Exercise07Sol - Analytical Electromagnetism Fall Semester...

This preview shows page 1 out of 7 pages.

Unformatted text preview: ‫‪Analytical Electromagnetism‬‬ ‫‪Fall Semester 2011-12‬‬ ‫אלקטרומגנטיות אנליטית ־ פיתרון תרגיל בית ‪ #7‬־‬ ‫גלים אלקטרומגנטיים‬ ‫פיתרון שאלה ‪1‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪dt <A · <B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ∗ ‪dt (A + A∗ ) (B + B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪T‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ˆ‬ ‫]‪dt [AB + A∗ B ∗ + AB ∗ + A∗ B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫= ‪hRi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪T‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪4T‬‬ ‫התלות בזמן של גורמים מהצורה ∗ ‪ AB, A∗ B‬היא מהסוג ‪ e±2iωt‬ואינטגרל עליהם מתאפס‬ ‫‬ ‫‪T = 2π‬‬ ‫‪dt e±2iωt ∼ e±2iωt 0 ω = e±4πi − 1 = 0‬‬ ‫לכן אנו נשארים עם‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫]‪dt[AB ∗ + A∗ B‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫) ∗ ‪dt<(AB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫) ∗‪dt<(ab‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4T‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2T‬‬ ‫= ‪hRi‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪2T‬‬ ‫כעת‪ a ,‬ו־‪ b‬הם קבועים ולכן ניתן להוציאם מחוץ לאינטגרל‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ∗‪<(ab‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ∗‪= <(ab‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ∗ ‪= <(AB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪hRi‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪Analytical Electromagnetism‬‬ ‫‪Fall Semester 2011-12‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪2‬‬ ‫מהירות הגל בחומר נתונה ע"י‬ ‫ˆ‪c‬‬ ‫ˆ ‪c‬‬ ‫‪k= √ k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫ˆ √‬ ‫×‪B = µk‬‬ ‫פתרונות גליים מקיימים את הקשר הבא בין השדה החשמלי והשדה המגנטי ־‬ ‫√‬ ‫‪) E‬ולכן בפרט |‪ .(|B| = µ|E‬כך נוכל לבטא את האנרגיה הא"מ באמצעות השדה החשמלי‬ ‫בלבד‬ ‫‪1‬‬ ‫] ∗‪[E · D∗ + B · H‬‬ ‫‪16π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫] ‪[|E|2 + µ−1 |B|2‬‬ ‫=‬ ‫‪16π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫] ‪[|E|2 + µ−1 (µ)|E|2‬‬ ‫=‬ ‫‪16π‬‬ ‫‪|E|2‬‬ ‫=‬ ‫‪8π‬‬ ‫=‪u‬‬ ‫וקטור פוינטינג‬ ‫‪c‬‬ ‫) ∗‪< (E × H‬‬ ‫‪8π‬‬ ‫‪c‬‬ ‫) ∗‪< (E × B‬‬ ‫=‬ ‫‪8πµ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫√ ‪c‬‬ ‫∗‪ˆ × E‬‬ ‫=‬ ‫‪µ< E × k‬‬ ‫‪8πµ‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫את הביטוי הנ"ל שכולל שתי מכפלות וקטוריות ניתן לבטא באמצעות מכפלות סקלריות‬ ‫בצורה הבאה )דיברנו על הזהות המתמטית הזו בשבוע הראשון של הסמסטר(‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫‪i‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ h‬‬ ‫‪ˆ − E∗ E · k‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪< (E · E∗ ) k‬‬ ‫‪8π µ‬‬ ‫האיבר השני מתאפס מכיוון שהשדה החשמלי )כמו גם המגנטי( מאונך לכיוון התקדמות הגל‬ ‫‪r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ˆ ‪  2‬‬ ‫‪< |E| k‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫‪8π µ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪|E|2‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪8π‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪u‬‬ ‫‪= c‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫‪µ‬‬ ‫ˆ ‪1‬‬ ‫‪= uc √ k‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪= uv‬‬ ‫‪2‬‬ Analytical Electromagnetism Fall Semester 2011-12 3 ‫פיתרון שאלה‬ ,‫ אנו מקבלים כי‬.1 ˆ + iˆ x y a a ˆ e−i(ωt−α) + y ˆ √ e−i(ωt−α−π/2) a √ e−i(ωt−α) = √ x 2 2 2   a a ˆ e−i(ωt−α) + y ˆ √ e−i(ωt−α−π/2) r=< √ x 2 2 a a ˆ cos(ωt − α) + y ˆ √ cos(ωt − α − π/2) =√ x 2 2 a a ˆ cos(ωt − α) + y ˆ √ sin(ωt − α) =√ x 2 2 .‫ל‬.‫ש‬.‫מ‬ .‫ וכנ"ל לגבי השדה המגנטי‬E = E0 e−iωt ‫ בשאלה זו נסמן‬.2 hSi = = = = = = ˆ 2π c 1 d(ωt)<E × <H 4π 2π 0 ˆ E + E∗ H + H∗ c dθ × 8π 2 2 2 ˆ c 1 ∗ dθ[E0 e−iθ + E0 eiθ ] × [H0 e−iθ + H∗0 eiθ ] 8π 2 4 ˆ c 1 dθ[E0 × H0 e−2iθ + E0 × H∗0 + E∗0 × H0 + E∗0 × H∗0 e2iθ ] 8π 2 4 ˆ c 1 dθ[E0 × H∗0 + E∗0 × H0 ] 8π 2 4 ˆ h c i h c i c 1 ∗ ∗ ∗ dθ<(E × H ) = < E × H E × H = < 0 0 0 0 8π 2 2 8π 8π .3 (∇× E)i = ijk ∂j Ek = ijk ∂j E0k eik·x−iωt = iijk kj E0k eik·x−iωt = i(k × E)i ⇒ ∇× E = ik × E 3 ‫‪Analytical Electromagnetism‬‬ ‫‪Fall Semester 2011-12‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪4‬‬ ‫‪ .1‬נתחיל מחישוב צד שמאל של משפט ‪Poynting‬‬ ‫‪~ (u~v ) + ∂u‬‬ ‫∇‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂u ∂u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂x ∂u ∂u‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪∂t ∂x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∇· S +‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ולכן‬ ‫‪0‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫=‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪∂x ∂u ∂u‬‬ ‫‪du‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪∂t ∂x‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫עבור )‪ u = h(x − vt‬מתקיים‬ ‫‪h0‬‬ ‫=‬ ‫‪−vh0‬‬ ‫=‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂u‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫כאשר ‪ 0‬מסמן גזירה לפי הארגומנט‪ .‬וכך נגיע ל‬ ‫‪du‬‬ ‫‪= vh0 − vh0 = 0‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪5‬‬ ‫‪ .1‬את הסעיף הזה פתרנו בכיתה‪.‬‬ ‫‪ .2‬את הזרם המושרה ניתן לחשב ע"י תנאי השפה על ‪ B‬ב־‪,x = d‬‬ ‫‪4πK2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ˆ B1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫= ‪K2‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫ˆ‪= −‬‬ ‫)‪yK0 cos(ωt − kd‬‬ ‫‪ˆ×z‬‬ ‫= ) ‪ˆ(0 − B1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ Analytical Electromagnetism Fall Semester 2011-12 ,‫ וקטור פוינטינג‬.3 c E1 × B1 4π c = −ˆ x E·B 4π c 4π 2 K02 [cos2 (ωt − kx) − cos2 (ωt + kx − 2kd)] = −ˆ x 4π c2 πK02 = −ˆ x [cos2 (ωt − kx) − cos2 (ωt + kx − 2kd)] c c 4π 2 K02 ˆ [cos(ωt + kx) − cos(ωt + kx − 2kd)]2 S2 = x 4π c2 c 4π 2 K02 ˆ =x [cos(ωt + kx) − cos(ωt + kx − 2kd)]2 4π c2 πK02 ˆ =x [cos2 (ωt + kx) + cos2 (ωt + kx − 2kd) − 2 cos(ωt + kx) cos(ωt + kx − 2kd)] c πK02 ˆ [cos2 (ωt + kx) + cos2 (ωt + kx − 2kd) − cos(2ωt + 2kx − 2kd) − cos(2kd)] =x c S1 = .(‫ הוא אפס בבירור )מה שהולך למראה חוזר ממנה‬S1 ‫הממוצע על זמן מחזור של‬ ‫ הוא‬S2 ‫הממוצע של‬ hS1 i = 0   πK02 1 1 + − cos 2kd + 0 c 2 2 2 πK0 ˆ (1 − cos 2kd) =x c ˆ hS2 i = x ‫ ההספק הנפלט מקסימלי כאשר‬.‫ כפי שצריך להיות‬S2 = 0 ‫ מקבלים‬kd = nπ ‫אם‬ ‫ זאת אומרת‬cos 2kd = −1 2kd = (2n + 1)π, n = 0, 1, 2, . . . (‫והוא שווה ל־)ליח' שטח‬ ˆ S2 = x 2πK02 c 5 ‫‪Analytical Electromagnetism‬‬ ‫‪Fall Semester 2011-12‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪6‬‬ ‫באיזור שאין מטען‪,‬‬ ‫‪∇· E = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∂‬ ‫‪1 ∂Eϕ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(sin θEθ ) +‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪r sin θ ∂θ‬‬ ‫‪r sin θ ∂ϕ‬‬ ‫‪ Eθ‬‬ ‫∂ ‪1‬‬ ‫‪r2 Er +‬‬ ‫‪cot θ = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r ∂r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1 1 ∂r2 Er‬‬ ‫‪+ cot θ = 0‬‬ ‫‪r Eθ ∂r‬‬ ‫‬ ‫∂ ‪1‬ ‫‪r2 Er‬‬ ‫‪r2 ∂r‬‬ ‫כאשר השתמשנו בעובדה שהשדה )כלומר כל רכיב שלו( תלוי רק ב־‪ .r‬עכשיו‪ ,‬יש כאן‬ ‫פונקציה של ‪ r‬שתמיד צריכה להתבטל עם ‪ ,cot θ‬הדבר אינו אפשרי אלא אם מלכתחילה‬ ‫‪ Eθ = 0‬כלומר‬ ‫‬ ‫∂ ‪1‬‬ ‫‪r2 Er = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r ∂r‬‬ ‫)‪r2 Er = α(t‬‬ ‫)‪α(t‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫= ‪Er‬‬ ‫עכשיו‪ ,‬את אותו שיקול בדיוק אפשר לעשות ל־‪ ,B‬ואנו מקבלים‬ ‫‪β(t)ˆr‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫אבל מאחר שאין מונופולים מגנטיים‪ ,‬מתחייב ‪ ,β(t) = 0‬ועכשיו מחוק אמפר־מקסוול )באיזור‬ ‫שאין זרמים(‬ ‫‪1 ∂E‬‬ ‫˙‪α‬‬ ‫‪= ˆr 2‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫‪cr‬‬ ‫‪α˙ = 0‬‬ ‫= ‪∇× B ≡ 0‬‬ ‫‪α = const.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ρ = 4π‬היא פונקציה של ‪ r, t‬בלבד‪ ,ρ(r, t) ,‬כלומר‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪ .‬עכשיו‪ ,‬ברור לגמרי כי ‪∇· E‬‬ ‫מדובר על מערכת עם סימטריה כדורית מלאה בכל רגע ורגע )למשל כדור תופח וקטן(‪.‬‬ ‫מערכת כזו לא יכולה לקרון‪ ,‬והיא סטטית כלפי כל מה שמחוץ למערכת‪.‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪7‬‬ ‫ראשית ברור כי הגל מתקדם בכיוון ˆ‬ ‫‪ z‬מאחר ו ־‬ ‫‪eik·x = eikz = eikˆz·x‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1102 retsemeS llaF‬־‪21‬‬ ‫‪msitengamortcelE lacitylanA‬‬ ‫‪ .1‬החלק שיעבור הוא‬ ‫ˆ‪R cos θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לפיכך היחס בין ההספק הנכנס להספק המועבר הוא‬ ‫‪cos2 θ‬‬ ‫‪ .2‬הפעם החלק שעובר הוא‬ ‫‪R‬‬ ‫‪√ x‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪2‬‬ ‫לפיכך היחס הוא ‪.1/2‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪8‬‬ ‫נחשב את הגל היוצא‪,‬‬ ‫‪ .1‬הגל היוצא הוא‬ ‫√‬ ‫ˆ(‪ˆ ) = Ri‬‬ ‫ˆ‪E0 = R(i‬‬ ‫‪x+y‬‬ ‫ˆ‪x − i‬‬ ‫‪y) = Ri 2ˆ−‬‬ ‫העוצמה הקודמת שלו היתה ‪ ∼ 2R2‬ועוצמתו עכשיו זהה‪ .‬לפיכך העוצמה היחסית‬ ‫היא ‪.1‬‬ ‫‪ .2‬הגל היוצא הפעם הוא‬ ‫‪ˆ+y‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‪i‬‬ ‫ˆ‪x + i‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫√‬ ‫√ ‪= iR‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E0 = R‬‬ ‫עוצמתו היא ‪ ∼ R2‬וזהה לזו שהיתה קודם‪ .‬שוב העוצמה היחסית היא ‪ .1‬שימו לב כי‬ ‫המתקן הזה ממיר בין קיטובים מעגליים וליניאריים‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern