תרגיל בית 4 עם פתרון

תרגיל בית 4 עם פתרון -...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ‫אוניברסיטת תל אביב הפקולטה לניהול‬ ‫בית הספר למוסמכים במנהל עסקים ע"ש ליאון רקאנטי‬ ‫מודלים סטטיסטים במנהל עסקים‬ ‫תרגיל מספר ‪ -4‬משפט הגבול המרכזי ורוח בר סמך‬ ‫‪.1‬‬ ‫בחברה מסוימת ידוע שבממוצע‪ ,‬איש מכירות מצליח לסגור עסקאות בשווי של ‪ 200₪‬ביום‪ .‬ס"ת של שווי‬ ‫העסקאות היומי שווה ל‪ .₪ 50-‬מנהל חברה הכריז כי במידה ומחלקת המכירות )המונה ‪ 30‬אנשי מכירות(‬ ‫תצליח לסגור ביום מסוים עסקאות בשווי של למעלה מ‪ 6,600 -‬ש"ח‪ ,‬כל עובד יזכה בבונוס‪ .‬הניחו כ‪ 30-‬מהווה‬ ‫מדגם מספיק גדול‪ ,‬כך שמתקיים משפט הגבול המרכזי‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מה הסיכוי שהעובדים יזכו בבונוס?‬ ‫מה הסיכוי ששווי העסקאות הממוצע של מוכר גדול מ‪?₪ 190-‬‬ ‫א‪ .‬נגדיר משתנה ‪ -X‬שווי העסקאות שסוגר איש מכירות ביום‪ .‬לפי משפט הגבול המרכזי‪ ,‬כל‬ ‫עוד ‪ " n‬מספיק גדול"‪:‬‬ ‫‪n μx‬‬ ‫)‪x i N (¿ ,n σ x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪σ x2 n‬‬ ‫¿ ∑‪,‬‬ ‫‪n i=1‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪X´ N μ x ,‬‬ ‫‪30 × 200‬‬ ‫) ‪x i N (¿ , 30 ×502‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪50‬‬ ‫‪X´ N 200,‬‬ ‫¿∑‪,‬‬ ‫‪30 i=1‬‬ ‫‪x i ≥ 6,600‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪)=P(Z ≥ 2.19)=1−Φ (2.19)=1−0.9857=0.0143‬‬ ‫‪∑ ¿=P( Z ≥ 6,600−6000‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪√ 30× 502‬‬ ‫¿‪P‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪190−200‬‬ ‫≥ ‪P ( X´ ≥190 ) =P Z‬‬ ‫‪=P ( Z ≥−1.09 )=Φ ( 1.09 ) =0.8621‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪√ 30‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫המועצה לצרכנות הגדירה סל מוצרים בסיסי וביצעה דגימה מקרית ב‪ 100-‬חנויות מזון ברחבי הארץ‪ .‬במדגם‬ ‫נמצא כי ממוצע סל המוצרים הינו ‪ ₪ 649‬עם סטית תקן של ‪.₪ 175‬‬ ‫מהו רווח הסמך ברמת סמך של ‪ 95%‬לתוחלת מחיר סל המוצרים?‬ ‫‪.1‬‬ ‫מהו רווח הסמך ברמת סמך של ‪ 90%‬לתוחלת מחיר סל המוצרים?‬ ‫‪.2‬‬ ‫מה יקרה לגודל רווח הסמך אם נגדיל את רמת הסמך?‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪X´ −t α‬‬ ‫‪=649−t 0.975,99‬‬ ‫‪=649−1.98‬‬ ‫‪=614.875‬‬ ‫‪1− ,n−1 √ n‬‬ ‫‪√ 100‬‬ ‫‪√ 100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪=649+ t 0.975,99‬‬ ‫‪=649+1.98‬‬ ‫‪=683.65‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪√ 100‬‬ ‫‪√ 100‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1− ,n−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X´ −t‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב הפקולטה לניהול‬ ‫בית הספר למוסמכים במנהל עסקים ע"ש ליאון רקאנטי‬ ‫מודלים סטטיסטים במנהל עסקים‬ ‫תרגיל מספר ‪ -4‬משפט הגבול המרכזי ורוח בר סמך‬ ‫‪‬‬ ‫רווח סמך ברמת ביטחון של ‪95%‬‬ ‫] ‪[ 614.875,683.65‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪X´ −t α‬‬ ‫‪=649−t 0.95,99‬‬ ‫‪=649−1.66‬‬ ‫‪=619.95‬‬ ‫‪1− ,n−1 √ n‬‬ ‫‪√100‬‬ ‫‪√100‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪175‬‬ ‫‪=649+t 0.955,99‬‬ ‫‪=649+ 1.66‬‬ ‪=678.05‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪√100‬‬ ‫‪√ 100‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1− , n−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X´ +t‬‬ ‫רווח סמך ברמת ביטחון של ‪90%‬‬ ‫] ‪[ 619.95,678.05‬‬ ‫הגדלת רמת הסמך )רמת הביטחון( מביאה לגידול ברווח‪.‬‬ ‫חברת פרסום מקוון ערכה בדיקה בקרב ‪ 400‬מבקרים אקראיים באתר קניות של מוצרים אלקטרונים‪104 .‬‬ ‫מבקרים ביצעו קניה‪ ,‬והשאר לא‪.‬‬ ‫מהו רב"ס ברמת סמך של ‪ 95%‬לסיכוי של מבקר אקראי באתר לבצע קניה?‬ ‫‪.1‬‬ ‫מהו רב"ס ברמת סמך של ‪ 90%‬לסיכוי של מבקר אקראי באתר לבצע קניה?‬ ‫‪.2‬‬ ‫מה גודל המדגם שיש לבחור כדי שהחברה תדע מה הסיכוי לקנייה באתר בסדר גודל של עד ‪2%‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫טעות‪ ,‬עבור רמת סמך של ‪) ?95%‬תניחו שאין כל ידע מוקדם או הערכות לגבי ‪(P‬‬ ‫בהינתן שבמדגם שמצאת בסעיף ג‪ .‬נמצאו ‪ 30%‬מבקרים שביצעו קנייה‪ .‬חשב את רווח הסמך ברמת‬ ‫סמך של ‪ 90%‬למספר המבקרים שיבצעו קנייה באתר‪ ,‬אם ידוע שמספר המבקרים באתר הוא‬ ‫‪.1,000,000‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫^‬ ‫^‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪P ( 1− P ) 104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫=‬ ‫‪−Z 0.975‬‬ ‫=‬ ‫‪−1.96‬‬ ‫‪=0.217‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫^‬ ‫^‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪P ( 1− P ) 104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫=‬ ‫‪+ Z0.975‬‬ ‫=‬ ‫‪+ 1.96‬‬ ‫‪=0.302‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫)‬ ‫א‪.‬‬ ‫] ‪[ 0.217,0.302‬‬ ‫)‬ ‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫^‬ ‫‪P−Z‬‬ ‫^‬ ‫‪P+Z‬‬ ‫רווח סמך ברמת ביטחון ‪ ,95%‬לסיכוי לבצע קנייה‬ ‫ב‪.‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫^‬ ‫^‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400 104‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪P ( 1− P ) 104‬‬ ‫=‬ ‫‪−Z 0.95‬‬ ‫=‬ ‫‪−1.645‬‬ ‫‪=0.22‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫√‬ ‫(‬ ‫√‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫^‬ ‫^‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪P 1− P 104‬‬ ‫‪104‬‬ ‫=‬ ‫‪+ Z0.95‬‬ ‫=‬ ‫‪+1.645‬‬ ‫‪=0.296‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪400‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫‪√ 400‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫^‬ ‫‪P−Z‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫^‬ ‫‪P+Z‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב הפקולטה לניהול‬ ‫בית הספר למוסמכים במנהל עסקים ע"ש ליאון רקאנטי‬ ‫מודלים סטטיסטים במנהל עסקים‬ ‫תרגיל מספר ‪ -4‬משפט הגבול המרכי ורוח בר סמך‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫] ‪[ 0.22,0.296‬‬ ‫רווח סמך ברמת ביטחון ‪ ,90%‬לסיכוי לבצע קנייה‬ ‫כיון שאין כל הערכה מוקדמת לגבי אחוז הקונים‪ ,‬נציב את המקרה "הכי גרוע" שבו אחוז הקונים שווה לחצי‪.‬‬ ‫‪√ 0.5 ( 1−0.5 ) ≤ 0.02→ 1.962 0.5 ( 1−0.5 ) ≤n‬‬ ‫‪0.022‬‬ ‫‪√n‬‬ ‫‪1.96‬‬ ‫‪n ≥2401‬‬ ‫במדגם של ‪ ,2401‬נמצא כי ‪ 30%‬מבצעים קניה‪ .‬ראשית‪ ,‬נבנה את רווח הסמך לאחוז האנשים שמבצעים קנייה‪:‬‬ ‫‪Z 0.95=1.645‬‬ ‫‪0.3× 0.7‬‬ ‫‪0.3 ×0.7‬‬ ‫√ ‪≤ P ≤ 0.3+ 1.645‬‬ ‫‪√ 2401‬‬ ‫‪√2401‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫√ ‪0.3−1.645‬‬ ‫התבקשנו למצוא רווח בר סמך למספר המבקרים באתר שמבצעים קנייה‪ .‬הרווח שמצאנו מתאר‬ ‫את הרווח שבו נמצא אחוז האנשים שמבצעים קניה‪ ,‬ברמת ביטחון של ‪ .90%‬נשים לב שהגודל‬ ‫‪X‬‬ ‫במרכז הרווח ) ‪P‬‬ ‫( שווה למעשה למספר האנשים שמבצעים קניה חלקי גודל האוכולוסיה ) ‪N‬‬ ‫(‪ .‬כלומר‪ ,‬ניתן לכתוב את הרווח שמצאנו גם כך‪:‬‬ ‫‪0.3× 0.7 X‬‬ ‫‪0.3 ×0.7‬‬ ‫√ ‪≤ ≤ 0.3+1.645‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪√ 2401‬‬ ‫‪√ 2401‬‬ ‫√ ‪0.3−1.645‬‬ ‫נתון ש‪) N-‬גודל האוכלוסייה( שווה ל‪ .1,000,000-‬לכן‪ ,‬כדי למצוא רווח סמך למספר הקונים ) ‪,( X‬‬ ‫נכפיל את שני צידי האי‪-‬שוויון ב‪:N; 1,000,000 -‬‬ ‫)‬ ‫‪0.3 × 0.7‬‬ ‫‪0.3 ×0.7‬‬ ‫√ ‪≤ X ≤ 1,000,000 × 0.3+1.645‬‬ ‫‪√ 2401‬‬ ‫‪√ 2401‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫√ ‪1,000,000× 0.3−1.645‬‬ ‫(‬ ‫‪284,615 ≤ X ≤ 315,384‬‬ ‫ברמת ביטחון של ‪ ,90%‬מספר האנשים שמבצעים קנייה הוא בין ‪ 284,615‬לבין ‪.315,384‬‬ ‫אוניברסיטת תל אביב הפקולטה לניהול‬ ‫בית הספר למוסמכים במנהל עסקים ע"ש ליאון רקאנטי‬ ‫מודלים סטטיסטים במנהל עסקים‬ ‫תרגיל מספר ‪ -4‬משפט הגבול המרכזי ורוח בר סמך‬ ‫‪.4‬‬ ‫דנה דגמה מאוכלוסייה נתונה בעלת פיזור רב‪ ,‬וטענה כי אם תדגום מספר גדול יותר של תצפיות‪ ,‬רווח הסמך‬ ‫יקטן‪ .‬משה טען‪ ,‬כי דווקא הגדלה של רמת הביטחון תקטין את רווח הסמך‪ .‬מהי הטענה הנכונה?‬ ‫שניהם צודקים‬ ‫‪.1‬‬ ‫רק דנה צודקת‬ ‫‪.2‬‬ ‫רק משה צודק‬ ‫‪.3‬‬ ‫שניהם טועים‬ ‫‪.4‬‬ ‫תשובה ב‪ .‬ברווח סמך‪ ,‬אם נגדיל את מספר התצפיות של המדגם‪ ,‬נקטין את רווח הסמך‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם נגדיל את‬ ‫רמת הביטחון שלנו‪ ,‬רמת הביטחון שלנו ברווח שבו נמצא הפרמטר האמיתי באוכלוסייה תגדל‪ -‬המחיר אשר נשלים‬ ‫יהיה בגידול ברווח המסך‪ .‬לכן‪ ,‬דנה צודקת ומשה טועה‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫תוצאות מחקר שבחן את משך הזמן שאנשים משקיעים בהכנת תיאומי המס שלהם מתוארות בלשונית‬ ‫" שאלה ‪ "6‬בקובץ האקסל "תרגיל בית ‪ ."4‬הנתונים כוללים דיווחים של ‪ 40‬נשאלים בנוגע למשך הזמן שהם‬ ‫השקיעו בהכנת תיאומי המס שלם‪ .‬בשנים האחרונות נמצא כי סטיית התקן של זמן ההכנה הינה תשע שעות‬ ‫)‪ .(σ=9‬מהו רווח הסמך לאמידת הזמן הממוצע שלוקח לאנשים לבצע את תיאום המס שלהם ברמת בטחון‬ ‫של ‪?95%‬‬ ‫‪‬‬ ‫רווח סמך ברמת ביטחון של ‪95%‬‬ ‫] ‪[ 30.7,36.28‬‬ ‫ניתן לומר ברמת בטחון של ‪ 95%‬שזמן הכנת תיאום מס לוקח בין ‪ 30.7‬לבין ‪ 36.28‬שעות‬ ‫‪.6‬‬ ‫חברת מחקרי תקשורת ערכה מחקר הבוחן את זמן הצפייה השבועי במשקי הבית בין השעות ‪.20:00-23:00‬‬ ‫תוצאות המחקר מתוארות בלשונית "שאלה ‪ "7‬בקובץ האקסל "תרגיל בית ‪ ."4‬במחקרי עבר נמצא כי סטית‬ ‫התקן של זמן הצפייה במשקי הבית בין השעות ‪ 20:00-23:00‬הינה ‪ 3.5‬שעות )‪ .(σ=3.5‬מהו רווח הסמך‬ ‫לאמידת זמן הצפייה השבועי הממוצע במשקי הבית בין השעות ‪ 20:00-23:00‬ברמת בטחון של ‪?95%‬‬ ‫‪‬‬ ‫רווח סמך ברמת ביטחון של ‪95%‬‬ ‫] ‪[ 8.1,8.89‬‬ ‫ניתן לומר ברמת בטחון של ‪ 95%‬שזמן הצפייה השבועי במשקי הבית בין השעות ‪ 20:00-23:00‬בין ‪ 8.1‬לבין‬ ‫‪ 8.89‬שעות‪.‬‬ ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern