הרצאה 10 - ‫תורת המשחקים – הרצאה...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תורת המשחקים – הרצאה ‪01‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 4‬משיעורי בית ‪ – 4‬בקווים כלליים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אחידה ‪ n 2 Fi ‬הזוכה משלם ‪b2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. b1 ‬‬ ‫ננחש אסטרטגיה סימטרית לינארית ‪. v v 0 1‬‬ ‫‪0 x‬‬ ‫שחקן ‪:1‬‬ ‫‪v1 : Pr win | x v1 E ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Pr v2 x p v2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן ‪ v1 x xv1 x 2 v1 x 0 x* v1‬ולכן‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫עיצוב מנגנונים – המשך‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪wi vi M i 0 Qi t dt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪M i vi M i 0 Qi vi vi Qi t dt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מסקנה‪ :‬יהיו ‪ q, ‬ו‪ q ', ' -‬שני מנגנונים ישירים ‪. IC‬‬ ‫נניח‪:‬‬ ‫(‪q q ' )1‬‬ ‫(‪ i 0, vi i' 0, vi )2‬לכל ‪ i‬לכל ‪ . v i‬אז התשלום‪ /‬התועלת לכל ‪ i‬אותו‬ ‫דבר בש"מ של אחד המנגנונים‪.‬‬ ‫משפט שקילות הרווח – גרסה כללית‪:‬‬ ‫יהיו ‪ A‬ו‪ A ' -‬שתי שיטות מכרז מעטפה חתומה ‪ . IPV ‬יהיו שני ש"מ‪ 1... n :‬של ‪ A‬ו‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫'‪ ' 1' ... n‬של ' ‪. A‬‬ ‫(א) בהינתן ‪ , b1...bn ‬סיכוי הזכיה של ‪ i‬הוא אותו דבר ב ‪ ‬ו‪. ' -‬‬ ‫(ב) ‪ i bi 0‬משלם אפס ו ‪ i‬שם את ה ‪ bid‬אפס בש"מ‪.‬‬ ‫אזי‪ :‬תוחלת הרווח לקונה ‪ i‬היא אותו דבר ב ‪ ‬ו‪ . ' -‬תוחלת הרווח למוכר היא אותו הדבר ב‬ ‫‪ ‬ו‪. ' -‬‬ ‫נוכיח את המשפט‪-‬‬ ‫‪ ‬של ‪ A‬שקול למנגנון ישיר ‪ ' . q, ‬של ' ‪ A‬שקול למכניזם ישיר ‪. q ', ' IC‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫נשתמש בשוויון שהוכחנו שיעור קודם‪Wi vi Wi 0 Qi t dt :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כעת על פי ב' אנו יודעים כי ‪ wi 0 0‬בשניהם וכמו כן מכיוון שאנו יודעים שסיכויי הזכייה‬ ‫שלהם הם זהים אזי ה ‪ Qi‬של שניהם זהה‪ .‬לכן גם האינטגרל שלו זהה ולכן הוכחנו את המשפט‪.‬‬ ‫סבירות פרטית ‪- Individual Rationulity IR‬‬ ‫‪. wi vi 0 i vi‬‬ ‫משפט‪ :‬מנגנון ישיר ‪ IC‬הינו ‪ IR‬אם"ם ‪. i M i 0 0‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫אנו יודעים כי ‪ Wi vi M i 0 Qi t dt‬ואנו רוצים כי ‪ . vi Wi 0‬מכיוון שאנו יודעים כי‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪ Q t dt‬‬ ‫‪i‬‬ ‫חיובי אזי ‪. M i 0 0 M i 0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אינטואיציה‪ :‬הכרחי ‪ , M i 0 0‬מספיק ‪. M i 0 0‬‬ ‫מציאת המנגנון הממקסם רווח למוכר (מבין כל המנגנונים הישירים ‪:) IR , IC‬‬ ‫‪1 Fi vi ‬‬ ‫‪f i vi ‬‬ ‫‪ ci vi vi ‬כאשר ‪ Fi‬היא ההתפלגות‪ ci f i Fi ' ,‬הוא התשלום למוכר ונניח‬ ‫‪. fi 0‬‬ ‫‪ci 0‬‬ ‫‪ci vi 0, j i : ci c j‬‬ ‫‪if ci 0 and max imal‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ q*i v 0‬הסתברות הזכיה‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫| ‪ | j : c j v j 0 and max iml‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫של ‪ i‬בהינתן ‪v v1,..., vn ‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪ v q v vi q*i t, vi dt‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ ‬התשלום של ‪. i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ‪ ci‬פונקציה מונוטונית עולה לכל ‪ , i‬אזי‪ :‬המנגנון הישיר * ‪ q* , ‬הינו ‪ IC‬ו ‪. IR‬‬ ‫הוכחה‪ - IR :‬אם ‪ i‬מדווח ‪ xi 0‬אזי הוא בעצם מדווח‬ ‫‪1 Fi 0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪fi 0‬‬ ‫‪fi 0‬‬ ‫‪( M *i 0 0 *i q*i ci 0 0 ‬על פי המשפט מתחילת‬ ‫השיעור)‪.‬‬ ‫כעת נרצה להוכיח כי הוא ‪: IC‬‬ ‫טענה ‪ :1‬ההסתברות ששחקן זוכה ‪ Q *i‬מונוטונית עולה‪.‬‬ ‫הנחה‪ ci :‬עולה ב ‪ vi‬לכן *‪ qi‬עולה ב ‪ vi‬ולכן ‪ Q *i‬גם כן עולה ב ‪. vi‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫טענה ‪:2‬‬ ‫‪ xi , vi Q xi vi xi Qi* t dt‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫‪ u‬כלומר מה היה קורה אם הייתי מדווח ‪xi‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כאשר השווי שלי הוא ‪. vi‬‬ ‫הוכחה‪ u*i Q*i xi vi M *i xi :‬כלומר‬ ‫‪xi‬‬ ‫* ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f i vi i dvi xi qi xi , vi qi* t , vi dt f i vi dvi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ xi xi , vi ‬‬ ‫*‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪xiQ*i xi qi* t , v i dt f i v i dv i xiQi* xi Qi* t dt‬‬ ‫השוויון האחרון נובע מכך שכאשר נבצע אינטגרציה לפי הביטוי המודגש ניפטר מאינטגרל אחד ו‬ ‫*‪qi* Qi‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫ניקח את הנוסחא ‪ ui* Qi* xi vi M i* xi ‬ונציב את ‪xiQ xi Qi* t dt‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫במקום ‪ xi ‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ונקבל את מה שרצינו להוכיח‪.‬‬ ‫ניזכר כי להראות כי המכניזם הוא ‪ IC‬זה להראות כי לא כדאי לשחקן לשקר ולהגיד שהערך שלו‬ ‫שונה מ ‪ v‬האמיתי שלו‪ ,‬כלומר ‪. xi , vi : ui* vi , vi u*i xi , vi ‬‬ ‫‪.M‬‬ vi xi Q t dt Q v x Q t dt * i * i i * i i 0 0 vi Q t dt Q x v x ‫ולכן‬ * i * i i i i xi vi xi . IR ‫ ו‬IC ‫ ממקסם את תוחלת הרווח למוכר מבין כל המנגנונים שהם‬q* , * ‫ המנגנון‬:‫משפט‬ :‫הוכחה‬ ‫אנו יודעים כי תוחלת התשלום לי כמוכר שווה לסכום התוחלות של כל אחד מהשחקנים לתשלום‬ n E M i i 1 vi ‫ ומכיוון שהתוחלת לחלק המודגש יא‬M i vi M i 0 Qi vi Qi t dt 0 ,‫אזי‬ q v v f v dv i i i i i i x E M i M i 0 Qi vi vi f i vi dvi Qi t dt f i x dx 0 0 vi vi M i 0 Qi vi vi f i vi dvi Qi t f i vi dvi dt 0 M i 0 Qi vi vi f i vi dvi Qi t 1 Fi t dt 1 Fi vi M i 0 Qi vi f i vi vi dvi M i 0 Qi vi ci vi f vi dvi f v i i ci ‫נרצה למקסם את הביטוי ולכן נמקסם‬ n E M M i 0 qi vi ci vi f i vi dv i i 1 :‫כל חלק בנפרד‬ i mi 0 0 ‫נמקסם זאת ע"י‬ ‫נרצה למקסם את הפונקציה בכל נקודה ולכן גם נמקסם את‬ i i i i 1 i i i m 0 ‫עבור‬ q v c v f v dv q v c v ‫ שלילי ניתן‬ci ‫ נעשה זאת ע"י כך שעבור‬ n i i i i i ‫עבור‬ ‫ כלומר נרצה למקסם את‬,‫האינטגרל‬ .‫ אם יש כמה נבחר באופן שווה בינהם‬,‫ חיובי ניתן להם את כל המשקל‬ci ‫ ועבור כל‬qi 0 ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern