הרצאה 7 - 7 Auctions t1.tn i ti t i i Ti Ai ti IPV.1

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫תורת המשחקים – הרצאה ‪7‬‬ ‫מכרזים ‪ Auctions ‬בשיעור שעבר ראינו מהו משחק עם אינפורמציה לא מלאה – זהו משחק שבו‬ ‫התשלומים תלויים בווקטור ‪ t1 ,...tn ‬וכל שחקן ‪ i‬יודע את ורק את ‪( ti‬טיפוס)‪ ,‬לא את ‪. t i‬‬ ‫אסטרטגיה (טהורה) במשחק כזה הינה פונקציה המתאימה לכל טיפוס התנהגות‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. i : Ti Ai ti ‬‬ ‫עבור מכרזים קיימים שני סוגים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫"מעטפה חתומה"‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ערכים פרטיים בת"ל" ‪. IPV ‬‬ ‫אנו נתמקד במכרזים שהם בעלי סיבוב ‪.1‬‬ ‫כמו כן נניח כי קיים חפץ כלשהו למכירה וכי לכל משתתף יש הערכה משלו לערך של החפץ‪vi :‬‬ ‫‪ valuation ‬וזה כמו ‪. ti‬כמו כן‪ ,‬עבור כל שחקן יש את ההצעה שלו על החפץ‪. bid bi bi vi :‬‬ ‫‪ b1 ,..., bn ‬ווקטור של ההצעות ‪ bids ‬שבהינתן ווקטור זה נחליט למי ילך החפץ‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫תוצאה= הקצאה ‪ +‬תשלומים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הקצאה היא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ . p p b1,..., bn ‬בנוסף ההסתברות ש ‪ i‬זוכה היא ‪pi b1,...bn ‬‬ ‫(כאשר ‪ pi 0‬וכן ‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‬ ‫התשלומים הם ‪ , C C b1 ,...bn ‬כאשר ‪ ci b1 ,...bn ‬תוחלת התשלום ש ‪ i‬משלם למוכר‪.‬‬ ‫‪ *‬בכל שיטות המכרז הנפוצות מתקיים כי‪ j i b j bi pi b1,..., bn 1 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫נסמן מכרז כך‪ N ; vi , Fi i 1 ; p, c :‬כאשר ‪ Vi , N 1,..., n‬היא קבוצת הערכים‪ /‬הטיפוסים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫של ‪ Fi , i‬היא התפלגות הסתברות על ‪. Vi‬‬ ‫אסטרטגיות ותשלומים‪-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Vi‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪ . b max i max Vi max‬אסטרטגיה ל‪ . i : Vi 0, b i -‬בנוסף נוכל להגדיר את‬ ‫ווקטור ההחלטות של שאר השחקנים‪ i 1,..., i 1, i 1...n :‬ובאותו אופן עבור ההערכה של‬ ‫השחקן ‪. vi v1...vi 1, vi 1...vn ‬‬ ‫אם נניח כי שחקן ‪ i‬יודע את ‪ i vi ‬אזי אנחנו יודעים כי ההסתברות שהוא יזכה היא‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ pi x, i vi ‬ואז הערך שהוא יקבל (התועלת של שחקן ‪ ) i‬הינה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ pi x, i vi vi Ci x, i vi ui v, x, i ‬כאשר ‪ x‬הינו ה ‪ bid‬של שחקן ‪. i‬‬ ‫ואז נראה כי ‪. Ui vi , x, i ui vi , vi x, i dFi vi ‬‬ ‫‪‬‬ ‫נגדיר כעת את שיווי משקל נאש עבור מכרזים‪:‬‬ ‫ווקטור האסטרטגיות ‪ 1* ,..., n* ‬הוא שיווי משקל בייסני אם לכל ‪ i‬ההכרזה‪x i* vi bid /‬‬ ‫ממקסמת את ‪Ui vi , x, *i ‬‬ ‫כעת נחזור לסוג השני של ערכים פרטיים בת"ל‪.‬‬ ‫נוכל להגדיר את זה כמקרה בו הערך של החפץ עבור כל שחקן הינו בלתי תלוי בשאר השחקנים‪.‬‬ ‫מכרז ‪ IPV‬הינו סימטרי אם ‪ . F1 F2 ... Fn‬באופן טבעי‪ ,‬שיווי משקל סימטרי (בייסאני) אם‬ ‫*‪ , 1* 2* ... n‬כלומר כולם ישחקו באותה אסטרטגיה‪.‬‬ ‫שיטות מכרז נפוצות‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מכרז (מעטפה חתומה) מחיר ראשון‪. FPA ( First Pr ice Auction) ,‬‬ ‫עבור מקרה זה ‪ p, c ‬כאשר ‪ p‬היא פונקצייה כלשהי המקיימת את ‪ *‬והפונקציה ‪C‬‬ ‫מקיימת‪. Ci b1,...bn pi b1,...bn bi :‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מכרז מחיר שני )‪. Vickrey SPA (sec uond Pr ice Auction‬‬ ‫ובצורה מדוייקת זה יהיה ‪ p, c ‬כאשר ‪ p‬מקיימת את ‪ *‬ו‬ ‫‪-‬‬ ‫‪Ci b1,...bn pi b1,...bn x max j i b j ‬‬ ‫"כולם משלמים" ‪ p APA‬מקיימת את ‪. ci b1...bn bi *‬‬ ‫דוגמה‪F1 F2 U ~ 0,1 / IPV FPA :‬‬ ‫‪vi‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i* vi ‬אז *‪ 1* , 2‬הינו שיווי משקל סימטרי‪.‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נוודא שכאשר שחקן מגיש ‪ bid‬לפי *‪ 2‬אזי ה ‪ br‬של שחקן ‪ 1‬מטיפוס ‪ v1‬הוא ה ‪bid‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪:0 x ‬‬ ‫אם ‪ 1‬שם ‪bid‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Pr 2* v2 x v1 x ‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Pr 2 x v1 x ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Pr v2 2 x v1 x ‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫ההסבר ל ‪ 2x‬היא שבהתפלגות יוניפורמית ההסברות שערך כלשהו יהיה קטן ממספר כלשהו הוא‬ ‫המספר עצמו‪.‬‬ ‫‪v1‬‬ ‫‪ 1* v1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2vi 4 x 0 x ‬תנאי סדר ראשון ‪. 2 x v1 x 2 xv1 2 x ‬‬ ‫דוגמה‪SPA :‬‬ ‫טענה‪ :‬במכרז ‪ SPA‬ההכרזה‪ bi vi bid /‬הינה אופטימלית עבור שחקן ‪ , i‬לא משנה איך‬ ‫השחקנים האחרים משחקים‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נסמן ב‪. max j i b j b -‬‬ ‫(א) ‪ . b vi‬נראה שה ‪ vi bid‬טוב לפחות כמו כל ‪ bid‬אחר‪.‬‬ ‫כאן כדאי‬ ‫כאן לא כדאי‬ ‫נזכיר שמכיוון שמדובר ב ‪ SPA‬אזי במצב א' נוכל להציע כל ערך שהוא גדול מ ‪ b‬וכך לזכות ולשלם‬ ‫בכל מקרה רק את ‪ b‬שהוא ההצעה השנייה הגדולה ביותר‪.‬‬ ‫(ב) ‪b vi‬‬ ‫לעומת זאת במצב ב' אם נציע יותר מ ‪ b‬אזי נשלם שוב את ‪ b‬שהוא גדול מהערך שלנו ולכן‬ ‫למעשה אנו מפסידים‪ .‬לכן כל ערך קטן מ ‪ b‬הינו כדאי ובפרט ‪vi‬‬ ‫כאן לא כדאי‬ ‫כאן כדאי‬ ...
View Full Document

  • Spring '14

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern