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Unformatted text preview: Graduate Coursework WES ERBSEN† September 2010 - December 2011 † To whom correspondence should be addressed: [email protected]l.com For supporting documents, please visit: merzbachersucks.com This document last updated on February 11, 2013 Table of Contents 1 Quantum Mechanics II 1.1 Homework #1 . . . . . Merzbacher Exercise 9.3 . Merzbacher Exercise 9.7 . Merzbacher Exercise 9.8 . Merzbacher Exercise 9.13 Merzbacher Exercise 9.17 Merzbacher Exercise 9.18 Merzbacher Problem 9.1 . Merzbacher Problem 9.2 . 1.2 Homework #2 . . . . . Merzbacher Exercise 10.9 Merzbacher Exercise 10.12 Merzbacher Exercise 10.14 Merzbacher Exercise 10.20 Merzbacher Problem 10.2 Merzbacher Problem 10.5 Merzbacher Problem 10.6 Merzbacher Problem 10.7 1.3 Homework #3 . . . . . Merzbacher Exercise 14.3 Merzbacher Exercise 14.4 Merzbacher Exercise 14.6 Merzbacher Exercise 14.7 Merzbacher Exercise 14.11 Merzbacher Exercise 14.13 Merzbacher Problem 10.1 Merzbacher Problem 10.2 Merzbacher Problem 10.3 1.4 Homework #4 . . . . . Merzbacher Problem 14.4 Merzbacher Problem 14.5 Merzbacher Problem 14.7 Merzbacher Exercise 15.5 Merzbacher Exercise 15.8 Merzbacher Exercise 15.9 Merzbacher Exercise 15.13 1.5 Homework #5 . . . . . Merzbacher Exercise 15.25 Merzbacher Problem 15.1 Merzbacher Exercise 16.8 Merzbacher Exercise 16.15 1.6 Homework #6 . . . . . Merzbacher Exercise 16.23 Merzbacher Exercise 16.26 Merzbacher Exercise 16.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Merzbacher Exercise 17.12 Merzbacher Exercise 17.13 Merzbacher Exercise 17.15 Merzbacher Exercise 17.16 Merzbacher Exercise 17.18 Merzbacher Problem 17.1 Merzbacher Problem 17.4 1.8 Homework #9 . . . . . Merzbacher Problem 17.6 Merzbacher Problem 17.9 Merzbacher Exercise 21.4 Merzbacher Exercise 21.8 Merzbacher Problem 21.1 Merzbacher Problem 21.2 1.9 Homework #10 . . . . Merzbacher Exercise 22.3 Merzbacher Exercise 22.6 Merzbacher Exercise 22.10 Merzbacher Problem 22.6 Appendix . . .A. . . . . . . . . . . Appendix . . .B. . . . . . . . . . . 2 Electrodynamics II 2.1 Homework #1 Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem 2.2 Homework #2 Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem 2.3 Homework #3 Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem . . . 9.1 . 9.2 . 9.3 . 9.4 . 9.5 . 9.7 . 9.8 . . . . 10.1 10.2 10.3 10.5 10.6 10.7 10.9 . . . 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Homework #8 Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Homework #9 Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem Franklin Problem 11.6 . 11.7 . . . . . 12.1 . 12.3 . 12.4 . 12.5 . 12.7 . 12.8 . . . . . 12.10 12.11 12.12 12.13 . . . . 13.3 . 13.4 . 13.5 . 13.6 . 13.7 . . . . . 13.8 . 13.10 13.11 . . . . 14.1 . 14.2 . 14.3 . 14.4 . 14.5 . 14.6 . 14.8 . . . . . 14.11 14.13 14.14 14.15 14.16 14.17 3 Statistical Mechanics 3.1 Homework #1 . 3.2 Homework #2 . 3.3 Homework #3 . 3.4 Homework #4 . 3.5 Homework #7 . . . . . . 4 Mathematical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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190 191 194 195 195 198 199 200 202 203 203 206 210 213 213 216 217 221 225 226 228 230 230 233 234 236 239 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 243 252 265 281 295 303 iv 4.1 Homework 4.2 Homework 4.3 Homework 4.4 Homework 4.5 Homework 4.6 Homework 4.7 Homework 4.8 Homework 4.9 Homework 4.10 Homework #3 . #4 . #5 . #6 . #7 . #8 . #9 . #10 #11 #12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Departmental Examinations 5.1 Quantum Mechanics . . 5.2 Electrodynamics . . . . . 5.3 Modern Physics . . . . . 5.4 Statistical Mechanics . . References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 308 315 325 332 338 347 355 367 380 . . . . 391 391 437 478 530 599 Quantum Mechanics II 1.1 Homework #1 Merzbacher Exercise 9.3 In a two-slit interference experiment with particles of definite wave number (energy) k, the slits A and B are located at positions rA and rB . At large distances from the slits, the amplitudes hr|Ai and hr|Bi are to reasonable accuracy represented by hr|Ai ∝ eik|rA −r| and hr|Bi ∝ eik|rB −r|. Show how, to within a constant of proportionality, the probability of finding the particle at position r depends on the difference of the distances from A to B to the point of observation, and on the relative magnitude and phase of the amplitudes hA|Ψi and hB|Ψi, which are determined by the experimental arrangement. Solution We first recall that we can expand the coefficients hr|Ψi as hr|Ψi =hr|AihA|Ψi + hr|BihB|Ψi (1.1.1) Finding the magnitude of (1.1.1), 2 2 |hr|Ψi| = |hr|AihA|Ψi + hr|BihB|Ψi| = |hr|AihA|Ψi|2 + |hr|BihB|Ψi|2 + 2Re {hr|AihA|Ψihr|BihB|Ψi} (1.1.2) Where we note that we can write the following: |hr|AihA|Ψi|2 = (hr|AihA|Ψi)∗ hr|AihA|Ψi =hA|rihΨ|Aihr|AihA|Ψi =hΨ|AihA|rihr|AihA|Ψi |{z} 1 =hΨ|Ai hA|AihA|Ψi | {z } 1 =hΨ|AihA|Ψi 2 = |hA|Ψi| (1.1.3) 2 CHAPTER 1: QUANTUM MECHANICS II Using the same logic as what lead to (1.1.3), we can also say that 2 |hr|BihB|Ψi| = |hB|Ψi| 2 (1.1.4) Using (1.1.3) and (1.1.4), we can now rewrite (1.1.2): 2 2 2 |hr|Ψi| = |hA|Ψi| + |hB|Ψi| + 2Re {hr|AihA|Ψihr|BihB|Ψi} (1.1.5) We recall from the prompt that hr|Ai ∝eik|rA−r| (1.1.6a) ik|rB −r| hr|Bi ∝e (1.1.6b) Substituting (1.1.6a)-(1.1.6b) into (1.1.5), we have: n o 2 2 2 |hr|Ψi| = |hA|Ψi| + |hB|Ψi| + 2Re eik|rA−r|hA|Ψieik|rB −r|hB|Ψi (1.1.7) Let’s assume that rA > rB , → rA > r, → rB < r. Therefore, we can rewrite (1.1.6a)-(1.1.6b) as hr|Ai ∝ eik|rA−r| ⇒eik(rA −r) ik|rB −r| hr|Bi ∝ e ik(r−rB ) ⇒e (1.1.8a) (1.1.8b) Using (1.1.8a)-(1.1.8b), (1.1.7) becomes n o |hr|Ψi|2 = |hA|Ψi|2 + |hB|Ψi|2 + 2Re eik(rA −r) hA|Ψieik(r−rB ) hB|Ψi n o 2 2 = |hA|Ψi| + |hB|Ψi| + 2Re eik(rA −r) eik(r−rB ) hA|ΨihB|Ψi n o 2 2 = |hA|Ψi| + |hB|Ψi| + 2Re eik(rA −rB ) hA|ΨihB|Ψi (1.1.9) We now expand the cofficients in the bracket in (1.1.9) as: hA|Ψi =|A|eiϕA iϕB hB|Ψi =|B|e (1.1.10a) (1.1.10b) Substituting (1.1.10a)-(1.1.10b) back into (1.1.9), we have n o 2 2 2 |hr|Ψi| = |hA|Ψi| + |hB|Ψi| + 2Re eik(rA −rB ) |A|eiϕA |B|eiϕB (1.1.11) n o 2 2 2 |hr|Ψi| = |hA|Ψi| + |hB|Ψi| + 2|A||B|Re eik(rA −rB ) ei(ϕA +ϕB ) (1.1.12) From (1.1.11) it is easy to see that Recalling (1.1.10a)-(1.1.10b), we can dissect (1.1.12) a little more to increase its transparency: n o 2 2 2 |hr|Ψi| = |A| + |B| + 2|A||B|Re eik(rA −rB ) ei(ϕA +ϕB ) 3 HOMEWORK #1 = |B| 2 " |A| n ik(rA −rB ) i(ϕA +ϕB ) o + 1 + 2 Re e e |B| |B|2 |A|2 # (1.1.13) Rewriting (1.1.13) once more, we see that 2 |hr|Ψi| = |B| 2 " i iii #  zik(r}|−r {) zi(ϕ }|+ϕ {) |A| A B A B e 2 +1 + 2 |B| Re e |B| |{z} | {z } 2 |A| ii ii Where we let i) ii) iii) (1.1.14) The difference of the distance from A to B to the point of observation The relative amplitude of hA|Ψi to hB|Ψi The relative phase of hA|Ψi to hB|Ψi Merzbacher Ex...
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