Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers

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Unformatted text preview: Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Sean Mauch April 26, 2001 Contents 1 Anti-Copyright 22 2 Preface 2.1 Advice to Teachers . . . . 2.2 Acknowledgments . . . . . 2.3 Warnings and Disclaimers 2.4 Suggested Use . . . . . . . 2.5 About the Title . . . . . . 23 23 23 24 25 25 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algebra 3 Sets and Functions 3.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Single Valued Functions . . . . . . . 3.3 Inverses and Multi-Valued Functions 3.4 Transforming Equations . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 6 9 4 Vectors 11 4.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 4.2 4.3 4.4 4.5 II 4.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation 4.1.3 The Dot and Cross Product . . . . . . . . . . Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calculus 36 5 Differential Calculus 5.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Application: Using Taylor’s Theorem to Approximate 5.6.2 Application: Finite Difference Schemes . . . . . . . . 5.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Integral Calculus 6.1 The Indefinite Integral 6.2 The Definite Integral . 6.2.1 Definition . . . 6.2.2 Properties . . . 11 14 15 23 25 27 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 37 42 45 50 52 55 57 62 64 70 75 81 . . . . 100 100 106 106 107 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 The Fundamental Theorem of Integral Calculus Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Vector Calculus 7.1 Vector Functions . . . . . . . 7.2 Gradient, Divergence and Curl 7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . 7.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Solutions . . . . . . . . . . . . III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 111 111 114 118 121 125 . . . . . 134 134 135 142 144 145 Functions of a Complex Variable 8 Complex Numbers 8.1 Complex Numbers . . 8.2 The Complex Plane . . 8.3 Polar Form . . . . . . 8.4 Arithmetic and Vectors 8.5 Integer Exponents . . . 8.6 Rational Exponents . . 8.7 Exercises . . . . . . . . 8.8 Hints . . . . . . . . . . 8.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 151 154 158 163 164 166 170 176 179 9 Functions of a Complex Variable 9.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . 9.2 Cartesian and Modulus-Argument Form . 9.3 Graphing Functions of a Complex Variable 9.4 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . 9.5 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . 9.6 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Analytic Functions 10.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . 10.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Categorization of Singularities . . . . . 10.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities 10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Analytic Continuation 11.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . 11.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or 11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imaginary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 202 206 208 212 217 226 243 253 258 . . . . . . . . . 303 303 310 315 320 321 325 327 332 334 . . . . . . . 356 356 359 360 366 369 373 375 11.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12 Contour Integration and Cauchy’s 12.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . 12.2 Under Construction . . . . . . . . 12.3 Cauchy’s Theorem . . . . . . . . 12.4 Indefinite Integrals . . . . . . . . 12.5 Contour Integrals . . . . . . . . . 12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . 13 Cauchy’s Integral Formula 13.1 Cauchy’s Integral Formula 13.2 The Argument Theorem . 13.3 Rouche’s Theorem . . . . 13.4 Exercises . . . . . . . . . . 13.5 Hints . . . . . . . . . . . . 13.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Series and Convergence 14.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3 Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Tests for Uniform Convergence . . . . . . . . . . 14.2.2 Uniform Convergence and Continuous Functions. 14.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . 14.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 381 386 388 390 391 395 397 398 . . . . . . 403 404 411 413 415 417 418 . . . . . . . . . 422 422 422 425 426 432 433 435 436 443 14.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . 14.5.1 Newton’s Binomial Formula. 14.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . 14.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . 14.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 449 452 455 462 465 15 The Residue Theorem 15.1 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . 15.2 Cauchy Principal Value for Real Integrals . . . 15.2.1 The Cauchy Principal Value . . . . . . 15.3 Cauchy Principal Value for Contour Integrals 15.4 Integrals on the Real Axis . . . . . . . . . . . 15.5 Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 15.6 Fourier Cosine and Sine Integrals . . . . . . . 15.7 Contour Integration and Branch Cuts . . . . . 15.8 Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . 15.8.1 Wedge Contours . . . . . . . . . . . . 15.8.2 Box Contours . . . . . . . . . . . . . . 15.9 Definite Integrals Involving Sine and Cosine . 15.10Infinite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.12Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 490 498 498 503 507 512 515 517 521 521 524 525 528 532 546 553 IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordinary Differential Equations 634 16 First Order Differential Equations 635 16.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 6 16.2 One Parameter Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Homogeneous Coefficient Equations . . . . . . . . . . . 16.4 The First Order, Linear Differential Equation . . . . . . . . . 16.4.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.3 Variation of Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.1 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities 16.6 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Equations in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.2 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 First Order Systems of Differential Equations 17.1 Matrices and Jordan Canonical Form . . . . . . 17.2 Systems of Differential Equations . . . . . . . . 17.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Differential Equations 757 18.1 Nature of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 18.2 Transformation to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 7 18.3 The Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Derivative of a Determinant. . . . . . . . . . . . 18.3.2 The Wronskian of a Set of Functions. . . . . . . 18.3.3 The Wronskian of the Solutions to a Differential 18.4 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 The Fundamental Set of Solutions . . . . . . . . . . . . 18.6 Adjoint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762 762 763 765 768 770 773 776 778 780 . . . . . . . . . . . . . 786 786 787 791 793 795 798 801 802 803 804 807 814 817 20 Techniques for Nonlinear Differential Equations 20.1 Bernoulli Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Exchanging the Dependent and Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 842 844 848 19 Techniques for Linear Differential Equations 19.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . 19.1.1 Second Order Equations . . . . . . . . . 19.1.2 Higher Order Equations . . . . . . . . . 19.1.3 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . 19.2 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . 19.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Equations Without Explicit Dependence on y . 19.5 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 *Reduction of Order and the Adjoint Equation . 19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . ...
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    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

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