Fluid - Fluid Mechanics Richard Fitzpatrick Professor of Physics The University of Texas at Austin Contents 1 Overview 7 1.1 Intended Audience 7 1.2

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Fluid Mechanics Richard Fitzpatrick Professor of Physics The University of Texas at Austin Contents 1 Overview 7 1.1 Intended Audience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Major Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 To Do List . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Mathematical Models of Fluid Motion 9 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 What is a Fluid? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Volume and Surface Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 General Properties of Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Stress Tensor in a Static Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 Stress Tensor in a Moving Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7 Viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8 Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.9 Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.10 Convective Time Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.11 Momentum Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.12 Navier-Stokes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.13 Energy Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.14 Equations of Incompressible Fluid Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.15 Equations of Compressible Fluid Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.16 Dimensionless Numbers in Incompressible Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.17 Dimensionless Numbers in Compressible Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.18 Fluid Equations in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.19 Fluid Equations in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.20 Fluid Equations in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.21 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Hydrostatics 31 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Hydrostatic Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Equilibrium of Floating Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5 Vertical Stability of Floating Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Angular Stability of Floating Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.7 Determination of Metacentric Height . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.8 Energy of a Floating Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.9 Curve of Buoyancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.10 Rotational Hydrostatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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2 FLUID MECHANICS 3.11 Equilibrium of a Rotating Liquid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.12 Maclaurin Spheroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.13 Jacobi Ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.14 Roche Ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Surface Tension 61 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Young-Laplace Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Spherical Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Capillary Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.5 Angle of Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6 Jurin’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.7 Capillary Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.8 Axisymmetric Soap-Bubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5 Incompressible Inviscid Fluid Dynamics 77 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Streamlines, Stream Tubes, and Stream Filaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Bernoulli’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.4 Vortex Lines, Vortex Tubes, and Vortex Filaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5 Circulation and Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.6 Kelvin Circulation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.7 Irrotational Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.8 Two-Dimensional Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.9 Two-Dimensional Uniform Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.10 Two-Dimensional Sources and Sinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.11 Two-Dimensional Vortex Filaments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.12 Two-Dimensional Irrotational Flow in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.13 Inviscid Flow Past a Cylindrical Obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.14 Inviscid Flow Past a Semi-Infinite Wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.15 Inviscid Flow Over a Semi-Infinite Wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.16 Velocity Potentials and Stream Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.17 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6 2D Potential Flow 101 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3 Cauchy-Riemann Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4 Complex Velocity Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.5 Complex Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6 Method of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7 Conformal Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.8 Complex Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.9 Theorem of Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7 Incompressible Boundary Layers 121 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.2 No Slip Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.3 Boundary Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
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CONTENTS 3 7.4 Self-Similar Boundary Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.5 Boundary Layer on a Flat Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.6 Wake Downstream of a Flat Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.7 Von K´arm´an Momentum Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.8 Boundary Layer Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.9 Criterion for Boundary Layer Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.10 Approximate Solutions of Boundary Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8 Incompressible Aerodynamics 149 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.2 Theorem of Kutta and Zhukovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 8.3 Cylindrical Airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.4 Zhukovskii’s Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.5
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