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clase01-ma37a - MA37A Optimizacin o Planteamiento de...

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MA37A Optimizaci´ on Planteamiento de Problemas y Resoluci´ on gr´ afica Profesor: H´ ector Ramirez Auxiliares: Francisco Jara, Oscar Peredo 2 de agosto de 2005 La idea de los siguientes problemas es plantearlos como problemas de maximizaci´ on o minimizaci´ on de una funci´ on objetivo c t x sujeta a restricciones del tipo Ax b, Ax = b o Ax b . Problema 1 (Problema de Transporte). Se tienen m plantas productoras y n bodegas. La planta i - ´ esima genera una cantidad s i de productos y la bodega j esima puede almacenar d j productos. El costo de transportar un producto desde la planta i hasta la bodega j es de c ij . Encontrar el n´umero de productos que se deben enviar a cada bodega, de modo que se minimize el costo de transporte. Soluci´ on 1. Sea x ij el n´umero de productos que se enviar´ an desde la planta i a la bodega j . La funci´ on que se desea minimizar es: m X i =1 n X j =1 c ij x ij La primera restricci´ on se refiere al n´umero de productos que pueden salir de la planta i esima: n X j =1 x ij = s i La segunda restricci´ on se refiere al n´umero de productos que puede almacenar la bodega j esima: m X i =1 x ij = d j La tercera restricci´ on viene del hecho que no pueden haber x ij negativos, pues no es consistente con el enunciado: x ij 0 , i, j Luego, el problema se plantea de la forma: min m X i =1 n X j =1 c ij x ij s.a n X j =1 x ij = s i , i = 1 , ..., m m X i =1 x ij = d j , j = 1 , ..., n x ij 0 , i, j 1
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Problema 2 (Problema de la Mochila (o Knapsack)). Se intenta llenar una mochila de volumen fijo V con n items cada uno de volumen v i y donde a cada item se le asocia un factor de necesidad a i , es decir, si a i > a j significa que el item i esimo es m´ as necesario que el j esimo. Plantee el problema para maximizar la cantidad de items necesarios (pueden haber uno o mas items del mismo tipo y no pueden haber ”trozos”de algun item). Soluci´ on 2. Se definen las variables x j como la cantidad de items del tipo j esimo. La funci´ on a maximizar es: n X j =1 a j x j La restricci´ on fundamental es que no se sobrepase el volumen de la mochila: n X j =1 v j x j V Las restricciones que faltan tienen que ver con la positividad en la cantidad de items y su valor, que nece- sariamente debe ser entero: x j 0 , j x j Z , j Por lo tanto, el problema queda de la forma: max n X j =1 a j x j s.a n X j =1 v j x j V x j 0 , j x j Z , j Problema 3 (Sumar N primeros n´umeros). Se tienen N n´umeros c 1 , ..., c N cuyo orden es c σ (1) ... c σ ( N ) . Encontrar el valor de K X i =1 c σ ( i ) , con K N . Soluci´ on 3. La idea es encontrar la suma m´ ınima que involucre a K n´umeros, es decir: min N X i =1 c i x i s.a N X i =1 x i = K x i ∈ { 0 , 1 } , i Al ser variables binarias, con la primera restricci´ on se garantiza que habr´ an K variables activas, lo que entrega como funci´ on objetivo la suma de los n´umeros asociados.
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