Práctica 3. Soluciones

Práctica 3. Soluciones - PRCTICA 3 FUNCIONES DE VARIAS...

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1 PRÁCTICA 3: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (Selección de ejercicios de Matemáticas para el Análisis Económico de Sydsaeter & Hammond) FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: DOMINIOS 1- Sea ( 2 , xy y x f = . Calcular ( 1 , 0 f , ( 2 , 1 - f y ( a a f , . sol: ( 0 1 , 0 = f ; ( 4 2 , 1 - = - f ; ( 3 , a a a f = 2- Sea ( 3 2 2 3 , y xy x y x f + - = . Calcular ( 1 , 1 f , ( 3 , 2 - f , y x f 1 , 1 , ( ( h y x f y h x f , , - + y ( ( k y x f k y x f , , - + . sol: ( 2 1 , 1 = f ; ( 51 3 , 2 = - f ; ( 29 3 2 1 2 3 1 , 1 y xy x y x f + - = ; ( ( y h x h y x f y h x f 2 3 6 , , - + = - + ; ( ( yk y k x k y x f k y x f 3 3 2 , , 2 2 + + + - = - + 3- Sea ( 2 2 2 , y xy x y x f + + = . a) Hallar ( 2 , 1 - f , ( a a f , y ( ( b a f b h a f , , - . sol: ( 1 2 , 1 = - f ; ( 2 4 , a a a f = ; ( ( hb h ah b a f b h a f 2 2 , , 2 + + = - + b) Probar que ( ( y x f y x f , 2 2 , 2 2 = y, en general, ( ( y x f t ty tx f , , 2 = para todo t . sol: ( ( ) , 4 4 8 4 2 , 2 2 2 y x f y xy x y x f = + + = ( ( y x f t y t xy t tx ty tx f , 2 , 2 2 2 2 2 = + + = 4- Sea ( 3 1 2 1 10 , L K L K F = , 0 K , 0 L a) Hallar ( 1 , 1 F , ( 27 , 4 F , ( 27 1 , 9 F , ( 2 , 3 F , ( 1000 , 100 F y ( L K F 2 , 2 . sol: ( 10 1 , 1 = F ; ( 60 27 , 4 = F ; ( 10 27 1 , 9 = F ; ( 6 2 3 10 2 , 3 = F ; ( 1000 1000 , 100 = F y ( ( L K F L K F , 2 2 , 2 6 5 = b) Calcular una constante a tal que ( ( L K F t tL tK F a , , = para todo 0 t , 0 K y 0 L sol: 6 5 = a
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2 c) Escribir la función ( 3 1 2 1 10 , L K L K F = en forma log-lineal . sol: L K F ln 3 1 ln 2 1 10 ln ln + + = 5- Ciertos estudios de economía agraria emplean funciones de producción de la forma ( T L K F Y , , = , donde Y es el volumen de la cosecha, K el capital invertido, L el trabajo y T la superficie de la explotación agrícola. a) Explicar el significado de ( ( T L K F T L K F , , , , 1 - . sol: variación de la producción si se incrementa el capital en una unidad b) Muchos estudios suponen que F es de Cobb-Douglas. ¿qué forma tiene F entonces? sol: ( γ β α T L AK T L K F = , , c) Si F es de Cobb-Douglas, hallar ( tT tL tK F , , expresándola en términos de t y ( T L K F , , . sol: ( ( ( T L K F t tT tL tK F , , , , γ β α + + = 6- Estudiar para qué valores de ( y x , están definidas las funciones dadas por las fórmulas siguientes y dibujar los dominios. a) ( 29 2 , 3 2 + - + = x y y x y x f sol: ( { } 2 : , 2 - = x y y x f Dom b) ( ( 2 2 2 , y x y x f + - = sol: ( { } 2 : , 2 2 2 + = y x y x f Dom c) ( ( ( 1 4 , 2 2 2 2 - + - - = y x y x y x f sol: ( { } 4 1 : , 2 2 2 + = y x y x f Dom (a)
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3 (b) (c) 7- Averiguar para qué pares de números ( y x , están definidas las funciones dadas por las siguientes fórmulas y representar los dominios. a) ( ( y x y x f = ln , sol: ( { } x y y x f Dom - = : , 2 b) ( 1 , 2 2 2 2 - + + - = y x y x y x f sol: ( ( { } 1 : , 2 2 2 + - - = y x x y x x y x y x f Dom c) ( 29 y x x y y x f - - - = 2 , sol: ( { } x y x y y x f Dom = 2 2 : , d) ( 29 ( 29( 29 1 4 1 , 2 2 2 2 - + - - = y x y x y x f sol: ( { } 4 1 : , 2 2 2 < + < = y x y x f Dom e) ( ( 2 2 ln , y x y x f - = sol: ( { } ( ( ( { } x y x x y x y x x y y x f Dom - < < < < - = < = : , : , 2 2 (a) (b)
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4 (c) (d) (e) CURVAS DE NIVEL PARA z = f(x,y) 8- Supóngase que ( L K F , designa el número de unidades producidas por una empresa cuando el capital es K y el trabajo es L . Una curva de nivel de esta función es una curva del plano KL con una ecuación del tipo ( 0 , Y L K F = ( 0 Y es una constante) Esta curva se llama isocuanta , nombre que significa “igual cantidad”. Para una función Cobb-Douglas ( b a L AK L K F = , con 1 < b a y 0 A , dibujar una parte de la gráfica y algunas isocuantas de la función.
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What students are saying

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