הרצאה 11 - 11 1 Fi vi ci 0 f i vi ci vi vi vi i v vi...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תורת המשחקים – הרצאה ‪11‬‬ ‫איך המוכר ימקסם את הרווח שלו מהמכירה?‬ ‫תזכורת‪:‬‬ ‫' ‪1 Fi vi ‬‬ ‫‪ ci 0‬‬ ‫‪ f i vi ‬‬ ‫‪ ci vi vi ‬ניתן את החפץ לבידר המקסימלי בהנחה שהוא אינו שלילי‪.‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪ i* v vi qi* v qi* t , vi dt‬כאשר *‪ i‬הינה תוחלת התשלום של שחקן ‪. i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫משפט‪ :‬נניח מודל ‪ IPV‬סימטרי ‪ . F1 F2 ... Fn‬נניח '‪ 0 ci‬לכל ‪ . i‬אזי המנגנון האופטימלי‬ ‫שקול לש"מ סימטרי של ‪ , SPA‬עם מחיר מינימום‪ .‬מחיר מינימום‪ -‬כלומר נניח כי הבידים הם‬ ‫מתפלגים יוניפורמית בין ‪ 0‬ל‪ 000‬אזי אנחנו לא נסתכל על ביד קטן מ‪.32-‬‬ ‫נסתכל על המקרה הבא‪:‬‬ ‫כאשר ‪ r reserve price r‬הוא מחיר מינימום וההצעה שלי היא המקסימלית עם ערך ‪b r‬‬ ‫אזי אם המחיר השני הכי גבוהה‪ , b ' ,‬גדול מ ‪ r‬אזי נשלם ' ‪ . b‬אם המחיר השני הכי גבוה קטן מ ‪, r‬‬ ‫" ‪ , b‬אזי אני אשלם ‪( r‬נזכיר כי מדובר ב ‪ SPA‬ולכן נשלם את השני הכי גבוהה)‪.‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪b‬‬ ‫'‪b‬‬ ‫‪r‬‬ ‫"‪b‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הוכחת המשפט‪:‬‬ ‫אנחנו מניחים שכל הערכים מתפלגים אחיד על אינטרוול בין ‪ 0‬ל ‪. v‬‬ ‫' ‪1 Fi vi ‬‬ ‫אנו יודעים כי ‪ ci 0‬‬ ‫‪ f i vi ‬‬ ‫‪ ci vi vi ‬ולכן‪:‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ fi 0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ci 0 0 ‬וכן ‪ ci v v 0 0‬קיים * ‪ p‬כך ש‪( c p* 0 -‬כי הפונקציה‬ ‫רציפה חסומה וכל השאר ולכן יש לה ערך מקסימלי)‪.‬‬ ‫נשאל את עצמנו מה ההסתברות ש ‪ i‬יזכה בהנחה שווקטור ההצעות הוא ‪: v‬‬ ‫*‪0 vi p‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪1 vi p vi v j j i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ qi* v 1‬כאשר במקרה ‪ k 2‬הוא מספר המקסימלים‪.‬‬ ‫*‬ ‫‪ vi p vi max imal but not uniqe‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪0 vi p not max imal‬‬ ‫מסקנה‪ :‬כלל ההקצאה‪ /‬הסתברות הזכיה הן אותו דבר כמו בש"מ הסימטרי של ה ‪ SPA‬עם מחיר‬ ‫מינימום *‪. v p‬‬ ‫נרצה להראות כי גם התשלומים הם כמו ב ‪: SPA‬‬ ‫מקרה ראשון‪ :‬אם *‪ vi p‬אזי ‪ i* 0 qi* 0‬וזאת על פי הנוסחה‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪. v v q v qi* t , vi dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫*‬ ‫‪i i‬‬ ‫*‬ ‫‪i‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מקרה שני‪vi p* :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ i‬זוכה יחיד‪.‬‬ ‫‪1dt vi vi max v j ( j i ) max v j j i ‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪max v j‬‬ ‫‪j i‬‬ ‫‪0dt ‬‬ ‫‪max v j‬‬ ‫‪j i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i* v vi ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫*מצד ימין לשוויון הראשון האינגרל הראשון הוא כאשר הצעתי פחות מהמקסימלי ולכן‬ ‫הסתברות הזכייה היא ‪ 0‬ובחלק השני ההצעה של היא לפחות המקסימלי ולכן ההסתברות‬ ‫היא ‪.0‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ i‬אינו זוכה יחיד‪.‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪ 0 dt i‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i* v ‬‬ ‫ההסבר ל‪ 0-‬באינטגרל הוא שאם הייתי מציע פחות מ ‪ vi‬אפילו טיפה אזי הוא כבר לא‬ ‫מקסימלי (כי הנחנו שההצעה שלי אינה המקסמלית היחידה)‪.‬‬ ‫כאשר ההצעה שלי שווה ל ‪ r‬זה לא משנה מכיוון שאז גם אם ננצח נקבל ‪.0‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫שני קונים עם התפלגות אחידה על ‪ . 0,1‬אנו פונים לאדון מאיירסון ואומרים לו אנחנו רוצים למכור‬ ‫את החפץ מה לעשות? אז הוא אומר לנו יהיה בסדר תשתמשו במשפט שלי‪:‬‬ ‫נחשב את תוחלת הרווח מ ‪ SPA‬עם ‪: r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נניח ש ‪( t v1 t‬תוחלת הרווח למוכר בהינתן ‪:) v1 t‬‬ ‫‪tr‬‬ ‫‪( r 1 r ‬כאשר ‪ 1 r ‬היא ההסתברות מכיוון שזוהי התפלגות אחידה)‬ ‫‪tr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t r r t‬‬ ‫‪ r t r ‬מכיוון שבהסתברות ‪ r‬הולואציה של שחקן ‪ 3‬קטנה‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מ‪ r -‬וההסבר להמשך הוא מכיוון שבמקרה כזה נשלם את התוחלת של שחקן ‪ 3‬שהיא חצי‬ ‫מהאינטרוול ‪. r, t ‬‬ ‫‪ t r‬לא באמת משנה‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ r2 t2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ t2 ‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪ t dt r 2 1 r 1 r t dt ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ t dt r 1 r dt ‬‬ ‫‪ 1 r 2 r 3 1‬‬ ‫‪ t2 t3 ‬‬ ‫‪3 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪r 1 r |1r r 2 1 r r 2 r 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪ 3 2 6 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫נרצה למקסם את ‪ r 2 r 3‬וזה קורה ב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪r* ‬‬ ‫בזאת סיימנו את הנושא של עיצוב מכניזמים‪.‬‬ ‫מיקוח‬ ‫נחזור לעולם של המשחקים עם אינפורמציה מלאה‪-‬‬ ‫אנחנו נדבר על מקרה עם שני שחקנים למרות שניתן להכליל זאת לכמה שחקנים‪ .‬לשני השחקנים יש‬ ‫שתי אפשרויות‪:‬‬ ‫(‪ )0‬לשתף פעולה‪.‬‬ ‫(‪ )3‬לא לשתף פעולה‪.‬‬ ‫בעיית מיקוח הינה ‪ S , d ‬כאשר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - S ‬קבוצת התשלומים האפשריים ‪set ‬‬ ‫‪ feasible‬‬ ‫‪ - d S‬נקודת אי‪-‬הסכמה ‪ ,‬כאשר אני ואתה לא מסכימים על איזשהו משהו‪.‬‬ ‫‪. disagreement po int ‬‬ ‫מטרה‪d d1, d 2 :‬‬ ‫‪ s1, s2 s S‬‬ ‫נניח כי ‪ S‬קמורה וקומפקטית‪ .‬כמו כן נניח כי קיים ‪ x S‬כך ש‪ xi d i -‬לכל ‪. i‬‬ ‫כל אלו הנחות שהן חלק מההגדרה של בעיית מיקוח‪.‬‬ ‫נסמן ב ‪ ‬את אוסף כל בעיות המיקוח‪.‬‬ ‫פתרון מיקוח‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ : ‬כך ש ‪ S , d S‬לכל ‪. S , d ‬‬ ‫נרצה פתרון "מעניין"‪ ,‬כלומר שיקיים את הדרישות (הטבעיות) הבאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫יעילות‪ P S ( S , d P S :‬היא השפה היעילה‪ /‬השפה הצפון מזרחית בשרטוט‬ ‫שלנו) לכל בעיה ‪. S , d ‬‬ ‫‪‬‬ ‫סימטריה‪ :‬אם ‪ S‬סימטרית ביחס ל ‪ 45‬ו ‪ d1 d 2‬אזי ‪( 1 S , d 2 S , d ‬כלומר‬ ‫התשלום שלהם יהיה שווה‪:‬‬ ‫‪45‬‬ ‫נקודת אי ההסכמה‬ ‫למשל במקרה כזה‪:‬‬ ‫נקודת אי ההסכמה‬ ‫לא סביר שבורר חיצוני יחליט לחלק את זה לחצי חצי‪.‬‬ ‫נניח כי במקרה הבא‪:‬‬ ‫נקודת אי ההסכמה‬ ‫יש נקודת אי הסכמה בנקודה הכי גרוע‪ ,‬כלומר ‪ d 0,0 ‬ואני כבורר החלטתי שהפתרון‬ ‫שלה יהיה * ‪. x‬‬ ‫כעת אומרים לי כי קיימת נקודת אי הסכמה נוספת ' ‪ d‬שהיא‬ ‫‪d ' t ,0 ‬‬ ‫‪S ' S t ,0 : s S ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫'‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪t‬‬ ‫נקודת אי ההסכמה‬ ‫נקודת אי ההסכמה ' ‪d‬‬ ‫נניח כי אנחנו צריכים לחלק שקל בין שני שחקנים ובמקרה מסוים אנחנו מחליטים לחלק את‬ ‫זה ל ‪ . x,1 x ‬אנו רוצים כי במידה ונשנה את אופן המדידה (למשל לאגורות) אזי נקבל‬ ‫‪. 100 x,1 x ‬‬ ‫כמו בשרטוט‪:‬‬ ‫‪100 x,1 x ‬‬ ‫‪ x,1 x ‬‬ ‫טרנספורמציה אפינית‪ f x x :‬כאשר ‪ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫אינוריאטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות‪ .‬תהי ‪ F‬קבוצת הטרנספורמציות הנ"ל‪.‬‬ ‫‪S, f d f S, d ‬‬ ‫‪S f s : s S‬‬ ‫‪ f f1, f 2 F x F f‬כאשר‬ ‫‪.f‬‬ ‫נניח כי עבור נקודת אי הסכמה מסוימת אנחנו החלטנו כי האפשרות הטובה ביותר הינה ‪: x‬‬ ‫נקודת אי ההסכמה‬ ‫ובא מישהו וצמצם לנו את עולם האפשרויות לבחירת אלטרנטיבה אך * ‪ x‬עדיין שייכת לעולם אזי‬ ‫נבחר עדיין את * ‪: x‬‬ ‫‪ ‬הסביבה המצומצמת‬ ‫נקודת אי ההסכמה‬ ‫‪‬‬ ‫)‪: IIA ( Indepen det of irrelevent Alternatives‬‬ ‫‪ S T‬ו‪ T , d S -‬אזי‬ ‫‪. S , d T , d ‬‬ ‫משפט (נש‪ :)1591 ,‬קיים פתרון מיקוח אחד ויחיד המקיים את דרישות ‪ .0-4‬הפתרון מוגדר כך‪:‬‬ ‫לכל ‪ S , d ‬נבחר את ‪ . arg max xd x1 d1 x2 d 2 ‬כלומר אם עבור כל נקודת אי הסכמה‬ ‫נבחר את האלטרנטיבה כך אזי זה גם יקיים את ‪ 0-4‬וגם זאת תהיה הדרך היחידה להשיג זאת‪.‬‬ ...
View Full Document

  • Spring '14

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern