LOGARITMA FONKSIYONUNUN OZELLIKLERI
14 Pages

LOGARITMA FONKSIYONUNUN OZELLIKLERI

Course Number: CSE 101, Spring 2012

College/University: Istanbul Technical...

Word Count: 2178

Rating:

Document Preview

LOGARTMA FONKSYONUNUN ZELLKLER u = f(x) ise y = log u fonksiyonu (0, + ) aralnda tanmldr. Bir arpmn logaritmas arpanlarn logaritmalar toplamna eittir. loga.b = loga + logb Bir blmn logaritmas blnenin logaritmas ile blenin logaritmas farkna eittir. log a = log a log b dir. b Bir kuvvetin logaritmas sle tabann logaritmas arpmna eittir. loga n = n.loga 1. a, b, c R+ olduuna gre aadaki logaritmalar a,b,cnin...

Unformatted Document Excerpt
Coursehero >> Turkey >> Istanbul Technical University >> CSE 101

Course Hero has millions of student submitted documents similar to the one
below including study guides, practice problems, reference materials, practice exams, textbook help and tutor support.

Course Hero has millions of student submitted documents similar to the one below including study guides, practice problems, reference materials, practice exams, textbook help and tutor support.

FONKSYONUNUN LOGARTMA ZELLKLER u = f(x) ise y = log u fonksiyonu (0, + ) aralnda tanmldr. Bir arpmn logaritmas arpanlarn logaritmalar toplamna eittir. loga.b = loga + logb Bir blmn logaritmas blnenin logaritmas ile blenin logaritmas farkna eittir. log a = log a log b dir. b Bir kuvvetin logaritmas sle tabann logaritmas arpmna eittir. loga n = n.loga 1. a, b, c R+ olduuna gre aadaki logaritmalar a,b,cnin logaritmalar cinsinden yaznz. a) log c) log 3 a3 4 b c2 b) log a2 c b a 2 b3 4 c3 c ZM : Logaritma zelliklerini kullanarak 1 1 3 4 a3 4 b a) log 2 = log a .b = loga 3 + logb 4 logc 2 = 3loga + 1 logb 2logc c 4 c2 2 3 b) log a2 c b = log 1 2 3 a 3 .c 2 b c) log ab 34 c c 3 = log a 2 b 3c 4 c 1 2 = loga + logc logb = 1 2 3 2 1 2 1 2 2 1 1 loga + logc logb 3 2 2 3 1 = loga 2 + logb 3 + logc 4 logc 2 3 1 1 = 2loga + 3logb + logc logc olur 2loga + 3logb + logc 4 2 4 2. Aadaki ifadeler hangi terimin veya saynn logaritmasdr. a) loga + logb + logc b) log2 + log3 log4 c) 3loga + 2logb d) 3log5 + 2log2 e) 1 1 log 2 + log 3 log 4 2 3 ZM : Logaritma zelliklerine gre, a) loga + logb + logc = loga.b.c b) log2 + log3 log4 = log c) 3loga + 2logb = loga3 + logb2 = loga3.b2 d) 3log5 + 2log2 = log 53 + log 2 2 = log 53.2 2 = log 125.4 = log 500 e) 2.3 3 = log 4 2 1 1 1 1 log 2 + log 3 log 4 = log 2 2 + log 3 log 4 3 = log 2 + log 3 log 3 4 2 3 = log 32 3 4 3. Aadaki eitliklerden xi bulunuz. a) logx = loga + logb 2logc b) logx = 1 1 loga + logb 2 3 c) logx = 2loga + 2logb logab ZM : Logaritma zelliklerine gre a) logx = loga + logb 2logc2 = log 1 a.b a.b x= 2 2 olup c c 1 b) logx = loga 2 + logb 3 = log a + log3 b = log a .3 b olup, x = a .3 b = a 3 .b 2 c) logx = loga2 + lob2 logab = log a 2b2 = logab olup x = ab bulunur. ab 4. f(x) = log(x2 2x + 1) fonksiyonunun tanm kmesi nedir? ZM : Logaritma fonksiyonu (0; + ) aralnda tanml olduundan; x2 2x + 1 = (x 1)2 > 0 olmaldr. x 1 iin bu eitsizlik salandndan verilen fonksiyonun tanm kmesi R {1}dir. 5. f(x) = log(2x 4x2) fonksiyonunun tanm kmesi nedir? ZM : Logaritma fonksiyonu (0; + ) aralnda tanml olduundan; Bu eitsizlii tablo dzenleyerek zelim. 1 bulunur. 2 2x 4x2 = 0 dan 2x(1- 2x) = 0 x1 = 0 x2 = - x 2x-4x2 0 + + o halde 2x 4x2 > 0 olmas iin 0< x < Veya (0, 1 olmaldr. 2 1 ) dir. 2 6. logx = 8 ise log x x x in degeri nedir? ZM : x x x= x x .x = x 2 7 log x x x = log x 8 = 4 x= 3 4 7 8 x .x = x = x olup, 4 3 8 7 7 7 log x = .8 = 7 bulunur. 8 8 3 4 7. [ log 3 ( ,. log 3 9)] in deeri nedir? 2 ZM : [ 3 3 3 log 3 ( ,. log 3 3 2 )]4 = [log 3 ( ,2 log 3 3)]4 = log 3 ( .2.1)] 4 = [log 3 3] 4 = 14 = 1bulunur. 2 2 2 8. log 2 = x, log 3 = y ise log 144 n deeri nedir. ZM : 144 = (12)2 = (3.4)2 = (3.22)2 = 32 . 24 olup, log 144 = log 32 . 2.4 = log 32 +log 24 = 2log3 +4log2 = 2y + 4x dir. 9. log 5 = a, log2 = b ise log 64 in degeri nedir? 125 ZM : log 64 26 = log 3 = log2 6 log53 = 6log2 3log5 = 6b 3a bulunur. 125 5 1 10. 27 n degeri nedir? log9 log ZM : log 1 = log1 log27 = log1 log33 = 0 3log3 olduundan 27 1 27 = 3log3 = 3log3 = 3 bulunur. log9 2log3 2 log3 2 log RNEKLER x 1 fonksiyonunun tanm kmesi nedir? x +1 1. f(x) = log a) (-1; 1) d) (1;+ ) b) [-1; 1) e) ( ;1) c) ( ;1) (1;+ ) 2. f(x) = a) [2;+ ) c) [1; + ) b) (2 ; + ) d) (1 ; + ) e) Tanmsz x2 + 1 fonksiyonunun tanm kmesi nedir? log( x 1) 3. log(x +2) + log(x-1) fonksiyonunun tanm kmesi aadakilerden hangisidir? a) (- ; -2) b) [2; + ) [1;+ ) c) (-2;1) d) (1;+ ) 4. [0;2] aralnda f(x) = log (sin x) fonksiyonunun tanm kmesi nedir? a) (0; e) 3 ) U ( ; ) 2 2 c) (0;2) d) [0; ] e) (0; ) d) e) Tanmsz b) 3 (; ) 22 5. log (- a) 2 b) 2 c) 1 2 6. log x = 1,2 ise logx2 nin deeri nedir? a) 0,6 d) 2,1 b) 1,4 e) 3,6 c) 2,4 7. f(x) = log a) 3f(x) d) b) 1 f ( x) 3 e) c) (fog-1)(x) 8. f(x) = log x-1(x2 2x +1), (x 1> 0) fonksiyonu nasl bir fonksiyondur.? a) Logaritmik d) stel b) Lineer e) Fonksiyon deil c) Sabit 1 ) ifadesinin deeri nedir? 100 1 2 2+ x x 3 + 12 x ise fog (x) nedir? , g(x) = 2 x 3x 2 + 4 f(x) + g(x) f ( x) g ( x) 9. log3 a = 12 olduuna gre a) a 3 a a nin deeri nedir? 35 d) 312 b) 36 e) 314 c) 39 10. log 1 x = p, log 234 y = q ise xy arpar nedir? a) 35q-p d) 3q-5p b) 3p-5q e) 9p-5q c) 35p-q 3 11. logax = 1 + logay olduuna gre xin y cinsinden deeri nedir? a) y-a b) a +y d) ay c) y a e) a y f(x) = log 2 1 x ( x < 1) fonksiyonunun tersi nedir? 12. a) 4x-1 d) 1 2x b) 1 + 4x e) 1 - 4x c) 1 + 2x 1 13. f: AR, f(x) = 2x-1 fonksiyonu veriliyor. A = 2, ,1 ise f-1(A) kmesi nedir? 2 a) { 0,1,2} d) { 0,1,2} b) { 1,0,1} 1 e) 0, ,1 2 1 c) ,1,2 2 RNEKLER Logaritma fonksiyonu (0;+ ) aralnda tanml olduundan, x 1 > 0 olmaldr. x +1 Bu eitsizlii tablo dzenleyerek zelim. x x 1 x +1 - -1 + x < -1 ve x > 1 ise + 1 - + x 1 >0 dr. Yani x(- ; -1) U(1; + ) olmaldr. x +1 x-2 0 x 2 ise x 2 fonksiyonu tanmldr. x-1 > 0 x > 2 ise log (x-1) fonksiyonu tanmldr. log(x-1) 0 x 2 ise 1 fonksiyonu tanmldr. log( x 1) O halde yukardaki eitsizliklerin ortak zm x > 2 olduundan fonksiyonun tanm kmesi (2;+ ) dur. Logaritma fonksiyonu (0;+ ) da tanml olduundan, x +2 > 0 dan x > -2 x - 1 > 0 dan x > 1 olmaldr. x > 1 ise x > -2 olacandan x > 1 iin fonksiyon tanmldr. Fonksiyonun tanml olmas iin Sinx > 0 olmaldr. Ancak (0 ; ) aralnda Sinx > 0 olduundan fonksiyon bu aralkta tanmldr. log x fonksiyonu x > 0 iin tanmldr. Burada tanmszdr. logx2 = 2 logx = 2.1,2 = 2,4 bulunur. 1 < 0 olduundan ifade 100 x 3 + 12 x 2 3 3x 2 + 4 = log 6 x + 8 + x + 12 x (fog) (x) = f(g(x)) = log x 3 + 12 x 6 x 2 + 8 + x 3 + 12 x 2 3x 2 + 4 2+ 3 = log x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 (2 + x) 3 2+ x 2+ x = log = log = 3 f ( x ) bulunur = 3 log 3 2 3 2 x x + 6 x 12 x + 8 (2 x) 2 x 8. f(x) = logx-1(x2 - 2x + 1) = logx-1(x-1)2 = 2logx-1(x-1) = olup fonksiyon sabit fonksiyondur. 3 9. x = a3 a a = 6 a 4 a = 6 a 9 = a 4 olup, log 3 x = 3 3 log 3 a = .12 = 9 log 3 x = 9. log 3 3 = log 3 39 4 4 x = 39 = 19683 bulunur. p 1 p 10. 1 log x = p den x = = 3 3 3 () log 243 y = q den y = 243q = 35 q = 35 q olup x.y = 3 -p.35 q p bulunur. 11. Verilen eitlikten log a x = 1 + log a y log a x log a y = log a a log a x = a x = ya y x = log a a y bulunur. 12. y = log 2 1 x x = log 2 1 y x = 1 log 2 (1 y ) 2 2x = log2(1-y)22x =1-y y = f-1(x) = 1-22x = 1 4x bulunur. 13. f(x) = 2x-1 den y = 2x-1 x = 2y-1 log2 x = y-1 y = 1 + log2x = f-1(x) olup f-1(2) = 1 + log22 = 1 + 1 = 2 f-1( 1 1 ) = 1 + log2 = 1 + log2 1 log22 = 1 + 0 1 = 0 2 2 f-1(1) = 1 + log21 =; 1 + 0 = 1 olup f-1(A) = {0,1,2} dir. X FONKSYONUNUN GRAF R+ - [0, 3] R, f(x) = log5(x-3) n grafiini iziniz. Fonksiyon x 3 > 0 dan x > 3 iin tanmldr. x = 3 iin f(3) = log50 = - x = 4 iin f(4) = log51 = 0 x = 8 iin f(8) = log55 = 1 x = + iin f(+ ) = log5(+ ) = + dur. x1,x2 R [0;3] iin x1> x2 ise f(x1) > f(x2) olduundan fonksiyon monoton artan bir fonksiyondur. Grafik yan taraftadr. R + [0;1] R, f(x) = log7(1-x) in grafiini iziniz. Fonksiyon 1 x > 0 dan x < 1 iin tanmldr. x = - iin f(- ) = log7(+ ) = + x = -6 iin f(-6) = log77 = 1 x = 0 iin f(0) = log71 = 0 x = 1 iin f (1) = log 7 0 = dur. x1 , x 2 R + [ 0;1] iin x1 > x 2 ise f(x1 ) < f ( x 2 ) olduundan fonksiyon monoton azalan bir fonksiyondur. + 3. f : R + ( 1 : 0 ] R, f ( x) = log 1 in grafiini iziniz. x +1 zm: Fonksiyon 1 > 0 dan x + 1 > 0, x > 1 iin tanmldr. x +1 x = 1+ iin f( 1) + = log 1 + 1 +1 = log 1 =+ 0+ 1 =1 0,1 x = 0,9 iin f (0,9) = log x = 0 iin f(0) = log 1 =0 1 x = + iin f( + ) = log 1 = log 0 = dur. x1 , x 2 R + + [ 1;0] iin x1 > x 2 ise f ( x1 ) < f ( x 2 ) olduundan fonksiyon monoton azalan bir fonksiyondur. 1 1 + 4. f : R 0; R, f(x ) = log 1 ( x ) nin grafiini iziniz. 2 2 2 zm: Fonksiyon x x= 1 1 > 0 dan x > iin tanmldr. 2 2 1 1 iin f ( ) = log 1 0 = + 2 2 2 x =1 1 =1 2 iin f (1) = log 1 2 x= 3 3 iin f ( ) = log 1 1 = 0 2 2 2 x = + iin f ( + = ) dur. 1 x1 , x 2 R 0; iin x1 > x 2 ise f(x1 ) < f ( x 2 ) olduundan fonksiyon 2 monoton azalandr. 5. f : R [ 1;0] R, f ( x ) = log 1 (1 x) in grafiini iziniz. 3 zm: Fonksiyon 1-x > 0 dan x < -1 iin tanmldr. = iin f( ) = log 1 ( + = ) 3 = 2 iin f( 2) = log 1 1 = 0 3 = 1 iin f( 1) = log 1 0 = + 3 dur. x1 , x 2 R [ 1;0] iin x1 > x 2 ise f(x1 ) > f ( x 2 ) olduundan fonksiyon monoton artandr. 1) log20 log(x 1) = 1 denklemine uyan x in deeri aadakilerden hangisidir? a) 3 b) c) 3 2 3 2 d) 2 e) 3 ZM: 20 log20 log(x 1) = 1 log x 1 =log10 (log10 = 1) 20 x 1 = 10 20 = 10 ( x 1 ) 2 = x 1 x = 3 bulunur. 2) logx + log2 = 1 eitliini salayan x deeri aadakilerden hangisidir? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 ZM: logx + log2 = 1 log(2x) = log10 2x = 10 x = 5 bulunur. 3) x R dir. logx < 0 olmas iin x aadaki deerlerden hangisini almaldr. a) x < 0 b) 1 < x <10 c) 1 < x < 0 d) 0 < x < 1 e) mmkn deil. ZM: Tanmdan x R iin logx < 0 , 0 < x < 1 dir. 4) Aadakilerden hangisi, deiik tabanl iki logaritma arasnda bir bantdr? ( 0 < b < a dr.) a) log a x = log bx log b x b) log a x = log b b log a a d) log b x = log a x e) hibiri log a b c) log a x = log a ZM: 0 < b < a iin log a x = log b x log a b idi. O halde, log a b = 1 log b x dan log a x = bulunur. log b a log b a 5) a) log e e 1 log e 2 2 nin deeri aadakilerden hangisidir? b) 2 c) d) 2 e) e 2 2 ZM: log e e 2 = 6) ( log a a = 1 ) = 2 log e e 2 .1= log e e = 1 olur. 2 bulunur. x R dir. 0 logx olmas iin aadaki deerlerden hangisini almaldr? a) 1 < x < 2 b) 1 0 < 10 c) 1 x e) x 1 d) 1 < x ZM: logx 0 olmas iin logx = 1 den (1 x ) x R ve x 1 olmaldr. 7) loga = 1,28 olduuna gre a) 64 b) 256 16 a 25 nin deeri aadakilerden hangisidir? c) 96 d) 100 e)1000 ZM: log10 a = 1,28 101, 28 = a , a nn deeri 16 8) a 25 = 16 16 a 25 de yerine yazlrsa, (101, 28 ) 25 = 16 10 32 = 10 2 = 100 olarak bulunur. log(tanx) = 0 ise x in en kk radyan ls aadakilerden hangisidir? a) b) 2 c) 4 d) 3 4 e) 5 4 ZM: log(tanx) = 0 ; log1 = 0 olduundan, log(tanx) = log1 9) tanx = 1 x= bulunur. 4 a log a b nin deeri aadakilerden hangisidir? a) log a b b) log b a c) a b d) b e) 1 ZM: a log a b = x olsun. Her iki tarafn a tabanna gre logaritmasn alalm. log a x = log a a log a b log a x = log a b log a a log a x = log a b ( log a a = 1 ) x = b bulunur. 10) log a x = m, log b x = n ise aadaki bantlardan hangisi dorudur? a) x = m n b) m a = n b c) m = n d) a m = b n e) x = m.n n.b ZM: log a x = m, x = a m ve log b x = n , x = b n o halde a m = b n bulunur. 3 11) log( sin x) = 0 ise x in en kk radyan ls aadakilerden hangisidir? 2 a) b) 4 c) 2 d) 2 3 e) 6 ZM: 3 3 log( sin x ) = 0 , log( sin x) = log 1 2 2 3 sin x = 1 2 sin x = 3 1 1 = 2 2 (log1 = 0 ) x = 30 veya x = olur. 6 12) log10 2 = 0,30103 olduuna gre log10 0,002 nin deeri aadakilerden hangisidir? a) 0,0030103 b) 0,0310103 d) 3,30103 e) 2,30103 ZM: Mantisleri ayn karakteristii farkldr. log 0,002 = 3,30103 bulunur. c) 1,30103 13) log7,463 = 0,87294 olduuna gre log7463 aadakilerden hangisidir? a) 1,87294 b) 3,87294 c) 8,72940 d) 4,87294 e) 4,87294 ZM: Bir sayy 10 ve 10 un herhangi bir kuvveti ile arptmzda veya bldmzde, saynn logaritmasnn mantisi deimez. Ayrca, bir saynn logaritmasnn karakteristii ise saynn tam ksmnn rakamlar saysndan bir eksiktir. Buna gre log7,463 = 0,87294 ise, log7463 = 3,87294 olur. 14) log10 ( x + 1) log10 x = 3 denkleminin zm kmesi aadakilerden hangisidir? {} a) 19 {} b) 199 { } c) 1999 {} {} d) 1 2 e) 13 ZM: log10 ( x + 1) log10 x = 3 (log1000 = 3 ) log10 x +1 x +1 1 = log 1000 = 1000 x = x x 999 olur. 15) ekilde KL = log 8, LN = 2 log x , KM = log(2 x + 1), MN = 3 log( olduuna gre x in deeri nedir? a) 1 5 b) 1 2 c) 1 d)2 e) 5 ZM : ekilde, KL + LN = KM + MN dir. O halde; log 8 + 2 log x = log(2 x + 1) + 3 log( 13 54 ) logaritma zelliklerinden, 3 log 8 + log( x ) 2 = log(2 x + 1) + log( log 8 x = log(2 x + 1)( 13 54 ) 3 3 1 1 .54) 8 x = (2 x + 1).2 x = bulunur. 27 2 13 54 ) 3
MOST POPULAR MATERIALS FROM CSE 101
MOST POPULAR MATERIALS FROM CSE
MOST POPULAR MATERIALS FROM Istanbul Technical University