ring2 - RING Definisi 7.1.1 Suatu himpunan tak-kosong R...

Info icon This preview shows pages 1–6. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Definisi 7.1.1 Suatu himpunan tak-kosong R dilengkapi dengan dua operasi "tambah" dan "perkalian" dinamakan suatu ring bila memenuhi empat aksioma ring , yaitu untuk setiap a , b dan c di R : R I N G (1) R adalah suatu grup komutatif terhadap operasi "tambah". (2) Tertutup terhadap perkalian, ab R . (3) Assosiatif terhadap perkalian. a ( bc ) = ( ab ) c . (4) Distributif thdp "perkalian"dan "tambah", a ( b + c ) = ab + ac dan ( a + b ) c = ac + bc . Bila ring R memenuhi sifat ab = ba utk semua a , b R , mk ring R disbt ring komutatif. bila R memuat elemen 1 ∈ R yg memenuhi 1. a = a = a .1, ∀ a R , mk ring R disbt ring satuan. Contoh 7.1.2 Himpunan Z, Q, R dan C adalah ring terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana telah biasa dilakukan adalah ring komutatif. Contoh 7.1.3 Himpunan bilangan bulat modu;o n yaitu Z n adalah ring komutatif terhadap operasi "tambah" dan "perkalian" sebagaimana telah didefinisikan operasi tambah dan perkalian dalam modulo n .
Image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Contoh 7.1.4 Misalkan ring R adalah himpunan Z, Q, R atau C. Maka himpunan semua matriks berukuran 2 × 2 dengan elemen-elemen di R yaitu M (2, R ) adalah suatu ring terhadap operasi tambah dan perkalian matriks sebagaimana telah dikenal operasi tambah dan perkalian dalam matriks. Contoh 7.1.5 Diberikan himpunan semua fungsi pada R, F (R) = { f : R → R}, dengan operasi "tambah" dan "perkalian" fungsi untuk f , g F (R) didefinisikan oleh Himpunan F (R) dengan operasi "tambah"adalah grup komutatif . Elemen netral di F (R) adalah e ( x ) = 0, ∀ x R invers dari f F (R) adalah − f , dimana − f ( x ) = −( f ( x )), ∀ x ∈R. Sifat yang lain dari ring juga dipenuhi oleh F(R). Contoh 7.1.7 Himpunan Q( √2) = { a + b √2 | a , b ∈ Q} terhadap operasi biner "tambah" dan "perkalian" sebagaimana dilakukan seperti biasanya adalah ring komutatif.
Image of page 2
Teorema 7.1.1 Bila R suatu ring satuan, maka untuk semua a , b R : (1) a .0 = 0. a = 0 (2) a .(− b ) = (− a ). b = −( a . b ) (3) (− a ).(− b ) = a . b (4) (−1). a = − a (5) (−1).(−1) = 1. (6) ( m . a ).( n . b ) = mn .( ab ) , m , n€Z Bukti (6) Digunakan induksi dua kali. Bila m = 0 atau n = 0 tidak ada yang perlu dibuktikan. Misalkan m = 1, maka (6) dipenuhi untuk n = 1. Asumsikan (6) benar untuk m = 1 dan n = k ≥ 0. Maka dengan menggunakan sifat distributif didapat a [( k + 1). b ] = a [ k . b + b ] = a .( k . b ) + ab = k .( ab ) + ab = ( k + 1). ab , terlihat bahwa (6) dipenuhi untuk m = 1 dan n = k + 1. Hal ini dipenuhi utk m = 1 dan utk semua n ≥ 0. Bila n < 0, mis. r = n . Didapat a [ n . b ] = a [(− r ). b ] = a [−( r . b )] = −[ a ( r . b )] = − r .( ab ) = n . ( ab ).
Image of page 3

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Jadi (6) dipenuhi untuk m = 1 dan semua n ∈ Z. Berikutnya, asumsikan (6) dipenuhi untuk m = k ≥ 0 dan semua n ∈ Z. Didapat [( k + 1). a ]( n . b ) = ( k . a + a )( n . b ) = ( k . a )( n . b ) + a ( n . b ) = km . ( ab ) + m .( ab ) = ( km + m ).( ab ) = [( k + 1) m ]. ( ab ), terlihat bahwa (6) dipenuhi untuk m = k +1 dan semua n ∈ Z. Hal ini dipenuhi oleh m ≥ 0 dan semua n ∈ Z. bila m < 0, misalkan s = − m didapat ( m . a )( n . b ) = (− s . a )( n . b ) = −( s . a )( n . b ) = − sn .( ab ) = mn .( ab ). Lengkap sudah bukti (6). Definisi 7.1.2 Suatu himpunan bagian S ≠ ∅ dari suatu ring R adalah suatu subring bila S adalah ring terhadap operasi yang berlaku dalam ring R .
Image of page 4
Teorema 7.1.2 Suatu himpunan bagian S ≠ ∅ dari suatu ring R adalah suatu subring bila dan hanya bila untuk semua a , b S memenuhi (1) a b S (2) ab S .
Image of page 5

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Image of page 6
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern