ring 1.2 - Homomorphism a Ring Homomorpisma Ring Definisi...

Info icon This preview shows pages 1–5. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Homomorphism a Ring
Image of page 1

Info icon This preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Homomorpisma Ring Definisi dan Sifat-sifat Dasar Untuk itu ditinjau pemetaan yang dikaitkan dengan dua operasi dalam ring. Karena suatu ring adalah suatu grup terhadap operasi "tambah", maka pemetaan yang dipertimbangkan adalah suatu pemetaan homomorpisma grup terhadap operasi "tambah" begitu juga terhadap operasi "perkalian". Contoh 8.1.1 Diberikan ring Z dan 2Z, dan pemetaan natural φ( n ) = 2 n utk n ∈ Z. Telah diketahui bahwa φ adalah suatu homomorpisma grup terhadap +, sebab φ( m + n ) = 2( m + n ) = 2 m + 2 n = φ( m ) + φ( n ). Tetapi terhadap operasi perkalian (.), didapat 2 = φ(1.1) ≠ φ(1).φ(1) = 2.2 = 4. Dg kata lain thd operasi perkalian (.) dalam Z tidak memenuhi seperti yang diharapkan. Contoh 8.1.2 Diberikan pemetaan dari ring Z ke ring Z3 oleh φ( n ) = n mod 3 utk n ∈ Z. Sebagaimana telah diketahui, untuk semua m dan n di Z didapat φ( m + n ) = ( m + n ) mod 3 = ( m mod 3) + ( n mod 3) = φ( m ) + φ( n ), φ( m . n ) = ( m . n ) mod 3 = ( m mod 3).( n mod 3) = φ( m ).φ( n ).
Image of page 2
Definisi 8.1.1 Suatu pemetaan dari suatu ring R ke suatu ring R ′ yaitu φ : R R dinamakan suatu homomorpisma ring bila untuk semua x , y R didapat (1) φ( x + y ) = φ( x ) + φ( y ), (2) φ( x . y ) = φ( x ).φ( y ). Contoh 8.1.3 Diberikan pemetaan φ : Z4 → Z6 didefinisikan oleh φ( x ) = [3 x ]6 untuk semua x ∈ Z4. Sebagaimana telah diket. operasi tambah dan kali dlm modulo, mk utk setiap x , y ∈ Z4 didapat φ( x + y ) = 3( x + y ) mod6 = (3 x mod6) + (3 y mod6) = φ( x ) + φ( y ), φ( x . y ) = 3( x . y ) mod 6 = 9( x . y ) mod 6 = (3 x mod 6).(3 y mod 6) = φ( x ).φ( x ). Terlihat bahwa dalam contoh ini pemetaan φ adalah suatu homomorpisma ring. • Contoh 8.1.4 Diberikan pemetaan homomorpisma φ : Z → Z, diselidiki ada berapa banyak pemetaan homomorpisma tersebut. Pemetaan homomorpisma φ haruslah suatu homomorpisma grup terhadap tambah. Karena Z adalah grup siklik dibangun oleh 1,maka image dari 1 yaitu φ(1) secara lengkap menentukan φ. Dengan demikian, misalkan φ(1) = n ∈ Z. Maka didapat n = φ(1) = φ(1.1) = φ(1).φ(1) = n 2.
Image of page 3

Info icon This preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Jadi n ² = n di Z, hal ini ekivalen dengan n ( n − 1) = 0. Tetapi, karena Z tidak memuat pembagi nol, maka n = 0 atau n = 1. Selanjutnya bila φ(1) = n = 0, maka φ( m ) = 0 untuk semua m ∈ Z. Dengan demikian homomorpisma φ adalah pemetaan nol. Bila φ(1) = n = 1, maka φ( m ) = m untuk semua m ∈ Z. Dengan demikian homomorpisma φ adalah pemetaan identitas. Jadi hanya ada dua pemetaan homomorpisma yang mungkin yaitu pemetaan nol dan pemetaan identitas. Contoh 8.1.5 Diberikan pemetaan homomorpisma φ : Z6 → Z12, diselidiki ada berapa banyak pemetaan homomorpisma tersebut. dengan menggunakan fakta bahwa Z6 adalah grup siklik terhadap operasi tambah dengan generator [1]6, maka φ([1]6) = x ∈ Z12 secara lengkap menentukan φ. Proposisi 3.2.2 ( Sifat-sifat Dasar Homomorpisma Grup ) Misalkan φ : G G ′ adalah suatu homomorpisma grup. Maka (4) Bila | a | berhingga, maka |φ( a )|membagi | a |. Dari Proposisi 3.2.2 bagian (4) didapat |φ([1]6)| ∈ Z12 membagi |[1]6| = 6.
Image of page 4
Image of page 5
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern