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ODE_Tullio - Prof Ing Domiziano Mostacci Appunti per il...

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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti per il modulo di Metodi matematici L E EQUAZIONI DIFFERENZIALI Un’equazione differenziale è un’equazione contenente funzioni e loro derivate. Se si ha a che fare con funzioni di una sola variabile, le derivate sono ordinarie e si parla di equazioni differenziali alle derivate ordinarie , le chiameremo in breve ODE. Se invece si hanno funzioni di più variabili, le derivate saranno parziali ed si avranno pertanto delle equazioni differenziali alle derivate parziali , che indicheremo in breve come PDE. Esamineremo ora il primo caso, le ODE. I PARTE : L E EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE ORDINARIE (ODE) I. Introduzione Un’ODE si può scrivere nel modo più generale come 0 dx y d ,..., dx y d , dx dy , y , x F n n 2 2 = (I-1) Per soluzione della (I-1) in un certo insieme D si intende una funzione y = f(x) definita su D tale che ( 29 0 ) x ( f ),..., x ( ' ' f ), x ( ' f ), x ( f , x F ) n ( = (I-2) per qualunque x appartenente a D. In molti casi cercheremo tale soluzione per un particolare intervallo D. In altri intenderemo cercarla nell’insieme D più ampio possibile, eventualmente unione di diversi intervalli. Facciamo qualche esempio. Esempio 1 : 0 y 2 ' y = - Si vede che x 2 e ) x ( f y = = è una soluzione valida su tutto , poiché derivando e introducendo nell’equazione otteniamo 0 e 2 e 2 x 2 x 2 = - identicamente per qualunque II-1
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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti per il modulo di Metodi matematici x. Se definiamo invece una funzione ( 29 [ ] ( 29 - = , 1 x e 1 , 0 x e ,0 x 1 ) x ( g 2 x 2 vediamo che essa è una soluzione dell’ODE data solo per x [0,1]. Esempio 2 : 0 x y ' y = + Si vede che 2 x 1 y - = è una soluzione dell’ODE valida per x (-1,1) poiché la soddisfa identicamente identicamente per qualunque x nell’intervallo. Fuori da tale intervallo la funzione suddetta non è definita, naturalmente. Esempio 3 : 0 x ' y 2 = - - Qui troviamo che 1 x C y - - = è soluzione dell’ODE per qualunque valore di C, valida per x (- ,0) (0, ). Anche qui, fuori da tale dominio (cioè per x = 0) la funzione suddetta non è definita Esempio 4 : ( 29 0 1 y x ' y 2 2 2 = + + L’ODE non può avere soluzione: infatti il primo membro è sempre 1. Esempio 5 : ( 29 0 y ' y 2 2 = + Qui l’unica soluzione possibile è 0 y , valida in tutto . Esempio 6 : 0 x ' y 1 = - - in x (- ,0) La soluzione è ) x ln( C y - + = , per qualunque valore di C, valida nell’intervallo considerato x (- ,0). Anche qui, fuori da tale dominio (cioè per x 0) la funzione suddetta non è definita. In x (0,+ ) la soluzione sarebbe stata ) x ln( C y + = , mentre per x=0 non può esservi soluzione. Diamo qualche definizione: L’O RDINE di un’equazione differenziale è l’ordine della derivata II-2
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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti per il modulo di Metodi matematici di ordine più alto che compare nell’equazione stessa.
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