6.1 - CHAPTER 6 APPLICATIONS OF DEFINITE INTEGRALS 6.1...

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CHAPTER 6 APPLICATIONS OF DEFINITE INTEGRALS 6.1 VOLUMES BY SLICINGAND ROTATION ABOUT AN AXIS 1. (a) A (radius) and radius 1 x A(x) 1 x œœ ± Ê œ ± 11 ## # È ab (b) A width height, width height 2 1 A(x) 4 1 x œ ± Ê œ ± È # # (c) A (side) and diagonal 2(side) A ; diagonal 2 1 A(x) 2 1 x Ê œ œ ± Ê œ ± # # # # È È (diagonal) # (d) A (side) and side 2 1 A(x) 3 1 x ± Ê œ ± È 3 4 # È È 2. (a) A (radius) and radius x A(x) x Ê œ # È (b) A width height, width height 2 x A(x) 4x œ Ê œ È (c) A (side) and diagonal 2(side) A ; diagonal 2 x A(x) 2x Ê œ œ Ê œ # # È È (diagonal) # (d) A 2 x A(x) 3x Ê œ È 3 4 # È È 3. A(x) 2x (see Exercise 1c); a 0, b 4; œ œ œ (diagonal) xx # # ±± ˆ‰ ÈÈ V A(x) dx 2x dx x 16 œ œ '' a0 b4 cd # % ! 4. A(x) 1 2x x ; a 1, b 1; œ œ ± ² œ ± œ 1 (diameter) 44 4 2x x 2 1x # # c d ± #% 1 V A(x) dx 1 2x x dx x x 2 1 ± ² œ ± ² œ ± ² œ a1 b1 1 ’“ $ " ±" " 2x 2 1 6 35 3 5 1 5 & 1 5. A(x) (edge) 1 x 1 x 2 1 x 4 1 x ; a 1, b 1; ± ± ± ± œ ± œ ± œ ± œ # # # Š È Š‹ V A(x) dx 4 1 4 x 8 1 ± œ ± œ ± œ ab ’“ # " ±" " x1 6 33 3 $ 6. A(x) 2 1 x (see Exercise 1c); a 1, b 1; œ œ ± œ ± œ (diagonal) 21x # # # ±±± ± ± # Š È V A(x) dx 2 1 2 x 4 1 ± œ ± œ ± œ # " ±" " x8 3 $ 7. (a) STEP 1) A(x) (side) (side) sin 2 sin x 2 sin x sin 3 sin x œ "" †† È STEP 2) a 0, b 1 STEP 3) V A(x) dx 3 sin x dx 3 cos x 3(1 1) 2 3 œ ± œ ² œ b È È 1 1 ! (b) STEP 1) A(x) (side) 2 sin x 2 sin x 4 sin x œ # STEP 2) a 0, b 1 STEP 3) V A(x) dx 4 sin x dx 4 cos x 8 œ ± œ b 1 1 ! 8. (a) STEP 1) A(x) (sec x tan x) sec x tan x 2 sec x tan x ± œ ² ± 1 (diameter) 4 # # sec x sec x 1 2 œ² ± ± 1 4c o s x sin x ±‘ # STEP 2) a , b œ± œ STEP 3) V A(x) dx 2 sec x 1 dx 2 tan x x 2 ± ± œ ± ² ± a3 b3 Î Î 1 1 1 1 o s x 4 c o s x 2 sin x ± # " Î$ ±Î $ #
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396 Chapter 6 Applications of Definite Integrals 23 2 2 43 œ± ² ± ± ± ² ² ± 11 1 1 1 3 4 3 2 ’“ Š ÈÈ È Š‹ Š "" ˆ‰ ## (b) STEP 1) A(x) (edge) (sec x tan x) 2 sec x 1 2 œœ ± œ ± ± # sin x cos x # STEP 2) a , b œ 33 STEP 3) V A(x) dx 2 sec x 1 dx 2 2 3 4 3 ± ± œ ± œ ± '' a3 b3 Î Î 1 1 # 2 sin x 2 cos x 3 3 # 9. A(y) (diameter) 5y 0 y ; ± œ 1 44 4 5 % # È c 0, d 2; V A(y) dy y dy œ œ c0 d2 5 4 1 % 208 ± œ ab 5 45 4 y & # ! & 1 10. A(y) (leg)(leg) 1 y 1 y 2 1 y 2 1 y ; c 1, d 1; ± ± ± ± œ ± œ ± œ ± œ " # # # ±‘ ˆ È V A(y) dy 2 1 2 y 4 1 ± œ ± œ ± œ c1 d1 ab ’“ # " ±" " y 3 8 $ 11. (a) A(x) (diameter) V A(x) dx ± ± œ Ê œ œ 1 1 4 4 1x dx # ²² # a1 b1 tan x ( )(2) œ cd ±" " ±" # 4 # (b) A(x) (edge) V A(x) dx ± ± œ Ê œ œ # # d x 4 tan x 4 tan (1) tan ( 1) 4 2 ± ± œ ± ± œ cdc d ±" ±" ±" " ±" 1 12. (a) A(x) (diameter) 0 V A(x) dx ± œ œ Ê œ 1 1 4 24 # ± # ±± Š % # È ' a b dx sin x sin sin œ ± ± œ ± ± œ ' Î Î Î Î È È È È 22 1 1 È ± ±" ±" ±" # # # 1 Š (b) A(x) 0 V A(x) dx dx ± œ Ê œ œ (diagonal) 12 2 2 # % # È ± # a2 2 b2 2 Î Î È È 2s in x 2 2 œ ±" È È Î Î 1 4 1 13. (a) It follows from Cavalieri's Principle that the volume of a column is the same as the volume of a right prism with a square base of side length s and altitude h. Thus, STEP 1) A(x) (side length) s ; STEP 2) a 0, b h; STEP 3) V A(x) dx s dx s h œ œ œ a0 bh
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