38 - 38장. 상대성 38-1 상대성이론은 무엇을...

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Unformatted text preview: 38장. 상대성 38-1 상대성이론은 무엇을 다루는가? 1. 기본주제 1) 시간과 위치: 언제 그리고 어디에서 일어났는가? 2) 시공간 거리: 두 사건이 시공간에서 얼마나 떨어져 있는가? 3) 시공간 변환: 측정결과가 기준틀에 따라 어떻게 바뀌는가? 2. 상대성 이론 두 가지 1) 특수 상대론 - 관성 기준틀에서의 물리학 이론 (기준틀이 상대적으로 등속운동을 하는 경우) 2) 일반 상대론 - 비관성 기준틀에서의 물리학 이론 (기준틀이 상대적으로 가속운동을 하는 경우) 38-2 특수상대성이론의 기본가설 가설 1. 상대성 가설 물리법칙은 모든 관성기준틀에서 똑같다. 가설 2. 빛의 속도 가설 진공에서의 빛의 속도는 모든 방향에서 그리고 모든 관성 기준틀에서 똑같다. ※ 궁극적인 속도 그림. 전자의 속력과 운동에너지에 관한 실험결과 (W. Bertozzi, 1964) ※ 빛의 속도 가설의 시험 (1964년 CERN) 0.99975c로 운동하는 파이온이 붕괴하며 내는 감마선 πo → γ+γ 의 속도를 잰 결과 같음을 확인 38-3,4 사건의 측정, 동시성의 상대성 1. 사건(event) 1) 정의: 관찰자가 때(시간)와 곳(위치)를 정해줄 수 있는 것 2) 보기: 두 입자의 충돌, 전구의 명멸, 폭발 등 2. 동시성의 상대성 어떤 사람이 보기에 동시에 벌어진 사건도, 다른 사람이 보기에는 그렇지 않을 수 있다. 동시성은 관측자의 운동상태에 따라 결정되는, 상대적 개념 이다. 3. 자세한 분석 샐리 우주선: 오른쪽으로 등속도 v 로 진행 샘 우주선: 정지상태 동시 발광 (샘) { R - R': 붉은 빛 방출 B - B': 푸른 빛 방출 샐리가 붉은 빛을 봄. 샘이 붉은 빛과 푸른 빛을 동시에 봄. 샐리가 푸른 빛을 봄. 따라서 샘에게는 동시에 일어난 것으로 관측되는 사건이 샐리에게는 앞뒤로 일어난 것으로 관측된다. 38-5 시간의 상대성 두 사건의 시간차는 두 사건이 관측자에 대해 시공간적으로 얼마나 떨어 져 있는가에 따라서 달라진다. 분석 샐리는 등속 v 로 움직이는 기차를 타고 있고, 샘은 역에 서 있음. 기차에 실린 등이 낸 섬광이 거울에서 반사되어 등으로 되돌아오는데 걸리는 시간? 1) 기차에 탄 샐리가 잰 시간: 2) 역에 서 있는 샘이 잰 시간: 그런데 따라서 Δt 0 = Δt = 2D c 2L c L= ( 1 v⋅ Δt 2 ) 2 +D 2 = v2 2 + D2 2 ⋅L c Δt = 3) 두 사람이 잰 시간 사이의 관계: Δt 0 v2 1c2 시간연장 두 사건이 같은 곳에서 벌어진 것으로 관측되는 관성기준틀에서 잰 시간 간격을 고유시간(proper time)이라 하고 Δt 0 로 나타냄. 같은 사건에 대해 다른 관성기준틀에서 잰 시간간격은 언제나 고유시간보다 더 길다. Δt = γ Δ t 0 ( ≥ Δt 0 ) γ≡ 1 , 2 1-β β≡ v c, 시간 연장의 두가지 실험적 확인 1) 미시적 시계: 뮤입자(muon)의 수명 정지상태의 뮤입자의 수명: 2.2 μs 0.9994c 로 움직이는 뮤입자의 수명: 약 63.5 μs Δt = Δt 0 1 - β2 = 28.87×2.200μs = 63.5μs 2) 거시적 시계 (J. Hafele & R. Keating, 1977) 원자시계를 실은 비행기 4대를 4방향으로 지구를 2번 돌게 하여 시간을 비교했음 38-6 길이의 상대성 상대속도에 따른 플랫폼의 길이의 변화 1) 정지해 있는 경우: 샘 샘은 플랫폼 앞뒤의 위치(좌표)를 재어 그 차이로부터 폭을 결정함 L 0 (플랫폼의 고유 길이) 2) 샘이 볼 때 길이 L 0 인 플랫폼의 뒤와 앞을 속도 로 움직이는 샐리가 차례로 지나는 순간의 시차를 라 하면 Δt = L0 v ⇒ L 0 = vΔt 3) 샐리가 볼 때, 샘이 잰 두 사건은 같은 곳에서 일어남 (고유 시간의 조건). 따라서 샐리가 정지해 있는 시계로 잰, 두 사건의 시차 는 고유 시간 4) 리가 본 플랫폼의 길이는 Δt ∴ L = v⋅Δt 0 = v⋅ γ = L0 γ (길이는 짧아진다) 38-7 로렌츠 변환 두 관성기준틀 S 와 S' 에서 본 사건의 시공간 좌표 변환식 S 에 대해 S' 는 등속 v = ( v, 0, 0) 로 운동 초기조건: t' = t = 0 일 때 S 와 S' 의 원점이 일치 시공간 좌표의 변환식 갈릴레이 변환 로렌츠 변환 t' = t x' = x - vt y' = y z' = z t' = γ t - ( vx c2 ) x' = γ ( x - vt ) y' = y z' = z ※ 로렌츠 변환에서는 시간과 공간이 완전히 뒤섞임 ※ 갈릴레이 변환식은 속도가 느린 경우에 근사적으로 맞음 v (즉 c << 1 이면 “갈릴레이 변환” ⇒ “로렌츠 변환” ) 38-8 로렌츠 변환의 몇 가지 결과 로렌츠 변환의 결과로 다음 세가지 중요한 개념이 생겨난다: • 동시성의 상대성 • 시간연장 • 길이수축 두 사건의 시간간격과 거리의 변환식 Δt' = γ Δt 1. 동시성의 상대성 ( v 2 Δx , c ) Δx' = γ ( Δx - vΔt ) S : 두 곳( Δx ≠ 0 )에서 동시에 벌어진( Δt = 0 ) 두 사건 S' 에서의 시간간격 Δt' = - γ 2. 시간연장 vΔx c2 (두 사건의 거리에 따라 앞뒤도 달라짐) S : 같은 곳( Δx = 0 ) 벌어진, 간격이 Δt (고유시간)인 두 사건 S' 에서의 시간간격 Δt' = γΔt ★읽을거리-38a: 쌍둥이 역설 (38장끝 참조) 3. 길이수축 S 에서의 길이: Δx S' 에서의 길이: Δx' ※ 길이를 잴 때 물체 양끝의 위치를 동시에 재야 함 ( Δ t' = 0) . Δt' = 0 ⇒ ⇒ Δt = v Δx c2 Δx' = γ( Δx - vΔt ) = γ Δx = Δx γ ( v2 v2 Δx = γ 1 - 2 Δx c2 c ) ( ) 38-9 속도의 상대성 Δt' = γ Δt - ( v 2 Δx c ) γ ( Δx - vΔt ) v γ Δt - 2 Δx c u-v 2 1 - uv/c Δx' = γ ( Δx - vΔt ) Δx 에서의 속도: u ≡ Δt S u' ≡ S' 에서의 속도: Δx' Δt' = ( ) = 특히 이면 . 38-10 빛의 도플러 효과 빛의 도플러 효과 f = f0 1-β 1+β ≈ f0 1 - β + ( 12 β 2 ) 가로방향 도플러 효과 (광원 S가 속도 v 로 점 P를 지날 때 D에 있는 관측자가 느끼는 효과) f 가로 = f 0 1 - β2 ≈ f0 1 - ( 12 β 2 ) 그림. 속도 v 로 움직이는 광원 S가 P 를 지날 때 D 에 있는 관측자는 가로방향 도플러 효과를 느낀다. ★읽을거리-38a: 쌍둥이 역설 쌍둥이인 영희와 철수가 다음 실험을 했다고 하자: 영희는 지구에 남아 있고 철수는 우주선(space ship)을 타고 멀리 외계여행을 다녀왔다. 철수 가 속력 0.95c인 우주선을 타고 10년 동안 여행하고 돌아와 보니 영희가 더 늙어 보임을 발견하였다. 이것은 특수상대성 원리의 시간 지연의 성질 때문에 움직이는 계의 시간이 천천히 가기 때문이다. 한편 철수가 볼 때 는 영희가 반대방향으로 같은 속력으로 움직이고 있었으므로, 영희가 더 젊어 보여야 할 것 같은 모순에 봉착하게 된다. 우리는 이것을 쌍둥이 역 설이라고 부른다. 그러나 여기서는 앞의 주장이 맞다. 그 이유는 철수가 탄 우주선은 처 음에는 가속을 해야 하고 외계행성에 도착하려면 감속해야 하며, 다시 우 주선을 타고 지구로 돌아와 착륙하려면 가속 감속을 차례로 해야 하므로 영희가 철수를 보는 것과 철수가 영희를 보는 것은 다르다. 보다 엄밀하 게 계산하면 시간상으로 철수가 영희 보다 더 젊어보이게 됨을 증명할 수 있다. ...
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This note was uploaded on 03/23/2009 for the course MATHEMATIC 공학수í taught by Professor Leekyungsook during the Spring '05 term at Yonsei University.

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