vastaukset-1-2006 - Matemaattiset apuneuvot I, SL 2006...

Info iconThis preview shows pages 1–2. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Matemaattiset apuneuvot I, SL 2006 Kurssikoe 23.10.2006 Oikeat vastaukset 1. x→∞ lim ln e2x − 3 = −3 e2x+3 + 7 2. Projisoimalla tai yritettä käyttäen. wu = 4u Niinpä w = 4u + (w − 4u) = (4i − 12j) + (6i + 2j + 10k). 3. Käytetään tunnettua binomisarjaa. √ 4+x = 2 x x =2 1+ 4 4 2 xx = 2+ − + O ( x3 ) 4 64 1+ 4+1≈2+ 1/2 =2 1+ 1 x 1 x2 ·−· + O(x3 ) 2 4 8 42 √ 5= √ 1 143 1 − = . 4 64 64 4. a)-kohta osittaisintegroimalla. x sinh x dx = x cosh x − sinh x + C . b)-kohdassa voi aluksi vaihtaa muuttujaa (t selviää. 2 0 = x + 1), vaikka ilmankin kyllä x+2 2 dx = ln 3 + . 2 (x + 1) 3 5. V (t) 3x2 12xV (t) 4 · 0,09 mm3 /s 4V (t) A = 6x2 → A (t) = 12xx (t) = =√ = 3 3x2 x 27 mm3 2 = 0,12 mm /s. V = x3 → V (t) = 3x2 x (t) → x (t) = 6. Tässä täytyy muistaa hyperbelisten funktioiden peruskaava cosh2 x − sinh2 x = 1. a)-kohta x2 − y 2 = cosh2 x − sinh2 x = 1 → P (x, y ) = x2 − y 2 − 1 = 0 (x ≥ 1) b)-kohdan voi tehdä joko implisiittisen tai parametrimuodon avulla. y (ln 5) = 13 cosh(ln 5) = sinh(ln 5) 12 c)-kohta. Parametrimuotoisesta esityksestä voi jo tunnistaa, että kyseessä on yksikköhyperbeli ja viimeistään implisiittinen esitys Hyperbelin asymptootteina ovat suorat pisteen y=x ja x2 − y 2 = 1 kertoo kaiken. y = −x ja kuvaaja kulkee (1, 0) kautta. Siinä oleellisimmat asiat kuvaajasta. Asymptootit olisi hyvä näkyä kuvassa, mutta tärkeintä on näyttää, että kyseessä on hyperbeli. Tarkkaan ottaen tässä käsiteltyyn hyperbeliin kuuluu vain alue x ≥ 1. ...
View Full Document

This note was uploaded on 01/23/2009 for the course THEORETICA 53704 taught by Professor Ossipasanen during the Spring '05 term at Uni. Helsinki.

Page1 / 2

vastaukset-1-2006 - Matemaattiset apuneuvot I, SL 2006...

This preview shows document pages 1 - 2. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online