DIAGRAMAS DE FASE - Leccin 5 o Tcnicas cualitativas para...

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Lecci´on 5 ecnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y l´ ıneas de fase 5.1. ecnicas Cualitativas Hasta ahora hemos estudiado t´ ecnicas anal´ ıticas para calcular, mediante integraci´on, las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. Desgraciadamente, estas ecnicas s´olo sirven para hallar soluciones anal´ ıticas de muy pocas ecuaciones. Y lo que es peor, no se puede esperar descubrir m´ etodos que permitan hallar, mediante t´ ecnicas anal´ ıti- cas, soluciones a muchas ecuaciones. Por ello debemos considerar tambi´ en la posibilidad de estudiar las ecuaciones diferenciales mediante otros m´ etodos. En esta Lecci´on estudiaremos algunos m´ etodos cualitativos. 5.2. Campos de Pendientes La idea b´asica que est´a detr´as de los m´ etodos cualitativos que estudiaremos en esta secci´on es la de que la derivada de una funci´on en un punto es la pendiente de la recta 67
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68 ecnicas cualitativas: Campos de pendientes y l´ ıneas de fase tangente a la gr´afica de la funci´on en dicho punto. Con esta idea en mente, decir que x ( t ) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial x = f ( t, x ) significa que la pendiente de la recta tangente a la gr´afica de x = x ( t ) en el punto ( t 0 , x 0 ), x 0 = x ( t 0 ), es f ( t 0 , x 0 ). En otras palabras, dar la ecuaci´on diferencial es dar el valor de la pendiente de las curvas soluci´on en todos los puntos del plano. De esta forma podemos asociar a cada punto ( t 0 , x 0 ) del plano un peque˜no segmento que tenga de pendiente, en ( t 0 , x 0 ), el valor f ( t 0 , x 0 ). Este conjunto de peque˜nos segmentos en el plano t - x se llama campo de pendientes de la ecuaci´on. En la pr´actica s´olo es posible dibujar un peque˜no n´umero de segmentos en el plano, pero dibujando un n´umero suficientemente grande de ellos podemos tener una idea m´as o menos clara de como son las tangentes a las curvas soluci´on de la ecuaci´on. Dibujar el campo de pendientes de una ecuaci´on a mano es una tarea costosa. Afortuna- damente hay programas de ordenador que nos ayudan en esta tarea. No obstante, y aunque mostraremos enseguida los resultados que produce uno de estos programas, conviene, al me- nos una vez, dibujar a mano un peque˜no campo de pendientes para alguna ecuaci´on. Esta es la ´unica forma de comprender lo que de forma m´as r´apida y con mejores resultados hace el programa de ordenador. Consideremos por ejemplo la ecuaci´on x = x 2 - t Esta ecuaci´on tan simple no es de ninguno de los tipos que hemos estudiado. As´ ı que no tenemos una idea de c´omo son sus soluciones. En este caso f ( t, x ) = x 2 - t . Para dibujar el campo de pendientes (s´olo en unos pocos puntos del plano), escogemos unos cuantos puntos, y calculamos en cada uno de ellos el valor de f . Este n´umero ser´a la pendiente de la recta tangente a la curva soluci´on que pasa por dichos puntos. Por ejemplo, la pendiente de la tangente a la curva soluci´on en el punto (1 , 1) es f (1 , 1) = 1 - 1 = 0.
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