HW 3 solutions - 3 Shade the triangular region bounded by...

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Unformatted text preview: 3 Shade the “triangular” region bounded by the graphs of the three functions that lies above the horizontal line. 1 2 3 4 0 £ £ £ £ £ £ £ £ £ ¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤ ¥¥¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥ ¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡ £¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢ ¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥¥£ ££¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤ ¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡ ¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢ ¥¥¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥ £¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡ ¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥¥£ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢ ££¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤ ¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ¥¥¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥ ¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡ £¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢ ¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¥ ¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£¥ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢ ££¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤¥£¤ ¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡¢ ¡ ¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥ £¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ¥¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¥£¥ £¥£¤£¥¤£¥¤£¥¤£¥¤£¥¤£¥¤£¥¤£¥¤£ ¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥ £¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤£¥£ 4 8 12 16 2 On the grid below sketch the graphs of y = 4, y = x2 and y = piece of a sideways parabola). √ 27x. (The last one is just a Area Bounded by Three Curves I can think of three possible methods: Left Endpoints: (0 × 40) + (65 × 40) + (45 × 40) + (50 × 40) + (80 × 40) + (70 × 40) = 12400 ft 2 Right Endpoints: (65 × 40) + (45 × 40) + (50 × 40) + (80 × 40) + (70 × 40) + (0 × 40) = 12400 ft 2 Midpoints: (65 × 80) + (50 × 80) + (70 × 80) = 14800 ft2 40 feet 70 feet 80 feet 50 feet 45 feet 65 feet 1 The widths, in feet, of a small lake were measured at 40 foot intervals. Estimate the area of the lake. The Lake In this work sheet we’ll study the problem of finding the area of a region bounded by curves. We’ll first estimate an area given numerical information. The we’ll use calculus to find the area of a more complicated region. Area Between Curves - Solutions Math 125 4 Compute the x-coordinate of the left endpoint of the region. 4= 5 √ 27x gives x = 16 27 Compute the x-coordinate of the right endpoint of the region. x2 = √ 27x gives x = 3 6 Note that the top of the region consists of a single curve, but the bottom of the region consists of two differentcurves. Find the x-coordinate where these two curves meet. 4 = x2 gives x = 2, since we know x is positive 7 Sketch in a vertical line at the x-coordinate you found in the last problem. This divides the region into two smaller sub-regions. 8 Compute the area of the left sub-region. 2 √ 16 27 9 √ 584 27x − 4 dx = 4 6 − ≈ 2.588 81 Compute the area of the right sub-region. Add the two areas together to get the total area. 3 2 √ √ 35 − 4 6 ≈ 1.8687 27x − x2 dx = 3 √ √ 35 584 361 4 6− + −4 6 = ≈ 4.4568 81 3 81 10 Recompute the area using the following trick. Solve for x as a function of y in the two non-constant functions. Find the area by integrating with respect to y. Is this easier? x= 9 4 √ √ y y− x= y2 27 361 y2 dy = 27 81 This seems a lot easier to me! ...
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