ALK - Metody Stat. - zadania + rozw. (2016) - ALK Metody Statystyczne Zadania powtrzeniowe Iwona Nowakowska AKADEMIA LEONA KOMISKIEGO KOZMINSKI

ALK - Metody Stat. - zadania + rozw. (2016) - ALK Metody...

This preview shows page 1 out of 48 pages.

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 48 pages?

Unformatted text preview: ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska AKADEMIA LEONA KOŹMIŃSKIEGO KOZMINSKI UNIVERSITY Metody Statystyczne - przykładowe zadania na kolokwium Zad 1: Dany jest rozkład zmiennej losowej skokowej : ⁄ Ile wynosi wartość parametru ? Obliczyć parametry liczbowe zmiennej losowej , opisanej powyższym rozkładem z obliczonym parametrem . Znaleźć jej dystrybuantę. Zad 2: Dane są dwie funkcje: funkcja gęstości i dystrybuanta, opisujące rozkład zmiennej losowej ciągłej : ∈ (−∞, ] () = {⁄ ∙ ∈ (, ] ∈ (, +∞) (−∞, ] () = { ( , ] ( , +∞) Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa , opisana powyższymi funkcjami, przekroczy wartość 0,4 oraz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ta będzie miała wartości w przedziale (; , ]. Określić wartość: ( = , ). Zad 3: Według badań publicznych, tylko jedna na 10 osób jest niezadowolona ze swojego lokalnego banku. Jeśli wybierzemy losowo 7 osób, jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba osób niezadowolonych z usług swojego banku wyniesie: a) dokładnie dwa b) co najwyżej dwa c) co najmniej dwa d) będzie zawarta w przedziale od jednego do trzech włącznie ? 1 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 4: Liczba połączeń z telefonem komórkowym może być opisana rozkładem Poissona ze stałą λ = 2, wyrażającą średnią liczbę połączeń na godzinę. Jeśli zapomnimy wyłączyć telefon w czasie filmu w kinie, który trwa 1,5 godziny, to jakie jest prawdopodobieństwo, że nasz telefon zadzwoni i przeszkodzi w seansie filmowym ? Ile rozmów telefonicznych można się spodziewać w trakcie filmu? Czy można oszacować przybliżony błąd tej wartości? Zad 5: Obliczyć pole powierzchni pod funkcją gęstości ϕ - standardyzowaną krzywą Gaussa, które ciągnie się: a) od lewego ramienia krzywej do: -2,08 b) pomiędzy 2,02 i -2,06 c) od wartości 0,6 do prawego ramienia. Zad 6: Zmienna losowa ma rozkład ∶ (, ). Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartości w przedziale od 4 do 6, tzn.: ( < < ). Zad 7: Roczne zarobki robotników rolnych w USA w 1926 roku były opisane rozkładem normalnym ze średnią 586 $ i odchyleniem standardowym 97 $. Jaki procent amerykańskich robotników rolnych w 1926 roku miał roczne wynagrodzenie: a) w granicach od 500$ do 700$ b) wynoszące co najmniej 400 $ c) wynoszące ponad 800 $ Zad 8: Wiek maklerów giełdowych ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 2,5 roku. W próbie 16 maklerów średni wiek wynosi dokładnie 30 lat. Oszacować przez właściwy przedział ufności średni wiek maklerów giełdowych dla całej populacji, z uwzględnieniem 95 procentowej wiarygodności. Wyznaczyć maksymalny błąd tego oszacowania. 2 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 9: Maszynę do pakowania cukru nastawiono na 1 kg i sprawdzono wybranych losowo 10 torebek otrzymując następujące rezultaty: 103, 96, 99, 97, 99, 100, 101, 95, 97, 99 ( w dag.) Na podstawie powyższej próby otrzymano odchylenie standardowe 2,4 dag. Oszacować punktowo i przedziałowo średnią wagę torebki na poziomie ufności 1 − α = 0,998. Jakie założenie należy poczynić? Podać względny błąd estymacji przedziałowej. Zad 10: Dana jest próba, składająca się z dwudziestu osób, którzy udali się na rejs na Alaskę. Poniższa tablica pokazuje ich przyrost wagi w ciągu całej podróży. Wzrost wagi (kg) 1 0 2 1,5 3 Liczba osób 4 5 8 2 1 Skonstruować 90% przedział ufności dla średniego przyrostu masy ciała (kg) dla wszystkich turystów, którzy udali się na rejs na Alaskę, jeśli wiadomo, że odpowiednia zmienna losowa ma rozkład normalny. Zad 11: Badania Instytutu Medycyny Pracy wykazały, że na 1000 losowo wybranych zgonów, 331 z nich jest spowodowanych zawałem i innymi chorobami serca. Użyj tych danych do badania pilotażowego i znajdź rozmiar próby koniecznej do oszacowania część populacji wszystkich zgonów spowodowanych różnorodnymi chorobami serca. Załóżmy, że chcesz otrzymać 98% wiarygodności oszacowania i błąd nie większy niż 0,01. 3 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 12: Na podstawie badania na temat palenia tytoniu przez studentów ustalono, że w próbie 1000 studentów (na szczęście) tylko 56 było palaczami. Przyjmując poziom istotności = , zweryfikować hipotezę, że procent wszystkich studentów znajdujących się w szponach nałogu i uzależnionych od palenia wynosi ponad 3%. Zad 13: Pewna reklama telewizyjna głosi, że "stracisz na wadze średnio ponad 5 kg po dwóch tygodniach diety i naszego programu ćwiczeń." Przeprowadzono badanie wśród losowo wybranych 100 osób, które sięgnęły po reklamowaną w TV dietę. Okazało się, że dane z badania przedstawiają się następująco: utrata wagi ciała po dwóch tygodniach liczba (kilogramy) osób 0 - 2] 4 2-4 10 4-6 55 6-8 25 8 - 10 6 Używając 0,05 poziomu istotności, przetestować prawdziwość reklamy. Zad 14: Do sklepu elektronicznego pewnego dnia przyszło 180 kobiet, spośród których 88 dokonało zakupu, oraz 122 mężczyzn i spośród nich 101 dokonało zakupu. Czy słuszna jest hipoteza, ze procent osób dokonujących zakupu po wejściu do sklepu elektronicznego nie zależy od płci? Przyjąć α = 0.05. Zad 15: Sprawdzić, czy dwie zmienne: płeć i przynależność partyjna są zależne, mając następujące dane: PO PiS kobiety 20 30 mężczyźni 30 20 = , 4 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 16: Dany jest szereg statystyczny: tygodniowe wydatki studentów na cele kulturalno – oświatowe (zł.) [20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 80 liczba studentów 10 30 40 20 1. Zbudować 90- procentowy przedział ufności dla średnich, tygodniowych wydatków na cele kult. – ośw. wszystkich studentów całej populacji 2. a) Oszacować z prawdopodobieństwem 0,99 przedział ufności dla procentu studentów, którzy wydają tygodniowo ponad 40 zł. na cele kult. – ośw. b) Wyznaczyć błąd tego oszacowania. c) Jak liczna powinna być próba, aby błąd oszacowania wynosił jedynie 3 %? 3. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że średnie, tygodniowe wydatki studentów na cele kult. – ośw. istotnie różnią się od kwoty 65 zł. 4. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie tygodniowe wydatki studentów na cele kult. – ośw. przekraczają hipotetyczną wartość 40 zł. 5. Czy słuszne jest przypuszczenie, że frakcja studentów wydających tygodniowo poniżej 40 zł. na badane cele, wynosi jedynie 25 % ? Przyjąć poziom α = 0,1. 6. Zweryfikować hipotezę, że badana cecha statystyczna ma rozkład normalny. Przyjąć wiarygodność 90 %. 5 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 17: Wysunięto hipotezę, że muzyka przy pracy zmniejsza wydajność pracowników. W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano grupę 10 pracowników do eksperymentu i zmierzono ich wydajność pracy bez muzyki i z muzyką. Na podstawie poniższych danych zweryfikować hipotezę, że muzyka nie ma wpływu na średnią wydajność pracowników, tzn. ich wydajność bez muzyki i z muzyką jest jednakowa. Przyjąć współczynnik = , . lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 wydajność pracy „bez muzyki” (szt./h) 26 25 26 30 22 26 27 24 27 28 wydajność pracy „z muzyką” (szt./h) 29 27 24 29 24 28 28 24 30 32 6 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Odpowiedzi Zad 1: Rozwiązanie: = = ∑ = ∑ = ∙ + ∙ = + = ≈ , = = ∑ − () = ∙ + ∙ − ( ) = − = − = ≈ , = √ = √, = , = , ± , Dystrybuanta: () = ( ≤ ) = ∑ ( = ) = ∑ ≤ 1 2 Sum 1/3 2/3 1 ≤ ( ) Zad 2: Rozwiązanie: ) ( > ) = − ( < ) = − (, ) = − (, ) = = − ∙ , − − , = , 7 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe ) ) Iwona Nowakowska ( < < , ) = (, ) − () = (, ) − = = ∙ , = , ( = , ) = Zad 3: Rozwiązanie: − liczba niezadowolonych klientów − ma rozkład Bernoulliego , tzn.: ∶ ( , √ ) − prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie → prawdopodobieństwo, że klient jest niezadowolony z banku = , − prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie → prawdopodobieństwo, że klient jest zadowolony z banku = , += ⇒ , + , = − liczba obserwacji = ) → 7 osób − dokładnie dwóch klientów spośród siedmiu jest niezadowolonych z usług banku − liczba sukcesów = () = ( = ) = () = ( ) ∙ ∙ − () = ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) = , ≈ , prawdop. z tablicy 8 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe ) Iwona Nowakowska − co najwyżej dwóch klientów spośród siedmiu jest niezadowolonych z usług banku − liczba niezadowolonych klientów () = ( ≤ ) = ( = ) + ( = ) + ( = ) = () + () + () = = ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) + ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) + ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) = = , + , + , ≈ , prawdop. z tablic ) − liczba niezadowolonych klientów mieści się w przedziale [1, 3] − liczba niezadowolonych klientów () = ( ≤ ≤ ) = ( = ) + ( = ) + ( = ) = () + () + () = = ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) + ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) + ( ) ∙ (, ) ∙ (, ) = = , + , + , ≈ , prawdop. z tablic n k 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 7 0 0.932065 0.698337 0.478297 0.209715 0.082354 0.027994 0.007813 0.001638 0.000219 1 0.065904 0.257282 0.372009 0.367002 0.247063 0.130637 0.054688 0.017203 0.003572 2 0.001997 0.040623 0.124003 0.275251 0.317652 0.261274 0.164063 0.077414 0.025005 3 3.36E-05 0.003563 0.022964 0.114688 0.226895 0.290304 0.273438 0.193536 0.097241 4 3.4E-07 0.000188 0.002552 0.028672 0.09724 0.193536 0.273438 0.290304 0.226895 5 2.06E-09 5.92E-06 0.00017 0.004301 0.025005 0.077414 0.164063 0.261274 0.317652 6 6.93E-12 1.04E-07 6.3E-06 0.000358 0.003572 0.017203 0.054688 0.130637 0.247063 7 1E-14 7.81E-10 1E-07 1.28E-05 0.000219 0.001638 0.007813 0.027994 0.082354 k 0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 n 9 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 4: Rozwiązanie: − liczba połączeń telefonicznych na godzinę Teoretycznie zmienna losowa może przyjmować wartości: 0,1,2,3, …. − ma rozkład Poisson, zatem: ∶ ( , √ ) Funkcja prawdopodobieństwa w tym rozkładzie ma postać : − ( = ) = ∙ ! = − przeciętna liczba połączeń w ciągu 1 godziny (na przedziale czasowym) Szukamy prawdopodobieństwa: ( ≥ ) = − ( = ) − liczba sukcesów - zero połączeń komórkowych w ciągu filmu, czyli w ciągu 1,5 godziny ! Zatem: = , − „żadnych połączeń” = ⇒ stała lambda zmienia swą wartość na 3, ponieważ musi być to wartość przeciętna liczby połączeń na 1,5 godziny ! = = 1h Zatem liczymy ( = ) dla = : − ( = ) = 1,5 h − ∙ = ∙ = ∙ = = ! ! 10 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe = Iwona Nowakowska = = = , ≈ , (, ) , ∙ , , Stąd: ( ≥ ) = − ( = ) = − , = , To samo prawdopodobieństwo jest w tablicy: ( = ) = ( ≤ ) = , ≈ , Skumulowane Prawdopodobieństwa Poissona ( ≤ ) = ∑= − ∙ k 0 1 2 3 4 5 2.10 0.1225 0.3796 0.6496 0.8386 0.9379 0.9796 2.20 0.1108 0.3546 0.6227 0.8194 0.9275 0.9751 2.30 0.1003 0.3309 0.5960 0.7993 0.9162 0.9700 2.40 0.0907 0.3084 0.5697 0.7787 0.9041 0.9643 2.50 0.0821 0.2873 0.5438 0.7576 0.8912 0.9580 2.60 0.0743 0.2674 0.5184 0.7360 0.8774 0.9510 ! 2.70 0.0672 0.2487 0.4936 0.7141 0.8629 0.9433 2.80 0.0608 0.2311 0.4695 0.6919 0.8477 0.9349 2.90 0.0550 0.2146 0.4460 0.6696 0.8318 0.9258 3.00 0.0498 0.1991 0.4232 0.6472 0.8153 0.9161 Ile rozmów telefonicznych można się spodziewać w trakcie filmu? Czy można oszacować przybliżony błąd tej wartości? Liczymy parametry liczbowe rozkładu badanej cechy. = µ = , = = √ = µ = = = = √ = √ = , Możemy zatem spodziewać się średnio 3 telefonów w czasie projekcji filmu z możliwym odchyleniem standardowym od tej wartości 1,73 telefonów przychodzących, co można zapisać: = rozmowy ± , rozmów 11 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 5: Rozwiązanie: ∶ ( , ) ) ( < −, ) = (−, ) = − (, ) = = − , = , ≈ , wartość z tablic ) (−, < < , ) = (, ) − (−, ) = = (, ) − [ − (, ) ] = = (, ) − + (, ) = = (, ) + (, ) − = = , + , − = , − = , ≈ , wartości z tablic ) ( > , ) = − ( < , ) = − (, ) = = − , = , wartość z tablic Zad 6: Rozwiązanie: −zmienna losowa ∶ ( , ) =, = Stosujemy wzór na standaryzację: → 12 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe = − Iwona Nowakowska ∶ (, ) − zmienna losowa standaryzowana ∶ (, ) ( < < ) = ( − − − < < )= = ( = ( − − < < )= < < ) = (, < < , ) = = (, ) − (, ) = = , − , = , wartości z tablic Zad 7: Rozwiązanie: − roczne zarobki robotników rolnych w USA w 1926 − zmienna losowa ∶ ( , ) = , = ) ( < < ) = = ( = ( ( − − − < < )= − − < < )= − < < ) = (−, < < , ) = = (, ) − (−, ) = (, ) − [ − (, )] = 13 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska = (, ) + (, ) − = = , + , + = , − = , ≈ , wartości z tablic ) ( ≥ ) = ( > ) = = ( > = ( > − ) = ( − − > )= − ) = ( > −, ) = − ( < −, ) = = − (−, ) = − [ − (, ) ] = = − + (, ) = (, ) = , ≈ , wartość z tablic ) ( > ) = ( = ( > − − − > ) = ( > )= ) = ( > , ) = − ( < , ) = − (, ) = = − , = , ≈ , wartość z tablic Odpowiedź: 70% amerykańskich robotników rolnych w 1926 roku miało roczne wynagrodzenie pomiędzy 500$ a 700$, 97 % rolników miało rocznie co najmniej 400$, a tylko 1,4 % rolników miało roczną pensje przekraczającą 800$. 14 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 8: Rozwiązanie: −wiek maklerów − zmienna losowa o rozkładzie normalnym ∶ ( ; , ) = , lat − średni wiek wszystkich maklerów giełdowych = − = , - współczynnik ufności Wybieramy: Model 1. − jest znane ( − ∙ √ < < + ∙ √ )= − = = lat, = , lat − wartość krytyczna − = , − = , ⇒ = , Wartość odczytujemy z tablic rozkładu ∶ (, ) używając związku: ( ) = − − dystrybuanta rozkładu (, ) ( ) = − , = − = − , = , 15 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska − dystrybuanta rozkładu (, ) … , … ⋮ , ⋮ Stąd mamy: , = , + , = , = , ( − ∙ = − ∙ = + ∙ √ √ √ < < + ∙ = − , ∙ = + , ∙ , √ , √ √ ) = , = , = , ∈ (, ; , ) lat ( , < < , ) = , Maksymalny błąd szacunku: = = √ = ∙ √ ∙ lub po prostu: = − , − , , = = = = , 16 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Przedział ufności (, ; , ) lat pokrywa - średni wiek wszystkich maklerów giełdowych z prawdopodobieństwem , (z wiarygodnością % ), (z % pewnością), (z % ryzykiem błędu). Maksymalny błąd średniej wieku, jaki możemy ponosić przy tym oszacowaniu wynosi 1,2 lat. Zad 9: Rozwiązanie: – badana cecha – waga cukru w torebkach µ – średnia waga cukru = – liczebność próby = , . − = , współczynnik ufności Chcemy oszacować średnią wagę, a zatem szacowanym parametrem jest wartość oczekiwana µ , tzn.: = µ Musimy założyć, że maszyna do paczkowania cukru pakuje według teoretycznego rozkładu normalnego, tzn., że badana cecha ma rozkład normalny ∶ (µ, ) . a) oszacowanie punktowe Estymator punktowy: = Liczymy średnią arytmetyczną: = ( + + + + ⋯ + ) = = , . ∑ = 17 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Podajemy jeszcze błąd standardowy oszacowania punktowego, który dla małych prób jest równy: = √ − Mamy zatem: = √ − = , √ − = , √ = , = , . b) oszacowanie przedziałowe Stosujemy wzór na przedział ufności dla małej próby (model 2): ( − ∙ = − ∙ = + ∙ √ − √ − √ − < < + ∙ √ − )= − = − ∙ = − = + ∙ = + Wartość odczytujemy z tablic rozkładu −Studenta dla = − = − = stopni swobody i poziomu ryzyka = , . rozkład −Studenta: … = , … ⋮ −= , ⋮ Stąd: = , ≈ , Mamy dalej: = − ∙ = , − , ∙ , = , − , = , = + ∙ = , + , ∙ , = , + , = , 18 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Możemy zapisać, że: ( , < < , ) = , Otrzymaliśmy przedział ufności o długości: = − = , − , = , Precyzja oszacowania (maksymalny błąd szacunku) tego przedziału wynosi: = , = = , Błąd względny wynosi: ∗ = ∆ = , = = = , ≈ , . . , ∗ % = , % Błąd estymacji przedziałowej wynosi w przybliżeniu , % ⇒ że otrzymane wyniki oszacowania są zadawalające. to oznacza, Zad 10: Rozwiązanie: − przyrost wagi - zmienna losowa ∶ ( ; ) − średni przyrost wagi = − = , - współczynnik ufności = Wybieramy: Model 2. ( − ∙ √ − < < + ∙ √ − ) = − = , 19 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe = − ∙ = + ∙ Iwona Nowakowska √ − √ − Najpierw należy wyznaczyć parametry z próby: =? , =? = ∑ ∙ = =√ ∑( − ) = Obliczenia pomocnicze: − ( − ) ( − ) = , 1 4 4 -0,3 0,09 0,36 0 5 0 -1,3 1,69 8,45 2 8 16 0,7 0,49 3,92 1,5 2 3 0,2 0,04 0,08 3 1 3 1,7 2,89 2,89 ∑ 20 26 ____ ____ 15,7 = = , ∑ ∙ = = =√ , = √, ≈ , ∑( − ) = √ = − wartość krytyczna 20 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe − = , ⇒ Iwona Nowakowska = , = − = − = Tablica rozkładu − Studenta: … = , … ⋮ − = , ⋮ ≈ , Mamy dalej: = − ∙ √ − = , − , , √ = , − , , = , = , − , ∙ , = , − , = , = + ∙ √ − = , + , , √ = , + , , = , = , + , ∙ , = , + , = , ∈ ( , ; , ) (, < < , ) = , 90% przedział ufności dla średniego przyrostu wagi wszystkich turystów podróżujących na Alaskę wynosi ( , ; , ) . Zad 11: Rozwiązanie: = ??? − minimalna liczebność próby = , − maksymalny błąd szacunku 21 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska = = − = , ̂ ̂ = ∙ √ ⇒ ̂ ̂ = Mamy: ̂= = = , ≈ , ̂ = , − = , ⇒ ( ) = − = , , = − = − , = , − dystrybuanta rozkładu (, ) … ⋮ , ⋮ , … , = , + , = , = , ̂ ̂ , ∙ , ∙ (, ) , ∙ , = = = = (, ) , = , = , = Minimalna liczebność próby potrzebnej do oszacowania frakcji populacji wszystkich zgonów spowodowanych różnymi chorobami serca przy maksymalnym błędzie oszacowania 0,01 i z wiarygodnością 98% wynosi 12 tysięcy osób. 22 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Zad 12: Rozwiązanie: − wskaźnik struktury (frakcja) palących studentów (w całej populacji) − – liczba próby = − liczba studentów palących (w próbie) ̂ − frakcja – wskaźnik struktury z próby ̂= ̂= = , − hipotetyczna wartość wskaźnika struktury w całej populacji - hipotetyczna wartość frakcji wszystkich palących studentów % = % ⇒ = , = , Stąd: = , = , Stawiamy hipotezy: : = : > : = , : > , ⇒ test z prawostronnym obszarem krytycznym 23 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Statystyka testowa: = ̂ − √ = ̂ − ∙ √ = ∙ , − , √, ∙ , = = , √, = , √, = , = , , ( ) = − , = , − dystrybuanta rozkładu (, ) … ⋮ , ⋮ Stąd mamy: , … , = , prawostronny obszar krytyczny = , = , = , statystyka testowa Wartość statystyki testowej wpada w obszar krytyczny testu. 24 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Hipotezę zerową odrzucamy! Hipoteza alternatywna jest udowodniona. : > , Zatem, na poziomie istotności 0,05 możemy twierdzić, że procent studentów, będących w szponach nałogu tytoniowego przekracza niestety %. Zad 13: Rozwiązanie: − utrata wagi po dwóch tygodniach stosowania reklamowanej diety − średnia utrata wagi po dwóch tygodniach stosowania polecanej diety ∶ ? ? ? − nieznany rozkład − nieznane = , = kg - hipotetyczna wartość średniej utraty wagi = Stawiamy hipotezy: : = kg : > kg ⇒ reklama twierdzi, że: „stracisz na wadze średnio ponad 5 kg po dwóch tygodniach diety i naszego programu ćwiczeń” : = kg : > kg ⇒ test z prawostronnym obszarem krytycznym Wybieramy: Model 3 Statystyka testowa: = − √ 25 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska Obliczamy parametry z próby: , Obliczenia pomocnicze: ̇ ̇ ̇ − (̇ − ) (̇ − ) 0-2 4 1 4 -4,4 19,36 77,44 2-4 10 3 30 -2,4 5,76 57,6 4-6 55 5 275 -0,4 0,16 8,8 6-8 25 7 175 1,6 2,56 64 8 - 10 6 9 54 3,6 12,96 77,76 suma 100 ---- 538 ---- ---- 285,6 , = ∑ ̇ ∙ = = = , ≈ , =√ , = √ , = , ≈ , ∑(̇ − ) = √ = Liczymy wartość statystyki testowej: = − , − , ∙ = = , √ = √ = , , , − wartość krytyczna ( ) = − − dystrybuanta rozkładu (, ) ( ) = − = − , = , … , … ⋮ , ⋮ , = , 26 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska = , = , = , = , Wartość statystyki w obszarze krytycznym. Podejmujemy decyzję: odrzucić na korzyść : > kg A zatem, prawdziwe jest stwierdzenie w reklamie, że można stracić średnio powyżej 5 kg tygodniowo po stosowaniu odpowiedniej diety. Mamy na to 95% pewności. Zad 14: Rozwiązanie: − procent kobiet dokonujących zakupów w sklepie elektr. − procent mężczyzn dokonujących zakupów w sklepie elektr. − liczba próby kobiet = − liczba próby mężczyzn = 27 ALK – Metody Statystyczne - Zadania powtórzeniowe Iwona Nowakowska − liczba kobiet z próby, które dokonały zakupu = − liczba mężczyzn z próby, które dokonały zakupu = = , Chcemy zweryfikować hipotezę, że procent kobiet i mężczyzn, którzy dokonują zakupów w sklepie elektronicznym jest taki sam (nie zależy od płci), a więc stawiamy hipotezę: : = wobec hipotezy: : ≠ : = : ≠ ⇒ test z dwustronnym obszarem krytycznym Statys...
View Full Document

  • Summer '16
  • Iwona Nowakowska

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes