This preview has intentionally blurred parts. Sign up to view the full document

View Full Document

Unformatted Document Excerpt

V RuangHasilKaliDalam AljabarLinier MateriRuangHasilKaliDalam HasilKaliDalam AljabarLinier MateriHasilKaliDalam HASILKALIDALAM Definisi:HasilKaliDalamUmum Misalkan ruang vektor. HKD < - , - > : VV R adalah fungsi menghubungkan bilangan real <u,v> dengan pasangan vektor u dan v di ruang vektor V dan memenuhi: 1. <u,v> = <v,u> 2. <u+v,z> = <u,z> + <v,z> 3. <ku,v> = k <u,v> , k skalar Contoh1:HKDEuclidean Misalkan dan vektor di Rn . Maka hasil kali dalam Euclid di Rn . Definisi:HKDEuclidberbobot Misalkan adalah bilangan bulat positif dan disebut bobot, maka disebut HKD Euclid berbobot. Contoh2:HKDberbobot Dalam percobaan fisika, muncul n kemungkinan bilangan: Percobaan dilakukan m kali dengan frekuensi kemunculan masing-masing bilangan adalah Total percobaan m, maka Contoh2:HKDberbobot(lanjutan) Rata-rata dari nilai percobaan, Jika , dan , adalah: PANJANGDANJARAK DIRHKD Definisi3:PanjangdanJarak Norm atau panjang vektor u di V adalah Jarak antara dua titik (vektor) u dan v di V adalah Contoh3:Norm&JarakdiRHKD Euclidean Jika dan HKD Euclid, maka dan vektor di Rn dengan Contoh4:LingkaranSatuan 1. 2. Gambarlah lingkaran satuan pada sistem koordinatxy di R2 dengan HKD Euclid Gambarlah lingkaran satuan pada sistem koordinatxy di R2 dengan HKD Euclid berbobot HasilKaliDalamyangDibangun olehMatriks Misalkan dan vektor di Rn dan A matriks nxn yang dapat dibalik, maka mendefinisikan HKD di Rn yang dibangun A. SifatsifatHasilKaliDalam Jika u, v dan w vektor-vektor di RHKD real dan k adalah skalar, maka: SudutdanKeortogonalan AljabarLinier MateriSudutdanKeortogonalan SudutAntaraDuaVektor Sudutantaraduavektor Pada sub bab 3.3, jika u dan v adalah vektor di R2 atau R3 dan adalah sudut diantaranya, maka Atau Pada RHKD Sudutantaraduavektor(lanjutan) Karena maka KetaksamaanCauchySchwarz Jika u dan v adalah vektor di RHKD, maka Atau Atau SifatNorm Jika u dan v adalah vektor di RHKD V dan k adalah skalar, maka: SifatJarak Jika u dan v adalah vektor di RHKD V dan k adalah skalar, maka: Sudutantaraduavektor Sudut antara dua vektor u dan v di RHKD adalah dengan 0 Contoh5:Sudutantaraduavektor Misalkan R4 adalah RHKD Euclid. Carilah cosinus sudut antara u=(4,3,1,-2) dan v=(-2,1,2,3) Solusi: maka Keortogonalan Definisi:Keortogonalan Dua vektor u dan v di ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika Contoh:VektorortogonaldiM22 Jika M22 dilengkapi HKD seperti Contoh x, maka adalah ortogonal karena Contoh:VektorortogonaldiP2 Misalkan HKD di P2 adalah Misalkan pula Contoh:VektorortogonaldiP2 lanjutan Dan p dan q ortogonal relatif terhadap HKD ini karena TeoremaPhytagorasyang Diperumum Misalkan u dan v adalah vektor ortogonal di ruang hasil kali dalam maka Bukti: Karena u dan v saling ortogonal maka Akibatnya KomplemenOrtogonal Geometrikomplemenortogonal Jika V adalah bidang yang melalui titik asal di R3 dengan HKD Euclid, maka himpunan semua vektor yang ortogonal ke semua vektor di V membentuk garis L melalui titik asal yang tegak lurus terhadap V. Definisi:KomplemenOrtogonal Misalkan W subruang hasil kali dalam V. u vektor di V dikatakan ortogonal ke W jika u ortogonal ke setiap vektor di W. Himpunan semua vektor di V yang ortogonsl ke W disebut komplemen ortogonal W. SifatsifatKomplemenOrtogonal Jika W subruang dari RHKD berdimensi hingga V, maka: 1. W subruang adalah V. 2. Vektor yang terletak di W dan W adalah 0. 3. Komplemen ortogonal dari W adalah W, yaitu: (W) =W. Teorema:Hubungangeometri antararuangnuldenganruang baris. 1. 2. Jika A matriks mn, maka Ruang nul A dan ruang baris A adalah komplemen ortogonal di Rn terhadap HKD Euclid. Ruang nul AT dan ruang kolom A adalah komplemen ortogonal di Rm terhadap HKD Euclid. Contoh:BasisuntukKomplemen Ortogonal Misalkan W adalah subruang R5 direntang oleh Carilah basis untuk komplemen ortogonal dari W. Contoh:(lanjutan) Ruang yang direntang oleh ruang baris matriks sama dengan Menurut Teorema, ruang nul adalah komplemen ortogonal dari W. Contoh:(lanjutan) Basis ruang nul adalah Maka basis komplemen ortogonal dari W adalah BasisOrtonormal;ProsesGram Schmidt;DekomposisiQR AljabarLinier Materi BasisOrtonormaldan BasisOrtogonal Definisi:HimpunanOrtogonal& Ortonormal Himpunan vektor di ruang hasil kali dalam V dikatakan himpunan ortogonal jika setiap pasang vektornya saling ortogonal. Himpunan ortogonal yang semua vektornya bernorm 1 disebut himpunan ortonormal. Contoh:Himpunanortogonal Misalkan di RHKD Euclid R3. S= {u1 , u2 ,u3 } adalah himpunan ortogonal. Contoh:Himpunanortonormal Norm masing-masing vektor pada contoh sebelumnya: Normalkan vektor-vektor ini, shg. Diperoleh Koordinatrelatifterhadapbasis ortonormal Jika adalah basis ortonormal ruang hasil kali dalam V , dan u adalah vektor di V maka: Contoh:Koordinatvektorrelatif terhadapbasisortonormal Misalkan S= {v1 , v2 ,v3 } adalah basis ortonormal dengan Cari koordinat vektor u=(1,1,1) terhadap basis ini. Solusi: Koordinatrelatifterhadapbasis ortogonal Misalkan S= {v1 , v2 ,v3 } adalah basis ortogonal RHKD V. Normalkan vektor basis ini sehingga diperoleh basis ortonormal S Maka koordinat u terhadap basis ortogonal S adalah Teorema Jika S= {v1 , v2 ,v3 } adalah himpunan ortogonal vektor-vektor tak nol di RHKD, maka S bebas linier. Bukti: Asumsikan Adt. Karena ProyeksiOrtogonal TeoremaProyeksi Jika W adalah subruang berdimensi hingga dari RHKD V, maka setiap vektor u di V dapat dinyatakan dengan satu cara Dimana di W dan di W disebut proyeksi ortogonal u di W disebut komponen u ortogonal terhadap W Teorema a) b) Jika W subruang berdimensi hingga dari RHKD V. Jika V maka basis ortonormal W dan u vektor di Jika maka basis ortogonal W dan u vektor di V Contoh:Menghitungproyeksi Misalkan W subruang RHKD Euclid R3 yang direntang oleh Carilah proyeksi ortogonal komponen ortogonalnya di W di W dan ProsesGramSchmidt Teorema Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi hingga yang tak nol mempunyai basis ortonormal. BuktiTeorema(ProsesGram Schmidt) 1. Langkah 1 Misalkan 3. Cari yang ortogonal terhadap dengan menghitung komponen yang ortogonal terhadap ruang W1 yang dibangun oleh dengan rumus v2 0. BuktiTeorema(ProsesGram Schmidt) 3. Langkah 3 Untuk mengkonstruksi v3 yang ortogonal terhadap v2 dan v1 , hitung komponen u3 ortogonal terhadap ruang W2 yang dibangun oleh v1 dan v2 . BuktiTeorema(ProsesGram Schmidt) 4. Langkah 4 Untuk mentukan vektor v4 yang ortogonal terhadap v3 , v2 dan v1 , hitung komponen u4 ortogonal terhadap ruang W3 yang dibangun oleh v1 , v2 dan v3. Contoh:ProsesGramSchmidt Misalkan R3 adalah RHKD Euclid. Gunakan proses GS untuk mengubah basis menjadi basis ortogonal . Kemudian normalkan vektor ini untuk memperoleh basis ortonormal SELESAI ... View Full Document

End of Preview

Sign up now to access the rest of the document