QM2-formula - 2(2008-1 CG j1m1 j2 m2 JMj1 j2 e S B H B g e...

This preview shows page 1 out of 4 pages.

Unformatted text preview: ‫דף נוסחאות בקוונטים ‪) 2‬אוניברסיטת ת"א‪(2008 ,‬‬ ‫‪-1-‬‬ ‫מקדם ‪CG‬‬ ‫תהודה פרה‪-‬מגנטית‬ ‫‪j1m1 j2 m2 JMj1 j2‬‬ ‫מסומן בקיצור כך‬ ‫האינטראקציה של ספין עם שדה מגנטי היא‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ e Sˆ B‬‬ ‫‪H ˆ B g e‬‬ ‫‪2 me c‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נגדיר את המגנטון של בוהר‪:‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2me c‬‬ ‫ואז‬ ‫‪‬‬ ‫‪B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫תחת שדה מגנטי חיצוני קבוע‬ ‫בציר ‪ Z‬ערך התצפית של ‪S‬‬ ‫הוא‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j, m‬‬ ‫המצבים‬ ‫עם‬ ‫‪ q, j k‬‬ ‫‪:m‬‬ ‫תכונות של מקדמי ‪CG‬‬ ‫)‪ (1‬לא מתאפס רק אם ‪j1 j2 J j1 j2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪ (2‬לא מתאפס רק אם ‪M m1 m2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Sz 12 a b‬‬ ‫)‪ (4‬המקדם‬ ‫†‬ ‫‪DTq D Dq ' qTq‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪j1 j1 , j2 J j1 JJ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ J nˆ / ‬‬ ‫‪j, m‬‬ ‫‪ j‬‬ ‫‪Dm ' m j, m ' D R j , m j , m ' e‬‬ ‫אוסף של ‪ 2k+1‬אופרטורים שמקיימים‪:‬‬ ‫‪ J z , Tq k qTq k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ J , Tq k k k 1 q q 1Tqk1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫חיובי )מוסכמה(‬ ‫)זהו המקדם של הפיתוח של האיבר העליון בכל עמודה בטבלה(‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪ (5‬הזוגיות ב ‪ m-‬היא הבאה ) אז אפשר לעבוד רק עבור‬ ‫‪(m‬‬ ‫משפט ויגנר ‪-‬אקארט )‪(WE‬‬ ‫‪j j2 J‬‬ ‫‪j1 m1 , j2 m2 J M ‬‬ ‫‪Sx ab sin Lt ‬‬ ‫‪S y ab cos Lt ‬‬ ‫כאשר‬ ‫)‪ (3‬כולם ממשיים )מוסכמה(‬ ‫‪ L 2 B B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫‪: Tq‬‬ ‫אוסף של ‪ 2k+1‬אופרטורים שעוברים טרנספורמצית סיבוב כמו‬ ‫'‪q‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪H B ˆ B‬‬ ‫תדירות לארמור היא‬ ‫‪j1m1 j2m2 JM‬‬ ‫אופרטור טנזורי כדורי אי פריק מדרגה ‪k‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j1m1 , j2 m2 JM 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ j T k j kqjm j m‬‬ ‫‪2 j 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j1 , m1 , j2 , m2 J , M J‬‬ ‫‪ jm Tkq jm ‬‬ ‫‪m1 m2 M J‬‬ ‫אם בנוסף נפעיל שדה מגנטי חלש בכיוון ניצב )למשל‬ ‫‪B1 xˆ cos t‬‬ ‫כאשר‬ ‫( נקבל‪:‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪H ge‬‬ ‫‪ S z B0 S x B1 cos t ‬‬ ‫‪2me c ‬‬ ‫נגדיר‬ ‫‪A t a t eiL t / 2‬‬ ‫‪ iLt / 2‬‬ ‫תהודה תתקבל כאשר‬ ‫ו אז‬ ‫‪At , B t ‬‬ ‫‪B t b t e‬‬ ‫‪L L‬‬ ‫‪ B B1 / ‬‬ ‫מתנודדים בין ‪ 0‬ל ‪ 1-‬בתדירות‬ ‫‪‬‬ ‫פולס ‪ – π‬מתקבל כאשר‬ ‫כיוונם‪.‬‬ ‫פולס ‪ – π/2‬מתקבל כאשר‬ ‫קיבלנו כפולה של מקדם ‪ CG‬כפול מקדם נוסף‪,‬ה תלוי ב ‪-‬‬ ‫מציאת מקדמי ‪CG‬‬ נתחיל מהמצב בעל‬ ‫‪ J‬מקסימלי‬ ‫‪J max M max j1 , m1 j1 , j2 , m2 j2‬‬ ‫נפעיל את‬ ‫אופרטור ההורדה‬ ‫‪J J max , M max (...) J max , M max 1‬‬ ‫אבל מצד שני נקבל‬ ‫‪J J max , M max ( J1 J 2 ) j1, j1 , j2 , j2‬‬ ‫נשווה את הביטויים וכך נקבל מקדם ‪ CG‬ראשון עבור ‪. M max 1‬‬ ‫‪ . 1t‬עבור פולס כזה הספינים מבצעים‬ ‫סיבוב של ‪ 90‬מעלות סביב ציר ‪.Z‬‬ ‫לאחר הפעלת פולס כזה‪ ,‬הספינים אינם במצב שיווי המשקל שלהם‪ ,‬לכן הם‬ ‫יסתובבו בתדירות לארמור סביב השדה הקבוע וישדרו גלים א"מ עד להגעה‬ ‫לשיווי משקל‪ .‬עוצמת הקרינה דועכת בקצב שתלוי באינטראקציה בין הספין‬ ‫לסביבתו‪ .‬לכן לפי קצב דעיכת הקרינה הא"מ אפשר לדעת באיזה חומר נמצא‬ ‫הספין‪.‬‬ ‫קיים עוד מצב עם ‪ , J J max 1‬נמצא אותו ע"י דרישת אורתונורמליות למצב‬ ‫שמצאנו ופסילת מצבים אורתונורמליים שלא מקיימים את התכונות של מקדמי‬ ‫‪ .CG‬אפשר להמשיך למצוא רמות באופן הזה ע "י הפעלת אופרטור ההורדה על‬ ‫שני המצבים שמצאנו‪ .‬נקבל את הרמות כפי שמשורטט באיור‪ ,‬כאשר הנקודה‬ ‫בקצה ימני עליון היא הרמה העליונה‪.‬‬ ‫שלשת אופרטורים ‪ J1 , J 2 , J 3‬תקרא תנע זוויתי אם מתקיים‪:‬‬ ‫מקדמי ‪ CG‬עבור ספין של ‪ 2‬אלקטרונים‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 1, M 1, 12 , 12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 1, M 1, 12 , 12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 1, M 0, 12 , 12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S 0, M 0, 12 , 12‬‬ ‫מכאן ניתן להגדיר את אופרטורי הסולם ולקבל יחסי חילוף נוספים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J 2, Jz 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ J z , J J ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪J 2, J 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ J , J 2 J z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ J 2 , J 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫אופרטורי הורדה והעלה‬ ‫‪J J x iJ y‬‬ ‫יחסים שימושיים נוספים‬ ‫‪J 2 J z2 12 J J J _ J ‬‬ ‫‪J 2 J z2 J z J J ‬‬ ‫אופרטור מדידת היטל הספין בזווית ‪ , ‬ביחס לציר ‪:z‬‬ ‫‪Oˆ S z cos S x sin cos S y sin sin ‬‬ ‫חיבור תנעים זוויתיים‬ ‫בסיס התנעים הזוויתיים‬ ‫יתקבל משום ש‬ ‫ממשפט זה אפשר להסיק מידע רב על אופרטורים‪ ,‬כמו למשל עבור איזה‬ ‫מצבים עצמיים הם יתאפסו‪ ,‬או יחסים בין ערכי תצפית של ‪ 2‬אופטורים שהם‬ ‫טנזורים אי פריקים מאותה דרגה‪.‬‬ ‫משפט ההטלה‬ ‫עבור אופרטור וקטורי ‪ A‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪j JA j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪jm 2‬‬ ‫‪jm J q jm‬‬ ‫‪ j j 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪jm Aq‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪J‬‬ ‫יחס שימושי‬ ‫) ‪J ( J1 J 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‪2‬‬ ‫‪J J J 2 J1z J 2z J1 J 2 J1 J 2‬‬ ‫‪Jz‬‬ ‫אלכסוני אבל‬ ‫‪J2‬‬ ‫תורת ההפרעות הלא מנוונת‬ ‫שיטות קירוב לקירוב מצבים ואנרגיות של המילטוניאן ידוע שנוספת לו הפרעה‬ ‫קטנה באנרגיה‪ .‬השיטה עובדת עבור מצבים ללא ניוון‪.‬‬ ‫ההמילטוניאן המתוקן‬ ‫‪ H 0 H1 ‬‬ ‫התיקון הראשון למצב העצמי‬ ‫אינו מנוון(‬ ‫) אם המצב ‪ 0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טנזורים קרטזיים‪ ,‬ספריים ואי פריקים‬ ‫‪H H 0 H1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪En n H1 n‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪m0 H1 n 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪En 0 Em0 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪D exp i J nˆ / ‬‬ ‫אי פריקות אופרטור הסיבוב‬ ‫ניתן להוכיח כי אופרטור הסיבוב הוא מטריצת בלוקים אלכסונית‪ ,‬כאשר‬ ‫הבלוקים בגודל ‪ .2j+1‬הבלוקים האלה לא ניתנים לפירוק נוסף‪ ,‬כלומר לא‬ ‫קיימת תת קבוצה של ‪ j‬שהיא אינוורי אנטית תחת סיבובים‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m 0 H1 n 0‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪En ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m n‬‬ ‫תורת ההפרעות המנוונת‬ ‫אם יש מצבים מנוונים‪ ,‬אז לא ניתן להשתמש בתורת ההפרעות הלא מנוונת‬ ‫ו צריך ללכסן את תת מטריצת ההפרעה עבור מצבים אלו‪ .‬צריך לשים לב שיש‬ ‫מקרים בהם ההפרעה כבר מלוכסנת בבסיס המצבים העצמיים המנוונים ואז‬ ‫אפשר מיד להשתמש בתורת ההפרעות הלא מנוונת‪.‬‬ ‫נדרוש מ"ע חדשים שבהם ההפרעה‬ ‫מלוכסנת‬ ‫המצבים יהיו צירופים ליניאריים של‬ ‫המ"ע המנוונים‬ ‫הגדרה של אופרטור וקטורי‬ ‫‪ m‬‬ ‫‪En Em‬‬ ‫נגדיר את מטריצת ההפרעה לפי‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ V‬הוא וקטור אם תוצאת הפעלת טרנס' סיבוב כלשהי עליו ‪V RV‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪mn‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪J z J1 z J 2 z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תורת ההפרעות הלא תלויה בזמן‬ ‫התיקון השני לאנרגיה‬ ‫‪J1 z j1m1 j2 m2 m1 j1m1 j2 m2‬‬ ‫הוא‬ ‫* בבסיס זה האופרטור‬ ‫‪m k m m k‬‬ ‫‪k q k‬‬ ‫* טבלאות לחישוב מקדמי ‪ CG‬נמצאות ב גזירוביץ' עמ ‪261-262‬‬ ‫‪j1m1 j2 m2 j1m1 j2 m2‬‬ ‫כל אופרטור פועל רק על‬ ‫החלקיק המתאים‬ ‫האופרטור‬ ‫תנאי פחות מחמיר לאי‬ ‫התאפסות )כאשר ‪ q‬אינו ידוע(‬ ‫התיקון הראשון לאנרגיה‬ ‫שלושת המצבים הראשונים נקראים מצבי הטריפלט‪ .‬והמצב הרביעי נקרא‬ ‫מצב הסינגלט‪ .‬נשים לב‪ ,‬שאם ניצור שני אלקטרונים במצב הסינגלט ואז נמדוד‬ ‫את הספין של אחד מהם‪ ,‬השני יהיה חייב לקבל את הספין ההפוך‪.‬‬ ‫אופרטור הסיבוב בזווית ‪‬‬ ‫סביב ציר כלשהו נגד כיוון השעון‬ ‫עבור ‪ 2‬חלקיקים‪ ,‬המצב המשולב הוא מכפלה פנימית של המצבים שלהם‪.‬‬ ‫כלומר יש מרחב הילברט חדש המורכב מכל הקומבינציות של מצבי החלקיקים‪.‬‬ ‫ניתן לתאר את המצבים בשני בסיסים‪:‬‬ ‫האופרטור‬ ‫הביטוי לא מתאפס רק אם‬ ‫‪jk j' j k‬‬ ‫‪Aij 13 Tr A ij 12 Aij A ji 21 Aij A ji 13 Tr A ij ‬‬ ‫‪ J i , J j i ijk J k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הביטוי לא מתאפס רק אם‬ ‫‪m' m q‬‬ ‫חלוקת מטריצה ‪ 3x3‬ל ‪ 3-‬טנזורים כדוריים אי‪-‬פריקים‪:‬‬ ‫תנע זוויתי‬ ‫‪Jz‬‬ ‫‪ ', j , j ', k‬‬ ‫אך‬ ‫איננו תלוי ב ‪ . m, m ', q -‬באופן דומה למקדמי ‪ CG‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪. 1‬‬ ‫‪ . 1t‬עבור פולס כזה הספינים הופכים את‬ ‫‪ /2‬‬ ‫מכאן נסיק‪:‬‬ ‫' ‪j 0m0 | j ', m ' jj ' mm‬‬ ‫‪ j T k j‬אלמנט מטריצה מצומצם‪.‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪Vij ni H1 nj ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V E(1)‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Aj n0j‬‬ ‫המצבים העצמיים החדשים יהיו הוקטורים העצמיים של מטריצת ההפרעה ‪.V‬‬ ‫הערכים העצמיים יהיו התיקונים באנרגיה של המצבים העצמיים המתאימים‪.‬‬ ‫נשים לב ש קיים פתרון רק כאשר הדטרמיננטה מתאפסת‪.‬‬ ‫מקיימת לכל ‪ α‬ולכל ‪:i=1,2,3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ Vˆi ' Rij Vˆj ‬‬ ‫אינו אלכסוני‬ ‫‪j 1‬‬ ‫* אופרטורים ממרחבי הילברט שונים הם חלופיים‬ ‫שיטת הוריאציה‬ ‫שיטת קירוב נוספת לחישוב מצבים סטציונריים‬ ‫הגדרה שקולה של אופרטור וקטורי‬ ‫בסיס התנע הזוויתי הכולל‬ ‫* בבסיס זה האופרטורים‬ ‫‪JMj1 j2‬‬ ‫‪J 2 , J z , J12 , J 22‬‬ ‫שלשת אופרטורים‬ ‫הקשר הבא‪ ,‬כאשר‬ ‫אלכסוניים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V V1 V2 V3 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ J‬תנע זוויתי‪:‬‬ ‫תקרא אופרטור וקטורי אם מתקיים‬ ‫‪Vi , J j i ijkVk‬‬ ‫* בסיס זה יהיה מועדף עלינו מפני שאפשר לחשב בו את התנע הזוויתי הכולל‪.‬‬ ‫* לכל מצב‬ ‫‪ JMj1 j2‬מתאימים ‪ 2 j1 1 2 j2 1‬מצבים מהבסיס הקודם‬ ‫מעבר לבסיס התנע הזוויתי הכולל‬ ‫כדי לעבור בין בסיס לבסיס משתמשים במקדמי ‪:Clebsh-Gordan‬‬ ‫‪j1‬‬ ‫‪j1m1 j2 m2 JMj1 j2‬‬ ‫‪j1m1 j2 m2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪JMj1 j2 ‬‬ ‫הגדרה של אופרטור סקלרי‬ ‫אופרטור ‪ S‬יקרא אופרטור סקלרי אם מתקיים לכל ‪:i‬‬ ‫‪ S, Ji 0‬‬ ‫* אופרטור יכול להיות סקלרי עבור תנע זוויתי אחד ווקטורי עבור אחר‬ ‫‪m1 j1 m2‬‬ ‫‪-1-‬‬ ‫נגדיר פונקציונל‬ ‫לאנרגיה העצמית‬ ‫מתקיים שהפונקציונל יהיה גדול‬ ‫מאנרגית מצב היסוד‬ ‫‪ H‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪E ‬‬ ‫‪E E0‬‬ ‫ננחש פונקציית מבחן על בסיס פיסיקלי )זוגיות‪ ,‬דעיכה באינסוף‪ ,‬סימטריה‪,‬‬ ‫תלות זוויתית מסוימת וכו' (‪ .‬נבחר פרמטריזציה לכל פונקציה‪ .‬לאחר קבלת ביטוי‬ ‫לאנרגיה המתקבלת‪ ,‬נגזור לפי כל פרמטר ונדרוש התאפסות לקבלת אנרגיה‬ ‫מינמלית‪ .‬נעשה זאת‪ ,‬מפני שתמיד מובטח לנו שהאנרגיה תהיה גבוהה‬ ‫מאנרגיית מצב היסוד‪.‬‬ ‫‪ ‬ככל שנבחר פ' מבחן עם יותר פרמטרים כך נקבל קירוב יותר טוב‪.‬‬ ‫דף נוסחאות בקוונטים ‪) 2‬אוניברסיטת ת"א‪(2008 ,‬‬ ‫סימטריה של חלקיקים זהים‬ ‫נניח המילטוניאן סימטרי‬ ‫להחלפת חלקיקים‬ ‫‪-2-‬‬ ‫ספקטרוסקופיה אטומית‬ ‫‪N‬‬ ‫‪H 1, 2, , N H i i ‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫כאשר ההמילטוניאן החד‬ ‫חלקיקי הוא‬ ‫‪pi2‬‬ ‫‪ V i ‬‬ ‫‪2m 2‬‬ ‫ההגדרה של פונקצית גל‬ ‫‪S‬‬ ‫טרמינולוגיה‪:‬‬ ‫קליפה‬ ‫הגדרה של אופרטור‬ ‫כל המצבים של אלקטרונים עם אותו ערך ‪.n‬‬ ‫יש ‪ n 2‬מצבים כאלו‬ ‫‪Hi i ‬‬ ‫‪Oˆ I eiH0t / Oˆ S e iH0t / ‬‬ ‫ההתפתחות בזמן‬ ‫של פונקצית הגל‬ ‫תת ‪-‬קליפה‬ ‫כל המצבים של אלקטרונים עם אותם ערכי ‪.n,l‬‬ ‫יש )‪ 2(2l+1‬מצבים כאלו‪.‬‬ ‫אורביטל‬ ‫כל המצבים של אלקטרונים עם אותם ערכי ‪.n,l,m‬‬ ‫יש ‪ 2‬מצבים כאלו‬ ‫ניתן להביע את המצבים העצמיים של ‪ H‬הרב חלקיקי ב אמצעות רכיב סימטרי‬ ‫ואנטי ‪-‬סימטרי‪.‬‬ ‫עבור זמנים קצרים‬ ‫מתקבל‬ ‫‪To be completed....‬‬ ‫רכיב אנטי סימטרי‬ ‫‪ P i ..i i ... i ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ,t‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪tf‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪VI , 0 d‬‬ ‫‪i ti‬‬ ‫‪ , t I .0 ‬‬ ‫* הנוסחא מתקבלת לאחר אינטרציה וקירוב פ' הגל לתמונת שרדינגר‬ ‫‪m‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ A N 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הסיכוי למעבר ממצב‬ ‫‪tf‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪VI , 0 d‬‬ ‫‪i ti‬‬ ‫‪ i1 ..iN ‬‬ ‫טרם ספקטראלי‬ ‫עבור פרמיונים‪ ,‬נשתמש ברכיב הא"ס נקרא דטרמיננטת סלייטר ויוצר את עקרון‬ ‫האיסור של פאולי‪.‬‬ ‫‪ VI t , t‬‬ ‫‪I‬‬ ‫ישנם סימונים לערכי ‪ l‬השונים בעזרת אותיות לועזיות‪:‬‬ ‫רכיב סימטרי‬ ‫‪ eiH0t / , t‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ ,t‬‬ ‫‪LJ‬‬ ‫‪2 S 1‬‬ ‫זוהי קונפיגרציה אפשרית של אלקטרונים בתת קליפה‪ .‬טרם ספקטרלי מסומן‬ ‫לפי התנעים הזוויתים הכוללים‪ .‬כל טרם כולל בתוכו ‪ 2J+1‬מצבים‪ ,‬שהם‬ ‫צירופים לינאריים של פונקציות גל של אלקטרונים יחידים‪ .‬טרמים ספקטרלים‬ ‫מעניינים‪ ,‬כי האנרגיה של תת הקליפה‪ ,‬והפרשי האנרגיות במעברים כתוצאה‬ ‫מעירור‪ ,‬תלויים בתנעים הזוויתיים הכוללים‪.‬‬ ‫הסיכוי למעבר מצב‬ ‫‪m‬‬ ‫מעבר ממצב‬ ‫‪2‬‬ ‫אלקטרונים הם פרמיונים‪ ,‬לכן הם חייבים להיות רק במצבים רב חלקיקיים‬ ‫אנטי ‪-‬סימטריים ומקיימים את עקרון האיסור של פאולי‪.‬‬ ‫‪l1 l2 L l1 l2‬‬ ‫‪mn) n‬‬ ‫למצב‬ ‫‪LS J LS‬‬ ‫‪s1 s2 S s1 s2‬‬ ‫‪ , t I .0 ‬‬ ‫( אחר זמן ‪ t‬הוא‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪exp imn n V m d‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪Pmn t ‬‬ ‫‪mn En Em / ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫תת קליפה מסומנת כך‪nx :‬‬ ‫כאשר ‪ e‬מספר האלקטרונים המאכלסים את תת הקליפה‪ ,‬ו ‪ x‬היא האות‬ ‫המייצגת את הערך של ‪.l‬‬ ‫תיקונים לאנרגיה של אטום המימן‬ ‫ההמילטוניאן של אטום המימן‬ ‫הוא‬ ‫והאנרגיות הן‬ ‫‪p 2 Ze 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪( z )2 13.6eV‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫כאשר קבוע המבנה הדק‬ ‫הוא‬ ‫‪H0 ‬‬ ‫עבור קונפיגורציה‬ ‫‪En(0) 12 me c 2‬‬ ‫‪e2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c 137‬‬ ‫‪‬‬ ‫בהמילטוניאן זה אנחנו מזניחים שני אפקטים חשובים‪ :‬אנרגיה קינטית יחסותית‬ ‫ואינטרקצית ספין‪-‬מסילה‪ .‬נקרב האנרגיות בעזרת תורת ההפרעות הלא מנוונת‪.‬‬ ‫תיקון יחסותי‬ ‫האלקטרון נע במהירויות יחסותיות ולכן הביטוי המתאים לאנרגיה הקינטית צריך‬ ‫להגיע מתורת היחסות‪ .‬לכן‪ ,‬מוסיפים להמילטוניאן תיקון יחסותי לאנרגיה‪.‬‬ ‫אנרגיה הקינטית יחסותית‬ ‫‪Ek ( pc) 2 (mc 2 ) 2 mc 2‬‬ ‫‪ 2l l 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪nl e‬‬ ‫כללי ‪Hund‬‬ ‫אלה כללים הקובעים את סדר האנרגיות הטרמים הספקטרלים השונים‪ ,‬ולכן‬ ‫את אכלוס הרמות )הנקבע לפי אנרגיה נמוכה תחילה(‬ ‫קליפות ותתי קליפות מלאות לא תורמות ל ‪ S-‬הכולל או ל ‪ L-‬הכולל של‬ ‫‪(0‬‬ ‫האטום‪.‬‬ ‫הטרם בעל ה ‪ S-‬הגבוה ביותר הינו בעל האנרגיה הנמוכה ביותר‪.‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫עבור ‪ S‬נתון‪ ,‬הטרם בעל ה ‪ L-‬הגבוה ביותר הינו בעל האנרגיה הנמוכה‬ ‫‪(2‬‬ ‫ביותר‪.‬‬ ‫עבור אטומים בעלי תת קליפה שפחות מחצי מלאה‪ ,‬הטרם בעל ה‪J-‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫הנמוך ביותר הינו בעל האנר גיה הנמוכה ביותר‪ .‬עבור אטומים בעלי תת‬ ‫קליפה שיותר מצי מלאה‪ ,‬הטרם בעל ה ‪ J-‬הגבוה ביותר הינו בעל‬ ‫האנרגיה הנמוכה ביותר‪.‬‬ ‫נוסחא למציאת הטרם הספקטראלי של מצב היסוד‬ ‫עבור תת קליפה לא מלאה אחת‬ ‫‪LJ‬‬ ‫עבור תת הקליפה ‪ , nl‬נגדיר‪:‬‬ ‫ערכי התנע של מצב היסוד יהיו‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪p4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2m 8m3 c 2‬‬ ‫ההפרעה לכן תהיה‬ ‫‪p4‬‬ ‫‪8m3 c 2‬‬ ‫התיקון לאנרגיה הוא‬ ‫‪Ek ‬‬ ‫‪L D S‬‬ ‫‪H1 ‬‬ ‫‪D0‬‬ ‫‪1 ( Z )4 1‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 mc 2 n 3 l 12 4n ‬‬ ‫השדה המגנטי שיוצר‬ ‫אלקטרון‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1 U‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪eme c r r‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪eg 1 ‬‬ ‫‪H 2 12 B ‬‬ ‫‪SL‬‬ ‫‪4 me2 c 2‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫אינטראקצית ספין ‪-‬‬ ‫מסילה היא‬ ‫עבור אטום מימן‬ ‫מתקבל‬ ‫‪e2 1‬‬ ‫‪S L 3‬‬ ‫‪2me2 c 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪H2 ‬‬ ‫אם נשים את האטום בשדה מגנטי חלש בכיוון ‪ ,z‬נקבל הסרה של הניוון בערכי‬ ‫‪ M‬שונים עבור אטומים במצב ‪ J,L,S‬נתון‪ .‬לכל אלקטרון נוסף מומנט מגנטי‬ ‫מסלולי שנוסף למומנט כתוצאה מהספין‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪H1 ‬‬ ‫‪L ge S B‬‬ ‫‪2 me c‬‬ ‫התיקון להמילטוניאן‬ ‫יהיה‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור שדה מגנטי ˆ‪B Bz‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪eB‬‬ ‫‪ Lz g e S z ‬‬ ‫‪2me c‬‬ ‫נקבל‬ ‫נגדיר‬ ‫' ‪ C LSJM Lz g e S z LSJM‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ En n V m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j l 12‬‬ ‫‪E‬‬ ‫התיקון לאנרגיה יהיה לכן‬ ‫* נוסף פקטור ½ בגלל פרצסיית ‪ .Thomas‬זאת משום שהחישוב התבצע‬ ‫במערכת המנוחה של האלקטרון שאינה אינרציאלית ולכן החישוב אינו נכון‬ ‫במסגרת תורת היחסות הפרטית‪ .‬הפקטור נועד לתקן את החישוב‪.‬‬ ‫* קיבלנו הסרה של הניוון עבור ערכי ‪ j‬שונים‪ .‬זה מתבטא בפיצול דק של הקווים‬ ‫הספקטרליים אשר נקרא "המבנה הדק " )‪ .( Fine Structure‬עם ז את‪ ,‬הניוון‬ ‫עבור ‪ m j‬אינו מוסר‪.‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ E‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪g e 1 J J 1 L L 1 S S 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪J J 1‬‬ ‫‪g LSJ 1 ‬‬ ‫‪Enj ‬‬ ‫בתורת ההפרעות התלויה בזמן איננו מחפשים תיקונים למצבים העצמיים או‬ ‫לאנרגיות העצמיות‪ ,‬אלא מניחים שההפרעה מספיק חלשה כך שהמ"ע והע" ע‬ ‫נשארים בקירוב טוב זהים‪ .‬אנו מניחים שההפרעה תגרום לערבוב בין המצבים‬ ‫העצמיים של ההמילטוניאן הלא מופרע ותאפשר מעבר ביניהם בהסתברות‬ ‫מסויימת ליח' זמן‪.‬‬ ‫תמונת האינטראקציה‬ ‫‪-2-‬‬ ‫‪n‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪E‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ E ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4 2 En n V m‬‬ ‫‪t ‬‬ ‫רוחב האנרגיה של רצף המצבים אליהם אנחנו עוברים‬ ‫ו ‪ E -‬המרחק בין מצבים ב"רצף"‪.‬‬ ‫הפרעה מחזורית בזמן‬ ‫אם יש לנו הפרעה שניתן לכתוב בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪t0‬‬ ‫‪t 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V t it‬‬ ‫‪† i t‬‬ ‫‪ Fe F e‬‬ ‫אז הסתברות המעבר ליחידת זמן היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ En Em n F m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ En Em n F † m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m n ‬‬ ‫הקוונטיזציה של השדה הא"מ‬ ‫משוואות מקסוול‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 B‬‬ ‫‪ E ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 E 4 ‬‬ ‫‪ B ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ E 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ B 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ j ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫משוואת הרצף‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪B A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 A ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫הגדרת הפוטנציאלים‬ ‫המשוואות שמקיימים הפוטנציאלים‪:‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ A 4‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1 A 1 ‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪2 A 2 2 A ‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫‪c t ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪E (1‬‬ ‫תורת ההפרעות התלויה בזמן‬ ‫האנרגיה הכוללת של אטום המימן‪ ,‬לאחר שני התיקונים תהיה‪:‬‬ ‫‪13.6eV 2 n‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הגורם של‬ ‫‪Lande‬‬ ‫‪e B‬‬ ‫‪‬‬ ‫' ‪ g LSJ M MM‬‬ ‫‪2 me c‬‬ ‫‪ mn mn En dEn ‬‬ ‫התנאים לתקפות הכלל הם‪:‬‬ ‫התיקון לאנרגיה יהיה‬ ‫‪j l 12‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪gm c 2 (Z )4‬‬ ‫‪ 3 e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4n l (l 1)(2l 1) l 1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ממשפט ויגנר ‪-‬אקארט‬ ‫נקבל ש‬ ‫‪ m n ‬‬ ‫כאשר נסכם הסתברויות מרצף או אל רצף של מצבים‪ ,‬ניתן לעבור לאינטגרל‬ ‫ולקבל את כלל הזהב של פרמי‪:‬‬ ‫‪E‬‬ ‫' ‪E (1) C g LSJ LSJM J z LSJM‬‬ ‫‪Pmn t ‬‬ ‫‪Pm n t ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪H1 ‬‬ ‫‪eB‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2me c‬‬ ‫ההפרעה תהיה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t En Em n V m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L 1 ‬‬ ‫‪J ‬‬ ‫‪ S‬‬ ‫לאחר זמן ‪ ,t‬עבור זמנים גדולים‪:‬‬ ‫הסתברות המעבר‬ ‫ליחידת זמן‬ ‫פיצול זימן‬ ‫‪ eg ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪2 me c‬‬ ‫המומנט המגנטי של‬ ‫אלקטרון‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫להוסיף )מ ‪ :( Arcavi‬מציאת הטרמים הספקטרלים‬ ‫אינטראקצית ספין ‪-‬מסילה‬ ‫האינטרקציה מקורה ב כוח לורנץ שפועל על האלקטרון כתוצאה מהשדה המגנטי‬ ‫שהוא מרגיש מהגרעין )במערכת הייחוס של האלקטרון הגרעין נע (‪.‬‬ ‫‪Ze2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪D0‬‬ ‫‪En(1) ‬‬ ‫ולכן התיקון מסיר את הניוון ב ‪. l -‬‬ ‫‪U r ‬‬ ‫‪e D D ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪n, t‬‬ ‫הסיכוי לעבור ממצב ‪ m,0‬למצב‬ ‫‪2 S 1‬‬ ‫‪D e 2l 1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫היא בקירוב‬ ‫התיקון תלוי ב ‪l -‬‬ ‫מספר המצבים האפשריים‬ ‫כל הזהב של פרמי‬ ‫נניח שבזמן ‪ t=0‬נדלקה הפרעה קבועה בזמן‪.‬‬ ‫תחת כיול קולומב‬ ‫הפונטנציאלים המתקבלים‬ ‫הם‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ A 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r , t ‬‬ ‫‪ d 3r ‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4 1 ‬‬ ‫‪1 2 A‬‬ ‫‪ 2 A ‬‬ ‫‪j ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c t‬‬ ‫דף נוסחאות בקוונטים ‪) 2‬אוניברסיטת ת"א‪(2008 ,‬‬ ‫ההמילטוניאן של מטענים בשדה א"מ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ei e j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪ q t A r i ‬‬ ‫‪ p q ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ji ri rj‬‬ ‫‪‬‬ ‫אופרטורי הסולם‪:‬‬ ‫‪ q ip‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪1 ei‬‬ ‫‪p ‬‬ ‫‪2 mi i c‬‬ ‫‪H ‬‬ ‫†‬ ‫‪a ‬‬ ‫החלק של האוסילטור ההרמוני )החלק האחרון של ההמילטוניאן ( ניתן לכתיבה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫† ‪‬‬ ‫‪H a a ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫והפוטנציאל הוקטורי ניתן לכתיבה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A r , t q t A r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ההתפתחות בזמן של אופרטורי הסולם ) בתמונת האינטראקציה (‪:‬‬ ‫‪ i t‬‬ ‫‪it‬‬ ‫‪x iy‬‬ ‫ˆ‪xˆ iy‬‬ ‫‪x iy‬‬ ‫ˆ‪x iy‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ˆ‪ n z m z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫†‬ ‫†‬ ‫‪a t a t 0 e‬‬ ‫ההמילטוניאן המתאר אלקטרון בשדה א"מ הוא‪:‬‬ ‫קולון ???( מתקיים‬ ‫נוכל לרשום את ‪ H‬כך‪:‬‬ ‫‪H H0 V t ‬‬ ‫‪p2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫† ‪‬‬ ‫‪ e k ak a k ‬‬ ‫‪2 me‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k ,‬‬ ‫‪e ‬‬ ‫‪e 2 ‬‬ ‫‪p A r , t ‬‬ ‫‪A r,t‬‬ ‫‪2me‬‬ ‫‪2 me c 2‬‬ ‫וההפרעה היא‬ ‫‪H0 ‬‬ ‫עבור יצירה של‬ ‫פוטון ניקח‬ ‫‪2 c * † ikr it‬‬ ‫‪ ˆ a e‬‬ ‫| ‪V |k‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫המעבר מ ‪ J=0-‬ל ‪ J’=0-‬אסור(‬ ‫השינוי בע"ע של התנע הזוויתי האורביטלי הכולל ‪ L‬הוא‬ ‫‪L 1, 0,1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪A r , t ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e 2 c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n, n 1 a† p ˆ e ik r m, n‬‬ ‫‪mec kV‬‬ ‫והסיכוי למעבר הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ En Em k n p ˆ eik r m‬‬ ‫הספק הקרינה הנפלטת באופן תנודה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ Em En / ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 e n 1‬‬ ‫‪me2c 2 kV‬‬ ‫‪m ,n n, n 1 ‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫השינוי בע"ע של התנע הזוויתי של כל חלקיק הוא‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ l j‬למעט‬ ‫‪li 1,1‬‬ ‫‪n j 0‬‬ ‫אחד ששינה את התנע הזוויתי שלו( עבורו‬ ‫מכאן שעבור מערכת של אלקטרון בודד‪ ,‬המעבר‬ ‫למעט חלקיק אחד ) אותו‬ ‫‪ 1,1‬‬ ‫‪l 0‬‬ ‫לתוך זווית מרחבית ‪: d ‬‬ ‫‪. ni‬‬ ‫ואז הספק הקרינה‬ ‫ליחידת זווית מרחבית יהיה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4e 2 ‬‬ ‫*‪d mn ˆ‬‬ ‫‪2 c 3‬‬ ‫כאשר‬ ‫הספק הקרינה הכולל בכל‬ ‫הקיטובים ובכל הקיטובים יהיה‬ ‫‪4 4 e 2 2‬‬ ‫‪d mn‬‬ ‫‪3c 3‬‬ ‫זמן חיים של מצב מעורר בקירוב הדיפול החשמלי‬ ‫קצב פליטת הפוטונים‬ ‫‪2‬‬ ‫לזווית מרחבית‬ ‫קצב פליטת הפוטונים בכל‬ ‫הקיטובים ובכל הכיוונים‬ ‫‪4 3e 2 2‬‬ ‫‪d mn‬‬ ‫‪3c 3 ‬‬ ‫משוואות יחסותיות לחלקיק עם ספין חצי‬ ‫אינו אפשרי‪.‬‬ ‫חתך הפעולה הדפרנציאלי לפיזור הוא שטף החלקיקים המפוזרים ליחידת זווית‬ ‫מרחבית‪ ,‬חלקי השטף הנכנס ליחידת שטף‪ .‬הוא מתאר את ההסתברות לקבלת‬ ‫חלקיק מפוזר במצב קוונטי נתון ליחידת זווית מרחבית ביחס לשטף החלקיקים‬ ‫הנכנסים ליחידת שטח‪ .‬מסמנים אותו‪:‬‬ ‫‪d sc‬‬ ‫‪d‬‬ ‫חתך הפעולה הכולל לפיזור הוא שטף החלקיקים המפוזר לכל הזוויות‪ ,‬חלקי‬ ‫השטף הנכנס ליחידת שטח‪ .‬הוא מתאר את גודל השטח האפקטיבי שממנו‬ ‫מתבצע הפיזור‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k r eik r sc‬‬ ‫עבור פיזור של גל מישורי‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ I‬‬ ‫‪d sc‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫בשתי ההצגות מתקיים‪:‬‬ ‫‪i , 0‬‬ ‫ההמילטוניאן בהצגה הכירלית‪:‬‬ ‫‪ij‬‬ ‫‪j‬‬ ‫צפיפות ההסתברות מוגדרת להיות‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ n* n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫זרם ההסתברות הוא‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j c n* nm m‬‬ ‫‪n.m 1‬‬ ‫ומתקיימת משוואת הרציפות‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ j 0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫שונות‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e ikr‬‬ ‫‪ r exp iki r f r ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ K mc‬ומשוואת שרדינגר תהיה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ p c mc E ‬‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k r ‬‬ ‫‪V r ' k r ' G r r ' d 3r ' k(0 ) r ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(0) ‬‬ ‫‪ik r‬‬ ‫‪ r e‬הפתרון של הבעיה ההומוגנית‪.‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ , 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪H p c K ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫' ‪ik r r‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪G r r ' ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫' ‪4 r r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ i ‬‬ ‫ומתקיימים יחסי האנטי ‪-‬חילוף הבאים‪:‬‬ ‫נשתמש בפ' גרין של‬ ‫‪2‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫נציב במשוואת שרדינגר ונקבל‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪I 0 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 I ‬‬ ‫‪ sc ‬‬ ‫משוואת הלמהולץ בשלושה מימדים‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J J J 2 J z2 J z‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2L S J 2 L2 S 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪J V J zVz 12 J V J V ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 J1 J 2 2 J1z J 2 z J1 J 2 J1 J 2 ‬‬ ‫זהויות שימושית‬ ‫כאשר אמפליטודת הפיזור היא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫המשפט האופטי‬ ‫קרוב לפיזור החישוב הקודם לא תקף כי לא התחשבנו בהתאבכות בין הגל‬ ‫הנכנס לגל המפוזר‪ .‬לכן נשתמש במשפט האופטי לפיו‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Im f 0 ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫עוד זהות שימושית‪:‬‬ ‫‪e A Be B B A, B 2!1 2 A, A, B ...‬‬ ‫‪ A, B / B ‬‬ ‫אופרטור מדידת ספין בזוויות‬ ‫‪ i‬‬ ‫‪ sc ‬‬ ‫‪e sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ cos ‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪e A Be B e B‬‬ ‫ביחס לציר ‪:z‬‬ ‫‪ cos ‬‬ ‫‪Oˆ Sˆz cos Sˆ x sin cos Sˆ y sin sin i‬‬ ‫‪2 e sin ‬‬ ‫או בהכללה גם לחתך הפעולה לב...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern