Quantum Mechanics 2 - Summary - "2"2 Shankar Gasiorowicz 3...

This preview shows page 1 out of 38 pages.

Unformatted text preview: ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫סיכום החומר בקורס "תורת הקוונטים ‪"2‬‬ ‫מבוסס על ההרצאות כפי שהועברו ע"י פרופ' דוד ברגמן בסמסטר א' תשס"ו‪.‬‬ ‫מבוסס הרבה יותר על הספרים של ‪ Shankar, Gasiorowicz‬והאינטרנט‪.‬‬ ‫עלול להכיל בוטנים! לא לשימוש בימי חול‪.‬‬ ‫תוכן העניינים‬ ‫חיבור תנעים זוויתיים ‪ /‬תקיפות סיבוב ‪3 ....................................................................................................‬‬ ‫תיאור הבעיה ‪3 ...................................................................................................................................‬‬ ‫בסיס התנע הזוויתי הכולל ‪3 ..................................................................................................................‬‬ ‫הטרנספורמציה – מקדמי ‪4 ........................................................................................ Clebsch-Gordan‬‬ ‫פיתוח כללי של מקדמי ‪4 ................................................................................................................ CG‬‬ ‫דוגמא‪ :‬חיבור שני ספין‪-‬חצי ‪5 ................................................................................................................‬‬ ‫דוגמא‪ :‬חיבור תנע‪-‬זוויתי אורביטלי וספין חצי ‪5 ........................................................................................‬‬ ‫טנזורים פריקים ואי‪-‬פריקים ‪6 ...............................................................................................................‬‬ ‫משפט ‪6 .................................................................................................................... Winger-Eckart‬‬ ‫שיטות קירוב לחישוב מצבים סטציונריים ‪7 ...............................................................................................‬‬ ‫תורת ההפרעות הבלתי תלויה בזמן ‪7 .......................................................................................................‬‬ ‫תורת הפרעות של מצבים מנוונים ‪8 ....................................................................................................‬‬ ‫דוגמא‪ :‬תיקונים יחסותיים לאטום המימן ‪8 ............................................................................................‬‬ ‫דוגמא‪ :‬אינטראקציה ספין‪-‬מסילה ‪9 .....................................................................................................‬‬ ‫שיטת הוריאציה למצב היסוד ‪10 ............................................................................................................‬‬ ‫‪ – WKB‬הקירוב הקוואזי‪-‬קלאסי ‪10 ......................................................................................................‬‬ ‫מצבים קשורים ‪11 ..........................................................................................................................‬‬ ‫מעבר דרך מחסום ‪12 .......................................................................................................................‬‬ ‫חלקיקים זהים ‪13 ...................................................................................................................................‬‬ ‫סימטריה להחלפה ‪13 ...........................................................................................................................‬‬ ‫חלקיקים חסרי אינטראקציה‪13 ..............................................................................................................‬‬ ‫אטום ההליום ‪13 .................................................................................................................................‬‬ ‫בהעדר אינטראקציה ‪13 ....................................................................................................................‬‬ ‫דחיית אלקטרון‪-‬אלקטרון ‪14 .............................................................................................................‬‬ ‫עקרון האיסור ואינטראקציית חילוף ‪14 ...............................................................................................‬‬ ‫הטבלה המחזורית – ספקטרוסקופיה אטומית ‪15 ........................................................................................‬‬ ‫קונפיגורציות אלקטרוניות ‪15 ............................................................................................................‬‬ ‫טרמים ספקטרליים ‪16 .....................................................................................................................‬‬ ‫משוואות ‪17 ............................................................................................................ DAniel-Hund‬‬ ‫חוקי ‪17 ............................................................................................................................... Hund‬‬ ‫אינטראקציית ספין‪-‬מסילה ‪18 ................................................................................................................‬‬ ‫פיצול ‪18 ............................................................................................................................. Zeeman‬‬ ‫תהודה פרא‪-‬מגנטית ‪19 ...........................................................................................................................‬‬ ‫הפרצסיה של לארמור ‪19 ......................................................................................................................‬‬ ‫תהודה פראמגנטית ‪19 ..........................................................................................................................‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ל‪ ξρη-‬סיכומים בע"מ‪ .‬ט‪.‬ל‪.‬ח‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫תורת ההפרעות התלויה בזמן ‪20 ..............................................................................................................‬‬ ‫פיתוח בסדר ראשון ‪20 .........................................................................................................................‬‬ ‫כלל הזהב של פרמי ‪21 .....................................................................................................................‬‬ ‫הפרעה מחזורית ‪22 .........................................................................................................................‬‬ ‫ניצול שטח מת לטרנספורמים שימושיים ‪22 ..............................................................................................‬‬ ‫קוונטיזציה של השדה האלקטרומגנטי‪ ,‬אינטראקציה של קרינה עם חומר ‪23 .................................................‬‬ ‫תיאור קלאסי של השדות ‪23 ..................................................................................................................‬‬ ‫כיול קולון ‪23 .................................................................................................................................‬‬ ‫חופש כיול בקוונטים ‪24 .......................................................................................................................‬‬ ‫קוונטיזציה של השדות במרחב חופשי ‪24 .................................................................................................‬‬ ‫אינטראקציה בין חלקיקים לשדה‪25 ........................................................................................................‬‬ ‫פליטת פוטון בודד באטום המימן ‪25 ....................................................................................................‬‬ ‫קירוב הדיפול החשמלי )‪26 ........................................................................................................ (E1‬‬ ‫כללי ברירה למעברי דיפול חשמלי )‪26 ......................................................................................... (E1‬‬ ‫דוגמא‪ :‬מעברי ‪27 ............................................................................................................... 1s←2p‬‬ ‫בעיות פיזור ‪28 ......................................................................................................................................‬‬ ‫קירוב ‪29 .............................................................................................................................. Born‬‬ ‫תקפות קירוב ‪30 .................................................................................................................... Born‬‬ ‫פיתוח בגלים חלקיים ‪30 ...................................................................................................................‬‬ ‫משוואות יחסותיות לחלקיק עם ספין‪-‬חצי ‪33 .............................................................................................‬‬ ‫חלקיק חופשי יחסותי ‪33 .......................................................................................................................‬‬ ‫גבול אולטרה‪-‬רלטביסטי ‪33 ..............................................................................................................‬‬ ‫מצב הואקום ‪33 ..............................................................................................................................‬‬ ‫נספחים ‪34 ............................................................................................................................................‬‬ ‫אוסצילטור הרמוני ‪34 ..........................................................................................................................‬‬ ‫אופרטורי סולם ‪34 ..............................................................................................................................‬‬ ‫אופרטורים דיפרנציאליים בקואו' כדוריות ‪35 ...........................................................................................‬‬ ‫תנע זוויתי ‪35 .....................................................................................................................................‬‬ ‫ספין חצי‪ ,‬מטריצות פאולי‪36 .................................................................................................................‬‬ ‫פוטנציאל מרכזי ‪36 .............................................................................................................................‬‬ ‫המשפט הויריאלי ‪36 ............................................................................................................................‬‬ ‫אטומים דמויי‪-‬מימן ‪37 .........................................................................................................................‬‬ ‫מתמטיקה להמונים ‪37 ..........................................................................................................................‬‬ ‫קבועים פיזיקליים ‪38 ...........................................................................................................................‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ל‪ ξρη-‬סיכומים בע"מ‪ .‬ט‪.‬ל‪.‬ח‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫חיבור תנעים זוויתיים ‪ /‬תקיפות סיבוב‬ ‫תיאור הבעיה‬ ‫נניח מערכת פיזיקלית המכילה שתי דרגות חופש בלתי תלויות של תנע‪-‬זוויתי‪ J1 ,‬ו‪) J 2 -‬כל אחד מהנ"ל יכול להיות‬ ‫תנע‪-‬זוויתי אורביטלי )שני חלקיקים(‪ ,‬או ספין )שני ספינים(‪ ,‬או מעורב )חלקיק עם תנ"ז וספין(‪.‬‬ ‫התנע הזוויתי הכולל של המערכת נתון ע"י ‪ , J = J1 + J 2‬וקל לבדוק שהאופרטור ‪ J‬מקיים את יחסי החילוף‬ ‫המגדירים אופרטור תנ"ז אך ורק אם שני האופרטורים ‪ J1,2‬מקיימים אותם‪.‬‬ ‫האופרטורים ‪ J12 , J1z‬מלוכסנים בבסיס ‪) j1m1‬מימד ‪ ,( 2 j1 + 1‬והאופרטורים ‪ J 22 , J 2 z‬מלוכסנים בבסיס ‪j2 m2‬‬ ‫)מימד ‪ .( 2 j2 + 1‬דרגות החופש בלתי‪-‬תלויות‪ ,‬ולכן מרחב‪-‬הילברט המשותף לשני האופרטורים יהיה ממימד‬ ‫)‪ . ( 2 j1 + 1)( 2 j2 + 1‬זהו מרחב המכפלה החיצונית של שני המרחבים הנ"ל‪ ,‬והוא מסומן ‪. j1 ⊗ j2‬‬ ‫הבסיס הטריוויאלי למרחב הזה הוא אוסף כל מכפלות ה‪-ket-‬ים‪ . j1m1 , j2 m2 = j1m1 j2 m2 :‬קל לראות שבבסיס‬ ‫זה‪,‬‬ ‫האופרטור‬ ‫‪J z = J1 z + J 2 z‬‬ ‫אלכסוני‬ ‫)ערכים‬ ‫עצמיים‬ ‫) ‪( m1 + m2‬‬ ‫אבל‬ ‫(‪,‬‬ ‫האופרטור‬ ‫‪ J 2 = J12 + J 22 + 2 J1z J 2 z + J1+ J 2− + J1− J 2+‬ממש לא אלכסוני‪ .‬המטרה היא למצוא טרנספורמציה אוניטרית‬ ‫שתעביר אותנו לבסיס בו ‪ J 2‬אלכסוני‪.‬‬ ‫למה? זה תלוי במה רוצים לעשות! בד"כ מנסים למצוא בסיס בו המילטוניאן של מערכת פיזיקלית מסויימת הוא‬ ‫אלכסוני )כלומר‪ ,‬לפתור את הבעיה(‪ .‬אם נתון המילטוניאן שאינו מערבב בין שני התנעים הזוויתיים‪ ,‬אז אפשר )וכדאי(‬ ‫לעבוד בבסיס המכפלה‪ .‬אם לעומת זאת ההמילטוניאן כן מערבב )למשל ספין‪-‬מסילה(‪ ,‬חייבים לעבור לבסיס התנ"ז‬ ‫הכולל‪.‬‬ ‫בסיס התנע הזוויתי הכולל‬ ‫הואיל וקיים בסיס כזה‪ ,‬נסמנו ב‪ . jm, j1 j2 -‬בסיס זה מלכסן את האופרטורים ‪ , J 2 , J z , J12 , J 22‬והערכים העצמיים‬ ‫הם )‪j2 ( j2 + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j1 ( j1 + 1) ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j ( j + 1) , m,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬נהוג לרשום רק ‪ jm‬הואיל ו‪ j1,2 -‬לא משתנים‪.‬‬ ‫עבור ‪ j1 , j2‬נתונים )ונניח ‪ j ,( j1 ≥ j2‬מקבל את הערכים ‪) j = j1 − j2 , j1 − j2 + 1,… , j1 + j2 − 1, j1 + j2‬יש כאן‬ ‫‪ 2 j2 + 1‬ערכי ‪ j‬שונים(‪ ,‬ולכל ‪ m ,j‬מקבלים את הערכים ‪ 2 j + 1 ) m = − j ,… , j‬ערכים לכל ‪.(j‬‬ ‫) ‪2 j2 + 1)( 2 j1‬‬ ‫כמה איברי בסיס יש? נספור‪+ 2 j2 + 1 = ( 2 j1 + 1)( 2 j2 + 1) :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ל‪ ξρη-‬סיכומים בע"מ‪ .‬ט‪.‬ל‪.‬ח‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪∑ ( 2 j + 1) = 2‬‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫‪ ,‬כנדרש‪.‬‬ ‫‪j = j1 − j2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫הטרנספורמציה – מקדמי ‪Clebsch-Gordan‬‬ ‫נסדר בטבלה את המצבים בבסיס התנ"ז הכולל‪:‬‬ ‫‪j1 + j2 −1‬‬ ‫‪j1 − j2‬‬ ‫→‪j‬‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫‪j1 + j2 , j1 + j2‬‬ ‫‪j1 − j2 , j1 − j2‬‬ ‫‪j1 + j2 −1, j1 + j2 − 1‬‬ ‫‪j1 + j2 , j1 + j2 −1‬‬ ‫) ‪j1 − j2 , − ( j1 − j2‬‬ ‫)‪j1 + j2 −1, − ( j1 + j2 − 1‬‬ ‫)‪j1 + j2 , − ( j1 + j2 −1‬‬ ‫‪m‬‬ ‫↓‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫‪j1 + j2 −1‬‬ ‫)‪− ( j1 + j2 −1‬‬ ‫) ‪− ( j1 + j2‬‬ ‫) ‪j1 + j2 , − ( j1 + j2‬‬ ‫נבקש לבטא כל מצב מהטבלה באמצעות קומבינציה לינארית של איברי בסיס מכפלה‪.‬‬ ‫‪j1,2‬‬ ‫בסיס המכפלה הינו בסיס‪ ,‬ולכן תמיד אפשר לכתוב ‪j1m1 , j2 m2 jm‬‬ ‫‪j1m1 , j2 m2‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪. jm‬‬ ‫‪m1,2 =− j1,2‬‬ ‫הגורמים ‪ j1m1 , j2 m2 jm‬הם מקדמי ‪ ,CG‬וקיימות מספר תכונות כלליות חשובות של המקדמים‪:‬‬ ‫)‪ j1m1 , j2 m2 jm ≠ 0 (1‬רק אם ‪. j1 − j2 ≤ j ≤ j1 + j2‬‬ ‫)‪ j1m1 , j2 m2 jm ≠ 0 (2‬רק אם ‪. m = m1 + m2‬‬ ‫)‪ (3‬מוסכמה‪ :‬כולם ממשיים‪.‬‬ ‫)‪ (4‬מוסכמה‪ j1 j1 , j2 ( j − j1 ) jj :‬חיובי )זהו המקדם של הפיתוח של האיבר העליון בכל עמודה בטבלה(‪.‬‬ ‫)‪j1 ( − m1 ) , j2 ( − m2 ) j ( − m ) (5‬‬ ‫‪) j1m1 , j2 m2 jm = ( −1) 1‬אז צריך לעבוד רק עבור ‪.( m ≥ 0‬‬ ‫‪j + j2 − j‬‬ ‫פיתוח כללי של מקדמי ‪CG‬‬ ‫מתחילים מהמצב השמאלי העליון בטבלה‪ .‬למצב זה יש ‪ , j = j1 + j2 , m = j1 + j2‬ולכן יש רק מצב מכפלה אחד‬ ‫שמתאים לו – ‪) j = j1 + j2 , m = j1 + j2 = j1 j1 , j2 j2‬המקדם הוא ‪ 1‬לפי מוסכמת ‪.(Condon-Shortley‬‬ ‫את כל שאר המצבים באותה העמודה מקבלים ע"י הפעלת האופרטור ‪ J − = J1− + J 2−‬על המצב העליון‪ .‬למשל עבור‬ ‫המצב הבא‪2 ( j1 + j2 ) j1 + j2 , j1 + j2 − 1 :‬‬ ‫= ‪ . J − j1 + j2 , j1 + j2‬נפעיל את ‪ J1− + J 2−‬על מצב המכפלה‪:‬‬ ‫‪j1‬‬ ‫‪j2‬‬ ‫‪j1 ( j1 −1) , j2 j2 +‬‬ ‫)‪j1 j1, j2 ( j2 −1‬‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫= ‪j1 j1, j2 j2‬‬ ‫) ‪( J1− + J2−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪2( j1 + j2‬‬ ‫= ‪j1 + j2 , j1 + j2 −1‬‬ ‫וכך ממשיכים במורד העמודה‪...‬‬ ‫ברור שבהינתן הקומבינציה המתאימה למצב העליון בכל עמודה‪ ,‬נוכל לקבל את שאר איברי העמודה באותה דרך‪.‬‬ ‫איך נקבל את האיבר העליון בעמודה השנייה? לאיבר זה יש ‪ , j = j1 + j2 − 1, m = j1 + j2 − 1‬ולכן יש שני מצבי‬ ‫מכפלה שמתאימים – )‪ j1 j1 , j2 ( j2 − 1‬ו‪ . j1 ( j1 − 1) , j2 j2 -‬כלומר יש לקבוע שני מקדמים‪ .‬שתי משוואות על‬ ‫שני המקדמים יתקבלו מהדרישה שהמצב יהיה מנורמל‪ ,‬ומהדרישה שהמצב יהיה אורתוגונלי למצב הקודם עם‬ ‫כל הזכויות שמורות ל‪ ξρη-‬סיכומים בע"מ‪ .‬ט‪.‬ל‪.‬ח‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫‪) m = j1 + j2 − 1‬כלומר ‪ .( j1 + j2 , j1 + j2 − 1‬בעזרת שני התנאים‪ ,‬ובשילוב המוסכמות שצויינו‪:‬‬ ‫‪j2‬‬ ‫‪j1 ( j1 − 1) , j2 j2‬‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫‪j1‬‬ ‫‪j1 j1 , j2 ( j2 − 1) −‬‬ ‫‪j1 + j2‬‬ ‫= ‪j1 + j2 − 1, j1 + j2 − 1‬‬ ‫כעת ברור מה צריך לעשות! בעמודה ה‪) n-‬המתאימה לערך ‪ ,( j = j1 + j2 − n + 1‬מוצאים את ‪ n‬המקדמים של‬ ‫הקומבינציה הלינארית המתאימה למצב העליון ‪ j = j1 + j2 − n + 1, m = j1 + j2 − n + 1‬בעזרת ‪ n − 1‬המשוואות‬ ‫המוכתבות ע"י הדרישה לאורתוגונליות בין המצב הזה ל‪ n − 1 -‬המצבים עם ‪ m = j1 + j2 − n + 1‬בכל העמודות‬ ‫הקודמות‪ ,‬ועוד משוואה אחת הדואגת לנרמול המצב‪ .‬את שאר המצבים בעמודה מקבלים מהפעלת ‪ , J −‬וכולם שמחים‪.‬‬ ‫אולי זה המקום לציין‪ :‬יש שני כללי נסיגה ארוכים במצגת של ברגמן‪ ,‬ומצורפת בקובץ נפרד טבלה של הרבה מקדמי‬ ‫‪ CG‬שמצאתי באינטרנט‪ .‬לא ממש פשוט לקרוא אותה‪ ,‬והם השמיטו שורשים מהכל‪ ,‬אבל דחסו שם הרבה‪.‬‬ ‫דוגמא‪ :‬חיבור שני ספין‪-‬חצי‬ ‫שני אופרטורי ספין‪-‬חצי ‪ . S1 , S 2‬נסמן מייד את מצבי המכפלה כ‪. ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓ -‬‬ ‫אופרטור הספין הכולל ‪ . S = S1 + S 2‬נסמן את בסיס הספין הכולל ב‪ , sm -‬כאשר ‪. s = 0,1‬‬ ‫יש שלושה מצבים עם ‪s = 1‬‬ ‫)‪ , ( m = −1, 0,1‬הנקראים טריפלט‪) :‬‬ ‫↑↑ = ‪⎧ 1,1‬‬ ‫⎪‬ ‫‪1‬‬ ‫⎪‬ ‫↑↓ ‪↑↓ +‬‬ ‫= ‪. Triplet : ⎨ 1, 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎪‬ ‫↓↓ = ‪⎪ 1, −1‬‬ ‫⎩‬ ‫המצב ‪ s = 0‬נקרא סינגלט‪ ,‬והוא חייב להיות אורתוגונלי ל‪) : 1, 0 -‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫↑↓ ‪↑↓ −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪. Singlet : 0, 0‬‬ ‫דוגמא‪ :‬חיבור תנע‪-‬זוויתי אורביטלי וספין חצי‬ ‫אופרטור תנ"ז אורביטלי ‪ L‬עם בסיס ‪ lm‬ואופרטור ספין‪-‬חצי ‪ S‬עם בסיס ↓ ‪. ↑ ,‬‬ ‫אופרטור התנ"ז הכולל ‪ J = L + S‬עם בסיס ‪ , jm j‬כאשר ‪. j = l − 12 , l + 12‬‬ ‫מצבי הבסיס הכולל‪lm j − 12 ↑ :‬‬ ‫‪l ± m j + 12‬‬ ‫‪2l + 1‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ל‪ ξρη-‬סיכומים בע"מ‪ .‬ט‪.‬ל‪.‬ח‪.‬‬ ‫‪lm j + 12 ↓ ±‬‬ ‫‪l ∓ m j + 12‬‬ ‫‪2l + 1‬‬ ‫= ‪. j = l ± 12 , m j‬‬ ‫‪5‬‬ ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫טנזורים פריקים ואי‪-‬פריקים‬ ‫אופרטורים סקלריים ‪ S‬אינוריאנטים תחת סיבובים‪. [ J ± , S ] = [ J z , S ] = 0 :‬‬ ‫אופרטורים וקטוריים ‪ V‬מסתובבים לפי‪. ⎡⎣Vi , J j ⎤⎦ = i ε ijkVk :‬‬ ‫אופרטורים טנזוריים ‪ T‬מסתובבים בצורות יותר מציקות‪ .‬אופרטור טנזורי ספרי מדרגה ‪ k‬כולל ‪ 2k + 1‬רכיבים‪,‬‬ ‫ומסומן ‪) Tkq‬כאשר ‪ ,( q = −k ,… , k‬ותחת סיבובים הוא מתנהג כמו הרמוניות ספריות‪ ,‬או כמו ‪j = k , m = q‬‬ ‫)נסמן ‪ .( kq‬זהו טנזור אי‪-‬פריק‪ ,‬ומתקיים )כהגדרה( ‪qTkq‬‬ ‫= ⎦⎤ ‪( k ∓ q)( k ± q +1)Tkq±1 , ⎡⎣ J z ,Tkq‬‬ ‫‪. ⎡⎣ J± , Tkq ⎤⎦ = ±‬‬ ‫הקטע של אופרטורים טנזוריים ספריים כאלה הוא שאם מפעילים את ‪ Tkq‬על מצב ‪ α) α jm‬כולל את כל שאר המס'‬ ‫הקוונטיים שאולי מתארים את המצב(‪ ,‬זה כאילו מחברים למצב הזה תנע‪-‬זוויתי ) ‪ , ( k , q‬ולכן התוצאה של הפעולה‬ ‫הזאת מצייתת לחוקי חיבור התנע הזוויתי‪ .‬כלומר‪ ,‬אם נגדיר ‪ , α ′ j ′m′ = Tkq α jm‬נוכל לדעת בודאות )בלי לפרט‬ ‫את הפעולה המדוייקת( שמתקיים ‪ k − j ≤ j ′ ≤ k + j‬וש‪ . m′ = m + q -‬אלה בעצם כללי בחירה‪.‬‬ ‫למשל‪ T00 ,‬הוא אופרטור סקלרי‪ ,‬ולכן לתוצאה של ‪ T00 jm‬יהיה ‪ j ′ = j‬ו‪. m′ = m -‬‬ ‫האופרטור ‪ ( q = 1, 0, −1) T1q‬הוא אופרטור וקטורי‪ ,‬והוא קשור לרכיבים הקרטזיים של האופרטור הוקטורי לפי‬ ‫‪≡ V1±1 , T10 = Vz ≡ V10‬‬ ‫‪Vx ± iVy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ . T1±1 = ∓‬מכאן שהפעולה של ‪ Vz‬על מצב ‪ jm‬אינה משנה את ‪ ,m‬בעוד ‪ j‬יכול‬ ‫להשתנות ל‪ . j′ = j, j ± 1 -‬הפעלה של ‪ Vx‬או ‪ Vy‬תמיד תשנה את ‪ m‬ל‪ , m′ = m ± 1 -‬ו‪ j-‬יוכל להשתנות כמו עם ‪. Vz‬‬ ‫משפט ‪Winger-Eckart‬‬ ‫אלמנטי המטריצה של אופרטורים טנזוריים ספריים ‪ Tkq‬תחת מצבים עצמיים של התנע הזוויתי הכולל )כאשר ‪α1,2‬‬ ‫כולל מספרים קוונטיים נוספים לתיאור המצבים( פרופורציוניים למקדמי ‪ CG‬המכילים את כל התלות ב‪:q , m1,2 -‬‬ ‫‪j2 m2 kq, j1m1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α 2 j2 T ( k ) α1 j1‬‬ ‫‪2 j2 + 1‬‬ ‫= ‪α 2 j2 m2 Tkq α1 j1m1‬‬ ‫כאשר ‪ α 2 j2 T ( k ) α1 j1‬אלמנט המטריצה המצומצם מכיל את הדינמיקה של האופרטור‪.‬‬ ‫המשפט שימושי לקבלת כללי בחירה – בלי לדעת שום דבר על הדינמיקה של האופרטור‪ ,‬אלא רק את הדרגה שלו‪,‬‬ ‫אפשר לדעת איזה מעברים אסורים כתוצאה מהתאפסויות של מקדמי ‪ .CG‬כמובן שגם אלמנט המטריצה המצומצם‬ ‫יכול להתאפס )אפילו כאשר ‪ CG‬לא מתאפס‪ ,‬שם זה מעניין(‪ ,‬למשל במקרה של אופרטור מומנט הדיפול החשמלי‬ ‫)האלמנט המצומצם מתאפס כאשר ‪ , j1 = j2‬למרות שמקדם ‪ CG‬אינו מתאפס(‪.‬‬ ‫מקרה פרטי חשוב הוא כאשר מדובר באופרטור וקטורי ‪) A‬עפ"י הגדרה ‪ ,( ⎡⎣ J i , Aj ⎤⎦ = i ε ijk Ak‬ואז משתמשים במה‬ ‫שנקרא משפט ההשלכה ‪ /‬ההטלה עבור אלמנטי מטריצה שווי ‪:j‬‬ ‫‪jm J k jm′‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ל‪ ξρη-‬סיכומים בע"מ‪ .‬ט‪.‬ל‪.‬ח‪.‬‬ ‫‪j J⋅A j‬‬ ‫)‪j ( j + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪jm Ak jm′‬‬ ‫‪6‬‬ ‫סיכום לקראת מבחן מסכם בקורס "תורת הקוונטים ‪ ,"2‬תשס"ו‬ ‫שיטות קירוב לחישוב מצבים סטציונריים‬ ‫תורת ההפרעות הבלתי תלויה בזמן‬ ‫יהי ‪ H 0‬המילטוניאן שאנו יודעים לפתור במדוייק‪ ,‬ויש לנו את סט המצבים העצמיים‬ ‫)‪ . En( 0‬מתקיים‬ ‫)‪ φn( 0‬והאנרגיות העצמיות‬ ‫)‪ , H 0 φn( 0) = En( 0) φn( 0‬ונקרא ל‪" H 0 -‬ההמילטוניאן הבלתי מופרע"‪ ,‬ל‪" φn( 0) -‬המצבים הבלתי‬ ‫מופרעים"‪ ,‬ול‪" En( 0) -‬האנרגיות הבלתי מופרעות"‪ .‬המצבים אורתונורמליים‪. φn( 0) φm( 0) = δ mn :‬‬ ‫כעת נבחן המילטוניאן חדש ‪ , H = H 0 + λ H1‬כאשר ‪ H1‬איזושהי תוספת‪ ,‬או...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern