mapu-II-kk161208-malli - Matemaattiset apuneuvot II, SL...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Matemaattiset apuneuvot II, SL 2008 Kurssikoe 16.12.2008, klo: 8.00-12.00 MALLIVASTAUKSET Tee jokainen tehtävä eri konseptille (a- ja b -kohdat samalle paperille). Laita jokaiseen paperiin nimi ja opiskelijanumero. Laskimia ja taulukoita ei saa käyttää. 1. Ratkaise di erentiaaliyhtälö y + y = x- 3 alkuehdolla y (0) = 2 . Ratkaisu Kyseessä on 1. kertaluvun lineaarinen di erentiaaliyhtälö. Rat- kaistaan ensin homogeeninen yhtälö separoimalla. HY: y + y = 0 dy dx =- y dy y =- dx ln | y | =- x + C 2 y = Ce- x Täydellinen yhtälö voidaan ratkaista yritteellä tai vakion varioinnilla. TY: y + y = x- 3 yrite: y = Ax + B ⇒ y = A sijoitetaan TY:hyn A + Ax + B = x- 3 Ax + ( A + B ) = x- 3 ⇒ A = 1 ,B =- 4 TY:n yksityisratkaisu y = x- 4 Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten y = Ce- x + x- 4 . Alkuehto y (0) = 2 määrää vakioksi C = 6 , joten tehtävän ratkaisu on y = 6 e- x + x- 4 . 2. Etsi matriisin A =  - 1 0- 2 3 2 1   käänteismatriisi A- 1 . Ratkaisu Ratkaistaan vaikkapa kofaktorimenetelmällä. Alideterminantit ovat:   D 11 = 3 D 12 = 0 D 13 =- 6 D 21 = 0 D 22 = 3 D 23 = 0 D 31 = 6 D 32 = 0 D 33...
View Full Document

This note was uploaded on 01/23/2009 for the course THEORETICA 53705 taught by Professor Ossipasanen during the Winter '05 term at Uni. Helsinki.

Page1 / 5

mapu-II-kk161208-malli - Matemaattiset apuneuvot II, SL...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online