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LMITES , CONTINUIDAD Y DERIVADAS NDICE 1. Concepto de lmite 2. Propiedades de los lmites 3. Definicin de continuidad 4. Tipos de continuidad 5. Concepto de derivada 6. Tabla de derivadas 7. Crecimiento y decrecimiento 8. Mximos y mnimos 9. Concavidad y convexidad 10. Puntos de inflexin 11. Representacin grfica de funciones Idea de lmite de una funcin en un punto : Sea la funcin y = x 2 . Si x tiende a 2 a qu valor se aproxima y : x 2- 1'8 1'9 1'99 1'999 y 3'24 3'61 3'9601 3'996001 x 2 + 2'2 2'1 2'01 2'001 y 4'84 4'41 4'0401 4'004001 Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez ms a 4 . Esta idea se suele expresar as : 4 x lim 2 2 x =- (lmite lateral por la izquierda) 4 x lim 2 2 x = + (lmite lateral por la derecha) Cuando el lmite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe lmite en ese punto y es : 4 x lim 2 2 x = Si los lmites laterales en x = x son distintos entonces f no tiene lmite en ese punto . Definicin intuitiva de lmite : dada una funcin f , el lmite de f cuando x tiende a x 0 es el valor al que se aproximan las imgenes mediante f de los puntos x cuando stos se aproximan al valor de x . Definicin matemtica de lmite : una funcin f tiene lmite l cuando x tiende a x si es posible conseguir que f(x) est tan prximo a l como se quiera al tomar x suficientemente prximo a x ( tanto como sea necesario ) pero siendo x x . Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquier valor por pequeo que este sea , es decir /f(x)- l/< . Decir que "la variable x toma valores suficientemente prximos a x " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , as deber estar ms o menos prximo x a x para que se cumpla la hiptesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un tal que /x- x /< . Por lo tanto se dice que una funcin f(x) tiene lmite l cuando x tiende a x , si para cualquiera que sea el nmero se puede encontrar otro nmero tal que <- / l ) x ( f / para todo x que verifique <- / x x / Utilizando la notacin matemtica : <- <- 5 2200 = / l ) x ( f / / x x / si / l ) x ( f lim x x ) l ( ) x ( f ) x ( x / ) x , x ( ) x ( ) l , l ( ) l ( l ) x ( f lim * * x x 2200 + - = 5 + - = 2200 = Observemos que la funcin no tiene por qu estar definida en x para tener lmite en ese punto , incluso aunque est definida no es necesario que sea igual al lmite . No obstante si f(x) est definida en x y f(x ) = l entonces se dice que la funcin es continua en x .... View Full Document

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