Tautologi
13 Pages

Tautologi

Course: MIPA 9, Spring 2012

School: Universitas Gadjah Mada

Word Count: 2610

Rating:

Document Preview

BAB I TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan dalam bidang lain, khususnya untuk mempertajam daya nalar. 2.1 Tautologi Di dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta (peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar...

Unformatted Document Excerpt
Coursehero >> Indonesia >> Universitas Gadjah Mada >> MIPA 9

Course Hero has millions of student submitted documents similar to the one
below including study guides, practice problems, reference materials, practice exams, textbook help and tutor support.

Course Hero has millions of student submitted documents similar to the one below including study guides, practice problems, reference materials, practice exams, textbook help and tutor support.

I TAUTOLOGI BAB DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi juga dapat diterapkan dalam bidang lain, khususnya untuk mempertajam daya nalar. 2.1 Tautologi Di dalam logika kalimat semesta pembicaraannya adalah himpunan fakta-fakta (peristiwa, situasi) yang merupakan unsur-unsur di luar bahasa, Agar kita dapat membicarakan suatu peristiwa (fakta) tertentu dari semestanya kita memerlukan suatu lambang. Lambang ini disebut kalimat konstan/konstanta yang ditulis dengan , , dan sebagainya. Jika “Tono mahasiswa dengan IPK 3,5” mempunyai simbol Contoh 2.1.1 “ ” dan “Tono berasal dari luar “Jawa” mempunyai simbol “ ”., maka kalimat, 1. “Tono mahasiswa dengan IPK 3,5” dan berasal dari luar “Jawa” mempunyai simbol “ ”. 2. “Jika Tono berasal dari luar kota, maka Tono mahasiswa dengan IPK 3,5” mempunyai simbol Dalam hal ini simbol “ ”, “ ”, “ . ” dan merupakan konstanta kalimat atau kalimat konstan. Simbol yang melambangkan sebarang fakta (peristiwa) disebut variabel) Definisi 2.1.2 kalimat, yang ditulis dengan Misalkan diberikan bentuk-bentuk. Contoh 2.1.3 1. dan sebagainya. . 2. Masing-masing rangkaian tanda merupakan bentuk kalimat (statement form); dan jika variabel diganti dengan kalimat-kalimat konstan akan berubah menjadi suatu pernyataan. Sebagai contoh pada kalimat ke-1, 1. Jika disubstitusi dengan kalimat: “Kuadrat bilangan real selalu non negatif” disubstitusi dengan kalimat “Ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1”. Maka diperoleh pernyataan: “Kuadrat bilangan awal selalu negatif dan ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1”, yang bernilai salah. 2. Jika disubstitusi dengan kalimat, “Kuadrat bilangan real selalu non negatif” disubstitusi dengan kalimat “Tidak ada bilangan yang lebih kecil daripada 1”. Maka diperoleh pernyataan: “Kuadrat bilangan real selalu non negatif dan tidak ada bilangan asli yang lebih kecil daripada 1”, yang bernilai benar. Contoh 2.1.4 Bentuk-bentuk yang memuat variabel kalimat dan yang menyajikan hukum-hukum logika kalimat disebut tautologi. Di dalam tautologi setiap penggantian dari semua variabel di dalamnya dengan konstanta-konstanta kalimat akan menghasilkan suatu pernyataan yang bernilai benar. Tentu saja dalm penggantian, untuk masing-masing variabel (simbol) yang sama harus digantikan dengan konstanta kalimat yang sama. Untuk melihat apakah suatu bentuk kalimat merupakan suatu tautologi atau bukan dapat dilakukan dengan membuat tabel nilai kebenaran dari bentuk tersebut dengan mendaftar semua kemungkinan (kombinasi dan ) dari setiap nilai kebenaran variabelnya. Contoh 2.1.5 Diberikan bentuk-bentuk, 1. 2. Pada bentuk ke-1, apapun kalimat konstan yang menggantikan pernyataan yang bernilai benar. T F F T T T Demikian juga pada kalimat ke-2. hal ini dapat dilihat pada halaman .... akan menghasilkan Bentuk-bentuk kalimat yang memuat variabel kalimat yang selalu bernilai salah untuk setiap penggantian variabel kalimat dengan konstanta kalimat disebut kontradiksi. Sebagai contoh bentuk, , selalu bernilai salah untuk apapun sesuai tabel T F F T F F Ingkaran dari tautologi akan merupakan kontradiksi, sebab tautologi selalu bernilai benar untuk setiap penggantian variabel kalimatnya, sehingga ingkarannya akan selalu bernilai salah. Selanjutnya, untuk membuktikan suatu bentuk kalimat merupakan tautologi selain menggunakan tabel kebenaran dapat juga dilakukan dari luar tabel denga mengamati hasil dari tabel. Sebagai contoh akan dibuktikan. 1. dan 2. Penyelesaian: 1. Bentuk ini merupakan implikasi, sehingga akan bernilai benar jika anteseden bernilai salah atau konsekuen benar. Satu-satunya kemungkinan yang dapat membuat kalimat bernilai salah adalah anteseden yaitu jika bernilai benar. Tetapi bernilai benar, maka sesuai nilai kebenaran dari disjungsi, bentuk pasti bernilai benar apapun . Akhirnya juga bernilai benar. 2. Bentuk kalimat ini merupakan biimplikasi, sehingga akan bernilai salah hanya jika keduanya mempunyai nilai kebenaran yang berbeda. Karena dan merupakan variabel kalimat, maka hanya cukup dibuktikan salah satu sisi saja. Misalkan sisi sebelah kiri bernilai benar, maka salah atau implikasi bernilai benar. Jika bernilai bernilai salah, maka apapun pasti bernilai benar, sehingga, , pasti bernilai benar. Sedangkan jika salah atau bernilai benar, maka bernilai bernilai benar, sehingga bentuk, pasti benar. Latihan 2.1 1. Tunjukkan dengan tabel kebenaran bentuk-bentuk kalimat berikut ini apakah merupakan kalimat terbuka, tautologi atau kalimat yang selalu bernilai salah: 1.1 1.4 1.2 1.5 1.3 1.6 2. Tanpa menggunakan pengisian tabel pembuktian, q bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.2 Rumus-rumus tautologi Di bawah ini diberikan rumus-rumus tautologi. Semua rumus dapat dibuktikan dengan menggunakan metode tabel nilai. Rumus 2.1 (Komutatif) 1. 2. Rumus 2.2 (Distributif) 1. 2. Rumus 2.3 1. 3. 2. 4. Rumus 2.4 1. 3. Rumus 2.5 (Asosiatif) 1. 2. Rumus 2.6 (Identitas, negasi rangkap dan idempoten) 1. 3. 2. 4. Dua rumus berikut ini sudah dibicarakan di dalam Bab I. Rumus 2.7 (Hukum De Morgan) 1. 2. Rumus 2.8 1. 2. Rumus 2.9 1. 3. ( 2. 4. Rumus 2.10 Hubungan implikasi dan biimplikasi dengan negasi, konjungsi dan disjungsi. 1. 3. ( 2. 4. Rumus 2.11 1. 2. (sifat transitif) Rumus 2.12 1. 2. Rumus-rumus di atas dapat dijadikan dasar untuk membuktikan tautologi-tautologi bentuk lanjutan tanpa menggunakan pengisian tabel kebenaran. Sebagai contoh akan dibuktikan: Bukti: !" ! #$$$% ! #$$% & '()( !" ! #$$$% Suatu tautologi juga dapat dibuktikan dengan cara membawa bentuk kalimat yang akan dibuktikan ekuipolen ke nilai benar (T) dengan menggunakan rumus-rumus dasar. Contoh 2.2.1 merupakan tautologi. Buktikan bahwa !" ! #$$$% Bukti : * +,-./.+ #$$$$$% #$$% 0! #$$% 1! #$$% 1! #$$% Latihan 2.2 Buktikan, bahwa Rumus 21. – 2.12 di atas merupakan tautologi dengan menggunakan pengisian tabel. Jika mungkin buktikan juga tanpa menggunakan pengisian tabel. 2.3 Metode Pembuktian Di dalam bidang matematika ada tiga hukum penting tautologi yang digunakan sebagai metode pembuktian yaitu: 1. Modus Ponens 2. Hukum Kontraposisi 3. Reductio ad absurdum Modus ponens termasuk dalam bukti secara langsung. Sedangkan kontraposisi dan reductio ad absurdum dipandang sebagai bukti tidak langsung. Pembuktian suatu teori lebih diutamakan menggunakan bukti secara langsung. 2.3.1 Modus Ponens Rumus 2.13 Hukum ini dapat disajikan dengan skema sebagai berikut. 2 3 4 Jika implikasi “2 3 35 merupakan fakta (hukum) yang benar dan fakta “25 terjadi, maka dapat disimpulkan fakta “35pasti terjadi. Contoh 2.3.1 Buktikan bahwa salah satu titik potong grafik fungsi denganpersamaan 6 7 8 9 7 :9 0 ; :9 ; < terhadap sumbu = berada di interval >< (?. Penyelesaian: Di dalam kalkulus berlaku sifat (implikasi) jika 8 kontinyu pada interval >@ A?, dan berlaku 8 @ dan 8 A berbeda tanda, maka dapat ditemukan B C >@ A?yang memenuhi 8 B 7 D. Jadi implikasi ini bernilai benar. Fungsi 6 7 8 9 7 :9 0 ; :9 ; < kontinyu pada >< (? dan 8 E D serta 8 B( F D Jadi anteseden implikasi terjadi, maka apat disimpulkan terdapat 9" C >< (? yang berakibat 8 9" 7 :9" ; < 7 D Jadi satu titik potong grafik fungsi 8 terhadap sumbu = berada di interval >< (?. 2.3.2 Hukum Kontraposisi Seringkali kita mengalami kesulitan untuk membuktikan bahwa peristiwa G terjadi dari diketahuinya fakta 4 . Untuk itu kita bisa menggunakan hukum kontraposisi. Rumus 2.1.4 Dengan kata lain, jika dari fakta G dapat dipastikan terjadinya 4 , maka dapat ditarik kesimpulan , bahwa dengan berlakunya 4 fakta dapat dipastikan G terjadi. Sebaliknya jika implikasi 4 G merupakan fakta yang benar, maka dapat diketahuinya G terjadi, dapat ditarik kesimpulan 4 pasti terjadi, seperti skema berikut ini. 2 4 3 G + Contoh 2.3.2 Buktikan, bahwa jika < H ;< Penyelesaian: Ingkaran J genap adalah J ganjil. akibatnya < H ;< + I D, maka J genap. ;< + 7 ;< Sehingga 7 D yang merupakan ingkaran dari < H ;< + ID jadi kontraposisinya dapat dibuktikan, sehingga kalimat aslinya secara tidak langsung juga terbukti. 2.3.3 Reductio ad absurdum Misalkan kita akan membuktikan pernyataan 4 , yaitu 4 . Dari pengandaian tersebut dengan penalaran yang sahih diturunkan suatu kontradiksi. Hal ini hanya mungkin terjadi kalau terjadi kesalahan pada pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkar, yaitu “ 4 “. K Berikut ini disajikan rumus-rumus tautologi yang merupakan bentuk-bentuk reductio ad absurdum: K L Rumus 2.15 M K M L Misalkan akan dibuktikan pernyataan 4 . Diandalkan 4 . Jika dari kalimat 4 dapat diturunkan G 4 G G , maka dapat disimpulkan 4 terjadi. G 2 Benar : Tautologi 4 G G Diturunkan dari 4 2 T : Modus Ponens Buktikan, bahwa N( bilangan irrasional. Contoh 2.3.3 Bukti : Yang akan dibuktikan pernyataan OP N( bilangan irrasional. Diandaikan O berlaku, dengan kata lain N( bilangan rasional. Di Q berlaku sifat untuk setiap bilangan rasional dapat dinyatakan dengan 7 R + , Dengan S dan J bilangan bulat, J I D dan S J yaitu faktor persekutuan terbesar dari S R dan J sama dengan 1. N( bilangan rasional, maka N( 7 , untuk suatu bilangan bulat S + dan J dengan J I D dan S J 7 < (Modus ponens), sehingga (J 7 N(J 7 S 7 SS Sesuai modus ponens dapat disimpulkan S 7 (B , dengan c bilangan bulat. Akibatnya (J 7 (B (B dan sesuai sifat konselasi berlaku JJ 7 J 7 (B , sama dengan J 7 (T untuk suatu bilangan bulat T Akibatnya S J U ( kontradiksi S J 7 < dan S J U ( Yang benar O P N( bilangan irrasional. Rumus 2.16 Untuk membuktikan 4 , terlebih dahilu diandaikan 4 . Jika dari pengandaian 2 K dapat diturunkan 4 , maka terjadi kontradiksi antara 4 (dari pengandaian) dengan 4 (hasil penurunan dari asumsi). Akibatnya pengandaian harus diingkar dan terbukti 4 , yaitu 2 4 4 2 4 4 “25 Diturunkan dari 4 2 Contoh 2.3.4 Benar : Tautologi T : Modus Ponens Di dalam himpunan semua bilangan bulat notasi 9! 9 V 9+ adalah simbol faktor persekutuan terbesar dari 9! 9 V 9+ , buktikan, Bahwa, 9 6 7 6 W 7 9 W 7< 9 6 W 7< Bukti Andaikan 9 6 W F < Karena 9 6 W faktor persekutuan 9 , 6 dan W, maka 9 6 W X9 Y dan 9 6 W 6, sehingga 9 6 W Z 9 6 . Akibatnya : < E 9 6 dan terjadi kontradiksi dengan 9 6 7 < Contoh 2.3.5 Di dalam semesta himpunan semua bilangan berlaku sifat jika W bilangan Y prima dan W X@AY dengan @ dan A keduanya bulat, maka WX@Y atau WXA. Bukti Andaikan W [ A, Karena WXAA +\! Y maka sesuai sifat bilangan prima WXAY atau WXA +\! Y Oleh karena W [ A, maka WXA +\! Y dan A +\! 7 AA +\ Jadi WXA +\! Y WXA +\0 Y dan seterusnya. Pada akhirnya WXAY, sehingga dapat : Y disimpulkan WXA. Rumus 2.1.7 Misalkan kita akan membuktikan implikasi 4 4 G . Ingkaran 4 G adalah G sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan G terjadi. Jika dapat dibuktikan G , maka terjadi kontradiksi, 4 G 4 G G 4 T : Tautologi T : “G Diturunkan dari 4 G 2 Contoh 2.3.6 G G 3 T : Modus Ponens Denagn semesta pembicaraan himpunan semua bilangan real, buktikan bahwa jika untuk setiap C U 0 berlaku @]^_A H C, maka a Z b. Bukti : Misalkan, 2 : Untuk setiap ` U 0 berlaku a Z b + C, dan 3 : a Z b, Sehingga yang akan dibuktikan adalah implikasi “2 4 G berlaku. Jadi 4 a Z b + C tetapi .\c 3”, diandaikan G terjadi, yaitu untuk setiap C U 0 memenuhi F a Akibatnya ba F D Dipilih C yang sama dengan , maka C > 0 dan @ Z AHC7 A H @;A ( Akibatnya (@ Z (A H @ ; A , sehingga @ Z A, yaitu terbukti G . Sesuai tautologi terbuktilah “2 3”. Rumus 2.18 Misalkan kita akan membuktikan implikasi “2 “2 Ingkaran “2 3” adalah G , sehingga dari ingkaran tersebut dapat ditarik kesimpulan “25 terjadi. Jika dapat dibuktikan 4 , maka terjadi kontradiksi, sehingga “2 “2 3”. G harus diingkar dan terjadilah 3”. 4 4 G 4 G 4 G 4 T : Tautologi T : “4 Diturunkan dari 4 2 3 G T : Modus Ponens Buktikan bahwa jika @ dan A positif bilangan real positif, maka, Contoh 2.3.7 ! @ H A U N@A , Penyeleseaian : 1. Bukti secara posisitf : karena @ dan A positif, maka @ A @ H A dan @;A positif, sehingga, @HA U @HA ; @;A = @HA @ H (@A H A U ; @ ; (@A H A d@A ! 1 @HA U @A ! @HA U N@A 2. Bukti tidak langsung : Misalkan 2 : @ dan A positif, dan G e ! @HA U N@A Berarti yang harus dibuktikan adalah “2 2 3 terjadi, maka @ dan A positif, tetapi Akibatnya ! 1 @ H (@A H A ! 71 @HA 35 Diandaikan ingkaran “2 ! @HA E N@A. E @A, sehingga Jadi @;A 35 yaitu 7 @ ; (@A H A E D @ H (@A H A E d@A yang berarti @ kompleks atau A kompleks, yaitu ingkaran dari @ dan A real positif, sehingga terbukti “2 35 Rumus 2.19 Dari tautologi ini dapat ditarik kesimpulan, bahwa dari sesuatu yang salah pernyataan apapun dapat dibuktikan (Ex falso sequitur quod libet). Hal ini berakibat, di bidang matematika jika terjadi suatu kontradiksi 2 dan 4 , maka pernyataan matematika sebarang 3 (berbentuk rumus, teorema, hukum dan sebagainya) dapat dibuktikan bernilai benar. 4 4 4 G T : Tautologi T : karena ketentuan T : Modus Ponens T : karena ketentuan T : Modus Ponens Latihan 2.3 1. Buktikan, bahwa bentuk-bentuk berikut merupakan tautologi, jika mungkin tanpa menggunakan tabel. 1.1. 1.2. Modus toilendo ponens 1.3. f 1.4. f 1.5. 2. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa banyaknya bilangan-bilangan prima tak terhingga. 3. Buktikan bahwa jika ! 4. Buktikan bahwa jika < H ;< Oi', yaitu ganjil maka J genap. bilangan prima, maka g merupakan irrasional. 5. Diketahui segitiga sama sisi sangkar + h dengan panjang sisi 1 terletak pada bujur terletak pada Oi dan h pada i'. Buktikan bahwa luas segitiga ih sama dengan jumlah luas segitiga O dan 'h . 6. Buktikan dengan reductio ad absurdum, bahwa akar-akar persamaan, 9 + H @! 9 +\! H j H @+\! 9 H @+ 7 D bernilai bulat atau irrasional. 7. Tunjukkan, bahwa di dalam himpunan semua bilangan bulat pernyataanpernyataan berikut ekuivalen. 1. 9 6 W 7 < 4. 9 6 7 < 2. 9 W 7 < 5. 9 6 7 6 W 7 9 W 7 < 3. k l 7 < 8. Dengan menggunakan pengetahuan di mata kuliah kalkulus, buktikan bahwa perpotongan grafik fungsi dengan persamaan 6 7 :9 0 ; :9 ; < terhadap sumbu = hanya ada tepat satu titik. 9. Buktikan secara langsung maupun dengan reductio ad absurdum, bahwa jika J bulat dan J habis dibagi 2, maka J juga habis dibagi 2. 10. Misalkan diketahui @m , dengan n7< V J adalah pernyataan-pernyataan. Tunjukkan, bahwa untuk membuktikan @! @ j @+ cukup dibuktikan @! @ j @+ @! 11. Diberikan 80 koin mata uang, terdiri dari 79 koin asli dengan bobot sama dan 1 koin palsu dengan bobot lebih berat, Dengan menggunakan timbangan berlengan sama, tentukan jumlah minimal banyaknya penimbangan dan bagaimana cara menimbangnya agar akhirnya diketahui koin yang palsu. 12. Lima buah kartu yaitu: A, B, C, D, E akan diberi nomor dari 0, 1, 2, 3 atau 4 tanpa ada yang sama dan dimulai dari kartu paling kiri, A. Misalnya A diberi nomor o. kemudian kartu paling kanan diletakkan di sebelah kiri kartu paling kiri, berturutturut E, D, dan seterusnya sampai sebanyak d ; o kartu. Kemudian kartu paling kiri diberi nomor ] , yaitu satu diantara 0, 1, 2, 3, 4 selain o; selanjutnya secara berturutan dari kartu paling kanan, d ; ] kartu dipindahkanke sebelah kiri kartu yang paling kiri. Jika proses dilanjutkan dengan cara tersebut tunjukkan, bahwa langkah penomoran akan gagal. belum lengkap hal buku 24

Find millions of documents on Course Hero - Study Guides, Lecture Notes, Reference Materials, Practice Exams and more. Course Hero has millions of course specific materials providing students with the best way to expand their education.

Below is a small sample set of documents:

Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Fall 2011Math 55 Homework 4 SolutionsSeptember 29, 20114.48. Show that an inverse of a modulo m does not exist if gcd(a, m) &gt; 1By contradiction: suppose that d = gcd(a, m) &gt; 1 but that an inverse c of a modulo m exists. Sinced = gcd(a, m), there exi
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
STATISTIKA I/PENGOLAHANDATA STATISTIKAMateri I &amp; IIKelas 2 EB, EA dan DDSemester PTA 2007/2008Pengertian Statistikametode yang berhubungan denganpenyajian dan penafsiran kejadianyang bersifat peluang dalam suatupenyelidikan terencana ataupeneli
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
STATISTIKA I/PENGOLAHANDATA STATISTIKAMateri I &amp; IIKelas 2 EB, EA dan DDSemester PTA 2007/2008Pengertian Statistikametode yang berhubungan denganpenyajian dan penafsiran kejadianyang bersifat peluang dalam suatupenyelidikan terencana ataupeneli
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Ramsey Theory on theIntegers and RealsDaniel J. Kleitman and Jacob FoxMITSchurs Theorem (1916)In every coloring of the positive integers with finitelymany colors, there exists x, y, and z all the samecolor such that x + y = z.The following 3-color
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Math 109 UCSD Fall 2003Homework 7T.A. Tai Melcher Office AP&amp;M 6402EThis may not be a complete list of the solutions. Problems with sufficient solutions in the back of the text were not included. Problem 3.94: Let a and b be nonzero integers. Prove that
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
MENGENAL MANUSIAhakikat manusiaDilihat dari penciptaannya, manusiatersusun dari unsur bumi dan langit. Unsurbumi menyumbang tanah sebagai unsurpenciptaannya; setelah proses penciptaanfisiknya sempurna dari tanah ini, ruhsebagai unsur langit ditiupk
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Fermats Little TheoremTheorem (Fermats Little Theorem): Let p be a prime. Thenp | np n(1)for any integer n 1.Proof: We distinguish two cases.Case A: Let p | n, then, obviously, p | np n, and we are done.Case B: Letp | n.(2)Consider the following
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
SMA - 1Contoh Soal-soal dan Pembahasan Integral1. (2 x 3 + 3 x 2 + x + 7)dx = .Jawab:pakai rumus : k x n dx = (2 x3+ 3 x 2 + x + 7)dx ==kx n +1 + cn +124 33 12x + x + x + 7x + c432141x + x 3 + x 2 + 7x + c222. sin 3x sin 2 x dx = Ja
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
BAB 1PERDAGANGAN PEREMPUAN DAN ANAK (TRAFIKING)MENURUT ATURAN-ATURAN HUKUM INTERNASIONAL1.1 Latar BelakangPerdagangan perempuan dan anak (trafiking) telah lama terjadi dimuka bumi ini dan merupakan tindakan yang bertentangan dengan harkatdan martaba
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Algebra Test SolutionsHarvard-MIT Math TournamentMarch 3, 20011. Find x y , given that x4 = y 4 + 24, x2 + y 2 = 6, and x + y = 3.22 )( +yx4 y 424Solution: 63 = (x2 +y2 )(x+y) = (x (+y +yx)(x)(x) y) = x y = 4 .x2 2 + y32. Find (x + 1)(x2 + 1)(x
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
An Introduction to Matlab: Part 2This lecture assumes that you have already worked through part 1. You should be able to already use many basic Matlab commands and use Matlab as a calculator on scalar variables. This lecture introduces the user to script
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Matlab M-FilesThere are four ways of doing code in Matlab. One can directly enter code in a terminal window. This amounts to using Matlabas a kind of calculator, and it is good for simple, low-level work. The second method is to create a script M-le. Her
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Math 25: Solutions to Homework # 3 3(3.5 # 44) Show that5 is irrational. (a) Suppose 3 5 is rational. Then we can write 3 5 = a/b where (a, b) = 1 and b = 0. Then 5 = a3 /b3 , so 5b3 = a3 . Now 5 | a3 , so 5 | a. Then we can write a = 5k for some integ
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
RELATIVITASRELATIVITAS NEWTONTeori relativitas berhubungan dengan kejadian-kejadian yang diamati dari kerangka acuan inersial.Kerangka acuan inersial adalah suatu kerangka acuan yang berada dalam keadaan diam atau bergerakterhadap acuan lain dengan ke
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
CSE 20 Discussion - Week 4February 4, 20081. Prove the following claim: For any x Z+ , if x &gt; 1 and x is odd, then log2 x is irrational. Solution: We can prove this claim by contradiction. Assume that x &gt; 1 and x is odd, and that log2 x Q. Then by denit
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
More Number Theory ProofsRosen 1.5, 3.1Prove or DisproveIf m and n are even integers, then mn is divisible by 4.The sum of two odd integers is odd.The sum of two odd integers is even.If n is a positive integer, then n is even iff 3n2+8 iseven. n2
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
MATH 4400Sample Exam #1 Solutions1. Find all integer solutions to the equation 49x + 15y = 4.First, we perform the Euclidean algorithm on 49 and 15.49 = 3 15 + 415 = 3 4 + 34=13+ 1The second-to-last convergent of the continued fraction is3+13+1
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Library yang Sering Digunakan pada C program1. Library iostream.hStandard Input / Output Streams Library.Elemen iostream library (char instantion) :Classes :| ios_base Base | ios | istream | ostream | iostream | ifstream | ofstream | fstream | istrin
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
WUCT121 Discrete Mathematics Graphs Tutorial ExercisesWUCT121Graphs: Tutorial Exercises1GraphsQuestion1 Let G = cfw_V , E be a graph. Draw a graph with the following specifiedproperties, or explain why no such graph exists.(a) A graph having V = cf
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
Exercises E5: Number TheoryAugust 31, 20061 From Making, Breaking Codes by Paul GarrettOriginal problem numbers in parens. Note Optional, DOUBLE and TRIPLE point scores. Garretthas appendix of problem answers.1. Prove directly from the denition of di
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 8
MINOR DAN KOFAKTORDefinisi:Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor aij dinyatakan oleh Mij adalah submatriks A yangdidapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke j.Kofaktor aij dinyatakan oleh Cij didefinisikan sebagai: Cij = (-1)I + j .
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Massachusetts Institute of TechnologyDepartment of Electrical Engineering &amp; Computer Science6.041/6.431: Probabilistic Systems Analysis(Fall 2010)Problem Set 9 Solutions1. (a) Yes, to 0. Applying the weak law of large numbers, we haveP(|Ui | &gt; ) 0
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Soal Latihan dan PembahasanIntegralDi susun Oleh :Yuyun Somantri1http:/bimbinganbelajar.net/Di dukung oleh :Portal edukasi Gratis IndonesiaOpen Knowledge and Educationhttp:/oke.or.idTutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di pr
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
ALJABAR LINEARSUMANANG MUHTAR GOZALIKBK ANALISISUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIABANDUNG20102KATA PENGANTARBismillahirrahmanirrahimSegala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam bagi Rasulullah Muhammad shallallahu alaihi wasallam.
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Massachusetts Institute of Technology6.042J/18.062J, Spring 10: Mathematics for Computer ScienceProf. Albert R. MeyerMay 5revised May 15, 2010, 1223 minutesMini-Quiz May 5Your name: This quiz is closed book. Total time is 25 minutes. Write your
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
OOP Lanjut : PraktikumAndroidKontrak Nilai Nilai : Praktikum (Laporan Resmi/Presentasi/PostTest): 50% Project : 40% Kehadiran : 10%SAP AndroidSetting Android, Eclipse dan EmulatorUser InterfacesXML LayoutWidgetsWidgets 2MenusFontWebKitSAP
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Kuliah Berseri IlmuKomputer.ComCopyright 2004 IlmuKomputer.ComCepat Mahir MatlabAndry Pujiriyantoandrypuji@hmgm.geoph.itb.ac.idLisensi Dokumen:Copyright 2004 IlmuKomputer.ComSeluruh dokumen di IlmuKomputer.Com dapat digunakan, dimodifikasi dan dise
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Massachusetts Institute of Technology6.042J/18.062J, Fall 05: Mathematics for Computer ScienceProf. Albert R. Meyer and Prof. Ronitt RubinfeldOctober 14revised October 11, 2005, 701 minutesSolutions to InClass Problems Week 6, Fri.Problem 1. This pr
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Matlab and MatricesMath 45 Linear AlgebraDavid Arnold David-Arnold@Eureka.redwoods.cc.ca.usAbstract In this exercise you will learn how to enter and edit matrices in Matlab. You will also experiment with some of Matlabs built-in matrix builders. You wi
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
)1 ( E )2 ( E
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Breaking OutCreating a Break Out ClonePart 1This is a beginner tutorial on creating a Break Out style game. I will be writing tutorials in thefuture on creating the game using object-oriented programming principles. The tutorial is more tointroduce X
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
Apple iPhone OS 4.0 dan SDK Beta 2 Sudah DirilisApple baru saja merilis versi BETA 2 dari iPhone OS 4 untuk pengembang sehingga mereka bisa membuat aplikasi baru utkiPhone OS 4 atau mengupdate aplikasi yang telah mereka buat di mana versi sebelumnya dir
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
MATLAB PracticeLesson 1: Vector Operations. (Entering vectors, transposition, multiplication.)Lesson 2: Matrix Operations: Transposes and Inverses.Lesson 3: Matrix Operations: Gaussian Elimination. (Manipulation of matrix rows andcolumns.)Lesson 4: C
Universitas Gadjah Mada - MIPA - 4
KUIS IM.KuliahWaktu: Teori Bilangan: 40 menit1A. Soal: Buktikan bahwa n2 2n, untuk setiap bilangan asli n 4.Jawab:n2Bukti: Misalkan P(n)i. P (4)4224162n.16, maka P (4) benar.ii. Misalkan P(k) benar untuk suatu bilangan asli k 4 yaitu,P (k)
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #01 Hello, World!Worth 10 pointsIn this assignment you will install and set up the Java Development Kit (JDK) and the EclipseIntegrated Development Environment (IDE) on your personal computer and then write a series ofsimple programs to beg
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #02 Elementary JavaProgramming &amp; Selection StatementsFor this assignment you will be creating a series of small classes that will test your understanding ofelementary Java programming concepts and basic selection statements. Each class shoul
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #03 Selection Statements&amp; LoopsFor this assignment you will be creating a series of small classes that will test your understanding ofselection statements and loops. Each class should be saved in its own file of the same name (i.e. ifyou ar
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #04 Methods &amp; SingleDimensional ArraysFor this assignment you will be creating a series of small classes that will test your understanding ofselection statements and loops. Each class should be saved in its own file of the same name (i.e. if
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #05 Working with ArraysFor this assignment you will be creating a series of small classes that will test your understanding ofarrays. Each class should be saved in its own file of the same name (i.e. if you are asked to create aclass named D
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #06 Basic Object OrientedProgrammingFor this assignment you will be creating a series of small classes that will test your understanding ofbasic object oriented programming. Each class should be saved in its own file of the same name (i.e.i
NYU - CSCI - UA 101
07: Graphics in Java (Part I)For this assignment you will be creating a series of small graphical projects that will allow you toexperiment with Java graphics as well as continue to refine your understanding of basic objectoriented programming concepts
NYU - CSCI - UA 101
Assignment #08 Working withObjects, Graphics &amp; InheritanceNote that all students should complete Parts #1 3. Honors students should complete Honors Part#1.General Documentation Note:All programs should be documented using multi line comments at the t
NYU - CSCI - UA 101
Final Exam Review QuestionsTrace the Output Problemspublic class Tracerscfw_public static void main(String[] args)cfw_/ which line(s) of code below are incorrect?A test1 = new A();B test2 = new B();A test3 = new B();A test4 = new C();B test5 =
NYU - CSCI - UA 101
Midterm #1 Sample Questions1.Show the output for the following code:2. public class Test3. cfw_4.public static void main(String[] args)5.cfw_6.System.out.println(5 % 4);7.System.out.println(5 / 4);8.System.out.println(5 + 4 * 2);9.System.o
NYU - CSCI - UA 101
Midterm #2 Sample QuestionsProgramming Problems1.Create a new class called Stock which contains the following:A.A String for the stock nameB. A String for the stock symbolC. A double storing the previous closing price of the stockD. A double storin
NYU - CSCI - UA 101
1.So far we have explored two different types of sequence structures the array andthe ArrayList. These structures are both designed to store references to zero or more objectsor, in the case of arrays, primitive data elements.2.Heres a quick breakdow
NYU - CSCI - UA 102
Occasionally, one must pay attention to the fact that a generification might change thesignature of some methods in the byte code. Changing the signature will breakexisting code that cannot be recompiled and relies on the binary compatibility of theold
NYU - CSCI - UA 102
Modifying an existing type that was non-generic in the past so that it becomes usableas a parameterized type in the future is a non-trivial task. The generification must notbreak any existing code that uses the type in its old non-generic form and it mu
NYU - CSCI - UA 102
Lab 1Important NoteThe mailer mailx on i5.nyu.edu is primitive and does not support attachments. That iswhy my in-class demo used ~r to simply read the file into the mail body. Withoutattachments, tar's and zip's are not good choices.As a result, for
NYU - CSCI - UA 102
Lab 3: Creating andTesting MyArrayStack&lt;T&gt;Due 18 October 2012IntroductionIn this lab you will be modifying (not just importing) the book's ArrayStack&lt;T&gt; classto produce a new class named MyArrayStack&lt;T&gt;. Your modification will be to add twoinstance
NYU - CSCI - UA 102
Lab 3: Creating andTesting MyArrayStack&lt;T&gt;Due 18 October 2012IntroductionIn this lab you will be modifying (not just importing) the book's ArrayStack&lt;T&gt; classto produce a new class named MyArrayStack&lt;T&gt;. Your modification will be to add twoinstance
NYU - CSCI - UA 102
Lab 5: ListsDue 10 December 20121. Points and Circles (25 Points)A. A Point Class (10 Points)Implement a Point class with the following components.i.Two double fields x and y.ii.One constructor that accepts two double's x and y.iii.get() and set
NYU - CSCI - UA 102
Coping With LegacyIt is permitted that a generic class or method is used in both its parameterized and itsraw form. Both forms can be mixed freely. However, all uses that potentially violatethe type-safety are reported by means of an &quot;unchecked warning
NYU - CSCI - UA 102
Practice FinalHere are some typical questions. I did not consider the length of the practice exam. Idefinitely do consider the length when writing a real exam.The real final will be cumulative and cover material from the entire semester.However, this
NYU - CSCI - UA 102
Practice MidtermHere are some typical questions. I did not consider the length of the practice exam. Idefinitely do consider the length when writing a real exam.RecursionWhat is the output when the following program is run?public class Output cfw_pu
NYU - CSCI - UA 102
Generic types and methods have formal type parameters, which are replaced by actualtype arguments when the parameterized type or method is instantiated.Example (of a generic type):class Box &lt;T&gt; cfw_private T theObject;public Box( T arg) cfw_ theObjec
NYU - CSCI - UA 102
A wildcard describes a family of types. There are 3 different flavors of wildcards: &quot; ? &quot; - the unbounded wildcard. It stands for the family of all types. &quot; ? extends Type &quot; - a wildcard with an upper bound. It stands for the family ofall types that ar
NYU - CSCI - UA 201
V22.0201-001/002 Fall 2012Lab Assignment L2: Defusing a Binary Bomb1 IntroductionThe nefarious Dr. Evil has planted a slew of binary bombs on our class machines. A binary bomb is aprogram that consists of a sequence of phases. Each phase expects you t
NYU - CSCI - UA 201
V22.0201-001/002 Fall 2012Lab Assignment L3: The Buffer BombIntroductionThis assignment will help you develop a detailed understanding of IA-32 calling conventions and stackorganization. It involves applying a series of buffer overow attacks on an exe
NYU - CSCI - UA 201
CodeStyleJustasimportantasthefunctionalityofyourcodeisyourcode'sreadabilitytoothers.Therefore,in15213(andotherCScoursesyouwilltake),wewillbepayingcloseattentiontoyourcodingstyleandtakingitintoconsiderationwhenassigninggrades.Eachsemesterthequestionof&quot;
NYU - CSCI - UA 201
GettingtothecommandlineOnceyou'reintoUnix,you'llwanttogettothecommandline.OnLinux,youcanpressCTRL+ALT+F1togettoarawterminal,and CTRL+ALT+F7togetbacktothewindowsystem.(Infact,CTRL+ALT+F1F6willgetyoudifferentterminalonmostsystems,andofcourse,youcan con