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thomasET_226348_ism40 - CHAPTER 8 TECHNIQUES OF INTEGRATION...

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CHAPTER 8 TECHNIQUES OF INTEGRATION 8.1 BASIC INTEGRATION FORMULAS 1. ; 2 u C 2 8x 1 C u 8x 1 du 16x dx ' ' 16x dx du 8x 1 u È È # # È È œ œ Ä œ œ 2. ; 2 u C 2 1 3 sin x C u 1 3 sin x du 3 cos x dx ' ' 3 cos x dx du 1 3 sin x u È È È È œ œ Ä œ œ 3. 3 sin v cos v dv; 3 u du 3 u C 2(sin v) C u sin v du cos v dv ' ' È È œ œ Ä œ œ 2 3 $Î# $Î# 4. cot y csc y dy; u ( du) C C u cot y du csc y dy ' ' $ # $ # œ œ Ä œ œ u 4 4 cot y 5. ; ln u ln 10 ln 2 ln 5 u 8x 2 du 16x dx x 0 u 2, x 1 u 10 ' ' 0 2 1 10 16x dx du 8x 2 u # "! # Ô × Õ Ø c d k k œ œ œ Ê œ œ Ê œ Ä œ œ œ 6. ; du ln u ln 3 ln 1 ln 3 u tan z du sec z dz z u 1, z u 3 ' ' 4 1 3 3 3 1 sec z dz tan z u 4 3 Ô × Ö Ù Õ Ø È c d k k È È œ œ œ Ê œ œ Ê œ Ä œ œ œ # " 1 1 7. ; 2 ln u C 2 ln x 1 C u x du dx 2 du ' ' dx 2 du x x 1 x dx x u È È ˆ È È " # Ô × Ö Ù Ö Ù Õ Ø È k k ˆ È œ " œ œ Ä œ œ 8. ; 2 ln u C 2 ln x 1 C u x 1 du dx 2 du ' ' ' dx dx 2 du x x x x 1 x dx x u " # È È È ˆ È È œ Ä œ œ œ œ œ Ô × Ö Ù Ö Ù Õ Ø È k k ¸ ¸ È 9. cot (3 7x) dx; cot u du ln sin u C ln sin (3 7x) C u 3 7x du 7 dx ' ' Ä œ œ œ œ k k k k " " " 7 7 7 10. csc ( x 1) dx; csc u ln csc u cot u C u x 1 du dx ' ' 1 1 1 Ä œ œ œ k k du 1 1 " ln csc ( x 1) cot ( x 1) C œ " 1 k k 1 1 11. e csc e 1 d ; csc u du ln csc u cot u C ln csc e 1 cot e 1 C u e 1 du e d ' ' ) ) ) ) ˆ ¸ ¸ k k ˆ ˆ Ä œ œ œ œ ) ) 12. dx; cot u du ln sin u C ln sin (3 ln x) C u 3 ln x du ' ' cot (3 ln x) x dx x k k k k œ œ Ä œ œ
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490 Chapter 8 Techniques of Integration 13. sec dt; 3 sec u du 3 ln sec u tan u C 3 ln sec tan C u du ' ' t 3 t t 3 3 3 t dt 3 k k ¸ ¸ œ œ Ä œ œ 14. x sec x 5 dx; sec u du ln sec u tan u C u x 5 du 2x dx ' ' a b k k # # " " # # Ä œ œ œ ln sec x 5 tan x 5 C œ " # # # k k a b a b 15. csc (s ) ds; csc u du ln csc u cot u C ln csc (s ) cot (s ) C u s du ds ' ' Ä œ œ œ œ 1 1 1 1 k k k k 16. csc d ; csc u du ln csc u cot u C ln csc cot C u du ' ' " " " " " ) ) ) ) ) ) ) ) k k ¸ ¸ œ œ Ä œ œ d 17. 2xe dx; e du e e e 2 1 1 u x du 2x dx x 0 u 0, x ln 2 u ln 2 ' ' 0 0 ln 2 ln 2 u u ln 2 ln 2 0 x Ô × Õ Ø È c d œ œ œ Ê œ œ Ê œ Ä œ œ œ œ # ! 18. sin (y) e dy; e du e du e 1 e u cos y du sin y dy y u 0, y u 1 ' ' ' 2 0 1 1 0 u cos y u u e e Ô × Õ Ø c d œ œ œ Ê œ œ Ê œ Ä œ œ œ œ 1 # ! " " " 1 19. e sec v dv; e du e C e C u tan v du sec v dv ' ' tan v u u tan v # # œ œ Ä œ œ 20. ; 2e du 2e C 2e C u t du ' ' e dt t dt 2 t u u t t È È È È œ œ Ä œ œ 21. 3 dx; 3 du 3 C C u x 1 du dx ' ' x 1 u u ln 3 ln 3 3 " ˆ œ œ Ä œ œ x 1 22. dx; 2 du C C u ln x du ' ' 2 2 2 x ln ln dx x u ln x u ln x œ œ Ä œ œ # # 23. ; 2 du C C u w du ' ' 2 dw 2 2 w dw w ln ln w u w # # # # È È È œ œ Ä œ œ u 24. 10 d ; 10 du C C u 2 du 2 d ' ' 2 u 10 10 ln 10 ln 10 ) ) ) ) Š œ œ Ä œ œ " " # # # u 2 25. ; 3 tan x C 3 tan 3u C x 3u dx 3 du ' ' 9 du 3 dx 1 9u 1 x " " œ œ Ä œ œ 26. ; 2 tan u C 2 tan (2x 1) C u 2x 1 du 2 dx ' ' 4 dx 2 du 1 (2x 1) 1 u " " œ œ Ä œ œ 27. ; sin u 0 u 3x du 3 dx x 0 u 0, x u ' ' 0 0 1 6 1 2 dx du 1 9x 1 u 6 3 3 3 6 18 È È " " # " " " " "Î# !
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