Sandsynlighedsteori og statistikBjørn BremholmOpgave 1Vi finder 5%, 50% og 95% fraktilerne i exp(1) ved at sætte fordelingsfunktionen af exp(1)lig den fraktil vi ønsker at finde og isolere det x der løser denne ligning.Først finder vifordelingsfunktionen af eksponentialfordelingen.Vi ved at tæthedsfunktionen forexp(λ) :p(x) =λexp(-λx). Forλ= 1 giver dette:p(x) =exp(-x). Vi kan finde fordelingsfunktionenaf denne tæthed ved at integrere over intervallet (0, x):F(x) =P(X≤x) =Zx0exp(-x)dx= [-exp(-x)]x0= 1-exp(-x)Vi kan nu sætte dette lig hhv. 0,05, 0,5 og 0,95:5% fraktilen:0,05 = 1-exp(-x)exp(-x) = 0,95-x=ln(0,95)x=-ln(0,95)x≈0,05150% fraktilen (medianen):0,5 = 1-exp(-x)x=-ln(0,5)≈0,69395% fraktilen:0,95 = 1-exp(-x)x=-ln(0,05)≈0,2,996Opgave 2For standard normalfordelingen kan fraktilerne aflæses p˚a s. 304 i bogen. I tabellen er derangivet sammenhæng mellemP(X > x) =p. Her vilp= 0,025 vise 97,5 % fraktilen, daPage 1 of3
