Exercise01Sol - Analytical Electromagnetism Fall Semester...

This preview shows page 1 out of 5 pages.

Unformatted text preview: Analytical Electromagnetism Fall Semester 2011‫־‬12 ‫ ־‬#1 ‫אלקטרומגנטיות אנליטית ־ פיתרון תרגיל בית‬ ‫יסודות האלקטרומגנטיות‬ 1 ‫פיתרון שאלה‬ .1 [A × (B × C)]i = ijk Aj [B × C]k = ijk Aj klm Bl Cm = ijk lmk Aj Bl Cm = [δil δjm − δim δjl ]Aj Bl Cm = δil δjm Aj Bl Cm − δim δjl Aj Bl Cm = Aj Bi Cj − Aj Bj Ci = Bi (Aj Cj ) − (Aj Bj )Ci = [B(A · C) − C(A · B)]i .2 (A × B) · C = ijk Aj Bk · Ci = ijk Bk Ci Aj = jki Bk Ci · Aj = (B × C)j Aj = (B × C) · A ∂i ≡ ∇ · (A × B) = ∂i (ijk Aj Bk ) = ijk [Bk ∂i Aj + Aj ∂i Bk ] = Bk ijk ∂i Aj + Aj ijk ∂i Bk = Bk kij ∂i Aj − Aj jik ∂i Bk = B · ∇× A − A · ∇× B 1 ∂ ∂xi ‫ נסמן‬.3 ‫‪21-1102 retsemeS llaF‬‬ ‫‪msitengamortcelE lacitylanA‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫) ‪∇ · (∇× A) = ∂i (ijk ∂j Ak‬‬ ‫‪= ijk ∂i ∂j Ak‬‬ ‫אבל ‪ ,∂i ∂j Ak = ∂j ∂i Ak‬כלומר סימטרי להחלפת ‪ .i, j‬לעומת זאת ‪ ijk‬הוא אנטי־‬ ‫סימטרי להחלפה זו‪ ,‬ולכן כאשר סוכמים‪ ,‬התוצאה היא אפס )למשל ‪ ∂1 ∂2 A3‬מופיע‬ ‫פעמיים‪ ,‬פעם עם מקדם ‪ 123 = 1‬ופעם עם ‪ ,213 = −1‬ולכן מתבטל(‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫) ‪∇ · (ΦA) = ∂i (ΦAi‬‬ ‫‪= Ai ∂i Φ + Φ∂i Ai‬‬ ‫‪= A · ∇Φ + Φ∇· A‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫) ‪[∇ × (ΦA)]i = ijk ∂j (ΦAk‬‬ ‫‪= ijk (∂j Φ)Ak + Φijk ∂j Ak‬‬ ‫‪= [∇Φ × A]i + Φ[∇× A]i‬‬ ‫‪= [∇Φ × A + Φ∇× A]i‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪2‬‬ ‫נתחיל מחוק ביו־סבר עבור השדה המגנטי שיוצרת התפלגות זרם ‪J‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪r − r0‬‬ ‫× ) ‪d3 r0 J (r0‬‬ ‫= )‪B (r‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫ניעזר בזהות‬ ‫‪r − r0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫בשביל לשכתב את חוק ביו־סבר בצורה הבאה‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫=‬ ‫‪d r ∇r‬‬ ‫) ‪× J (r0‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪∇r‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪d3 r0 J (r0 ) × ∇r‬‬ ‫ע"י שימוש בזהות שהוכחנו בשאלה הראשונה נכתוב זאת בצורה הבאה‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪J (r0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫× ‪d3 r 0 ∇ r‬‬ ‫‪−‬‬ ‫∇‬ ‫×‬ ‫‪J‬‬ ‫‪(r‬‬ ‫)‬ ‫‪r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪B (r) = −‬‬ ‫‪21-1102 retsemeS llaF‬‬ ‫‪msitengamortcelE lacitylanA‬‬ ‫האיבר השני מתאפס מכיוון ש־ ‪ J‬תלוי ב־ ‪ r0‬ולא ב־ ‪ r‬ולכן נישאר עם‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪J (r0‬‬ ‫‪B (r) = ∇r × d3 r0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫כלומר ־ הראנו את העובדה הידועה שאפשר לבטא את השדה המגנטי בתור ‪ curl‬של‬ ‫פונקציה‪ .‬לפונקציה הזו קוראים הפוטנציאל המגנטי או הפוטנציאל הוקטורי ואפשר לראות כי‬ ‫היא נתונה ע"י הביטוי‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪J (r0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d3 r0‬‬ ‫= )‪A (r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫כעת‪ ,‬ע"י שימוש בזהות המתמטית ‪ ∇ · (∇ × V) = 0‬נקבל כי דיברגנס של השדה המגנטי‬ ‫מתאפס‬ ‫‪∇· B = ∇ · (∇ × A) = 0‬‬ ‫וכך הוכחנו שחוק ביו־סבר מקיים את חוק גאוס עבור השדה המגנטי.‬‬ ‫נוכיח כעת את חוק אמפר‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪J (r0‬‬ ‫× ‪∇r × B (r) = ∇r‬‬ ‫× ‪d3 r0 ∇r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪J (r0‬‬ ‫=‬ ‫× ‪d3 r0 ∇r × ∇r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ˆ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪J (r0‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫) ‪2 J (r‬‬ ‫=‬ ‫‪d r ∇r ∇r‬‬ ‫‪− ∇r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪∇r d3 r0 J (r0 ) ∇r‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪d3 r0 J (r0 ) ∇2r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪|r − r0 | c‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫נשתמש בשתי הזהויות הבאות‬ ‫‪1‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫ˆ‬ ‫) ‪d3 r0 J (r0 ) δ 3 (r − r0‬‬ ‫‪−∇r0‬‬ ‫=‬ ‫) ‪−4πδ 3 (r − r0‬‬ ‫=‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪1‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪∇2r‬‬ ‫| ‪|r − r0‬‬ ‫‪∇r‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪d3 r0 J (r0 ) ∇r0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− ∇r‬‬ ‫‪c‬‬ ‫=‬ ‫)‪∇r × B (r‬‬ ‫לאחר אינטגרציה בחלקים באיבר הראשון ושימוש בעובדה שדיברגנס של הזרם מתאפס‬ ‫‪ ∇· J = 0‬האיבר הראשון מתאפס‪ ,‬כך שמתקבל‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪∇× B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪21-1102 retsemeS llaF‬‬ ‫‪msitengamortcelE lacitylanA‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪3‬‬ ‫‪ .1‬בקואורדינטות גליליות‪,‬‬ ‫)‪ρ(r) = λ(ϕ)δ(z)δ(r − a‬‬ ‫משום שתשובה זו תהפוך כל אינטגרל נפחי שכולל את הטבעת לאינטגרל‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫)‪d3 x ρ(r) = adϕλ(ϕ‬‬ ‫לפיכך התשובה הסופית היא‪,‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪(1 + cos 2ϕ)δ(z)δ(r − a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫והמטען הכולל הוא‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪dϕ (1 + cos 2ϕ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪dϕ(1 + cos 2ϕ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin 2ϕ|2π‬‬ ‫] ‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪d3 rρ(r) = a‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪=q‬‬ ‫‪= q[2π +‬‬ ‫‪= 2πq‬‬ ‫‪ .2‬בקואורדינטות כדוריות‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫])‪δ(r − a)λ(θ)[δ(ϕ − ωt) + δ(ϕ − ωt − π‬‬ ‫‪a sin θ‬‬ ‫= )‪ρ(r, t‬‬ ‫פונקציות הדלתא מגבילות את הצפיפות לרדיוס ‪ a‬ולמישור ‪) ϕ = ωt‬יש שתי אפשרויות‬ ‫להיות במישור זה‪ ,‬האפשרות השנייה היא ‪ ,(ϕ = ωt + π‬כלומר למעגל במישור זה‪,‬‬ ‫כך שכל אינטגרל שכולל חלק מהטבעת הופך להיות‪,‬‬ ‫ˆ‬ ‫ˆ‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪r2 sin θdrdϕdθ δ(r − a)[δ(ϕ − ωt) + δ(ϕ − ωt − π)]λ(θ‬‬ ‫)‪= 2 dθ aλ(θ‬‬ ‫‪a sin θ‬‬ ‫כאשר הפקטור ‪ 2‬מגיע מהאינטגרציה על ‪ .ϕ‬לפיכך התשובה היא‬ ‫‪q‬‬ ‫‪cot θ‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫])‪ρ(r, t) = δ(r − a)[δ(ϕ − ωt) + δ(ϕ − ωt − π‬‬ ‫המטען הכולל הוא‪,‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪q‬‬ ‫‪cos θ = 2q‬‬ ‫‪dθ cos θ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 2q sin θ|π0 = 0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪dθ‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪Analytical Electromagnetism‬‬ ‫‪12‬־‪Fall Semester 2011‬‬ ‫‪ .3‬בקואורדינטות כדוריות‪,‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‬ ‫‪ρ(r) = ρ0 [Θ(r − a) − Θ(r − b)]Θ‬‬ ‫‪−θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ולכן המטען הכללי הינו‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 4π 3‬‬ ‫‪1 4π 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d rρ(r) = ρ0‬‬ ‫‪a −‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‬ ‫‪2π  3‬‬ ‫‪ρ 0 a − b3‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪Q‬‬ ‫פיתרון שאלה ‪4‬‬ ‫‪ .1‬בקואורדינטות גליליות‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪Iδ(r‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪J(r) = z‬‬ ‫משום שעבורו אינטגרל על משטח שניצב לזרם נותן לנו ‪.I‬‬ ‫ˆ‪ Jk‬וכי ‪ J ∼ r‬ולכן‪,‬‬ ‫‪ .2‬ידוע כי ‪z‬‬ ‫])‪Jz = αr[Θ(r − a) − Θ(r − b‬‬ ‫כדי לגלות את ‪ α‬נבצע את האיטגרל‪,‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪I‬‬ ‫)‪rdrdϕ Jz (r‬‬ ‫ˆ‬ ‫])‪= 2π dr αr2 [Θ(r − a) − Θ(r − b‬‬ ‫‪2πα 3‬‬ ‫) ‪(b − a3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪b‬‬ ‫= ‪dr r2‬‬ ‫‪= 2πα‬‬ ‫‪a‬‬ ‫לפיכך‪,‬‬ ‫‪3I‬‬ ‫) ‪2π(b3 − a3‬‬ ‫=‪α‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪3Ir‬‬ ‫])‪[Θ(r − a) − Θ(r − b‬‬ ‫) ‪2π(b3 − a3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪J=z‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern