MengiOgFirdrumGlosurUtf8 - Mengi og rðrúm: Glósur...

Info iconThis preview shows pages 1–4. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Mengi og rðrúm: Glósur Jóhann Þ. Bergþórsson, 221087-2759 27. janúar 2008 1 Mengi Setning. Fyrir sérhver mengi X,Y og Z gilda reglurnar: 1. X ⊆ X 2. ef X ⊆ Y og Y ⊆ X þá X = Y 3. ef X ⊆ Y og Y ⊆ Z þá X ⊆ Z 4. X ∪ ∅ = X 5. X ∩ ∅ = ∅ 6. X ∪ X = X 7. X ∩ X = X 8. X ∪ Y = Y ∪ X 9. X ∩ Y = Y ∩ X 10. ( X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ ( Y ∪ Z ) 11. ( X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ ( Y ∩ Z ) 12. ( X ∪ Y ) ∩ Z = ( X ∩ Z ) ∪ ( Y ∩ Z ) 13. ( X ∩ Y ) ∪ Z = ( X ∪ Z ) ∩ ( Y ∪ Z ) 14. X ⊆ ( X ∪ Y ) 15. ( X ∩ Y ) ⊆ X Setning. Fyrir allar varpanir f : X → Y og g : Y → Z gildir 1 1. Ef f og g eru eintækar þá er g ◦ f eintæk. 2. Ef g ◦ f er eintæk þá er f eintæk. 3. Ef f og g eru átækar þá er g ◦ f átæk. 4. Ef g ◦ f er átæk þá er g átæk. Setning. Ef f : X → Y er vörpun og X 6 = ∅ þá er f eintæk þá og því aðeins að til sé vörpun g : Y → X þannig að g ◦ f = id X . Almennt gildir að ef f : X → Y er vörpun og til er vörpun g : Y → X þannig að g ◦ f = id X þá er f eintæk. Setning. Ef f : X → Y er vörpun þá er f átæk þá og því aðeins að til sé vörpun g : Y → X þannig að f ◦ g = id Y . Setning. Látum f : X → Y vera vörpun. Ef til eru varpanir g : Y → X og h : Y → X þannig að g ◦ f = id X og f ◦ h = id Y , þá er f gagntæk og g = h = f- 1 . Setning. Vörpun f : X → Y er eintæk þá og því aðeins að fyrir sérhvert mengi U og sérhverjar varpanir g 1 : U → X og g 2 : U → X gildi að ef f ◦ g 1 = f ◦ g 2 þá g 1 = g 2 Setning. Vörpun f : X → Y er átæk þá og því aðeins að fyrir sérhvert mengi V og sérhverjar varpanir h 1 : Y → V og h 2 : Y → B gildi að ef h 1 ◦ f = h 2 ◦ f þá h 1 = h 2 . Setning. Ef A og B eru mengi þannig að f : A → B og g : B → A eru eintækar varpanir þá er til gagntæk vörpun h : A → B . 1.1 Náttúrlegar tölur o. . Setning. Ef n ∈ N , n 6 = 1 , þá er til k ∈ N þ.a. n = k + = k + 1 . Setning. Ef n ∈ N og j ∈ [[1 ,n ]] þá er til gagntæk vörpun h : [[1 ,n ]] → [[1 ,n ]] með h ( j ) = n . Setning. Ef m,n ∈ N og til er eintæk vörpun f : [[1 ,m ]] → [[1 ,n ]] þá er m ≤ n . Setning. Ef m,n ∈ N og til er átæk vörpun f : [[1 ,m ]] → [[1 ,n ]] þá er m ≥ n . Setning. Ef n ∈ N og f : [[1 ,n ]] → [[1 ,n ]] er eintæk vörpun þá er f gagntæk. 2 Setning. Ef n ∈ N og f : [[1 ,n ]] → [[1 ,n ]] er átæk vörpun þá er f gagntæk. Skilgreining. Tvö mengi A og B eru sögð vera samstétta ef til er gagntæk vörpun f : A → B . Það að A og B séu samstétta er táknað #( A ) = #( B ) . Þetta er gjarnan lesið þannig að fjöldatala A sé jöfn fjöldatölu B. Fyrir endanleg mengi höfum við skilgreint fjölda staka. Við munum líka skrifa #( A ) = n ef fjöldi stakanna í A er n ∈ N . Líka #( ∅ ) = 0 Skilgreining. Mengi er sagt vera óendanlegt ef það er ekki endanlegt....
View Full Document

This note was uploaded on 04/21/2008 for the course MATHEMATIC Mengi og f taught by Professor Eggertbriem during the Spring '08 term at Uni. Iceland.

Page1 / 13

MengiOgFirdrumGlosurUtf8 - Mengi og rðrúm: Glósur...

This preview shows document pages 1 - 4. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online