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Unformatted text preview: Precalculus Edition IV A NEW HOPE by Carl Stitz, Ph.D. Lakeland Community College Jeff Zeager, Ph.D. Lorain County Community College July 22, 2011 ii Acknowledgements While the cover of this textbook lists only two names, the book as it stands today would simply not exist if not for the tireless work and dedication of several people. First and foremost, we wish to thank our families for their patience and support during the creative process. We would also like to thank our students - the sole inspiration for the work. Among our colleagues, we wish to thank Rich Basich, Bill Previts, and Irina Lomonosov, who not only were early adopters of the textbook, but also contributed materials to the project. Special thanks go to Katie Cimperman, Terry Dykstra, Frank LeMay, and Rich Hagen who provided valuable feedback from the classroom. Thanks also to David Stumpf, Ivana Gorgievska, Jorge Gerszonowicz, Kathryn Arocho, Heather Bubnick, and Florin Muscutariu for their unwaivering support (and sometimes defense!) of the book. From outside the classroom, we wish to thank Don Anthan and Ken White, who designed the electric circuit applications used in the text, as well as Drs. Wendy Marley and Marcia Ballinger for the Lorain CCC enrollment data used in the text. The authors are also indebted to the good folks at our schools’ bookstores, Gwen Sevtis (Lakeland CC) and Chris Callahan (Lorain CCC), for working with us to get printed copies to the students as inexpensively as possible. We would also like to thank Lakeland folks Jeri Dickinson, Mary Ann Blakeley, Jessica Novak, and Corrie Bergeron for their enthusiasm and promotion of the project. The administrations at both schools have also been very supportive of the project, so from Lakeland, we wish to thank Dr. Morris W. Beverage, Jr., President, Dr. Fred Law, Provost, Deans Don Anthan and Dr. Steve Oluic, and the Board of Trustees. From Lorain County Community College, we which to thank Dr. Roy A. Church, Dr. Karen Wells, and the Board of Trustees. From the Ohio Board of Regents, we wish to thank former Chancellor Eric Fingerhut, Darlene McCoy, Associate Vice Chancellor of Affordability and Efficiency, and Kelly Bernard. From OhioLINK, we wish to thank Steve Acker, John Magill, and Stacy Brannan. We also wish to thank the good folks at WebAssign, most notably Chris Hall, COO, and Joel Hollenbeck (former VP of Sales.) Last, but certainly not least, we wish to thank all the folks who have contacted us over the interwebs, most notably Dimitri Moonen and Joel Wordsworth, who gave us great feedback, and Antonio Olivares who helped debug the source code. Table of Contents Preface 1 Relations and Functions 1.1 Sets of Real Numbers and The Cartesian 1.1.1 Sets of Numbers . . . . . . . . . 1.1.2 The Cartesian Coordinate Plane 1.1.3 Distance in the Plane . . . . . . 1.1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Graphs of Equations . . . . . . . 1.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Introduction to Functions . . . . . . . . 1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Function Notation . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Modeling with Functions . . . . 1.4.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . 1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . 1.6.1 General Function Behavior . . . 1.6.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Transformations . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . ix Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 6 10 14 17 20 23 29 33 43 49 53 55 60 63 69 76 84 87 93 100 107 114 120 140 144 iv Table of Contents 2 Linear and Quadratic Functions 2.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Absolute Value Functions . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Inequalities with Absolute Value and Quadratic 2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 151 163 169 173 183 184 188 200 203 208 220 222 225 230 233 3 Polynomial Functions 3.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 The Factor Theorem and The Remainder Theorem . . . . . . . 3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Real Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 For Those Wishing to use a Graphing Calculator . . . . 3.3.2 For Those Wishing NOT to use a Graphing Calculator 3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra . . . 3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 235 246 250 257 265 267 269 270 273 280 282 286 294 296 . . . . . . . . . 301 . 301 . 314 . 316 . 320 . 333 . 335 . 342 . 350 . 353 4 Rational Functions 4.1 Introduction to Rational Functions . . 4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . 4.2 Graphs of Rational Functions . . . . . 4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . 4.3 Rational Inequalities and Applications 4.3.1 Variation . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Table of Contents 4.3.3 v Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5 Further Topics in Functions 5.1 Function Composition . . 5.1.1 Exercises . . . . . 5.1.2 Answers . . . . . . 5.2 Inverse Functions . . . . . 5.2.1 Exercises . . . . . 5.2.2 Answers . . . . . . 5.3 Other Algebraic Functions 5.3.1 Exercises . . . . . 5.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 359 369 372 378 394 396 397 407 411 6 Exponential and Logarithmic Functions 6.1 Introduction to Exponential and Logarithmic Functions 6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Properties of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Exponential Equations and Inequalities . . . . . . . . . . 6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Logarithmic Equations and Inequalities . . . . . . . . . 6.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Applications of Exponential and Logarithmic Functions 6.5.1 Applications of Exponential Functions . . . . . . 6.5.2 Applications of Logarithms . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 417 429 433 437 445 447 448 456 458 459 466 468 469 469 477 482 490 7 Hooked on Conics 7.1 Introduction to Conics 7.2 Circles . . . . . . . . . 7.2.1 Exercises . . . 7.2.2 Answers . . . . 7.3 Parabolas . . . . . . . 7.3.1 Exercises . . . 7.3.2 Answers . . . . 7.4 Ellipses . . . . . . . . 7.4.1 Exercises . . . 7.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 495 498 502 503 505 512 513 516 525 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Table of Contents 7.5 Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 7.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 7.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 8 Systems of Equations and Matrices 8.1 Systems of Linear Equations: Gaussian Elimination . 8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Systems of Linear Equations: Augmented Matrices . 8.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Systems of Linear Equations: Matrix Inverses . . . . 8.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Determinants and Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . 8.5.1 Definition and Properties of the Determinant 8.5.2 Cramer’s Rule and Matrix Adjoints . . . . . 8.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Partial Fraction Decomposition . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Systems of Non-Linear Equations and Inequalities . . 8.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Sequences and the Binomial Theorem 9.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . 9.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . 9.2 Summation Notation . . . . . . . . . 9.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . 9.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . 9.3 Mathematical Induction . . . . . . . 9.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . 9.3.2 Selected Answers . . . . . . . 9.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . 9.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . 9.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 549 562 564 567 574 576 578 591 595 598 609 612 614 614 618 623 627 628 635 636 637 646 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 . 651 . 658 . 660 . 661 . 670 . 672 . 673 . 678 . 679 . 681 . 691 . 692 Table of Contents vii 10 Foundations of Trigonometry 10.1 Angles and their Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Applications of Radian Measure: Circular Motion . . . . . . . . . 10.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 The Unit Circle: Cosine and Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 The Six Circular Functions and Fundamental Identities . . . . . . . . . . . 10.3.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Graphs of the Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Graphs of the Cosine and Sine Functions . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Graphs of the Secant and Cosecant Functions . . . . . . . . . . . 10.5.3 Graphs of the Tangent and Cotangent Functions . . . . . . . . . . 10.5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 The Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.1 Inverses of Secant and Cosecant: Trigonometry Friendly Approach 10.6.2 Inverses of Secant and Cosecant: Calculus Friendly Approach . . . 10.6.3 Calculators and the Inverse Circular Functions. . . . . . . . . . . . 10.6.4 Solving Equations Using the Inverse Trigonometric Functions. . . 10.6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6.6 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Trigonometric Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Applications of Trigonometry 11.1 Applications of Sinusoids . . 11.1.1 Harmonic Motion . 11.1.2 Exercises . . . . . . 11.1.3 Answers . . . . . . . 11.2 The Law of Sines . . . . . . 11.2.1 Exercises . . . . . . 11.2.2 Answers . . . . . . . 11.3 The Law of Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 693 706 709 712 717 730 736 740 744 752 759 766 770 782 787 790 790 800 804 809 811 819 827 830 833 838 841 849 857 874 878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 . 883 . 887 . 893 . 896 . 898 . 906 . 910 . 912 viii 11.3.1 Exer...
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