16 - 16장. 진동 그림. 일정한 시간 간격으로...

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Unformatted text preview: 16장. 진동 그림. 일정한 시간 간격으로 본 진동운동 속력( )은 원점에서 가장 빠르고 ± 에서는 0. 주기 가 지나면, 같은 운동이 되풀이된다. 16-1,2 진동, 단순조화진동 1. 진동 1) 정의: 주기적으로 되풀이하는 운동 2) 진동수(frequency, ) ①정의: 1초 동안 운동이 되풀이하는 횟수 ②단위: 1 hertz ≡ 1 Hz =1초동안1번진동 = 1 s-1 3) 주기(period, ) ①정의: 1번 진동하는데 걸리는 시간 ②주기( T )는 진동수( f )의 역수: 2. 단순조화운동 1) 물체의 위치가 시간에 대한 조화함수로 기술되는 운동 x( t) = x m cos ( ω t + φ) ⇔ 2) 매개변수의 물리적 내용 ① x m : 진폭 ② ω : 각진동수 주기( )의 정의는 등식 x m cosωt = x m cos [ω( t + T )] 를 뜻하므로 ωT = 2π ⇔ ω= 2π = 2πf T ③ φ : 위상(phase) 상수 초기조건[ , ]이 결정함 3 . 단순조화진동의 속도와 가속도 1) 위치 x ( t ) = x m cos ( ω t + φ) 2) 속도 v( t) = dx dt = - ωx m sin ( ω t + φ) 3) 가속도 a( t) = dv dt 2 = - ω x m cos ( ω t + φ) = - ω x( t) ★단순조화진동의 특징: 2 ω ⇔ 2 ∝ ∝ 힘의 크기는 원점(평형점)부터의 거리에 비례하고 방향은 반대이다. ⇕ 변화에 비례하는 복원력 (평형으로부터의 변화를 반대하는 힘) 16-3 단순조화운동에서의 힘의 법칙 용수철에 매달린 추의 단순조화진동 1. 용수철의 복원력 F = -kx (변위에 비례하고, 변위와 반대방향) 2. 단순조화진동에 대한 뉴턴의 운동방정식 F = m a = - ( m ω 2 )x 3 . 각진동수 mω = k 2 ⇒ ω 16-4 단순조화운동의 에너지 1. 위치에너지 U( t) = = 1 2 kx 2 1 2 2 kx m cos (ωt + φ) 2 2. 운동에너지 K( t) = = 1 1 2 22 2 mv = mω x m sin (ωt + φ) 2 2 1 2 2 kx m sin (ωt + φ) 2 3. 역학적 에너지 E = U+K = = 1 1 2 2 2 2 kx m cos (ωt + φ) + kx m sin (ωt + φ) 2 2 1 2 kx m 2 16-5 단순조화 회전진동자 1. 회전운동의 운동방정식 τ = Iα = I d 2θ 2 dt 2. 회전진동자의 복원력 τ = - κθ 3. 회전진동자의 운동방정식, 각진동수 I dθ = - κθ 2 dt 2 ⇒ ω= κ I 16-6 흔들이 1. 추의 궤적에 대한 접선방향의 힘 F = - mg sin θ ≈ - mgθ = - mg 2. 운동방정식 d 2s mg m 2 ≈s L dt (θ ≪ 1 일 때 ) s mg s =L L ( ) ( ) ⇒ω≈ 2 또는 주기 ω ≈ 3 . 중력가속도 g 의 측정 g = ω L = 4π 2 L T2 16-7 단순조화운동과 등속원운동 단순조화운동은 등속원운동의 어느 한 직교좌표성분과 같다 1. 위치 x ( t ) = x m cos ( ω t + φ) 2. 속도 v ( t ) = - ωx m sin ( ω t + φ) 3. 가속도 a ( t ) = - ω x m cos ( ω t + φ) 2 16-8 감쇠 조화진동 •실제의 흔들이는 마찰 때문에 시간이 갈수록 진폭이 줄어든다 1. 흔들이의 추가 받는 힘 복원력: F 복원 = - kx 마찰력: F 마찰 = - bv 2. 운동방정식 dx dx = - kx - b m 2 dt dt dx dx m + kx = 0 2 +b ⇒ dt dt 3. 해: 진폭의 감쇠, 진동수의 변화 x ( t ) = x me - bt/2m 2 2 ( b : 감쇠상수) cos ( ω' t + φ); ω' = k b2 2 m 4m 4. 에너지 E≈ 1 2 kx m e 2 - bt/m ∝e - bt/m 16-9 강제진동과 공명 2π L = 2π ω g 1. 그네를 다른 주기( T d )로 흔들면, 그 주기에 맞추어 진동한다. 그네의 고유 주기: T= 2. 흔드는 각진동수 ω d 가 그네의 고유 각진동수 ω 와 비슷해지면 진폭이 아주 커진다 (공명). 그림. 그네를 흔드는 진동수가 그네의 고유 진동수에 가까울수록 진폭이 커짐 (공명). 또 감쇠상수가 작을수록 진폭이 커진다. ★읽을거리-16a: 진동과 공명, Tacoma bridge (다음쪽 참조) ★ 읽을거리-16a: 진동과 공명, Tacoma bridge 탄성물체는 크기/모양에 따라 정상파로 진동하는 고진동수가 있다. 물체를 고유진동수에 맞추어 진동시키면 물체는 진동에너지를 흡수하여 진폭이 커지면서 공명(또는 공진)한다. 공진을 일으키는 방법은 그네처럼 비행기/헬리콥 주기적인 힘을 주거나 풀피리처럼 공기를 빨리 보내주면 된다. 또 고유진 동수에 맞는 음파에 노출되어도 물체는 공명을 일으킨다. 맞는 비행기 소음이 유리창을 공명시키기 때문이다. 공명에는 악기처럼 우리를 즐겁게 하기도 하고 손해를 주는 경우도 있 다. 공명진동의 진폭이 탄성한계를 넘으면 물체는 부서지거나 심하게 손 교량/건축물의 설계에서 주변 환경에 따르는 공명의 문제를 잘 상된다. 터가 지나갈 때 유리창이 요란하게 흔들리는 것은 유리창의 고유진동수에 고려해야 한다. 설계의 잘못으로 낭패를 본 대표적인 사례가 하나 있다. 1945년 11월 7일 미국 워싱턴 주 Tacoma Narrows Bridge 에서 일어난 일이다. 아침 64-72 km/h 의 강풍으로 주교각 사이의 상판이 진동하기 시 작하였다. 다리는 길이 855 m, 폭 12 m 으로 4개월 전에 개통하였다. 개 통 후 한 달 동안 경미한 상하진동 모드가 관측되었다. 그러나 이날의 강 풍으로 다리는 거의 공진을 일으켜 주 상판의 진동이 매분 36회, 진폭이 0.7 m 에 이르렀다. 오전 10시쯤에는 상판이 두 쪽으로 뒤틀리는 매분 14 회의 비틀림 진동이 일어났다. 공진으로 진폭이 계속 커지다가 오전 11시 경에는 마침내 다리가 무너지고 말았다. 그림. Serway & Jewett, Pinciples of Physics, 3rd ed, p. 424, Fig. 12-17 나중에 이 다리의 교각은 그대로 두고 상판이 강풍에 공진을 일으키지 않도록 강재를 보강하여 재시공하였다. ...
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This note was uploaded on 03/23/2009 for the course MATHEMATIC 공학수í taught by Professor Leekyungsook during the Spring '05 term at Yonsei University.

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