3 sisecnnolin - 1 Ejemplo Metodo del Descenso mas rapido...

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Solucion de sistemas de ecuaciones no lineales. Considere un sistema de ecuaciones no lineales de la forma y 1 = f 1 ( x 1 , x 2 , ... , x n ) y 2 = f 2 ( x 1 , x 2 , ... , x n ) y n = f n ( x 1 , x 2 , ... , x n ) queremos encontrar una solucion para dicho sistema, esto es f i ( x 1 , x 2 , ... , x n ) = 0 i = 1,2,... ,n Metodo de Newton-Raphson. Recordar que para una ecuacion el metodo de NR esta dado por x i + 1 = x i f ( x i ) f ' ( x i ) Si generalizamos el metodo para n ecuaciones, expandiendo cada ecuacion en serie de Taylor hasta el termino lineal, tenemos f 1 ( x 1 , x 2 , ... , x n )= f 1 ( x 1i , x 2i , ... , x ni )+ f 1 x 1 ( x 1 x 1i )+ f 1 x 2 ( x 2 x 2i )+ ... + f 1 x n ( x n x ni ) f 2 ( x 1 ,x 2 , ... , x n )= f 2 ( x 1i , x 2i , ... , x ni )+ f 2 x 1 ( x 1 x 1i )+ f 2 x 2 ( x 2 x 2i )+ ... + f 2 x n ( x n x ni ) f n ( x 1 ,x 2 , ... , x n )= f n ( x 1i , x 2i , ... , x ni )+ f n x 1 ( x 1 x 1i )+ f n x 2 ( x 2 x 2i )+ ... + f n x n ( x n x ni ) En forma matricial se expresa como: F ( x i + 1 )= F ( x i )+ J ( x i )( x i + 1 x i ) como las raices se encuentran cuando F(x i+1 )=0, podemos despejar para x i+1 , resultando en x i + 1 = x i J 1 ( x i ) F ( x i ) Como cada ecuacion puede tener una velocidad de convergencia diferente, podemos introducir un parametro para controlarla x i + 1 = x i −α J 1 ( x i ) F ( x i ) 0 <α≤
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Unformatted text preview: 1 Ejemplo. Metodo del Descenso mas rapido Para un sistema de ecuaciones no lineales, podemos encontrar la solución, cuando encontramos el minimo de la ecuación auxiliar G, la cual esta dada por: G ( x )= ∑ i = 1 n [ f i ( x )] 2 Si obtenemos el gradiente, ∇ G ( x ) , este nos daria la direccion del descenso mas rapido de la funcion. Donde el gradiente esta dado por ∇ G ( x )= [ ∂ G /∂ x 1 ∂ G /∂ x 2 ⋮ ∂ G /∂ x n ] Si analizamos la forma de la funcion G, resulta facil observar que el gradiente esta dado por: ∇ G ( x )= 2 J T ( x ) F ( x ) por lo tanto el metodo del descenso mas rapido se reduce a x i + 1 = x i − 2 α J T ( x i ) F ( x i ) Donde α es un parametro para controlar la convergencia del metodo. (Autoestudio) Metodo de Marquardt....
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