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dispense_1_2007 - Parte I Elementi di Fisica Atomica e...

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Parte I: Elementi di Fisica Atomica e Nucleare Marco Sumini - LIN-DIENCA A.A. 2007/2008 1 Parte prima: richiami di fisica classica Queste dispense sono il risultato di un’onesta ”cannibalizzazione” di alcuni testi sacri della fisica-matematica quali ”Introduzione alla Fisica Teorica”, P. Caldirola, R. Cirelli, G.M. Prosperi, UTET, Torino, 1982 , ”Classical Mechan- ics”, H. Goldstein, Addison Wesley, Reading, MA, 1980, ”Teoria dell’Elettromagnetismo”, J. Stratton, Boringhieri, Torino, 1952: tra tutti circa duemilacinquecento pagine della sana fisica nata e sviluppatasi tra la seconda meta’ del XIX e la prima meta’ del XX secolo. Buona consultazione e auguri. 1.1 Alcune costanti fisiche fondamentali Questi numeri, espressi nel sistema di unita’ di misura c.g.s., danno un’idea del rapporto fra le dimensioni caratteristiche dei problemi fisici che a ff ron- teremo e gli oggetti di ordinaria esperienza. numero di Avogadro N A = 6 . 022 · 10 23 mole - 1 costante di Boltzmann k = 1 . 3807 · 10 - 16 erg/K = 8 . 617 · 10 - 5 eV/K velocita della luce nel vuoto c = 2 . 9979246 · 10 10 cm/sec costante di Planck h = 6 . 62618 · 10 - 27 erg × sec carica elettrica elementare e 0 = 1 . 60219 · 10 - 19 coulomb elettrovolt eV = 1 . 60219 · 10 - 19 erg massa dell elettrone m e = 0 . 91096 · 10 - 27 g massa del protone m p = 1836 . 15152 × m e raggio di Bohr a 0 = 2 /m e e 2 0 = 0 . 52917 A costante di struttura fine α = e 2 0 / c = 1 / 137 . 036 1
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1.2 Equazioni di Lagrange Siano x 1 , x 2 , . . . , x N i vettori posizione di N particelle di massa m 1 , m 2 , . . . , m N sottoposti a p vincoli olonomi, cioe’ esprimibili tramite relazioni del tipo: f l ( x 1 , x 2 , . . . , x N , t ) = 0 , l = 1 , 2 , . . . , p avremo quindi un sistema descritto da 3 N - p variabili indipendenti (gradi di liberta’). Siano q 1 , q 2 , . . . , q f tali variabili, allora: x j = x j ( q 1 , q 2 , . . . , q f , t ) , j = 1 , 2 , . . . , N Derivando: ˙ x j = d x j dt = s x j q s ˙ q s + x j t = v j L’energia cinetica risulta: T = 1 2 j m j ˙ x 2 j = 1 2 j m j r x j q r ˙ q r + x j t · s x j q s ˙ q s + x j t = = 1 2 rs a rs ( q, t ) · q r · q s + s b s ( q, t ) · q s + c ( q, t ) = = termine quadratico + termine lineare + termine indipendente dalla velocita generalizzata Se F 1 , F 2 , . . . , F N sono le forze attive agenti sulle particelle e δ x j gli spostamenti infinitesimi indotti: δ = j F j · δ x j = s j F j · x j q s δ q s = s Q s δ q s dove Q s = j F j · x j q s = j m j ¨ x j · x j q s : forze generalizzate . Ora: j m j ¨ x j · x j q s = j d dt m j ˙ x j · x j q s - m j ˙ x j · d dt x j q s 2
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d dt x j q s = k 2 x j q s q k ˙ q k + 2 x j q s t = · x j q s = v j q s v j ˙ q s = x j q s j m j ¨ x j · x j q s = j d dt m j v j · v j · q s - m j v j · v j q s e quindi: d dt T ˙ q s - T q s = Q s s = 1 , 2 , . . . , f ( principio di D’Alembert ).
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