary that obtains a significant proportion of itsfunds from customer deposits. Industrial corporations tend to obtain a greater proportion of theirfunds from stockholders
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Answers to Chapter 12 Questions 1. The Report of Condition refers to the bank's balance sheet which presents information about the accumulation of assets, liabilities, and equity as of a specific point in time. The Report of Income refers to the bank's in
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Answers to Chapter 13 Questions 1. Regulators have issued several guidelines to insure the safety and soundness of CBs: i. CBs are required to diversify their assets and not concentrate their holdings of assets. For example, banks cannot lend more than 10
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Answers to Chapter 14 Questions 1. A comparison of Table 11-2 with Table 14-3 reveals that unlike banks, savings institutions hold the vast majority of their assets in the form of mortgages and mortgage backed securities. Like banks, the liabilities of sa
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Answers to Chapter 16 Questions 1. As with all intermediaries, these firms bring together those who may need extra money with those who wish to invest their money. This may take the form of an investment banker underwriting an IPO for a growing company or
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Answers to Chapter 17 Questions 1. A mutual fund represents a pool of financial resources obtained from individuals and invested in the money and capital markets. It represents another way for those with extra funds to channel those funds to those in need
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Answers to Chapter 18 Questions 1. Private pension funds are created by the private entities (e.g., manufacturing, mining, or transportation firms) and are administered by private corporations (financial institutions). Public pension funds are those funds