ATS_Physique_2009_ATS - Quelques aspects de ltude du Soleil...

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Quelques aspects de l’étude du Soleil et des étoiles Remarques préliminaires : Tout résultat fourni par l’énoncé peut être utilisé par la suite même s’il n’a pas été démontré par le candidat. Un résultat numérique n’est valable que s’il est accompagné de son unité. La qualité des explications et des justifications est prise en compte dans la notation. 1- La Troisième Loi de Képler On considère un satellite assimilé à un point ma riel P de masse m en orbite autour d’un astre fixe, au point O et de masse M . On notera r OP = JJJG G et G la constante universelle de gravitation. 1.1 Exprimer la force exercée par l’astre fixe sur le satellite en fonction de G , M , m , r G et de la distance . r 1.2 Que vaut le moment en O de la force précédente ? 1.3 Exprimer le moment cinétique en O du satellite en fonction de m , de son vecteur vitesse et du vecteur v G r G . 1.4 En appliquant en O le théorème du moment cinétique, montrer que la trajectoire du satellite est plane. 1.5 On se place dorénavant dans le plan de la trajectoire. On repère un point P par ses coordonnées polaires r et (cf. figure 1). La base polaire sera notée . Déterminer l’expression du vecteur vitesse θ ( θ , r u u G G ) v G du satellite en coor- données polaires. Pour cette question et toutes les sui- vantes, on suppose que la trajectoire du satellite est un cercle de rayon r . Com- ment se simplifie l’expression de v G ? 1.6 Déterminer en coordonnées polaires l’expression du vecteur accélération du satellite. 1.7 À partir de la relation fondamentale de la dynamique appliquée au satellite, montrer que la vitesse angulaire du satellite ω θ = ± est constante. 1.8 Déduire aussi de la relation fondamentale de la dynamique appliquée au satellite que K est une constante qu’on exprimera en fonction des données. 3 2 θ r = ± K 1.9 On appelle T la période du mouvement. Démontrer la relation suivante, appelée 3 e loi de Képler : 2 2 3 4 π T GM r = . 2- Le Satellite Hipparcos Le satellite Hipparcos fut lancé le 8 août 1989 par une fusée Ariane IV. Ce projet de l’Agence spatiale européenne (ESA) avait notamment pour but de mesurer avec précision la distance de plus de 2,5 millions d’étoiles. Il était prévu à l’origine de placer Hipparcos sur une orbite géo- stationnaire. Cette partie se propose d’étudier les caractéristiques principales d’une telle orbite. O x θ r u G θ u G y P r Figure 1 1
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On se placera dans cette partie dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. On rappelle que le référentiel géocentrique a pour origine le centre T de la Terre et que ses axes pointent dans trois directions fixes. Un satellite, assimilé à un point matériel M de masse m , est en orbite autour de la Terre, de masse T M . On négligera l’influence sur le mouvement du satellite des astres autres que la Terre. Le satellite est géostationnaire c’est-à-dire qu’il reste en permanence à la verticale d’un même point de la Terre situé à l’équateur.
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