ODE_Tullio_2 - Prof. Ing. Domiziano Mostacci Appunti per il...

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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti per il modulo di Metodi matematici III. Le ODE di ordine superiore al secondo Consideriamo dapprima le equazioni lineari . Un’ODE lineare ha la forma: ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 x F y x a y x a ... y x a y x a n ) 1 ( 1 n ) 1 n ( 1 ) n ( 0 = + + + + - - (III-1) Si può adottare anche la notazione ad operatori, che tornerà comoda più avanti. Poniamo k k k x dx d D = (III-2) e osserviamo che possiamo allora considerare il k-esimo operatore come il risultato di k applicazioni successivo dell’operatore di ordine 1: ad esempio ( 29 ( 29 ( 29 = = x f dx d dx d x f dx d x f D 2 2 2 x (III-3) In questo senso possiamo pensare a potenze di operatori, cioè: ( 29 k x k x D D = (III-4) Poiché vedremo per ora soltanto derivate rispetto ad x, ometteremo l’indice x nell’operatore D. Riscriviamo quindi la III-1 come ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 x F x y x a x Dy x a ... x y D x a x y D x a n 1 n 1 n 1 n 0 = + + + + - - (III-5) od anche, con notazione più compatta, ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 { } ( 29 ( 29 x F x y x a Dy x a ... D x a D x a n 1 n 1 n 1 n 0 = + + + + - - (III-6) Ad esempio, scriveremo ( 29 sinx x y 2 ' y 3 ' ' y = + + come { } ( 29 sinx x y 2 Dy 3 D 2 = + + (III-7) Quanto racchiuso tra parentesi graffe è a sua volta un operatore differenziale, combinazione di vari operatori più semplici, e a cui possiamo dare un nome, ad esempio H ˆ , quindi la III-7 diventa ( 29 sinx x y H ˆ = (III-8) All’operatore tra graffe nella III-6 possiamo dare, ad esempio, il nome L ˆ , e riscrivere l’ODE come ( 29 ( 29 x F x y L ˆ = (III-9) od anche semplicemente F y L ˆ = (III-10) Vediamo quindi che un operatore è una “funzione” il cui argomento sono non numeri bensì funzioni ed il cui risultato, analogamente, non sono numeri bensì funzioni. Cioè operando con un operatore su una funzione si ottiene come risultato una funzione (in genere diversa da quella su cui si è operato). Definiamo ora un operatore “lineare”: III-1
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Prof. Ing. Domiziano Mostacci – Appunti per il modulo di Metodi matematici Sia S un insieme di funzioni ed a, b due costanti arbitrarie. L’operatore L si dice lineare quando ( 29 ( 29 ( 29 v bL u aL bv au L + = + (III-11) per qualunque coppia di funzioni u e v appartenenti a S. Vediamo un teorema di esistenza ed unicità: Siano a 0 , a 1 ,…,a n ed F funzioni di x continue su un intervallo I, e sia a 0 0 2200 x I. Sia x 0 un punto arbitrario di I. Esiste una ed un’unica soluzione Φ (x) della III-5 che soddisfa le condizioni al contorno Φ ( x 0 ) = y 0 ; Φ ’( x 0 ) = y 1 ; Φ ’’( x 0 ) = y 2 ; … ; Φ (n-1) ( x 0 ) = y n-1 ; (III- 12) Tale soluzione soddisfa l’ODE data in tutto I. III-1. Le equazioni del secondo ordine
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This note was uploaded on 05/11/2008 for the course ENG 100 taught by Professor Sumini during the Spring '08 term at Università di Bologna.

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